Skript zur Vorlesung am 30.11.2015 (Seiten 47–49)

© R. Plato
Kapitel 24 Differenzialrechnung
Beweis. Das folgt direkt aus Teil c) von Satz 24.5 auf
der vorherigen Seite, angewendet mit Zählerfunktion 1
und Nennerfunktion f .
Als einfache Anwendung der Produktregel erhält man
das folgende Resultat:
Satz 24.8. Die Funktion f .x/ D x n ; x 2 R .n 2 N/ ist
differenzierbar auf R. Sie besitzt die Ableitung f 0 .x/ D
nx n 1 ; x 2 R.
Beweis. Wir führen vollständige Induktion über n
durch. Für n D 1 folgt die Aussage unmittelbar aus
Teil b) von Beispiel 24.2 auf Seite 45. Die Aussage gelte
nun für ein n 2 N und wir betrachten im Folgenden die
Funktion f .x/ D x nC1 D x n x für x 2 R. Induktionsannahme und Produktregel liefern dann die Differenzierbarkeit von f , mit
f 0 .x/ D nx n
1
x C x n 1 D nx n C x n
D .n C 1/x
nC1
;
Als unmittelbare Konsequenz aus Satz 24.8 erhält man
das folgende Resultat.
n 1
Satz 24.9. Polynome p.x/ D an x C an 1 x
C C
a1 xCa0 ; x 2 R; sind differenzierbare Funktionen auf R,
mit p 0 .x/ D nan x n 1 C.n 1/an 1 x n 2 C C 2a2 x Ca1
für x 2 R.
Beweis. Das folgt sofort aus einer Kombination von
Teil a) von Satz 24.5 auf der vorherigen Seite sowie
Satz 24.8.
24.3 Differenziation von Potenzreihen
Potenzreihen sind im Inneren ihres Konvergenzkreises
für reelle Argmente differenzierbar, falls der Entwicklungspunkt reell ist:
1
X
an .x
nD0
x0 /n für x 2 R;
p 0 .x/ D
nD1
nan .x
x0 /n
1
Mit Satz 24.10 lassen sich leicht die Ableitungen von
Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus berechnen.
Proposition 24.11. Die Funktionen exp W R ! R; sin W
R ! R und cos W R ! R sind differenzierbar, mit
exp0 .x/ D exp.x/; sin0 .x/ D cos x; cos0 .x/ D sin x
Beweis. a) Für die Exponentialfunktion exp.x/ D
P1 x n
x2
x3
x4
nD0 nŠ D 1 C x C 2 C 6 C 24 C ; x 2 R; gilt
exp0 .x/ D
für x 2 R;
jx
x0 j < r:
(24.4)
1
X
nx n
nŠ
D
1
D
nD1
1
./ X x n
nŠ
nD0
1
X
xn 1
.n
1/Š
nD1
D exp.x/ für x 2 R;
wobei ./ aus einer Umindizierung resultiert.
b) Es gilt sin x D
mit
sin0 .x/ D
1
X
P1
nD0 .
2nC1
1/n .x2nC1/Š ; x 2 R; und da-
. 1/n .2n C 1/
nD0
x 2n
.2n C 1/Š
D
1
X
. 1/n
nD0
x 2n
.2n/Š
D cos x für x 2 R:
cos0 .x/ D
mit Konvergenzradius r > 0, reellem Entwicklungspunkt x0 und reellen Koeffizienten an ist in jedem Punkt
x 2 R mit jx x0 j < r differenzierbar, und es gilt
1
X
Bemerkung. a) Man beachte, dass in Satz 24.10 lediglich eine reelle Variante von Potenzreihen betrachtet
wird. Dies ist im Zusammenhang mit Differenziation
erforderlich, da Letzteres hier nur für reelle Funktionen betrachtet wird.
b) Die Identität (24.4) bedeutet, dass bei Potenzreihen
eine gliedweise Differenziation zulässig ist.
M
c) Für cos x D
Satz 24.10. Die reelle Potenzreihe
p.x/ D
Der Beweis hierfür entfällt.
für x 2 R.
x 2 R:
n
47
1
X
D
2n
1/n .x2n/Š ; x 2 R; gilt
nD0 .
. 1/n 2n
nD1
1
./ X
D
P1
. 1/rC1
rD0
1
X
rD0
. 1/r
x 2n 1
.2n/Š
D
2.rC1/
x
.2.r C 1/
x 2rC1
.2r C 1/Š
1
X
. 1/n
nD1
x 2n 1
.2n 1/Š
1
1/Š
D
sin x
für x 2 R:
Hierbei ergibt sich die Identität ./ durch die Laufvariablensubstitution n D r C 1.
48
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Teil II Analysis 1
24.4 Differenziationsregeln, Teil 2
In diesem Abschnitt werden weitere Differenziationsregeln vorgestellt, so z. B. die Kettenregel.
Satz 24.12 (Kettenregel). Für Funktionen f W D ! R
und g W E ! R gelte f .D/ E , und x 2 D sei fest
gewählt. Es sei f an der Stelle x differenzierbar, und
g sei an der Stelle f .x/ differenzierbar. Dann ist die
Hintereinanderausführung
gıf WD !R
differenzierbar an der Stelle x , mit
.g ı f /0 .x/ D f 0 .x/ g 0 .f .x//:
Beweis. Wird hier nicht geführt.
Die Ableitung einer Hintereinanderausführung zweier
Funktionen ergibt sich also aus dem Produkt von innerer und äußerer Ableitung. Mit den Leibniz-Notationen
dy
dz
dz
D f 0 .x/; dy
D g 0 .y/; dx
y D f .x/; z D g.y/; dx
D .g ı f /0 .x/ erhält man für die Kettenregel die Merk-
regel
dz
dx
D
dz dy
:
dy dx
Die Kettenregel ermöglich z. B. für die allgemeine Potenz die Berechnung der Ableitung nach dem Exponenten.
Proposition 24.13. Für fest gewähltes x > 0 gilt
d ˛
x
d˛
D ln.x/x ˛ .˛ 2 R/:
Beweis. Anwendung der Kettenregel liefert Folgendes:
d ˛
x
d˛
D
d
exp.˛ ln x/
d˛
nehmen noch an, dass durchweg s 0 .t/ > 0 gilt; jeder
Punkt zwischen x0 D s.t0 / und x1 D s.t1 / wird also
genau einmal durchlaufen. Damit ist durch
V .s.t// D v.t/
eine Funktion V W Œx0 ; x1  ! R definiert; es handelt
sich dabei um die Geschwindigkeit des Massenpunktes
als Funktion vom Ort.
Man erhält mit Hilfe der Produkt- und der Kettenregel sowie der Notation x D s.t/ folgenden Zusammenhang zwischen den Ableitungen der Funktionen v und
V:
v 0 .t/ D s 0 .t/V 0 .x/ D v.t/V 0 .x/ D V .x/V 0 .x/
D 21 .V 2 /0 .x/:
Die Zeitableitung der Geschwindigkeit zur Zeit t
stimmt also mit dem Produkt aus Ortsableitung der Geschwindigkeit und Geschwindigkeit an dem dazugehörigen Ort überein. In der angewandten Literatur wird
diese Identität oft in der Form vP D vv 0 geschrieben,
wobei v auf der rechten Seite dieser Gleichung nun als
Funktion vom Ort x aufgefasst wird und die rechte Seite für den speziellen Wert x D s.t/ zu betrachten ist.
M
Das folgende Theorem stellt einen Zusammenhang
zwischen der Ableitung einer Umkehrfunktion und der
Ableitung der Ausgangsfunktion her. Eine wichtige Anwendung wird gleich im Anschluss daran geliefert.
Satz 24.15. Sei f W I ! R eine streng monotone Funktion, wobei I R ein Intervall sei. Die Umkehrfunktion
f 1 W J ! R mit J D f .I / ist im Punkt y D f .x/
differenzierbar, falls die Funktion f im Punkt x 2 I differenzierbar ist. Es gilt dann
.f
D ln.x/ exp.˛ ln x/ D ln.x/x ˛ :
d
gegenüber dem üblichen
Dabei ist hier die Notation d˛
Ableitungsstrich vorzuziehen, da nur so deutlich wird,
nach welcher Größe abgeleitet wird.
Wir betrachten noch eine Anwendung von Produktund Kettenregel.
Beispiel 24.14. Ein Massenpunkt mit der Masse m bewege sich in dem Zeitintervall von t0 bis t1 geradlinig
fort. Zum Zeitpunkt t mit t0 t t1 sei die Position s.t/ 2 R. Es bezeichne v.t/ D s 0 .t/ die Momentangeschwindigkeit des Fahrzeugs zum Zeitpunkt t . Wir
1 0
/ .y/ D
1
f 0 .x/
:
(24.5)
Auf einen Beweis wird verzichtet. Wir stellen aber eine
kurze Technik vor, mit der man sich diese Regel leicht
herleiten kann. Gemäß der Definition der Umkehrfunktion gilt ja .f 1 ı f /.x/ D x für x 2 I , und die Kettenregel liefert dann
1 D .f
D .f
1
ı f /0 .x/ D .f
1 0
/ .f .x//f 0 .x/
1 0
/ .y/f 0 .x/:
Nach einer Division erhält man dann (24.5). Es handelt
sich hierbei aber um keinen vollständigen Beweis, da
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Kapitel 24 Differenzialrechnung
bei der Anwendung der Kettenregel die Diffenzierbarkeit der Umkehrfunktion f 1 im Punkt y D f .x/ bereits verwendet wird.
Bemerkung 24.16. Für die Ableitung der Inversen einer Funktionen gibt es außerdem eine Merkregel ähnlich zu der für die Kettenregel. Mit den Notationen
1
y D f .x/; x D f
.y/;
dy
dx
D f 0 .x/;
erhält man hier
dx
dy
1
D
dy
dx
dx
dy
D .f
1 0
:
/ .y/
M
Proposition 24.17. Der natürliche Logarithmus ln W
RC ! R ist differenzierbar, mit ln0 .x/ D x1 für x 2 RC .
Beweis. Es ist der natürliche Logarithmus ln W RC !
R die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp W
R ! RC . Wegen Satz 24.15 auf der vorherigen Seite
sowie Teil a) von Beispiel 24.11 auf Seite 47 gilt daher
für y D exp.x/ mit x 2 R Folgendes:
ln0 .y/ D
1
exp0 .x/
D
1
exp.x/
D
1
y
;
y > 0:
Mit den vorgestellten Ergebnissen lässt sich die allgemeine Potenz nun auch nach der Basis ableiten. Man
beachte die Analogie zur Ableitung von Monomen (siehe Satz 24.8 auf Seite 47).
Proposition 24.18. Für fest gewähltes ˛ > 0 gilt
d ˛
x
dx
D ˛x ˛
1
.x 2 R/:
d ˛
x
dx
D
d
exp.˛ ln x/
dx
1
D ˛x ˛ x D ˛x ˛
D exp.˛ ln x/˛
1
f 0 .x/ D
1 1 .x
2
C 1/ 1 .x
.x C 1/2
1/
d
ln x
dx
:
24.5 Einige Beispiele
Wir stellen nun in loser Reihenfolge noch einige weitere Beispiele vor, in denen die vorgestellten Regeln zur
Differenzialrechnung angewendet werden.
Das erste Beispiel gehört zur Quotientenregel (siehe
Satz 24.5 auf Seite 46).
D
1
.x C 1/2
;
x ¤
1,
x ¤ 1:
M
Wir stellen nun ein Beispiel zur Berechnung der Ableitung des Kehrwertes einer Funktion vor (siehe Korollar 24.7 auf Seite 46).
Beispiel 24.20. Die Funktion f .x/ D
1
x ¤ 1, ist
für x ¤ 1.
M
differenzierbar, mit f .x/ D
p
Beispiel 24.21. Die Funktion f .x/ D 1 C x 2 ; x 2 R,
1
.xC1/2
xC1 ;
ist differenzierbar mit
f 0 .x/ D
p
x
1 C x2
;
x 2 R:
Das folgt sofort aus der Kettenregel (siehe Satz 24.12
auf der vorherigen Seite) und Proposition 24.18.
M
24.6 Einige zentrale Aussagen der Differenzialrechnung
Wir stellen nun – jeweils ohne Beweis – einige wichtige
Aussagen zur Differenzialrechnung vor.
24.6.1 Differenzierbarkeit und Stetigkeit
Satz 24.22. Ist eine Funktion f W D ! R in x 2 D
differenzierbar, so ist f in x stetig.
Beweis. Differenzierbarkeit an der Stelle x bedeutet
R.x/ WD
Beweis. Anwendung der Kettenregel (siehe Satz 24.12
auf der vorherigen Seite) und Proposition 24.17 liefert
Folgendes:
1 x 1
;
2 xC1
Beispiel 24.19. Die Funktion f .x/ D
ist differenzierbar, mit
0
Mit der Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion
lässt sich die Ableitung des natürlichen Logarithmus ln
berechnen.
49
f .x C x/
x
f .x/
f 0 .x/ ! 0 für x ! 0:
Daraus folgt unmittelbar
f .x C x/
f .x/ D f 0 .x/x C R.x/x ! 0
für x ! 0 und damit die Stetigkeit der Funktion f
an der Stelle x .
Bemerkung 24.23. a) Die Umkehrung der Aussage
von Satz 24.22 gilt nicht. So ist z. B. die Funktion f W
R ! R; x ֏ jx j in x D 0 stetig, nicht jedoch differenzierbar. Differenzierbarkeit ist also eine stärkere Eigenschaft als Stetigkeit.
b) Differenzierbarkeit ist eine Glattheitseigenschaft.
Stetige Funktionen müssen nicht überall glatt sein. Dafür liefert die in Teil a) dieser Bemerkung betrachtete
Funktion ein Beispiel.