Differenzialrechnung
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Differenzialrechnung 1. Grundsätzliches Die mit der Analysis und insbesondere mit der Differenzialrechnung zusammenhängenden didaktischen und methodischen Fragen sind außerordentlich komplex und lassen sich natürlich in dem hier vorliegenden Rahmen nur in einigen Facetten angehen. Die unter der Überschrift „Grundsätzliches“ formulierten Aussagen sind teilweise knapp gehalten. Sie werden in den Anmerkungen zu den einzelnen Kapiteln weiter detailliert. Anschaulichkeit und Strenge Zentraler Begriff der Differenzialrechnung ist die Ableitung einer Funktion. Zentrales Thema ist die Untersuchung von Funktionsverhalten mithilfe der Ableitung. Rein wissenschaftlich betrachtet steht daher der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung im Zentrum: Er stellt den Zusammenhang zwischen der Änderung von Funktionswerten und der Ableitung her. Man könnte ihn unter diesem Aspekt geradezu als den Hauptsatz der Differenzialrechnung bezeichnen. Der Mittelwertsatz zählt zu den vielen Sätzen der Analysis, zu denen man leicht eine bildliche Darstellung vermitteln kann. In einem deutlichen Kontrast dazu steht der Beweisaufwand: Man kann ihn mit einer schönen geometrisch-dynamischen Grundidee aus dem Satz von Rolle (vgl. Übung 1, Anhang zu Kapitel 1) gewinnen. Dieser wiederum beruht unter anderem auf dem Satz vom Maximum/Minimum, einem der schwieriger zu beweisenden Existenzsätze für stetige Funktionen. In dem Beweis dieses Satzes wird entscheidend die nicht einfach zu vermittelnde Vollständigkeit der reellen Zahlen ausgenutzt. Anhang zu Kapitel 1 Übung 1 Ein weiterer Präzisierungsstrang in der Differenzialrechnung betrifft die Begriffe Grenzwert, Differenzierbarkeit und Stetigkeit und damit zusammenhängend die Grenzwertsätze für Folgen und Funktionen. Er ist natürlich in mannigfacher Weise mit dem ersten Präzisierungsstrang verflochten. Um einerseits einen möglichst vollständigen Aufbau anzubieten, aber andererseits Kurse (z.B. für Grundkurse) nicht im Aufbau mit Begrifflichkeiten und Lehrsätzen zu belasten, die jenseits des curricular Erreichbaren liegen, wurde für den Aufbau des Programms folgende Struktur gewählt. 1. Es wird zunächst mit einem „naiv-anschaulichen“ Differenzierbarkeitsbegriff und einem entsprechenden Grenzwertbegriff gearbeitet. Es wird zwar versucht, in Richtung einer Präzisierung zu formulieren, es wird jedoch keine definitorische „Endgültigkeit“ angestrebt. Die Problematisierung des Differenzierbarkeitsbegriffs erfolgt schrittweise und ebenfalls zunächst auf einer anschaulichen Basis (vgl. Abschnitt 1.2, insbesondere Übung 2). Die dynamischen Visualisierungsmöglichkeiten 1 durch den Computer sind hier sehr hilfreich (vgl. etwa die Nutzung des „Mikroskops“ in Übung 3, Abschnitt 1.1.2. Abschnitt 1.2 Übung 2 2. Eine Präzisierung der Grundbegriffe und eine exakte Formulierung der wesentlichen damit zusammenhängenden Lehrsätze erfolgt in Abschnitt 1.5. Der Abschnitt kann je nach Präzisierungsbedürfnis ganz weggelassen, exemplarisch integriert oder auch vollständig behandelt werden. Einige besonders schwierige Beweise wie der Beweis des Satzes vom Maximum und damit zusammenhängend der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung sind in den Anhang zu Kapitel 1 ausgelagert worden. 3. Wenn in einem Unterrichtsgang auf eine begriffliche Präzisierung weitgehend verzichtet werden soll, kann bei Funktionsuntersuchungen sogleich der beweistechnisch auf dem Mittelwertsatz basierende Monotoniesatz zur anschaulich akzeptierten Grundlage gemacht werden. Hinsichtlich der Bedeutung der Präzisierung können sicherlich unterschiedliche Grundpositionen eingenommen werden. Auf der einen Seite wird niemand bestreiten, dass die Abfassung präziser Definitionen und die Notation exakter Beweise einen Wert darstellen. Auf der anderen Seite ist es nicht damit getan, einen Begriff präzise abzufassen. Zu seiner Sicherung gehört variables Beispielmaterial, und dessen Behandlung bringt wiederum die Gefahr der Verselbstständigung von Untersuchungen (etwa Differenzierbarkeitsuntersuchungen) mit sich, die einen zu großen zeitlichen Rahmen beanspruchen. Das vorliegende Programm überlässt bei seinem sinnvollen Gebrauch die sicher schwierige Entscheidung dem Lehrer, der zwischen seinen unterrichtlichen Zielen, dem Leistungsvermögen der Lerngruppe und dem zur Verfügung stehenden zeitlichen Rahmen eine Güterabwägung vornehmen muss. Die schwierigen Abschnitte bieten auch die Möglichkeit, daran besonders interessierte leistungsfähige Schüler gezielt zu fördern. Auswahl der Funktionenklasse Auch dies ist eine sehr schwierige Entscheidung. Polynomfunktionen zeigen zwar ein sehr gutartiges Verhalten, bilden jedoch eine viel zu stark eingeschränkte Klasse. Entsprechendes gilt für gebrochen rationale Funktionen. Insbesondere werden Abnehmer aus der Physik ungern auf exp, ln, sin und cos verzichten wollen. Wenn man nun noch zwischen diesen Funktionen die üblichen Rechenoperationen und Verkettungen zulässt, treten bereits Funktionen mit recht komplexem Verhalten auf . Man denke etwa an die stetige Ergänzung von x²·sin(1/x). Die Entscheidung, Funktionen der genannten Art einfach nicht zu behandeln, ist leider auch nicht ganz unproblematisch. Man betrachte z.B. die folgende Aussage, die leicht von einem Schüler im Rahmen von Funktionsuntersuchungen formuliert werden kann: 2 Wenn eine Funktion in a ein lokales Maximum besitzt, so gibt es eine Umgebung um a, in der die Funktion links von a wächst und rechts von a fällt. Die Aussage wird manchem Schüler plausibel erscheinen, sie ist jedoch für differenzierbare Funktionen falsch (vgl. Abschnitt 3.2.4, Übung 7). Das Umgekehrte ist richtig: Wenn die Funktion links von a wächst und rechts von a fällt, liegt in a ein lokales Maximum. Abschnitt 3.2 Übung 7 Die hier diskutierte Frage hat natürlich zunächst nicht direkt mit der Verwendung einer speziellen Software (oder einem Buch) zu tun. Sie ist von grundlegender Bedeutung. Andererseits kann Software mit seinen dynamischen Veranschaulichungsmöglichkeiten auch hier zu einer Erweiterung des Gesichtsfeldes führen. Man vergleiche dazu neben der obengenannten Übung 7 in Abschnitt 3.2.4 die Übungen 7 in Abschnitt 1.5.5 und Übung 2 in Abschnitt 3.1.2. Abschnitt 1.5 Übung 7 Abschnitt 3.1 Übung 2 Ein anderes Problem stellen die Ableitungsbestimmungen zu den Funktionen exp, ln, sin und cos dar. Die Sinusfunktion wird in der Schule geometrisch definiert. Ein exakter Differenzierbarkeitsnachweis ist daher nicht möglich. Die Beweiserarbeitung in Abschnitt 1.4 dürfte vom Präzisierungsgrad her eine sinnvolle Möglichkeit darstellen. Auch dem Nachweis der Differenzierbarkeit und der Berechnung der Ableitung von Exponentialfunktionen fehlt (zunächst noch) die exakte Basis. Der in Abschnitt 1.4 gewählte Weg ist wohl wiederum eine sinnvolle unterrichtlich vertretbare Lösung. Eine oft diskutierte Alternative ist der sog. Kleinsche Weg, in welchem zunächst ln x als Integralfunktion eingeführt wird und exp als deren Umkehrfunktion definiert wird. Nachteil dieses Weges ist unter anderem der späte Zeitpunkt einer Behandlungsmöglichkeit von Exponentialfunktionen: Es muss der Hauptsatz der 3 Differenzial- und Integralrechnung bekannt sein. Der genannte Weg findet sich auf der CD Integralrechnung. Unabhängig von der Einführung von exp ist dieser Weg zumindest sehr geeignet, eine Wiederholung wichtiger Grundbegriffe und Lehrsätze der Analysis vorzunehmen. In dem vorliegenden Programm stellt sich die Frage nach der verfügbaren Klasse von Funktionen natürlich auch im Rahmen der Beispiele zur Ableitungsberechnungen. Hier kann der Benutzer leicht durch einen Mausklick noch nicht bekannte Funktionen ausschließen. Probleme und Anwendungen Ein klassisches Anwendungsfeld ist die Behandlung von Extremwertproblemen. In Kapitel 5 finden sich zahlreiche Beispiele zu unterschiedlichen Funktionenklassen. Diese lassen sich zwanglos in die Inhalte der zuvor behandelten Kapitel integrieren. Näheres hierzu findet sich in den Ausführungen zu Kapitel 5. Entsprechendes gilt für die Beispiele, die auf der CD Anwendungen der Analysis thematisiert werden. Speziell im Rahmen der Diskussion um die Frage, wie weit die neuen Medien inhaltlich und didaktisch den Mathematikunterricht beeinflussen, verdienen es auch Differenzialgleichungen, stärker ins Blickfeld genommen zu werden. Relevante Beispiele dazu finden sich ebenfalls auf der CD Anwendungen der Analysis. Vor allem die numerischen Methoden benötigen zu ihrer Behandlung wenige mathematische Voraussetzungen: Man benötigt im Grunde nur ein geometrisches Verständnis der Ableitung als lokal Approximierende (lokale Änderungsrate). Es bereitet leider Schwierigkeiten, den Ableitungsbegriff sogleich unter dem Aspekt der lokalen Änderungsrate einzuführen, wenn die Einführung nicht zu einem Terminologiekurs degenerieren soll. Es ist jedoch versucht worden, möglichst früh Anwendungen einzubringen, welche diese Sichtweise an relevanter Stelle akzentuieren: Die Ableitung als lokale Änderungsrate kommt z.B. in den Übungen 13, Abschnitt 1.1.9 und 14, Abschnitt 1.1.10 zum Tragen. Entsprechendes gilt für Übung 7, Abschnitt 1.4.4 und Übung 8, Abschnitt 1.4.. Die Bearbeitung setzt allerdings die Kenntnis der Ableitungen von Funktionen der Form x exp(kx) voraus. Sie werden daher unabhängig von der in Kapitel 2 behandelten Kettenregel bereits vorher geometrisch begründet. Abschnitt 1.4 Übung 7 Abschnitt 1.4 Übung 8 Die Bedeutung der Ableitung als lokale Änderungsrate wirft natürlich die Frage auf, ob es nicht sinnvoll ist, gleich unter dieser Problematik in die Differenzialrechnung einzuführen. Das Problem eines solchen Zugangs liegt darin, dass erst nach der Verfügbarkeit gewisser Kenntnisse (vgl. Übung 8, Abschnitt 1.4.5) eine Bearbeitung überzeugender Beispiele möglich ist. Die Nichtverfügbarkeit überzeugender Beispiele führt leicht dazu, einen entsprechenden Zugang als Terminologiekurs erscheinen zu lassen. Einen weiteren Bereich mit realitätsnahen Anwendungen liefert schließlich die Theorie der Parameterkurven, die auf der bereits genannten Anwendungs - CD das 4. Kapitel bildet. 4 Veranschaulichungsmöglichkeiten Die meisten Übungen ermöglichen aufgabenbezogene (dynamische) Veranschaulichungsmöglichkeiten. Darüber hinaus ist in einer Reihe von Übungen eine enge Kooperation mit dem FunktionsgraphenZeichenprogramm eingerichtet. Die Möglichkeit erkennen Sie daran, dass der Button mit der Aufschrift Skriptexport vorhanden ist. Klicken Sie auf diesen Button, so werden die in der Übung vorgegebenen oder ermittelten Funktionsvorschriften in eine Zwischenablage kopiert, von der aus sie ins FunktionsgraphenZeichnprogramm (Buttonklick Skript-Imp.) transportiert werden. Dort sind dann weitere Bearbeitungsmöglichkeiten (Maßstabänderungen, Abspeichern, Drucken usw.) möglich. Auch in eher formal gestalteten Aufgaben wie etwa der Berechnung von Ableitungen nach Definition oder Ableitungsregeln kann ein Skriptexport/-Inport sehr lehrreich sein, bietet er doch die Möglichkeit, immer wieder das algorithmische Arbeiten aufzubrechen und sich wichtige Zusammenhänge zwischen Funktions- und Ableitungsgraphen klarzumachen. Kapitel 1: Ableitungen 1. Die Ableitung an einer Stelle; Berechnungsverfahren und erste Problematisierung Abschnitt 1.1 beginnt sogleich mit einem zentralen Problem, der Untersuchung von Funktionsverhalten mithilfe von Tangentensteigungen. In Übung 2, d.h. nach einer in Übung 1 vorgenommenen anschaulichen Sicherung des Tangentenbegriffs im Sinne einer „lokal bestapproximierenden“ Geraden, können wichtige Beobachtungen zum Zusammenhang zwischen Wachstums - und Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen und dem Verhalten von Tangentensteigungen gemacht werden (vgl. den Lerntext 1.1.1). Abschnitt 1.1 Übung 1 Abschnitt 1.1 Übung 2 Nachdem in einem ersten Zugang die Bedeutung von Tangentensteigungen zur Beurteilung von Funktionsverhalten erkannt wurde, gehen die Übungen 3 und 4 die Berechnungsproblematik an. Für den Differenzenquotienten sind zwei Schreibweisen üblich: m a ,x f ( x ) f (a ) xa m a ,h f (a h ) f (a ) h Die Voreinstellung in Übung 3 benutzt die linke Schreibweise, es kann jedoch auch auf die rechte umgeschaltet werden. Man sollte Schülern verdeutlichen, dass die linke Schreibweise einheitlich sowohl für den Fall x>a als auch für den Fall x<a gilt. Entsprechend kann h in der rechten Schreibweise positiv oder negativ sein. 5 Zum Verständnis des Berechnungsverfahrens, das eigentlich eine Definition der Tangentensteigung bedeutet, ist das in der Übung verfügbare „Mikroskop“ nützlich, weil es die mit kleiner werdendem x-a „immer besser werdende“ Annäherung der Sekantensteigung an einen „Grenzwert“ verdeutlicht. Übung 4 verdeutlicht im Vergleich zu Übung 3 stärker den geometrisch-dynamischen Aspekt. Die beiden Übungen sind natürlich vertauschbar. Die Übungen 5 bis 8 konkretisieren dann die Idee des Berechnungsverfahrens, indem für nicht zu komplizierte Funktionen Ableitungen an einer Stelle a ausgerechnet werden. Abschnitt 1.1 Übung 3 Abschnitt 1.1 Übung 4 Abschnitt 1.1 Übung 5 Abschnitt 1.1 Übung 6 Die Existenzproblematik bleibt in diesem Zusammenhang zunächst ganz im Hintergrund. Die Differenzenquotienten(-funktionen) der betrachteten Funktionen lassen sich stetig zu Polynomen oder algebraischen Funktionen ergänzen. Nennt man die Bezugsstelle des Differenzenquotienten a, so unterscheiden sich Differenzenquotient und durch Kürzen entstandene „einfache“ Funktion D(x) voneinander nur an der Stelle a. Die auch geometrisch gestützte Feststellung, dass nahe a für die betrachteten Beispiele sich die Sekantensteigung offenbar beliebig von dem unterscheidet, was man sich unter Tangentensteigung vorstellt, führt zur Definition der Tangentensteigung durch ein Berechnungsverfahren. Abschnitt 1.2 problematisiert den Ableitungsbegriff, indem vor allem geometrisch verdeutlicht wird, woran in einfach überschaubaren Fällen die Berechnung der Tangentensteigung scheitern kann. Sofern man will, kann man hieran natürlich auch eine definitorische Präzisierung dem Abschnitt 1.5 folgend anschließen, kann es jedoch (zunächst?!) auch dabei belassen, geometrisch einen ersten Eindruck von der Problematik gewonnen zu haben. In jedem Falle erscheint vor einer begrifflichen Abfassung eine Vorklärung im Sinne von Abschnitt 1.2 sinnvoll. Anmerkung zur Schülerorientierung 6 Im Rahmen einer Erarbeitung des Differenzierbarkeitsbegriffs kann von Schülern (durchaus geometrisch naheliegend) der Vorschlag gemacht werden, diese durch die Existenz von f (a h ) f (a h ) h 0 h lim zu definieren. Leider wäre eine solche Definition nicht mit der üblichen äquivalent: f(x) = x wäre dann beispielsweise eine an der Stelle 0 differenzierbare Funktion mit der Ableitung 0. 2. Die Ableitungsfunktion Ein wesentliches Ziel der Differenzialrechnung ist die Untersuchung von Funktionen (Wachstum, Krümmung) auf der Grundlage der Kenntnis von Eigenschaften der Ableitungsfunktion. Übung 1 in Abschnitt 1.3 nimmt hier eine Schlüsselstellung ein: Abschnitt 1.3 Übung 1 Die Tangentensteigung in einem Punkt einer differenzierbaren Funktion muss als Funktionswert einer neuen Funktion f ’ interpretiert werden, und aus dem kartesischen Graphen von f ’ müssen Rückschlüsse auf die Funktion f vollzogen werden. Nach der Untersuchung einzelner Punkte ist vor allem die Simulation mit der gleitenden Tangente und dem gleichzeitigen Aufzeichnen des kartesischen Graphen von f ’ informativ. Man gewinnt anschaulich Informationen zum Wachstumsverhalten (Stichwort: Monotoniesatz) und evtl. auch schon zum Krümmungsverhalten. Zumindest erstere Erfahrungen können dann in Übung 3, Abschnitt 1.3 in eine Funktionsuntersuchung eingebracht werden. Abschnitt 1.3 Übung 3 Wenn weitere Beispiele zu der gleitenden Tangente behandelt werden sollen, eignet sich dazu das Funktionsgraphenzeichenprogramm: Man lasse den Graphen einer konkreten, frei wählbaren Funktion x 7 f(x) und den Graphen von x f(a) + f ’(a) · (x-a) zeichnen und verändere den Wert von a mithilfe der zu a gehörigen Pfeiltasten. Einen wichtigen Beitrag zum Verständnis des Zusammenhangs zwischen Funktion und Ableitung liefert Übung 6 in Abschnitt 1.3. Natürlich geht die Aufgabe mit den verschiedenen Formen des Vorratsbeckens davon aus, dass diese exakt sind: Knicke liegen an einer bestimmten Stelle. Unabhängig von einer Sicherung des Zusammenhangs zwischen Funktion und Ableitung ist die Aufgabe auch allgemein geeignet, funktionales Denken zu schulen: Abschnitt 1.3 Übung 6 Aufgabenteile 1/9 und 9/9 So können Schüler etwa in dem links dargestellten Beispiel 1/9 leicht zu der Ansicht gelangen, der Graph von h(t) (Höhe in Abhängigkeit von der Füllzeit) besitze einen Knick oder verlaufe im letzten Teil geradlinig. Hier ist es wichtig zu erkennen, dass der Graph von h(t) durchweg stetig verläuft und sich lediglich die Geschwindigkeit h’(t) idealisiert betrachtet an einer Stelle schlagartig ändert. Dass der Graph im vorliegenden Fall „im zweiten Abschnitt“ nicht geradlinig verläuft, liegt am quadratischen Anwachsen des Volumens mit dem Radius. Aufgabenteil 9/9 ist interessant mit Blick auf eine Untersuchung von Wachstums- und Krümmungsverhalten. In jedem Fall bietet in der Übung die Möglichkeit der dynamischen Simulation eine wichtige Verständnisstütze. 3. Präzisierungen Die Präzisierung des Ableitungsbegriffs erfolgt über den Grenzwertbegriff für Folgen unter Ausnutzung der Grenzwertsätze. Die endgültige Definition wird in Abschnitt 1.5.3 abgefasst. Gegen die Präzisierung des Ableitungsbegriffs mithilfe der Konvergenzdefinition für Folgen wird bisweilen das Argument angeführt, dass in der Definition der Allquantor auf alle gegen eine Stelle a konvergenten Folgen angewandt wird. Die Lösung dieser Problematik erfolgt dadurch, dass man mit einer beliebigen gegen a konvergenten Folge arbeitet und nur diese Eigenschaft in der Beweisführung nutzt (vgl. Übung 5 in Abschnitt 1.5.3). Eigentlich handelt es sich hier um ein Vorgehen, welches in „jedem“ mathematischen Beweis benutzt wird, in dem mit Variablen gearbeitet wird. Der einzige Unterschied zu vielen anderen Beweisen liegt darin, dass über komplexere Gebilde als Zahlen, Strecken usw. quantifiziert wird. Zu bedenken ist auch, dass die Anwendung des Allquantors auf komplexere Objekte wie Funktionen usw. im Unterricht ohnehin nicht vermeidbar ist. 8 Abschnitt 1.5 Übung 5 Die Verwendung und Betonung des Folgenbegriffs hat neben der im Vergleich zur --Definition wohl leichteren Zugänglichkeit noch einen anderen Hintergrund: Folgen und Folgenkonvergenz sind wichtige und unverzichtbare Bestandteile eines Analysisunterrichts, der über elementare Zusammenhänge hinausgeht. Gerade die Verwendung von Computern verleiht der Untersuchung von Folgen ein besonderes Gewicht (vgl. dazu die verschiedenen Approximationsprozesse auf der CD „Anwendungen der Analysis“: Taylorapproximation, numerisches Lösen von Gleichungen, Differenzialgleichungen usw.). 4. Die zweite Ableitung Mithilfe der Ableitung einer Funktion kann deren Wachsen und Fallen untersucht werden. Andererseits verlangt eine detailliertere Untersuchung eine Beurteilung, wie die Steigung sich verhält. So kann beispielsweise eine streng monoton wachsende Funktion eine steigende oder fallende Ableitungsfunktion besitzen. In Übung 1 in Abschnitt 1.6.1 soll die geometrische Bedeutung der 2. Ableitung vertraut werden. Dies ist auch mit Blick auf die differenzierte Durchführung von Funktionsuntersuchungen in den Kapiteln 3, 4 und 5 hilfreich. Zur Einführung (Motivation) der zweiten Ableitung kann jedoch auch mit Übung 3 in Abschnitt 1.6.3 gestartet werden. Die verbesserte lokale Approximation einer Funktion durch die Berücksichtigung der Veränderung des Steigungsverhaltens ist durchaus naheliegend und kann, sofern man möchte, auch problemlos ein Stück weiter verfolgt werden (siehe Anwendungen der Analysis, Abschnitt 1.1). Übung 1 in Abschnitt 1.6.1 kann nachfolgend behandelt werden. Kapitel 2: Ableitungsregeln Ableitungsberechnungen für kompliziertere Funktionen aufgrund der Definition sind sehr mühsam. Dies motiviert die Frage, wie man die Ableitungen solcher Funktionen aus den Ableitungen der Bausteine, aus welchen sie aufgebaut sind, bestimmen kann. 1. Anmerkungen zu den Herleitungen der Ableitungsregeln Summen- und Faktorregel Die Beweise dieser Regeln sind recht einfach. Darüber hinaus besitzt die Faktorregel den Vorzug großer Anschaulichkeit. Es bietet sich an, bereits hier das Beweisprinzip akzentuiert herauszuarbeiten, das für die nachfolgenden komplizierteren Beweise leitend sein kann: Man formt den Differenzenquotienten der zusammengesetzten Funktion so um, dass die Differenzenquotienten der Bausteine sichtbar werden, aus denen sich die Funktion aufbaut. 9 Produktregel Die Erarbeitung der Produktregel hängt mit zwei Problemen zusammen: 1. Die Struktur der Regel liegt nicht auf der Hand. Man kann sich nur leicht anhand von Beispielen klar machen, dass die naheliegendste Vermutung (f·g)’ = f’·g’ falsch ist. 2. Der Beweis ist etwas „trickreich“. Die zweite Schwierigkeit entschärft sich erheblich, wenn man die Struktur (f·g)’ = f·g’ + f ’·g vermutet, denn in Anlehnung an die Idee der Beweise von Summen- und Faktorregel muss man versuchen, den Differenzenquotienten auf die Form f (...) g ( x) g (a ) f ( x) f ( a ) g (...) xa xa zu bringen. Die Lernseite 2.1.3 bringt daher zunächst zwei konkrete Beispiele, welche in natürlicher Weise auf die Vermutung der Produktregel führen. Der Beweis selbst wird dann in Übung 4 erarbeitet, wobei noch eine gezielte Hilfe abrufbar ist. Abschnitt 2.1 Übung 4 Kettenregel Der Beweis der Kettenregel wird auf der Lernseite 2.1.5 behandelt. Struktur und Beweisidee können durch die Erarbeitung und Veranschaulichung der speziellen Kettenregel (Abschnitt 2.1.4) gewonnen werden. Der Beweis der Kettenregel erfolgt mithilfe des Differenzenquotienten. Dieses Hilfsmittel bietet sich aus dem Gesamtaufbau heraus an, zeigt jedoch bei genauer Hinsicht gewisse beweistechnische Schwierigkeiten, die auch auf der Lernseite angesprochen werden: Die Nennerfunktion y – b = g(x) - g(a) in dem Differenzenquotienten f ( g ( x)) f ( g (a)) f ( y) f (b) g ( x) g (a) xa y b xa kann Nullstellen besitzen. Da der Begriff der Ableitung ein lokaler Begriff ist, tritt allerdings nur dann eine ernsthafte Schwierigkeit auf, wenn eine gegen a konvergente Folge (xn) mit xna für alle n existiert, so dass g(xn) – g(a) = 0 ist für alle n. Vom trivialen Fall g(x) 0 abgesehen treten solche Situationen bei lokal unendlich oft oszillierenden Funktionen auf. 10 In diesem Falle ist die Kettenregel jedoch (Differenzierbarkeit von g in a und von f in b vorausgesetzt) ebenfalls richtig, denn dann muss nach Definition der Ableitung g’(a) = 0 und damit f’(b)·g’(a) = 0 sein. Der gleiche Grenzwert ergibt sich jedoch auch, wie man leicht überlegt, für den Differenzenquotienten f ( g ( xn )) f ( g (a)) . xn a Quotientenregel Die Quotientenregel kann mithilfe der speziellen Quotientenregel (Abschnitt 2.1.6) und der Produktregel bewiesen werden. Die spezielle Quotientenregel wird im Lerntext aus der Kettenregel gewonnen. In Übung 9 wird als Alternative ein Beweis mithilfe des Differenzenquotienten erarbeitet. Umkehrregel Die Beweise der bisher betrachteten Ableitungsregeln waren in dem Sinne „elementar“, als nicht die Vollständigkeit der reellen Zahlen benötigt wurde. Das ist beim Nachweis der Umkehrregel ganz anders: Jeder vollständige Beweis benutzt in irgendeiner Form die Vollständigkeit von R. Die Schwierigkeiten, die sich dadurch ergeben, legen es nahe, es bei einer geometrischen Argumentation zu belassen. Sie kann gerade durch die Unterstützung, die der Computer liefert (sukzessives Zeichnen), besonders transparent gemacht werden (vgl. Übung 2 in Abschnitt 2.2.2). Abschnitt 2.2 Übung 2 Eine wichtige Anwendung der Umkehrregel ist die Begründung der Ableitungsregel x r x r r 1 für x Q . Sie findet sich in Abschnitt 2.2.3 und wird in der zugehörigen Übung benutzt. Fehlerdiagnose Die Ableitungsregeln ermöglichen die Berechnung der Ableitung komplizierter Funktionen, wenn diese durch Rechenoperationen oder Verkettungen aus einfachen Funktionen aufgebaut sind. Dabei ist es wichtig, die Struktur des Aufbaus zu erkennen und dann die erforderlichen Regeln in der richtigen Reihenfolge anzuwenden. Beispiel: f(x) = x·sin(x²). Hier wird man zunächst die Produktregel anwenden und danach zur Bestimmung der Ableitung von sin(x²) die Kettenregel benutzen. 11 Die Übungen 1 in Abschnitt 2.4.1 und 2 in Abschnitt 2.4.2 üben mit gezielten Rückmeldungen die Anwendung der Ableitungsregeln. Dabei wird auch berücksichtigt, dass die Auswahl einer Regel nicht immer eindeutig bestimmt ist. So kann man f(x) = 1/expx entweder nach der vereinfachten Quotientenregel oder nach der Kettenregel ableiten. Entsprechend kann man (cosx)² naheliegend nach der Produktregel oder auch nach der Kettenregel ableiten. Genaueres findet sich auf der Lernseite 2.4.1. 2. Integration von Anwendungen Die schrittweise Herleitung der Ableitungsregeln ohne Anwendungsaufgaben kann schnell ermüdend wirken und (nicht ganz unrichtig) als Beschaffung von Wissen auf Vorrat interpretiert werden. Extremalprobleme Abschnitt 2.1 sieht daher unmittelbar nach der Erarbeitung von Summen- und Faktorregel zwei Extremalprobleme als Anwendungen vor. Dieser Ansatz einer Integration von Anwendungen kann natürlich durch Zugriff auf die Extremalprobleme in Kapitel 5 sehr viel intensiver genutzt werden. Die Nutzung wird dadurch vereinfacht, dass die Abschnitte in Kapitel 5 nach den benötigten Funktionstypen geordnet sind. Ein kurzes Eingehen auf die erforderlichen Voraussetzungen ist sinnvoll: Man benötigt zumeist nur das notwendige Kriterium für das Vorliegen eines lokalen Extremums und den Satz vom Maximum/Minimum. Wenn sich nämlich die Extremaluntersuchung für eine differenzierbare (und damit insbesondere stetige) Funktion auf ein abgeschlossenes Intervall [a;b] bezieht, sichert letzterer Satz die Existenz eines absoluten Maximums/Minimums, welches entweder auf dem Rand des Intervalls oder in dessen Innerem liegen muss. Im letzten Fall muss an der betreffenden Stelle eine Nullstelle der ersten Ableitung liegen. Die Ermittlung des absoluten Extremums erfolgt nun durch einen Vergleich von Funktionswerten. Überflüssig ist insbesondere die Kenntnis des häufig benutzten hinreichenden Kriteriums für das Vorliegen eines lokalen(!) Extremums mit der zweiten Ableitung. Die beiden o.g. Sätze können natürlich auch (zunächst?!) der Anschauung entnommen werden. Funktionsuntersuchungen Auch hier ist eine teilweise Integration möglich, wenn man etwa den Monotoniesatz für differenzierbare Funktionen der Anschauung entnimmt. Die Ableitung als lokale Änderungsrate Die Bedeutung der Ableitung als lokale Änderungsrate spielt in vielen Anwendungen eine Rolle. Auf die Bedeutung bei der (numerischen) Lösung von Differenzialgleichungen wird nachfolgend kurz eingegangen und soll hier übergangen werden. Aufgaben, die diesen Aspekt akzentuieren, finden sich beispielsweise in Abschnitt 1.1, Übung 13 und 14, Abschnitt 1.3, Übung 4 und 5 (hier mit deutlich physikalischem Akzent) und in Abschnitt 1.4, Übung 8 und 9. 12 Abschnitt 1.1 Übung 13 Abschnitt 1.1 Übung 14 Abschnitt 1.3 Übung 4 Abschnitt 1.3 Übung 5 Differenzialgleichungen Differenzialgleichungen besitzen eine außerordentlich große Anwendungsrelevanz. Diese beruht vor allem darauf, dass es viele Vorgänge gibt, die sich lokal, beispielsweise in einem sehr kleinen Zeitintervall, recht einfach beschreiben lassen und mit dieser Beschreibung einen Zusammenhang zwischen einer (unbekannten) Funktion und ihrer Ableitung (oder ihren Ableitungen) liefern. Übung 7 in Abschnitt 4.5 liefert ein schönes Beispiel, das sich auch dann in den Unterricht integrieren lässt, wenn keine explizite Behandlung von Differenzialgleichungen vorgesehen ist. Die Differenzialgleichung, die sich ergibt, ist zwar inhomogen, die Inhomogenität lässt sich jedoch durch eine Differentiation beseitigen. Abschnitt 4.5 13 Übung 7 In der augenblicklichen curricularen Diskussion mag es ein wenig exotisch klingen, wenn eine stärkere Berücksichtigung von Differenzialgleichungen eingefordert wird. Aber vielleicht sollten doch die Möglichkeiten, die durch die neuen Medien geschaffen sind, auch in diesem Punkt eine Diskussion anstoßen. Genaueres zu den Möglichkeiten ergibt sich aus Kapitel 5 der CD Anwendungen der Analysis. Die numerischen Verfahren basieren lediglich auf der Interpretation der Ableitung als lokalem Wachstumsfaktor (lokale Änderungsrate) und liefern ein konstruktives Verständnis vom sog. Eindeutigkeitssatz. Man gelangt durch die Darstellung der iterativ gefundenen Näherungslösungen im Koordinatensystem zu einer Vermutung über die Struktur der genauen Lösungsfunktionen und kann dann in einigen interessanten Fällen ein Anfangswertproblem durch einen naheliegenden Ansatz exakt lösen. Kapitel 3: Ableitungen und Wachstumsverhalten 1. Monotonieuntersuchungen Formulierungen des Monotoniesatzes und Konsequenzen Grundlage der Untersuchungen ist der globale Monotoniesatz. Abschnitt 3.1.1 bietet ihn in drei Formulierungen an. Er kann der Anschauung entnommen werden oder, wenn bekannt, in jeder der drei Formulierungen mithilfe des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung bewiesen werden. Der Beweis für die 3. Formulierung findet sich auf der Lernseite 3.1.1. Die Beweise der beiden ersten Formulierungen folgen wörtlich genauso, nur ist es jetzt nicht mehr wichtig, dass die Stelle c im Intervallinneren liegt. Tatsächlich liefert der Monotoniesatz in der 3. Formulierung eine Verschärfung, die gelegentlich gewollt sein kann: Eine Funktion mit durchweg nichtnegativer Ableitung und nur endlich vielen Nullstellen der Ableitung ist eben nicht nur monoton, sondern streng monoton wachsend. Wenn ferner bei einer differenzierbaren Funktion f ’(a) = 0, ist und die Ableitung links von a positiv und rechts von a negativ ist, folgt aus der dritten Formulierung, dass in a nicht nur ein Maximum, sondern ein strenges Maximum liegt. Für die Arbeit mit dem vorliegenden Programm reicht die Kenntnis der beiden ersten Formulierungen. Die dritte Formulierung kann im Unterricht herangezogen werden, um gelegentliche Vertiefungen vorzunehmen. Vom globalen Monotoniesatz zu unterscheiden ist der lokale Monotoniesatz. Er besagt das Folgende: Liegt a im Inneren eines Intervalls I und ist für eine differenzierbare Funktion f die Ableitung f ’(a) > 0, so existiert eine Umgebung U von a, so dass für alle x U mit x > 0 auch f(x) > f(a) und für alle x U mit x < 0 auch f(x) < f(a) ist. Das bedeutet nicht, dass f in U (streng) monoton ist. Es wird nämlich nur mit f(a) verglichen. Für eine Problematisierung bzw. eine Veranschaulichung eignet sich Übung 2 in Abschnitt 3.1.2. Die (natürlich verzichtbare) Aufgabe soll keine neue Begrifflichkeit einführen. Sie kann jedoch geeignet sein, die Anschauung zum Monotoniebegriff zu schärfen. Bedeutung des Monotoniesatzes im Aufbau der Differenzialrechnung Ein wirkliches Verständnis des lokalen Monotoniesatzes lässt sich wohl nur erreichen, wenn Beispiele wie in Übung 2, Abschnitt 3.1.1, behandelt werden. Da jedoch im Schulunterricht bis auf Ausnahmen nur stetig differenzierbare Funktionen untersucht werden, liegt es nahe, den globalen Monotoniesatz zur beweistechnischen Grundlage zu machen. Entsprechend verfährt das vorliegende Programm, ohne gelegentliche optionale Vertiefungen auszulassen. Einfache Anwendungen des Monotoniesatzes finden sich in Übung 1, Abschnitt 3.1.1. Insbesondere wird der globale Monotoniesatz auch zum Beweis des häufig benutzten hinreichenden Kriteriums für das Vorliegen eines lokalen Extremums mithilfe der 2. Ableitung herangezogen. 2. Extremaluntersuchungen Differenzierbarkeit vorausgesetzt kann eine Stelle a nur dann lokale Extremalstelle einer Funktion f sein, wenn f ’(a) = 0 ist. Der Beweis dieser auch anschaulich sehr plausiblen Aussage findet sich in Abschnitt 3.2.1. 14 Übung 2 in Abschnitt 3.2.1 übt den Umgang mit dem Kriterium, geht aber auch den nächsten Abschnitt vorbereitend darüber hinaus: Nach Eingabe der Nullstellen wird zusätzlich zum Graphen von f der Graph von f ’ gezeichnet und nachgefragt, ob Extrema vorliegen. Dabei ist es durchaus sinnvoll, sowohl den Graphen von f als auch den Graphen von f ’ ins Auge zu fassen, die Zusammenhänge zu beobachten und den Monotoniesatz mit zur Begründung heranzuziehen. Inhaltliches und geometrisches Verstehen stehen im Vordergrund der Übung. Abschnitt 3.2 Übung 2 Abschnitt 3.2 Übung 3 Abschnitt 3.2.2 thematisiert als erstes hinreichendes Kriterium das Vorzeichenwechselkriterium. Wichtig für das Anwenden des Kriteriums ist Übung 3: Es behandelt die Frage, wie man mit ihm umzugehen hat und wie der Umgang mathematisch gerechtfertigt werden kann. Es reicht schließlich nicht, kritiklos links und rechts von der Nullstelle einer Ableitung je einen Funktionswert von f ’ auszurechnen, sondern man muss genau überlegen, unter welchen Bedingungen dies ausreicht. Übung 4 schließlich wendet das Kriterium an. In Übung 4 kann jederzeit der Graph von f abgerufen werden, der in einem Teil der Aufgaben die Nullstellen von f ’ oder zumindest deren Anzahl erkennen lässt. Es handelt sich somit um eine Lösungshilfe, von der Schüler in Eigenarbeit unterschiedlichen Gebrauch machen können. Der Lehrer wird diese Hilfe situativ sinnvoll einsetzen. Abschnitt 3.2 Übung 4 Abschnitt 3.2 Übung 5 Übung 5 behandelt einen Beweis des wohl am häufigsten benutzten hinreichenden Kriteriums für die Existenz eines lokalen Extremums. Der Beweis setzt zweimalige stetige Differenzierbarkeit voraus und arbeitet mit dem globalen Monotoniesatz. Tatsächlich könnte man beim Nachweis des Kriteriums auf die Stetigkeitsforderung an f “ verzichten und könnte sogar einen Beweis notieren, der nicht wie der globale Monotoniesatz auf dem Mittelwertsatz der Differenzialrechnung basiert. Der Vorteil der Arbeit mit dem globalen Monotoniesatz liegt darin, dass es relativ einfach ist, den Beweis als Bilderfolge zu vermitteln, wie es in Übung 5 geschieht. Der 15 durch die Abschwächung erzielte Gewinn ist außerdem nicht sehr hoch anzusetzen. Übung 6 übt den in Übung 5 bewiesenen Satz ein. 3. Krümmung und Wendepunkte Der Begriff Krümmung wird in Übung 1, Abschnitt 3.3.1 über die strenge Monotonie von f ’ definiert und veranschaulicht. Daraus ergibt sich die Definition des Wendepunktes in natürlicher Weise: (a;f(a)) heißt Wendepunkt von f, wenn es eine Umgebung von a gibt, in welcher der Graph von f links von a anders gekrümmt ist als rechts von a. Abschnitt 3.3 Übung 1 Bisweilen findet sich auch der Vorschlag, einen Wendepunkt als lokales Extremum von f ’ zu definieren. In gewisser Weise enthebt eine solche Definition weitgehend von der Arbeit, Existenzkriterien nachzuweisen. Es ist jedoch bei einem solchen Vorschlag zu bedenken, dass die dann getroffene Definition für differenzierbare Funktionen nicht mit der soeben abgefassten äquivalent ist. Beispiele, die das belegen, lassen sich mithilfe lokal unendlich oft oszillierenden Funktionen konstruieren. Bei der Untersuchung des Krümmungsverhaltens spielt wieder der globale Monotoniesatz eine entscheidende Rolle. Kapitel 4: Funktionsuntersuchungen 1. Grundsätzliches Zur Terminologie Für den Inhalt dieses Kapitels ist der Name „Kurvendiskussionen“ verbreitet. Er wird hier aus folgendem Grund nicht gebraucht: Der Begriff „Kurve“ wird zum einen in der Mathematik für Abbildungen eines Intervalls I in den Rn benutzt: t I f(t)Rn. Solche Kurven heißen auch Parameterkurven. Differenzierbare Parameterkurven können im allgemeinen nicht als Funktionsgraphen interpretiert werden und weisen im Falle differenzierbarer Parameterkurven Besonderheiten auf, zu denen man keine Entsprechung bei Funktionsgraphen kennt. Sie können beispielsweise Ecken besitzen. Natürlich kann man jeden Funktionsgraphen einer auf einem Intervall definierten Funktion f durch x (x;f(x)) parametrisieren, aber auch wenn man diese Parametrisierung als kanonische Parametrisierung bezeichnet, liefert sie meist keine sehr natürliche Darstellung. Als Beispiel sei der Einheitskreis genannt, der gewöhnlich durch t (cos t; sin t) parametrisiert wird. Ein eigenes Kapitel „Kurventheorie“ findet sich auf der CD Anwendungen der Analysis. 16 Man spricht in der Mathematik auch von Kurven, wenn man mittels bidifferenzierbarer Abbildungen zwischen verschiedenen Parametern eine Klassenbildung durchführt, wobei dies wiederum je nach Problemlage eine Klassifizierung mit oder ohne Orientierung sein kann. Aber dieser Begriff Kurve entspricht noch weniger dem Graphen einer Funktion. Legitimation Durch die neuen Medien stellt sich die Legitimationsfrage für die Behandlung von Funktionsuntersuchungen neu. Computeralgebra-Systeme besitzen durchweg Programme zum komfortablen Zeichnen von Funktionsgraphen, und auch diesem Programm ist ein recht ansprechendes Funktionszeichenprogramm beigefügt. Darüber hinaus kann man für eine große Klasse von Funktionen deren Untersuchung auf Extrema, Wendepunkte usw. automatisieren, d.h. durch ein entsprechendes Programm erledigen lassen. Worin besteht dann der spezifische Beitrag von Funktionsuntersuchungen zur mathematischen Bildung? Im Grunde ist mit dem Auftreten von Computer-Algebra-Systemen eine Situation entstanden, die auf etwas niedrigerer Stufe mit der Einführung des Taschenrechners bereits seit Jahrzehnten Realität ist. Die Einführung des Taschenrechners hat nicht das Rechnen überflüssig gemacht, hat aber sicher zu Verschiebungen in den Akzentsetzungen geführt. Ähnliches ist auch im Zusammenhang mit Funktionsuntersuchungen zu überlegen. Es wird weniger darum gehen, diese nach einem mehr oder weniger festen Ritual durchzuführen als vielmehr verstehenden Umgang mit verfügbaren Hilfsmitteln anzustreben und funktionales Denken einzuüben. Ersteres bedeutet z.B. auf Extremaluntersuchungen bezogen, dass situativ unterschiedene Hilfsmittel herangezogen werden. Lautet etwa die Ableitung einer Funktion f ’(x) = (x-3)·exp(x), so liefert das Kriterium mit der zweiten Ableitung wegen f “(x) = (x-2)·exp(x) für die Stelle 3 ein lokales Minimum. Der (häufig bei Funktionsuntersuchungen vernachlässigte) Monotoniesatz liefert mit weniger Aufwand mehr: Da f ’(x) für x < 3 negativ und für x > 3 positiv ist, liegt an der Stelle 3 ein globales Minimum. Abschnitt 4.4 Übung 1 Abschnitt 4.4 Übung 2 Funktionales Denken kann z.B. dadurch eingeübt werden, dass man einer systematischen Funktionsuntersuchung eine qualitative Analyse vorschaltet, wie dies beispielsweise in den Übungen 1 und 2 des Abschnitts 4.4 und bei der Untersuchung von Parameterfunktionen in Abschnitt 4.5 vorgesehen ist. Eine große Bedeutung hat auch die Untersuchung von Parameterfunktionen verbunden mit der Möglichkeit der stetigen Änderung von Parametern, die in Abschnitt 4.5 in den Übungen 2, 3 und 4 realisiert wird. Auch die Untersuchung der Ortslinien ausgezeichneter Punkte auf den Graphen von Funktionenscharen (Abschnitt 4.5.5, Übung 6) kann sehr lehrreich sein. 17 Abschnitt 4.5 Übung 2 Abschnitt 4.5 Übung 3 Anwendungen Wir tun uns schwer damit, das Verhalten von Krümmungen mit dem Auge zu beurteilen. Krümmungen und ihre Änderungen besitzen jedoch erhebliche Relevanz bei Trassierungen von Straßen und bei Schienenführungen. Übung 3 in Abschnitt 4.3.3 macht dies an einem Beispiel deutlich. Anschlüsse von Schienenführungen müssen mindestens stetig differenzierbar sein, um plötzliche schädigende Krafteinwirkungen auf Fahrzeuge zu vermeiden. Abschnitt 4.3 Übung 3 Abschnitt 4.3 Übung 4 In Übung 3, Abschnitt 4.3 wird mit einem Interpolationspolynom gearbeitet. Der wachsende Grad von Interpolationspolynomen mit der Anzahl der Stützpunkte führt häufig bei vielen Stützpunkten zu „unerwünschten Krümmungen“. Als Alternative wird daher in Übung 4, Abschnitt 4.3 die Trassierung mithilfe einer Spline-Interpolation behandelt. Die Grundidee wird in Abschnitt 4.3.4 ausführlich erläutert. Ohne besondere Maßnahmen führt die Spline-Interpolation schnell zu dem Problem, lineare Gleichungssysteme mit vielen Variablen lösen zu müssen. Selbst die Durchführung mit 3 Stützpunkten führt zu 8 Gleichungen mit 8 Variablen. In Übung 4 wird jedoch mit einem geschickten Ansatz erreicht, dass 4 der Variablen unmittelbar bestimmt werden können, so dass nur noch ein Gleichungssystem von 4 Gleichungen mit 4 Variablen gelöst werden muss. Dazu kann natürlich auch das Hilfsprogramm Gaußalgorithmus benutzt werden. Physikalische Gründe führen zu dem Postulat, dass bei Trassierungen Anschlüsse jeweils durch Funktionen beschrieben werden müssen, die zweimal stetig differenzierbar sind, d.h. die zweimal differenzierbar sind und deren zweite Ableitung stetig ist. Dies Postulat findet in den beiden genannten Übungen Berücksichtigung. 18 Darüber hinaus ist jedoch die Frage von Bedeutung, welche Zentripetalkraft beim Durchfahren auf ein Fahrzeug einwirkt. Deren Betrag wächst quadratisch mit der Geschwindigkeit und ist antiproportional zum Krümmungsradius. Mit Krümmungskreisen und den damit zusammenhängenden Anwendungen befassen sich die Abschnitte 3.4.2 – 3.4.5 zusammen mit den Übungen. Die Behandlung kann natürlich problemlos in Kapitel 4 integriert werden. Für den Fall, dass die Ableitung 0 ist, lässt sich der Krümmungsradius sehr einfach berechnen. Abschnitt 3.4 Übung 3 Abschnitt 3.4 Übung 8 Die Anwendung auf Trassierungsfragen erfordert allerdings eine allgemeine Berechnung. Wenngleich die numerische Bearbeitung ein wenig aufwändig ist, lässt sich die Idee, die der Berechnung zugrunde liegt, recht schön erarbeiten. Diese wird auf der Lernseite 3.4.4 eigens betont. Ein besonders wichtiges Trassierungsverfahren arbeitet mit Klothoiden. Es ist mathematisch anspruchvoller und wird in dem Paket Anwendungen der Analysis in Kapitel 4 behandelt. Kapitel 5: Extremalprobleme 1. Anmerkungen zu Voraussetzungen und Integration Das Kapitel behandelt sog. angewandte Extremwertaufgaben. Es geht in jedem Fall darum, das absolute Maximum/Minimum einer Funktion zu bestimmen, deren Definitionsbereich in den auftretenden Beispielen ein (beschränktes oder unbeschränktes) Intervall ist. Aus der Tatsache, dass die Aufgaben das letzte Kapitel bilden, sollte nicht geschlossen werden, dass sie auch am Schluss eines Kurses zur Differenzialrechnung behandelt werden sollen. Im Gegenteil: Die Aufgaben bieten sich geradezu für eine Integration an. Um diese zu erleichtern, wurde (vom letzten Abschnitt abgesehen) eine Gliederung des Kapitels nach Funktionstypen vorgenommen. Die Kenntnis der Ableitungsregeln für die betreffenden Funktionstypen werden allerdings in jedem Falle vorausgesetzt. Ansonsten sind die Voraussetzungen je nach Bereitschaft, es für bestimmte Fakten bei einer anschaulichen Begründung zu belassen, unter Umständen minimal. Insbesondere ist die Kenntnis des häufig benutzten hinreichenden Kriteriums für das Vorliegen eines lokalen Maximums, welches mit f ’’ arbeitet, überflüssig. Es handelt sich ja nur um ein lokales Kriterium. Entsprechendes gilt für das Vorzeichenwechselkriterium in der üblichen Formulierung. Einige typische Beispiele seien zur Erläuterung angefügt. 1. Fall: Es ist das absolute Maximum/Minimum einer differenzierbaren Funktion f auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall [a;b] gesucht. Wenn man den Satz vom Maximum/Minimum für stetige Funktionen anschaulich akzeptiert (zum exakten Beweis vgl. Anhang zu Kapitel 1), ist klar: Das Maximum /Minimum liegt entweder in a oder in b oder im 19 Inneren von [a;b]. In letzterem Fall ist die Extremalstelle eine Nullstelle von f ’. Man braucht also nur die Funktionswerte von f in a und b mit den Funktionswerten an den Nullstellen von f ’ zu vergleichen. 2. Fall: Es ist das absolute Maximum/Minimum einer differenzierbaren Funktion f auf einem offenen Intervall ]a;b[ gesucht. In diesem Fall wird man die Grenzwerte von f für x a und x b (eigentliche bzw. uneigentliche Existenz vorausgesetzt) mit den Funktionswerten von f in den Nullstellen von f ’ vergleichen. Dabei sind auch die Fälle a = - und b = mit erfasst. Die beiden Fallbeispiele sollten natürlich nicht zu einem Schema werden. Es ist vielmehr sinnvoll, in Abhängigkeit zum Kenntnisstand verfügbare Hilfsmittel flexibel einzusetzen. Ein wichtiges Hilfsmittel ist der globale Monotoniesatz: Wenn beispielsweise f ’ im Inneren eines Intervalls genau eine Nullstelle c aufweist, links von dieser Stelle positiv und rechts von ihr negativ ist, so liegt in c das globale Maximum. 2. Zu den Lösungsverfahren Zu den Extremalaufgaben werden zahlreiche sukzessive abrufbare Hilfen angeboten. Es sollte versucht werden, diese nur nach vorheriger intensiver Überlegung zu nutzen. Andererseits kann es auch nach einer selbstständigen Bearbeitung nützlich sein, sich die Hilfen nachträglich anzusehen, um den eigenen Lösungsweg mit den darin angebotenen zu vergleichen 3. Zu den Aufgabentypen Rationale Funktionen Als Einstiegsproblem wurde mit Übung 1 in Abschnitt 5.1.1 eine Aufgabe gewählt (Maximierung eines Quadervolumens), in der das absolute Maximum einer auf einem kompakten Intervall [0;b] definierten Funktion f mit f(0) = f(b) = 0 zu bestimmen ist, deren Funktionswerte in ]0;b[ sämtlich positiv sind. Das absolute Maximum kann also nur dort liegen, wo f ’(x) = 0 ist, und das ist jeweils an genau einer Stelle der Fall. Wie bereits unter 1. ausgeführt, ist die Betrachtung von f ’’ absolut überflüssig, so dass die Aufgabe bereits sehr früh in einem Kurs „Differenzialrechnung“ integriert werden kann. Zum Verständnis des Problems kann die Form des Quaders mit den Pfeiltasten verändert werden. Nützlich (Lernzielkontrolle!) ist auch nach der Eingabe der Lösung der Vergleich mit dem Funktionsgraphen. Abschnitt 5.1 Übung 1 Abschnitt 5.1 Übung 2 Übung 2 in Abschnitt 5.1.2 besitzt eine entsprechende Struktur wie Übung 1, es treten jedoch jetzt zusätzlich Formvariable auf. Es ist im übrigen wichtig, Schüler daran zu gewöhnen, die Variable, nach welcher differenziert wird, nicht immer mit x zu bezeichnen. Vor allem im Physikunterricht werden Variable an ihrer inhaltlichen Bedeutung orientiert benannt. Natürlich kann man die Begründung für das Maximum auch etwas schlichter gemäß den Ausführungen unter 2. Fall abfassen. 20 Abschnitt 5.1 Übung 3 Abschnitt 5.1 Übung 4 Während in den bisherigen Übungen nur ganz-rationale Funktionen auftraten, verlangen die Übungen 3 und 4 in Abschnitt 5.1.3 die Untersuchung einfacher gebrochen-rationaler Funktionen. Außerdem kommen jetzt Nebenbedingungen ins Spiel. Die Veränderungsmöglichkeit der Form in Übung 3 mithilfe der Pfeiltasten kann den entscheidenden Gedanken stützen, dass durch die Nebenbedingung ein Problem für eine Funktion einer Variablen vorliegt. Nützlich zur Lernzielkontrolle ist auch der Vergleich mit dem kartesischen Graphen, der nach Ermittlung der Lösung möglich ist. Algebraische Funktionen Übung 1 in Abschnitt 5.2.1 kann prinzipiell noch als eine Aufgabe zu ganz-rationalen Funktionen aufgefasst werden. Man braucht dazu nur anstelle der Funktion V(b) die Funktion V2(b) zu betrachten. Abschnitt 5.2 Übung 1 Abschnitt 5.2 Übung 2 Übung 2 in Abschnitt 5.2.2 setzt dagegen die Verfügbarkeit der Kettenregel voraus. Wichtig an diesem Beispiel ist auch, dass das gesuchte Minimum auf dem Rand eines Intervalls [0;b] liegen kann, so dass der Funktionswert in der Nullstelle von T’ mit den Funktionswerten in den Randpunkten verglichen werden muss. Nach der Eingabe der Lösung wird der Graph der Funktion x T(x) in das Bild der Aufgabe gezeichnet. Dies verdeutlicht, warum gelegentlich das gesuchte Minimum auf dem Rand liegt. Es ist nützlich, sich diese Situationen auch an dem vorgegebenen Zahlenmaterial zu verdeutlichen. Transzendente Funktionen Die Übungen 1 und 3 in Abschnitt 5.3 sind beide recht anspruchsvoll. In Übung 1 wird die Kenntnis der Ableitungen von sin und cos vorausgesetzt. Die Nullstellensuche von A’(u) verlangt eine Substitution von sin u. Übung 3 ist darüber hinaus durch den physikalischen Inhalt anspruchvoll, der natürlich auf der Lernseite nur 21 in relativ knapper Form dargestellt werden konnte. Übung 2 ist im Grunde nicht schwierig, arbeitet allerdings mit der Ableitung von arctan. Abschnitt 5.3 Übung 1 Abschnitt 5.3 Übung 2 Extremalprobleme und Modellbildung Hier werden interessante Extremalfragen zur Optimierung eines Verkehrsflusses behandelt, wobei der Modellierungsaspekt im Vordergrund steht. Neben den in den Übungen thematisierten Modellbildungen lassen sich durchaus weitere Möglichkeiten ins Auge fassen. Es wird lediglich die Kenntnis der Ableitung gebrochen rationaler Funktionen vorausgesetzt. Abschnitt 5.5 Übung 1 Abschnitt 5.5 Übung 3 Auf den ersten Blick überraschend bei Übung 3 ist die Unabhängigkeit der Maximalstelle vmax für die Geschwindigkeit. Eine Diskussion dürfte hier lohnen. Die zu vmax gehörige Verkehrsdichte ist allerdings umso größer, je kürzer die Reaktionszeit ist. 22
