Differenzialrechnung

Differenzialrechnung
1. Grundsätzliches
Die mit der Analysis und insbesondere mit der Differenzialrechnung zusammenhängenden didaktischen und
methodischen Fragen sind außerordentlich komplex und lassen sich natürlich in dem hier vorliegenden Rahmen
nur in einigen Facetten angehen.
Die unter der Überschrift „Grundsätzliches“ formulierten Aussagen sind teilweise knapp gehalten. Sie
werden in den Anmerkungen zu den einzelnen Kapiteln weiter detailliert.
Anschaulichkeit und Strenge
Zentraler Begriff der Differenzialrechnung ist die Ableitung einer Funktion. Zentrales Thema ist die
Untersuchung von Funktionsverhalten mithilfe der Ableitung. Rein wissenschaftlich betrachtet steht daher
der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung im Zentrum: Er stellt den Zusammenhang zwischen der
Änderung von Funktionswerten und der Ableitung her. Man könnte ihn unter diesem Aspekt geradezu als den
Hauptsatz der Differenzialrechnung bezeichnen.
Der Mittelwertsatz zählt zu den vielen Sätzen der Analysis, zu denen man leicht eine bildliche Darstellung
vermitteln kann. In einem deutlichen Kontrast dazu steht der Beweisaufwand: Man kann ihn mit einer schönen
geometrisch-dynamischen Grundidee aus dem Satz von Rolle (vgl. Übung 1, Anhang zu Kapitel 1)
gewinnen. Dieser wiederum beruht unter anderem auf dem Satz vom Maximum/Minimum, einem der
schwieriger zu beweisenden Existenzsätze für stetige Funktionen. In dem Beweis dieses Satzes wird
entscheidend die nicht einfach zu vermittelnde Vollständigkeit der reellen Zahlen ausgenutzt.
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Anhang zu Kapitel 1 Übung 1
Ein weiterer Präzisierungsstrang in der Differenzialrechnung betrifft die Begriffe Grenzwert,
Differenzierbarkeit und Stetigkeit und damit zusammenhängend die Grenzwertsätze für Folgen und
Funktionen. Er ist natürlich in mannigfacher Weise mit dem ersten Präzisierungsstrang verflochten.
Um einerseits einen möglichst vollständigen Aufbau anzubieten, aber andererseits Kurse (z.B. für Grundkurse)
nicht im Aufbau mit Begrifflichkeiten und Lehrsätzen zu belasten, die jenseits des curricular Erreichbaren
liegen, wurde für den Aufbau des Programms folgende Struktur gewählt.
1. Es wird zunächst mit einem „naiv-anschaulichen“ Differenzierbarkeitsbegriff und einem
entsprechenden Grenzwertbegriff gearbeitet. Es wird zwar versucht, in Richtung einer Präzisierung
zu formulieren, es wird jedoch keine definitorische „Endgültigkeit“ angestrebt. Die Problematisierung
des Differenzierbarkeitsbegriffs erfolgt schrittweise und ebenfalls zunächst auf einer anschaulichen
Basis (vgl. Abschnitt 1.2, insbesondere Übung 2). Die dynamischen Visualisierungsmöglichkeiten
1
durch den Computer sind hier sehr hilfreich (vgl. etwa die Nutzung des „Mikroskops“ in Übung 3,
Abschnitt 1.1.2.
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Abschnitt 1.2 Übung 2
2. Eine Präzisierung der Grundbegriffe und eine exakte Formulierung der wesentlichen damit
zusammenhängenden Lehrsätze erfolgt in Abschnitt 1.5. Der Abschnitt kann je nach
Präzisierungsbedürfnis ganz weggelassen, exemplarisch integriert oder auch vollständig
behandelt werden. Einige besonders schwierige Beweise wie der Beweis des Satzes vom Maximum
und damit zusammenhängend der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung sind in den Anhang zu
Kapitel 1 ausgelagert worden.
3. Wenn in einem Unterrichtsgang auf eine begriffliche Präzisierung weitgehend verzichtet werden soll,
kann bei Funktionsuntersuchungen sogleich der beweistechnisch auf dem Mittelwertsatz basierende
Monotoniesatz zur anschaulich akzeptierten Grundlage gemacht werden.
Hinsichtlich der Bedeutung der Präzisierung können sicherlich unterschiedliche Grundpositionen eingenommen
werden. Auf der einen Seite wird niemand bestreiten, dass die Abfassung präziser Definitionen und die
Notation exakter Beweise einen Wert darstellen. Auf der anderen Seite ist es nicht damit getan, einen Begriff
präzise abzufassen. Zu seiner Sicherung gehört variables Beispielmaterial, und dessen Behandlung bringt
wiederum
die
Gefahr
der
Verselbstständigung
von
Untersuchungen
(etwa
Differenzierbarkeitsuntersuchungen) mit sich, die einen zu großen zeitlichen Rahmen beanspruchen.
Das vorliegende Programm überlässt bei seinem sinnvollen Gebrauch die sicher schwierige Entscheidung
dem Lehrer, der zwischen seinen unterrichtlichen Zielen, dem Leistungsvermögen der Lerngruppe und
dem zur Verfügung stehenden zeitlichen Rahmen eine Güterabwägung vornehmen muss. Die
schwierigen Abschnitte bieten auch die Möglichkeit, daran besonders interessierte leistungsfähige
Schüler gezielt zu fördern.
Auswahl der Funktionenklasse
Auch dies ist eine sehr schwierige Entscheidung. Polynomfunktionen zeigen zwar ein sehr gutartiges Verhalten,
bilden jedoch eine viel zu stark eingeschränkte Klasse. Entsprechendes gilt für gebrochen rationale Funktionen.
Insbesondere werden Abnehmer aus der Physik ungern auf exp, ln, sin und cos verzichten wollen. Wenn man
nun noch zwischen diesen Funktionen die üblichen Rechenoperationen und Verkettungen zulässt, treten bereits
Funktionen mit recht komplexem Verhalten auf . Man denke etwa an die stetige Ergänzung von x²·sin(1/x).
Die Entscheidung, Funktionen der genannten Art einfach nicht zu behandeln, ist leider auch nicht ganz
unproblematisch. Man betrachte z.B. die folgende Aussage, die leicht von einem Schüler im Rahmen von
Funktionsuntersuchungen formuliert werden kann:
2
Wenn eine Funktion in a ein lokales Maximum besitzt, so gibt es eine Umgebung um a, in der die Funktion
links von a wächst und rechts von a fällt.
Die Aussage wird manchem Schüler plausibel erscheinen, sie ist jedoch für differenzierbare Funktionen
falsch (vgl. Abschnitt 3.2.4, Übung 7). Das Umgekehrte ist richtig: Wenn die Funktion links von a wächst und
rechts von a fällt, liegt in a ein lokales Maximum.
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Abschnitt 3.2 Übung 7
Die hier diskutierte Frage hat natürlich zunächst nicht direkt mit der Verwendung einer speziellen Software
(oder einem Buch) zu tun. Sie ist von grundlegender Bedeutung. Andererseits kann Software mit seinen
dynamischen Veranschaulichungsmöglichkeiten auch hier zu einer Erweiterung des Gesichtsfeldes führen.
Man vergleiche dazu neben der obengenannten Übung 7 in Abschnitt 3.2.4 die Übungen 7 in Abschnitt 1.5.5
und Übung 2 in Abschnitt 3.1.2.
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Abschnitt 1.5 Übung 7
Abschnitt 3.1 Übung 2
Ein anderes Problem stellen die Ableitungsbestimmungen zu den Funktionen exp, ln, sin und cos dar. Die
Sinusfunktion wird in der Schule geometrisch definiert. Ein exakter Differenzierbarkeitsnachweis ist daher
nicht möglich. Die Beweiserarbeitung in Abschnitt 1.4 dürfte vom Präzisierungsgrad her eine sinnvolle
Möglichkeit darstellen.
Auch dem Nachweis der Differenzierbarkeit und der Berechnung der Ableitung von Exponentialfunktionen
fehlt (zunächst noch) die exakte Basis. Der in Abschnitt 1.4 gewählte Weg ist wohl wiederum eine sinnvolle
unterrichtlich vertretbare Lösung.
Eine oft diskutierte Alternative ist der sog. Kleinsche Weg, in welchem zunächst ln x als Integralfunktion
eingeführt wird und exp als deren Umkehrfunktion definiert wird. Nachteil dieses Weges ist unter anderem der
späte Zeitpunkt einer Behandlungsmöglichkeit von Exponentialfunktionen: Es muss der Hauptsatz der
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Differenzial- und Integralrechnung bekannt sein. Der genannte Weg findet sich auf der CD Integralrechnung.
Unabhängig von der Einführung von exp ist dieser Weg zumindest sehr geeignet, eine Wiederholung wichtiger
Grundbegriffe und Lehrsätze der Analysis vorzunehmen.
In dem vorliegenden Programm stellt sich die Frage nach der verfügbaren Klasse von Funktionen natürlich
auch im Rahmen der Beispiele zur Ableitungsberechnungen. Hier kann der Benutzer leicht durch einen
Mausklick noch nicht bekannte Funktionen ausschließen.
Probleme und Anwendungen
Ein klassisches Anwendungsfeld ist die Behandlung von Extremwertproblemen. In Kapitel 5 finden sich
zahlreiche Beispiele zu unterschiedlichen Funktionenklassen. Diese lassen sich zwanglos in die Inhalte der
zuvor behandelten Kapitel integrieren. Näheres hierzu findet sich in den Ausführungen zu Kapitel 5.
Entsprechendes gilt für die Beispiele, die auf der CD Anwendungen der Analysis thematisiert werden.
Speziell im Rahmen der Diskussion um die Frage, wie weit die neuen Medien inhaltlich und didaktisch den
Mathematikunterricht beeinflussen, verdienen es auch Differenzialgleichungen, stärker ins Blickfeld
genommen zu werden. Relevante Beispiele dazu finden sich ebenfalls auf der CD Anwendungen der Analysis.
Vor allem die numerischen Methoden benötigen zu ihrer Behandlung wenige mathematische Voraussetzungen:
Man benötigt im Grunde nur ein geometrisches Verständnis der Ableitung als lokal Approximierende (lokale
Änderungsrate).
Es bereitet leider Schwierigkeiten, den Ableitungsbegriff sogleich unter dem Aspekt der lokalen Änderungsrate
einzuführen, wenn die Einführung nicht zu einem Terminologiekurs degenerieren soll. Es ist jedoch versucht
worden, möglichst früh Anwendungen einzubringen, welche diese Sichtweise an relevanter Stelle akzentuieren:
Die Ableitung als lokale Änderungsrate kommt z.B. in den Übungen 13, Abschnitt 1.1.9 und 14, Abschnitt
1.1.10 zum Tragen. Entsprechendes gilt für Übung 7, Abschnitt 1.4.4 und Übung 8, Abschnitt 1.4.. Die
Bearbeitung setzt allerdings die Kenntnis der Ableitungen von Funktionen der Form x  exp(kx) voraus. Sie
werden daher unabhängig von der in Kapitel 2 behandelten Kettenregel bereits vorher geometrisch begründet.
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Abschnitt 1.4 Übung 7
Abschnitt 1.4 Übung 8
Die Bedeutung der Ableitung als lokale Änderungsrate wirft natürlich die Frage auf, ob es nicht sinnvoll ist,
gleich unter dieser Problematik in die Differenzialrechnung einzuführen. Das Problem eines solchen Zugangs
liegt darin, dass erst nach der Verfügbarkeit gewisser Kenntnisse (vgl. Übung 8, Abschnitt 1.4.5) eine
Bearbeitung überzeugender Beispiele möglich ist. Die Nichtverfügbarkeit überzeugender Beispiele führt leicht
dazu, einen entsprechenden Zugang als Terminologiekurs erscheinen zu lassen.
Einen weiteren Bereich mit realitätsnahen Anwendungen liefert schließlich die Theorie der Parameterkurven,
die auf der bereits genannten Anwendungs - CD das 4. Kapitel bildet.
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Veranschaulichungsmöglichkeiten
Die meisten Übungen ermöglichen aufgabenbezogene (dynamische) Veranschaulichungsmöglichkeiten.
Darüber hinaus ist in einer Reihe von Übungen eine enge Kooperation mit dem FunktionsgraphenZeichenprogramm eingerichtet. Die Möglichkeit erkennen Sie daran, dass der Button mit der Aufschrift
Skriptexport vorhanden ist. Klicken Sie auf diesen Button, so werden die in der Übung vorgegebenen oder
ermittelten Funktionsvorschriften in eine Zwischenablage kopiert, von der aus sie ins FunktionsgraphenZeichnprogramm (Buttonklick Skript-Imp.) transportiert werden. Dort sind dann weitere
Bearbeitungsmöglichkeiten (Maßstabänderungen, Abspeichern, Drucken usw.) möglich.
Auch in eher formal gestalteten Aufgaben wie etwa der Berechnung von Ableitungen nach Definition oder
Ableitungsregeln kann ein Skriptexport/-Inport sehr lehrreich sein, bietet er doch die Möglichkeit, immer
wieder das algorithmische Arbeiten aufzubrechen und sich wichtige Zusammenhänge zwischen Funktions- und
Ableitungsgraphen klarzumachen.
Kapitel 1: Ableitungen
1. Die Ableitung an einer Stelle; Berechnungsverfahren und erste
Problematisierung
Abschnitt 1.1 beginnt sogleich mit einem zentralen Problem, der Untersuchung von Funktionsverhalten
mithilfe von Tangentensteigungen. In Übung 2, d.h. nach einer in Übung 1 vorgenommenen anschaulichen
Sicherung des Tangentenbegriffs im Sinne einer „lokal bestapproximierenden“ Geraden, können wichtige
Beobachtungen zum Zusammenhang zwischen Wachstums - und Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen
und dem Verhalten von Tangentensteigungen gemacht werden (vgl. den Lerntext 1.1.1).
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Abschnitt 1.1 Übung 1
Abschnitt 1.1 Übung 2
Nachdem in einem ersten Zugang die Bedeutung von Tangentensteigungen zur Beurteilung von
Funktionsverhalten erkannt wurde, gehen die Übungen 3 und 4 die Berechnungsproblematik an. Für den
Differenzenquotienten sind zwei Schreibweisen üblich:
m a ,x 
f ( x )  f (a )
xa
m a ,h 
f (a  h )  f (a )
h
Die Voreinstellung in Übung 3 benutzt die linke Schreibweise, es kann jedoch auch auf die rechte umgeschaltet
werden.
Man sollte Schülern verdeutlichen, dass die linke Schreibweise einheitlich sowohl für den Fall x>a als auch für
den Fall x<a gilt. Entsprechend kann h in der rechten Schreibweise positiv oder negativ sein.
5
Zum Verständnis des Berechnungsverfahrens, das eigentlich eine Definition der Tangentensteigung bedeutet,
ist das in der Übung verfügbare „Mikroskop“ nützlich, weil es die mit kleiner werdendem x-a „immer besser
werdende“ Annäherung der Sekantensteigung an einen „Grenzwert“ verdeutlicht.
Übung 4 verdeutlicht im Vergleich zu Übung 3 stärker den geometrisch-dynamischen Aspekt. Die beiden
Übungen sind natürlich vertauschbar. Die Übungen 5 bis 8 konkretisieren dann die Idee des
Berechnungsverfahrens, indem für nicht zu komplizierte Funktionen Ableitungen an einer Stelle a ausgerechnet
werden.
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Abschnitt 1.1 Übung 3
Abschnitt 1.1 Übung 4
Abschnitt 1.1 Übung 5
Abschnitt 1.1 Übung 6
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Die Existenzproblematik bleibt in diesem Zusammenhang zunächst ganz im Hintergrund. Die
Differenzenquotienten(-funktionen) der betrachteten Funktionen lassen sich stetig zu Polynomen oder
algebraischen Funktionen ergänzen. Nennt man die Bezugsstelle des Differenzenquotienten a, so unterscheiden
sich Differenzenquotient und durch Kürzen entstandene „einfache“ Funktion D(x) voneinander nur an der
Stelle a. Die auch geometrisch gestützte Feststellung, dass nahe a für die betrachteten Beispiele sich die
Sekantensteigung offenbar beliebig von dem unterscheidet, was man sich unter Tangentensteigung vorstellt,
führt zur Definition der Tangentensteigung durch ein Berechnungsverfahren.
Abschnitt 1.2 problematisiert den Ableitungsbegriff, indem vor allem geometrisch verdeutlicht wird, woran in
einfach überschaubaren Fällen die Berechnung der Tangentensteigung scheitern kann. Sofern man will, kann
man hieran natürlich auch eine definitorische Präzisierung dem Abschnitt 1.5 folgend anschließen, kann es
jedoch (zunächst?!) auch dabei belassen, geometrisch einen ersten Eindruck von der Problematik gewonnen zu
haben. In jedem Falle erscheint vor einer begrifflichen Abfassung eine Vorklärung im Sinne von Abschnitt 1.2
sinnvoll.
Anmerkung zur Schülerorientierung
6
Im Rahmen einer Erarbeitung des Differenzierbarkeitsbegriffs kann von Schülern (durchaus geometrisch
naheliegend) der Vorschlag gemacht werden, diese durch die Existenz von
f (a  h )  f (a  h )
h 0
h
lim
zu definieren.
Leider wäre eine solche Definition nicht mit der üblichen äquivalent: f(x) = x  wäre dann beispielsweise eine
an der Stelle 0 differenzierbare Funktion mit der Ableitung 0.
2. Die Ableitungsfunktion
Ein wesentliches Ziel der Differenzialrechnung ist die Untersuchung von Funktionen (Wachstum, Krümmung)
auf der Grundlage der Kenntnis von Eigenschaften der Ableitungsfunktion. Übung 1 in Abschnitt 1.3 nimmt
hier eine Schlüsselstellung ein:
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Abschnitt 1.3 Übung 1
Die Tangentensteigung in einem Punkt einer differenzierbaren Funktion muss als Funktionswert einer
neuen Funktion f ’ interpretiert werden, und aus dem kartesischen Graphen von f ’ müssen Rückschlüsse auf
die Funktion f vollzogen werden. Nach der Untersuchung einzelner Punkte ist vor allem die Simulation mit der
gleitenden Tangente und dem gleichzeitigen Aufzeichnen des kartesischen Graphen von f ’ informativ. Man
gewinnt anschaulich Informationen zum Wachstumsverhalten (Stichwort: Monotoniesatz) und evtl. auch schon
zum Krümmungsverhalten. Zumindest erstere Erfahrungen können dann in Übung 3, Abschnitt 1.3 in eine
Funktionsuntersuchung eingebracht werden.
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Abschnitt 1.3 Übung 3
Wenn weitere Beispiele zu der gleitenden Tangente behandelt werden sollen, eignet sich dazu das
Funktionsgraphenzeichenprogramm: Man lasse den Graphen einer konkreten, frei wählbaren Funktion x 
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f(x) und den Graphen von x  f(a) + f ’(a) · (x-a) zeichnen und verändere den Wert von a mithilfe der zu a
gehörigen Pfeiltasten.
Einen wichtigen Beitrag zum Verständnis des Zusammenhangs zwischen Funktion und Ableitung liefert
Übung 6 in Abschnitt 1.3. Natürlich geht die Aufgabe mit den verschiedenen Formen des Vorratsbeckens
davon aus, dass diese exakt sind: Knicke liegen an einer bestimmten Stelle.
Unabhängig von einer Sicherung des Zusammenhangs zwischen Funktion und Ableitung ist die Aufgabe auch
allgemein geeignet, funktionales Denken zu schulen:
Abschnitt 1.3 Übung 6
Aufgabenteile 1/9 und 9/9
So können Schüler etwa in dem links dargestellten Beispiel 1/9 leicht zu der Ansicht gelangen, der Graph von
h(t) (Höhe in Abhängigkeit von der Füllzeit) besitze einen Knick oder verlaufe im letzten Teil geradlinig. Hier
ist es wichtig zu erkennen, dass der Graph von h(t) durchweg stetig verläuft und sich lediglich die
Geschwindigkeit h’(t) idealisiert betrachtet an einer Stelle schlagartig ändert. Dass der Graph im vorliegenden
Fall „im zweiten Abschnitt“ nicht geradlinig verläuft, liegt am quadratischen Anwachsen des Volumens mit
dem Radius. Aufgabenteil 9/9 ist interessant mit Blick auf eine Untersuchung von Wachstums- und
Krümmungsverhalten.
In jedem Fall bietet in der Übung die Möglichkeit der dynamischen Simulation eine wichtige
Verständnisstütze.
3. Präzisierungen
Die Präzisierung des Ableitungsbegriffs erfolgt über den Grenzwertbegriff für Folgen unter Ausnutzung der
Grenzwertsätze. Die endgültige Definition wird in Abschnitt 1.5.3 abgefasst. Gegen die Präzisierung des
Ableitungsbegriffs mithilfe der Konvergenzdefinition für Folgen wird bisweilen das Argument angeführt, dass
in der Definition der Allquantor auf alle gegen eine Stelle a konvergenten Folgen angewandt wird. Die Lösung
dieser Problematik erfolgt dadurch, dass man mit einer beliebigen gegen a konvergenten Folge arbeitet und nur
diese Eigenschaft in der Beweisführung nutzt (vgl. Übung 5 in Abschnitt 1.5.3). Eigentlich handelt es sich hier
um ein Vorgehen, welches in „jedem“ mathematischen Beweis benutzt wird, in dem mit Variablen gearbeitet
wird. Der einzige Unterschied zu vielen anderen Beweisen liegt darin, dass über komplexere Gebilde als
Zahlen, Strecken usw. quantifiziert wird. Zu bedenken ist auch, dass die Anwendung des Allquantors auf
komplexere Objekte wie Funktionen usw. im Unterricht ohnehin nicht vermeidbar ist.
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
Abschnitt 1.5 Übung 5
Die Verwendung und Betonung des Folgenbegriffs hat neben der im Vergleich zur --Definition wohl
leichteren Zugänglichkeit noch einen anderen Hintergrund: Folgen und Folgenkonvergenz sind wichtige und
unverzichtbare Bestandteile eines Analysisunterrichts, der über elementare Zusammenhänge hinausgeht.
Gerade die Verwendung von Computern verleiht der Untersuchung von Folgen ein besonderes Gewicht (vgl.
dazu die verschiedenen Approximationsprozesse auf der CD „Anwendungen der Analysis“:
Taylorapproximation, numerisches Lösen von Gleichungen, Differenzialgleichungen usw.).
4. Die zweite Ableitung
Mithilfe der Ableitung einer Funktion kann deren Wachsen und Fallen untersucht werden. Andererseits
verlangt eine detailliertere Untersuchung eine Beurteilung, wie die Steigung sich verhält. So kann
beispielsweise eine streng monoton wachsende Funktion eine steigende oder fallende Ableitungsfunktion
besitzen.
In Übung 1 in Abschnitt 1.6.1 soll die geometrische Bedeutung der 2. Ableitung vertraut werden. Dies ist
auch mit Blick auf die differenzierte Durchführung von Funktionsuntersuchungen in den Kapiteln 3, 4 und 5
hilfreich.
Zur Einführung (Motivation) der zweiten Ableitung kann jedoch auch mit Übung 3 in Abschnitt 1.6.3
gestartet werden. Die verbesserte lokale Approximation einer Funktion durch die Berücksichtigung der
Veränderung des Steigungsverhaltens ist durchaus naheliegend und kann, sofern man möchte, auch
problemlos ein Stück weiter verfolgt werden (siehe Anwendungen der Analysis, Abschnitt 1.1). Übung 1 in
Abschnitt 1.6.1 kann nachfolgend behandelt werden.
Kapitel 2: Ableitungsregeln
Ableitungsberechnungen für kompliziertere Funktionen aufgrund der Definition sind sehr mühsam. Dies
motiviert die Frage, wie man die Ableitungen solcher Funktionen aus den Ableitungen der Bausteine, aus
welchen sie aufgebaut sind, bestimmen kann.
1. Anmerkungen zu den Herleitungen der Ableitungsregeln
Summen- und Faktorregel
Die Beweise dieser Regeln sind recht einfach. Darüber hinaus besitzt die Faktorregel den Vorzug großer
Anschaulichkeit. Es bietet sich an, bereits hier das Beweisprinzip akzentuiert herauszuarbeiten, das für die
nachfolgenden komplizierteren Beweise leitend sein kann: Man formt den Differenzenquotienten der
zusammengesetzten Funktion so um, dass die Differenzenquotienten der Bausteine sichtbar werden, aus denen
sich die Funktion aufbaut.
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Produktregel
Die Erarbeitung der Produktregel hängt mit zwei Problemen zusammen:
1. Die Struktur der Regel liegt nicht auf der Hand. Man kann sich nur leicht anhand von Beispielen klar
machen, dass die naheliegendste Vermutung (f·g)’ = f’·g’ falsch ist.
2. Der Beweis ist etwas „trickreich“.
Die zweite Schwierigkeit entschärft sich erheblich, wenn man die Struktur (f·g)’ = f·g’ + f ’·g vermutet, denn in
Anlehnung an die Idee der Beweise von Summen- und Faktorregel muss man versuchen, den
Differenzenquotienten auf die Form
f (...) 
g ( x)  g (a )
f ( x)  f ( a )
 g (...) 
xa
xa
zu bringen.
Die Lernseite 2.1.3 bringt daher zunächst zwei konkrete Beispiele, welche in natürlicher Weise auf die
Vermutung der Produktregel führen. Der Beweis selbst wird dann in Übung 4 erarbeitet, wobei noch eine
gezielte Hilfe abrufbar ist.
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Abschnitt 2.1 Übung 4
Kettenregel
Der Beweis der Kettenregel wird auf der Lernseite 2.1.5 behandelt. Struktur und Beweisidee können durch die
Erarbeitung und Veranschaulichung der speziellen Kettenregel (Abschnitt 2.1.4) gewonnen werden.
Der Beweis der Kettenregel erfolgt mithilfe des Differenzenquotienten. Dieses Hilfsmittel bietet sich aus dem
Gesamtaufbau heraus an, zeigt jedoch bei genauer Hinsicht gewisse beweistechnische Schwierigkeiten, die
auch auf der Lernseite angesprochen werden: Die Nennerfunktion y – b = g(x) - g(a) in dem
Differenzenquotienten
f ( g ( x))  f ( g (a)) f ( y)  f (b) g ( x)  g (a)


xa
y b
xa
kann Nullstellen besitzen.
Da der Begriff der Ableitung ein lokaler Begriff ist, tritt allerdings nur dann eine ernsthafte Schwierigkeit auf,
wenn eine gegen a konvergente Folge (xn) mit xna für alle n existiert, so dass g(xn) – g(a) = 0 ist für alle n.
Vom trivialen Fall g(x)  0 abgesehen treten solche Situationen bei lokal unendlich oft oszillierenden
Funktionen auf.
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In diesem Falle ist die Kettenregel jedoch (Differenzierbarkeit von g in a und von f in b vorausgesetzt) ebenfalls
richtig, denn dann muss nach Definition der Ableitung g’(a) = 0 und damit f’(b)·g’(a) = 0 sein. Der gleiche
Grenzwert ergibt sich jedoch auch, wie man leicht überlegt, für den Differenzenquotienten
f ( g ( xn ))  f ( g (a))
.
xn  a
Quotientenregel
Die Quotientenregel kann mithilfe der speziellen Quotientenregel (Abschnitt 2.1.6) und der Produktregel
bewiesen werden. Die spezielle Quotientenregel wird im Lerntext aus der Kettenregel gewonnen. In Übung 9
wird als Alternative ein Beweis mithilfe des Differenzenquotienten erarbeitet.
Umkehrregel
Die Beweise der bisher betrachteten Ableitungsregeln waren in dem Sinne „elementar“, als nicht die
Vollständigkeit der reellen Zahlen benötigt wurde. Das ist beim Nachweis der Umkehrregel ganz anders:
Jeder vollständige Beweis benutzt in irgendeiner Form die Vollständigkeit von R. Die Schwierigkeiten, die sich
dadurch ergeben, legen es nahe, es bei einer geometrischen Argumentation zu belassen. Sie kann gerade durch
die Unterstützung, die der Computer liefert (sukzessives Zeichnen), besonders transparent gemacht werden
(vgl. Übung 2 in Abschnitt 2.2.2).
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Abschnitt 2.2 Übung 2
Eine wichtige Anwendung der Umkehrregel ist die Begründung der Ableitungsregel
x   r  x
r
r 1
für
x Q .
Sie findet sich in Abschnitt 2.2.3 und wird in der zugehörigen Übung benutzt.
Fehlerdiagnose
Die Ableitungsregeln ermöglichen die Berechnung der Ableitung komplizierter Funktionen, wenn diese durch
Rechenoperationen oder Verkettungen aus einfachen Funktionen aufgebaut sind. Dabei ist es wichtig, die
Struktur des Aufbaus zu erkennen und dann die erforderlichen Regeln in der richtigen Reihenfolge
anzuwenden.
Beispiel: f(x) = x·sin(x²).
Hier wird man zunächst die Produktregel anwenden und danach zur Bestimmung der Ableitung von sin(x²) die
Kettenregel benutzen.
11
Die Übungen 1 in Abschnitt 2.4.1 und 2 in Abschnitt 2.4.2 üben mit gezielten Rückmeldungen die
Anwendung der Ableitungsregeln. Dabei wird auch berücksichtigt, dass die Auswahl einer Regel nicht immer
eindeutig bestimmt ist. So kann man f(x) = 1/expx entweder nach der vereinfachten Quotientenregel oder nach
der Kettenregel ableiten. Entsprechend kann man (cosx)² naheliegend nach der Produktregel oder auch nach der
Kettenregel ableiten. Genaueres findet sich auf der Lernseite 2.4.1.
2. Integration von Anwendungen
Die schrittweise Herleitung der Ableitungsregeln ohne Anwendungsaufgaben kann schnell ermüdend wirken
und (nicht ganz unrichtig) als Beschaffung von Wissen auf Vorrat interpretiert werden.
Extremalprobleme
Abschnitt 2.1 sieht daher unmittelbar nach der Erarbeitung von Summen- und Faktorregel zwei
Extremalprobleme als Anwendungen vor.
Dieser Ansatz einer Integration von Anwendungen kann natürlich durch Zugriff auf die Extremalprobleme in
Kapitel 5 sehr viel intensiver genutzt werden. Die Nutzung wird dadurch vereinfacht, dass die Abschnitte in
Kapitel 5 nach den benötigten Funktionstypen geordnet sind.
Ein kurzes Eingehen auf die erforderlichen Voraussetzungen ist sinnvoll:
Man benötigt zumeist nur das notwendige Kriterium für das Vorliegen eines lokalen Extremums und
den Satz vom Maximum/Minimum. Wenn sich nämlich die Extremaluntersuchung für eine differenzierbare
(und damit insbesondere stetige) Funktion auf ein abgeschlossenes Intervall [a;b] bezieht, sichert letzterer Satz
die Existenz eines absoluten Maximums/Minimums, welches entweder auf dem Rand des Intervalls oder in
dessen Innerem liegen muss. Im letzten Fall muss an der betreffenden Stelle eine Nullstelle der ersten
Ableitung liegen. Die Ermittlung des absoluten Extremums erfolgt nun durch einen Vergleich von
Funktionswerten. Überflüssig ist insbesondere die Kenntnis des häufig benutzten hinreichenden Kriteriums für
das Vorliegen eines lokalen(!) Extremums mit der zweiten Ableitung.
Die beiden o.g. Sätze können natürlich auch (zunächst?!) der Anschauung entnommen werden.
Funktionsuntersuchungen
Auch hier ist eine teilweise Integration möglich, wenn man etwa den Monotoniesatz für differenzierbare
Funktionen der Anschauung entnimmt.
Die Ableitung als lokale Änderungsrate
Die Bedeutung der Ableitung als lokale Änderungsrate spielt in vielen Anwendungen eine Rolle. Auf die
Bedeutung bei der (numerischen) Lösung von Differenzialgleichungen wird nachfolgend kurz eingegangen und
soll hier übergangen werden. Aufgaben, die diesen Aspekt akzentuieren, finden sich beispielsweise in
Abschnitt 1.1, Übung 13 und 14, Abschnitt 1.3, Übung 4 und 5 (hier mit deutlich physikalischem Akzent)
und in Abschnitt 1.4, Übung 8 und 9.
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Abschnitt 1.1 Übung 13
Abschnitt 1.1 Übung 14
Abschnitt 1.3 Übung 4
Abschnitt 1.3 Übung 5
Differenzialgleichungen
Differenzialgleichungen besitzen eine außerordentlich große Anwendungsrelevanz. Diese beruht vor allem
darauf, dass es viele Vorgänge gibt, die sich lokal, beispielsweise in einem sehr kleinen Zeitintervall, recht
einfach beschreiben lassen und mit dieser Beschreibung einen Zusammenhang zwischen einer (unbekannten)
Funktion und ihrer Ableitung (oder ihren Ableitungen) liefern.
Übung 7 in Abschnitt 4.5 liefert ein schönes Beispiel, das sich auch dann in den Unterricht integrieren lässt,
wenn keine explizite Behandlung von Differenzialgleichungen vorgesehen ist. Die Differenzialgleichung, die
sich ergibt, ist zwar inhomogen, die Inhomogenität lässt sich jedoch durch eine Differentiation beseitigen.
Abschnitt 4.5
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Übung 7
In der augenblicklichen curricularen Diskussion mag es ein wenig exotisch klingen, wenn eine stärkere
Berücksichtigung von Differenzialgleichungen eingefordert wird. Aber vielleicht sollten doch die
Möglichkeiten, die durch die neuen Medien geschaffen sind, auch in diesem Punkt eine Diskussion anstoßen.
Genaueres zu den Möglichkeiten ergibt sich aus Kapitel 5 der CD Anwendungen der Analysis. Die
numerischen Verfahren basieren lediglich auf der Interpretation der Ableitung als lokalem Wachstumsfaktor
(lokale Änderungsrate) und liefern ein konstruktives Verständnis vom sog. Eindeutigkeitssatz. Man gelangt
durch die Darstellung der iterativ gefundenen Näherungslösungen im Koordinatensystem zu einer Vermutung
über die Struktur der genauen Lösungsfunktionen und kann dann in einigen interessanten Fällen ein
Anfangswertproblem durch einen naheliegenden Ansatz exakt lösen.
Kapitel 3: Ableitungen und Wachstumsverhalten
1. Monotonieuntersuchungen
Formulierungen des Monotoniesatzes und Konsequenzen
Grundlage der Untersuchungen ist der globale Monotoniesatz. Abschnitt 3.1.1 bietet ihn in drei
Formulierungen an. Er kann der Anschauung entnommen werden oder, wenn bekannt, in jeder der drei
Formulierungen mithilfe des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung bewiesen werden. Der Beweis für die 3.
Formulierung findet sich auf der Lernseite 3.1.1. Die Beweise der beiden ersten Formulierungen folgen
wörtlich genauso, nur ist es jetzt nicht mehr wichtig, dass die Stelle c im Intervallinneren liegt.
Tatsächlich liefert der Monotoniesatz in der 3. Formulierung eine Verschärfung, die gelegentlich gewollt sein
kann: Eine Funktion mit durchweg nichtnegativer Ableitung und nur endlich vielen Nullstellen der Ableitung
ist eben nicht nur monoton, sondern streng monoton wachsend. Wenn ferner bei einer differenzierbaren
Funktion f ’(a) = 0, ist und die Ableitung links von a positiv und rechts von a negativ ist, folgt aus der dritten
Formulierung, dass in a nicht nur ein Maximum, sondern ein strenges Maximum liegt.
Für die Arbeit mit dem vorliegenden Programm reicht die Kenntnis der beiden ersten Formulierungen.
Die dritte Formulierung kann im Unterricht herangezogen werden, um gelegentliche Vertiefungen
vorzunehmen.
Vom globalen Monotoniesatz zu unterscheiden ist der lokale Monotoniesatz. Er besagt das Folgende:
Liegt a im Inneren eines Intervalls I und ist für eine differenzierbare Funktion f die Ableitung f ’(a) > 0, so
existiert eine Umgebung U von a, so dass für alle x  U mit x > 0 auch f(x) > f(a) und für alle x  U mit x < 0
auch f(x) < f(a) ist. Das bedeutet nicht, dass f in U (streng) monoton ist. Es wird nämlich nur mit f(a)
verglichen. Für eine Problematisierung bzw. eine Veranschaulichung eignet sich Übung 2 in Abschnitt 3.1.2.
Die (natürlich verzichtbare) Aufgabe soll keine neue Begrifflichkeit einführen. Sie kann jedoch geeignet sein,
die Anschauung zum Monotoniebegriff zu schärfen.
Bedeutung des Monotoniesatzes im Aufbau der Differenzialrechnung
Ein wirkliches Verständnis des lokalen Monotoniesatzes lässt sich wohl nur erreichen, wenn Beispiele wie in
Übung 2, Abschnitt 3.1.1, behandelt werden. Da jedoch im Schulunterricht bis auf Ausnahmen nur stetig
differenzierbare Funktionen untersucht werden, liegt es nahe, den globalen Monotoniesatz zur
beweistechnischen Grundlage zu machen. Entsprechend verfährt das vorliegende Programm, ohne
gelegentliche optionale Vertiefungen auszulassen. Einfache Anwendungen des Monotoniesatzes finden sich
in Übung 1, Abschnitt 3.1.1. Insbesondere wird der globale Monotoniesatz auch zum Beweis des häufig
benutzten hinreichenden Kriteriums für das Vorliegen eines lokalen Extremums mithilfe der 2. Ableitung
herangezogen.
2. Extremaluntersuchungen
Differenzierbarkeit vorausgesetzt kann eine Stelle a nur dann lokale Extremalstelle einer Funktion f sein, wenn
f ’(a) = 0 ist. Der Beweis dieser auch anschaulich sehr plausiblen Aussage findet sich in Abschnitt 3.2.1.
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Übung 2 in Abschnitt 3.2.1 übt den Umgang mit dem Kriterium, geht aber auch den nächsten Abschnitt
vorbereitend darüber hinaus: Nach Eingabe der Nullstellen wird zusätzlich zum Graphen von f der Graph von f
’ gezeichnet und nachgefragt, ob Extrema vorliegen. Dabei ist es durchaus sinnvoll, sowohl den Graphen von f
als auch den Graphen von f ’ ins Auge zu fassen, die Zusammenhänge zu beobachten und den Monotoniesatz
mit zur Begründung heranzuziehen. Inhaltliches und geometrisches Verstehen stehen im Vordergrund der
Übung.
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Abschnitt 3.2 Übung 2
Abschnitt 3.2 Übung 3
Abschnitt 3.2.2 thematisiert als erstes hinreichendes Kriterium das Vorzeichenwechselkriterium. Wichtig für
das Anwenden des Kriteriums ist Übung 3: Es behandelt die Frage, wie man mit ihm umzugehen hat und wie
der Umgang mathematisch gerechtfertigt werden kann. Es reicht schließlich nicht, kritiklos links und rechts
von der Nullstelle einer Ableitung je einen Funktionswert von f ’ auszurechnen, sondern man muss genau
überlegen, unter welchen Bedingungen dies ausreicht.
Übung 4 schließlich wendet das Kriterium an. In Übung 4 kann jederzeit der Graph von f abgerufen werden,
der in einem Teil der Aufgaben die Nullstellen von f ’ oder zumindest deren Anzahl erkennen lässt. Es handelt
sich somit um eine Lösungshilfe, von der Schüler in Eigenarbeit unterschiedlichen Gebrauch machen können.
Der Lehrer wird diese Hilfe situativ sinnvoll einsetzen.
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Abschnitt 3.2 Übung 4
Abschnitt 3.2 Übung 5
Übung 5 behandelt einen Beweis des wohl am häufigsten benutzten hinreichenden Kriteriums für die Existenz
eines lokalen Extremums. Der Beweis setzt zweimalige stetige Differenzierbarkeit voraus und arbeitet mit dem
globalen Monotoniesatz. Tatsächlich könnte man beim Nachweis des Kriteriums auf die Stetigkeitsforderung
an f “ verzichten und könnte sogar einen Beweis notieren, der nicht wie der globale Monotoniesatz auf dem
Mittelwertsatz der Differenzialrechnung basiert. Der Vorteil der Arbeit mit dem globalen Monotoniesatz liegt
darin, dass es relativ einfach ist, den Beweis als Bilderfolge zu vermitteln, wie es in Übung 5 geschieht. Der
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durch die Abschwächung erzielte Gewinn ist außerdem nicht sehr hoch anzusetzen. Übung 6 übt den in Übung
5 bewiesenen Satz ein.
3. Krümmung und Wendepunkte
Der Begriff Krümmung wird in Übung 1, Abschnitt 3.3.1 über die strenge Monotonie von f ’ definiert und
veranschaulicht. Daraus ergibt sich die Definition des Wendepunktes in natürlicher Weise: (a;f(a)) heißt
Wendepunkt von f, wenn es eine Umgebung von a gibt, in welcher der Graph von f links von a anders
gekrümmt ist als rechts von a.
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Abschnitt 3.3 Übung 1
Bisweilen findet sich auch der Vorschlag, einen Wendepunkt als lokales Extremum von f ’ zu definieren. In
gewisser Weise enthebt eine solche Definition weitgehend von der Arbeit, Existenzkriterien nachzuweisen. Es
ist jedoch bei einem solchen Vorschlag zu bedenken, dass die dann getroffene Definition für differenzierbare
Funktionen nicht mit der soeben abgefassten äquivalent ist. Beispiele, die das belegen, lassen sich mithilfe lokal
unendlich oft oszillierenden Funktionen konstruieren.
Bei der Untersuchung des Krümmungsverhaltens spielt wieder der globale Monotoniesatz eine entscheidende
Rolle.
Kapitel 4: Funktionsuntersuchungen
1. Grundsätzliches
Zur Terminologie
Für den Inhalt dieses Kapitels ist der Name „Kurvendiskussionen“ verbreitet. Er wird hier aus folgendem
Grund nicht gebraucht: Der Begriff „Kurve“ wird zum einen in der Mathematik für Abbildungen eines
Intervalls I in den Rn benutzt: t  I  f(t)Rn. Solche Kurven heißen auch Parameterkurven. Differenzierbare
Parameterkurven können im allgemeinen nicht als Funktionsgraphen interpretiert werden und weisen im Falle
differenzierbarer Parameterkurven Besonderheiten auf, zu denen man keine Entsprechung bei
Funktionsgraphen kennt. Sie können beispielsweise Ecken besitzen.
Natürlich kann man jeden Funktionsgraphen einer auf einem Intervall definierten Funktion f durch x 
(x;f(x)) parametrisieren, aber auch wenn man diese Parametrisierung als kanonische Parametrisierung
bezeichnet, liefert sie meist keine sehr natürliche Darstellung. Als Beispiel sei der Einheitskreis genannt, der
gewöhnlich durch t (cos t; sin t) parametrisiert wird. Ein eigenes Kapitel „Kurventheorie“ findet sich auf der
CD Anwendungen der Analysis.
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Man spricht in der Mathematik auch von Kurven, wenn man mittels bidifferenzierbarer Abbildungen zwischen
verschiedenen Parametern eine Klassenbildung durchführt, wobei dies wiederum je nach Problemlage eine
Klassifizierung mit oder ohne Orientierung sein kann. Aber dieser Begriff Kurve entspricht noch weniger dem
Graphen einer Funktion.
Legitimation
Durch die neuen Medien stellt sich die Legitimationsfrage für die Behandlung von Funktionsuntersuchungen
neu. Computeralgebra-Systeme besitzen durchweg Programme zum komfortablen Zeichnen von
Funktionsgraphen, und auch diesem Programm ist ein recht ansprechendes Funktionszeichenprogramm
beigefügt. Darüber hinaus kann man für eine große Klasse von Funktionen deren Untersuchung auf Extrema,
Wendepunkte usw. automatisieren, d.h. durch ein entsprechendes Programm erledigen lassen. Worin besteht
dann der spezifische Beitrag von Funktionsuntersuchungen zur mathematischen Bildung?
Im Grunde ist mit dem Auftreten von Computer-Algebra-Systemen eine Situation entstanden, die auf etwas
niedrigerer Stufe mit der Einführung des Taschenrechners bereits seit Jahrzehnten Realität ist. Die Einführung
des Taschenrechners hat nicht das Rechnen überflüssig gemacht, hat aber sicher zu Verschiebungen in den
Akzentsetzungen geführt. Ähnliches ist auch im Zusammenhang mit Funktionsuntersuchungen zu überlegen.
Es wird weniger darum gehen, diese nach einem mehr oder weniger festen Ritual durchzuführen als
vielmehr verstehenden Umgang mit verfügbaren Hilfsmitteln anzustreben und funktionales Denken
einzuüben.
Ersteres bedeutet z.B. auf Extremaluntersuchungen bezogen, dass situativ unterschiedene Hilfsmittel
herangezogen werden. Lautet etwa die Ableitung einer Funktion f ’(x) = (x-3)·exp(x), so liefert das Kriterium
mit der zweiten Ableitung wegen f “(x) = (x-2)·exp(x) für die Stelle 3 ein lokales Minimum. Der (häufig bei
Funktionsuntersuchungen vernachlässigte) Monotoniesatz liefert mit weniger Aufwand mehr: Da f ’(x) für x <
3 negativ und für x > 3 positiv ist, liegt an der Stelle 3 ein globales Minimum.
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Abschnitt 4.4 Übung 1
Abschnitt 4.4 Übung 2
Funktionales Denken kann z.B. dadurch eingeübt werden, dass man einer systematischen
Funktionsuntersuchung eine qualitative Analyse vorschaltet, wie dies beispielsweise in den Übungen 1 und 2
des Abschnitts 4.4 und bei der Untersuchung von Parameterfunktionen in Abschnitt 4.5 vorgesehen ist. Eine
große Bedeutung hat auch die Untersuchung von Parameterfunktionen verbunden mit der Möglichkeit der
stetigen Änderung von Parametern, die in Abschnitt 4.5 in den Übungen 2, 3 und 4 realisiert wird. Auch die
Untersuchung der Ortslinien ausgezeichneter Punkte auf den Graphen von Funktionenscharen (Abschnitt
4.5.5, Übung 6) kann sehr lehrreich sein.
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Abschnitt 4.5 Übung 2
Abschnitt 4.5 Übung 3
Anwendungen
Wir tun uns schwer damit, das Verhalten von Krümmungen mit dem Auge zu beurteilen. Krümmungen und
ihre Änderungen besitzen jedoch erhebliche Relevanz bei Trassierungen von Straßen und bei
Schienenführungen. Übung 3 in Abschnitt 4.3.3 macht dies an einem Beispiel deutlich. Anschlüsse von
Schienenführungen müssen mindestens stetig differenzierbar sein, um plötzliche schädigende
Krafteinwirkungen auf Fahrzeuge zu vermeiden.
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Abschnitt 4.3 Übung 3
Abschnitt 4.3 Übung 4
In Übung 3, Abschnitt 4.3 wird mit einem Interpolationspolynom gearbeitet. Der wachsende Grad von
Interpolationspolynomen mit der Anzahl der Stützpunkte führt häufig bei vielen Stützpunkten zu
„unerwünschten Krümmungen“. Als Alternative wird daher in Übung 4, Abschnitt 4.3 die Trassierung mithilfe
einer Spline-Interpolation behandelt.
Die Grundidee wird in Abschnitt 4.3.4 ausführlich erläutert.
Ohne besondere Maßnahmen führt die Spline-Interpolation schnell zu dem Problem, lineare
Gleichungssysteme mit vielen Variablen lösen zu müssen. Selbst die Durchführung mit 3 Stützpunkten führt zu
8 Gleichungen mit 8 Variablen. In Übung 4 wird jedoch mit einem geschickten Ansatz erreicht, dass 4 der
Variablen unmittelbar bestimmt werden können, so dass nur noch ein Gleichungssystem von 4 Gleichungen mit
4 Variablen gelöst werden muss. Dazu kann natürlich auch das Hilfsprogramm Gaußalgorithmus benutzt
werden.
Physikalische Gründe führen zu dem Postulat, dass bei Trassierungen Anschlüsse jeweils durch Funktionen
beschrieben werden müssen, die zweimal stetig differenzierbar sind, d.h. die zweimal differenzierbar sind und
deren zweite Ableitung stetig ist. Dies Postulat findet in den beiden genannten Übungen Berücksichtigung.
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Darüber hinaus ist jedoch die Frage von Bedeutung, welche Zentripetalkraft beim Durchfahren auf ein
Fahrzeug einwirkt. Deren Betrag wächst quadratisch mit der Geschwindigkeit und ist antiproportional zum
Krümmungsradius.
Mit Krümmungskreisen und den damit zusammenhängenden Anwendungen befassen sich die Abschnitte 3.4.2
– 3.4.5 zusammen mit den Übungen. Die Behandlung kann natürlich problemlos in Kapitel 4 integriert werden.
Für den Fall, dass die Ableitung 0 ist, lässt sich der Krümmungsradius sehr einfach berechnen.
Abschnitt 3.4 Übung 3
Abschnitt 3.4 Übung 8
Die Anwendung auf Trassierungsfragen erfordert allerdings eine allgemeine Berechnung. Wenngleich die
numerische Bearbeitung ein wenig aufwändig ist, lässt sich die Idee, die der Berechnung zugrunde liegt, recht
schön erarbeiten. Diese wird auf der Lernseite 3.4.4 eigens betont.
Ein besonders wichtiges Trassierungsverfahren arbeitet mit Klothoiden. Es ist mathematisch anspruchvoller
und wird in dem Paket Anwendungen der Analysis in Kapitel 4 behandelt.
Kapitel 5: Extremalprobleme
1. Anmerkungen zu Voraussetzungen und Integration
Das Kapitel behandelt sog. angewandte Extremwertaufgaben. Es geht in jedem Fall darum, das absolute
Maximum/Minimum einer Funktion zu bestimmen, deren Definitionsbereich in den auftretenden Beispielen
ein (beschränktes oder unbeschränktes) Intervall ist.
Aus der Tatsache, dass die Aufgaben das letzte Kapitel bilden, sollte nicht geschlossen werden, dass sie auch
am Schluss eines Kurses zur Differenzialrechnung behandelt werden sollen. Im Gegenteil: Die Aufgaben
bieten sich geradezu für eine Integration an. Um diese zu erleichtern, wurde (vom letzten Abschnitt abgesehen)
eine Gliederung des Kapitels nach Funktionstypen vorgenommen. Die Kenntnis der Ableitungsregeln für die
betreffenden Funktionstypen werden allerdings in jedem Falle vorausgesetzt.
Ansonsten sind die Voraussetzungen je nach Bereitschaft, es für bestimmte Fakten bei einer anschaulichen
Begründung zu belassen, unter Umständen minimal.
Insbesondere ist die Kenntnis des häufig benutzten hinreichenden Kriteriums für das Vorliegen eines lokalen
Maximums, welches mit f ’’ arbeitet, überflüssig. Es handelt sich ja nur um ein lokales Kriterium.
Entsprechendes gilt für das Vorzeichenwechselkriterium in der üblichen Formulierung. Einige typische
Beispiele seien zur Erläuterung angefügt.
1. Fall: Es ist das absolute Maximum/Minimum einer differenzierbaren Funktion f auf einem abgeschlossenen
und beschränkten Intervall [a;b] gesucht.
Wenn man den Satz vom Maximum/Minimum für stetige Funktionen anschaulich akzeptiert (zum exakten
Beweis vgl. Anhang zu Kapitel 1), ist klar: Das Maximum /Minimum liegt entweder in a oder in b oder im
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Inneren von [a;b]. In letzterem Fall ist die Extremalstelle eine Nullstelle von f ’. Man braucht also nur die
Funktionswerte von f in a und b mit den Funktionswerten an den Nullstellen von f ’ zu vergleichen.
2. Fall: Es ist das absolute Maximum/Minimum einer differenzierbaren Funktion f auf einem offenen Intervall
]a;b[ gesucht. In diesem Fall wird man die Grenzwerte von f für x  a und x  b (eigentliche bzw.
uneigentliche Existenz vorausgesetzt) mit den Funktionswerten von f in den Nullstellen von f ’ vergleichen.
Dabei sind auch die Fälle a = -  und b =  mit erfasst.
Die beiden Fallbeispiele sollten natürlich nicht zu einem Schema werden. Es ist vielmehr sinnvoll, in
Abhängigkeit zum Kenntnisstand verfügbare Hilfsmittel flexibel einzusetzen. Ein wichtiges Hilfsmittel ist
der globale Monotoniesatz: Wenn beispielsweise f ’ im Inneren eines Intervalls genau eine Nullstelle c
aufweist, links von dieser Stelle positiv und rechts von ihr negativ ist, so liegt in c das globale Maximum.
2. Zu den Lösungsverfahren
Zu den Extremalaufgaben werden zahlreiche sukzessive abrufbare Hilfen angeboten. Es sollte versucht werden,
diese nur nach vorheriger intensiver Überlegung zu nutzen. Andererseits kann es auch nach einer
selbstständigen Bearbeitung nützlich sein, sich die Hilfen nachträglich anzusehen, um den eigenen Lösungsweg
mit den darin angebotenen zu vergleichen
3. Zu den Aufgabentypen
Rationale Funktionen
Als Einstiegsproblem wurde mit Übung 1 in Abschnitt 5.1.1 eine Aufgabe gewählt (Maximierung eines
Quadervolumens), in der das absolute Maximum einer auf einem kompakten Intervall [0;b] definierten
Funktion f mit f(0) = f(b) = 0 zu bestimmen ist, deren Funktionswerte in ]0;b[ sämtlich positiv sind. Das
absolute Maximum kann also nur dort liegen, wo f ’(x) = 0 ist, und das ist jeweils an genau einer Stelle der Fall.
Wie bereits unter 1. ausgeführt, ist die Betrachtung von f ’’ absolut überflüssig, so dass die Aufgabe bereits sehr
früh in einem Kurs „Differenzialrechnung“ integriert werden kann. Zum Verständnis des Problems kann die
Form des Quaders mit den Pfeiltasten verändert werden. Nützlich (Lernzielkontrolle!) ist auch nach der
Eingabe der Lösung der Vergleich mit dem Funktionsgraphen.
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Abschnitt 5.1 Übung 1
Abschnitt 5.1 Übung 2
Übung 2 in Abschnitt 5.1.2 besitzt eine entsprechende Struktur wie Übung 1, es treten jedoch jetzt zusätzlich
Formvariable auf. Es ist im übrigen wichtig, Schüler daran zu gewöhnen, die Variable, nach welcher
differenziert wird, nicht immer mit x zu bezeichnen. Vor allem im Physikunterricht werden Variable an ihrer
inhaltlichen Bedeutung orientiert benannt. Natürlich kann man die Begründung für das Maximum auch etwas
schlichter gemäß den Ausführungen unter 2. Fall abfassen.
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Abschnitt 5.1 Übung 3
Abschnitt 5.1 Übung 4
Während in den bisherigen Übungen nur ganz-rationale Funktionen auftraten, verlangen die Übungen 3 und 4
in Abschnitt 5.1.3 die Untersuchung einfacher gebrochen-rationaler Funktionen. Außerdem kommen jetzt
Nebenbedingungen ins Spiel. Die Veränderungsmöglichkeit der Form in Übung 3 mithilfe der Pfeiltasten kann
den entscheidenden Gedanken stützen, dass durch die Nebenbedingung ein Problem für eine Funktion einer
Variablen vorliegt. Nützlich zur Lernzielkontrolle ist auch der Vergleich mit dem kartesischen Graphen, der
nach Ermittlung der Lösung möglich ist.
Algebraische Funktionen
Übung 1 in Abschnitt 5.2.1 kann prinzipiell noch als eine Aufgabe zu ganz-rationalen Funktionen aufgefasst
werden. Man braucht dazu nur anstelle der Funktion V(b) die Funktion V2(b) zu betrachten.
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Abschnitt 5.2 Übung 1
Abschnitt 5.2 Übung 2
Übung 2 in Abschnitt 5.2.2 setzt dagegen die Verfügbarkeit der Kettenregel voraus. Wichtig an diesem
Beispiel ist auch, dass das gesuchte Minimum auf dem Rand eines Intervalls [0;b] liegen kann, so dass der
Funktionswert in der Nullstelle von T’ mit den Funktionswerten in den Randpunkten verglichen werden muss.
Nach der Eingabe der Lösung wird der Graph der Funktion x  T(x) in das Bild der Aufgabe gezeichnet. Dies
verdeutlicht, warum gelegentlich das gesuchte Minimum auf dem Rand liegt. Es ist nützlich, sich diese
Situationen auch an dem vorgegebenen Zahlenmaterial zu verdeutlichen.
Transzendente Funktionen
Die Übungen 1 und 3 in Abschnitt 5.3 sind beide recht anspruchsvoll. In Übung 1 wird die Kenntnis der
Ableitungen von sin und cos vorausgesetzt. Die Nullstellensuche von A’(u) verlangt eine Substitution von sin
u. Übung 3 ist darüber hinaus durch den physikalischen Inhalt anspruchvoll, der natürlich auf der Lernseite nur
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in relativ knapper Form dargestellt werden konnte. Übung 2 ist im Grunde nicht schwierig, arbeitet allerdings
mit der Ableitung von arctan.
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Abschnitt 5.3 Übung 1
Abschnitt 5.3 Übung 2
Extremalprobleme und Modellbildung
Hier werden interessante Extremalfragen zur Optimierung eines Verkehrsflusses behandelt, wobei der
Modellierungsaspekt im Vordergrund steht. Neben den in den Übungen thematisierten Modellbildungen
lassen sich durchaus weitere Möglichkeiten ins Auge fassen. Es wird lediglich die Kenntnis der Ableitung
gebrochen rationaler Funktionen vorausgesetzt.
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Abschnitt 5.5 Übung 1
Abschnitt 5.5 Übung 3
Auf den ersten Blick überraschend bei Übung 3 ist die Unabhängigkeit der Maximalstelle vmax für die
Geschwindigkeit. Eine Diskussion dürfte hier lohnen. Die zu vmax gehörige Verkehrsdichte ist allerdings umso
größer, je kürzer die Reaktionszeit ist.
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