Aufgaben zu Ableitungen III (Word-Format

Gymnasium „Am Thie“
Blankenburg
Übungen zu Ableitungsregeln
1.
Bestimme die Ableitung fi ( x ) für folgende Funktionen:
2.
3.2 f 2 (x)  x n 3
3.3 f 3 ( x )  x t 3
3.4 f 4 ( x )  x 0
An welchen Stellen x 0 des Graphen der Funktion f(x) bzw. g(x) hat die Ableitung den angegebenen Wert?
f (x o )  27
g (x o )  20
4.2 g( x )  5x 4
Bestimme jeweils die Ableitung folgender Funktionen!
5.1 f1 (x)  x 3 
1 2
x 4
2
1 3
z  z2  2
3
5.2 f 2 (z) 
5.3 f 3 (x)  x 
1
x
1 2
x x
4
5.4 f 4 ( x ) 
5.6 f 6 (t )  t t  1t  2
5.5 f 5 ( x )  2 x 2  1
6.
1 2
x
2
2.4 f 4 ( x) 
Bilde die Ableitung der nachstehenden Funktionen! Alle Exponenten sind natürliche Zahlen.
4.1 f ( x )  x 3
5.
2.3 f3 ( x )  4 x 5
2.2 f 2 ( x )  8x3
3.1 f1( x )  x z
4.
1.4 f 4 ( x )  2 x
1
1.5 f 5 ( x )   3 x
1.6 f6 (x) 
2x
Ermittle für folgende Funktionen mit Hilfe der Faktorregel und Potenzregel die 1. Ableitung!
2.1 f1 ( x )  x
3.
1.3 f3(x)  1
1.2 f 2 ( x )  2
1.1 f1 ( x )  2
Leite folgende Funktionen ab:
6.1 h (s)  as 2
6.2 f (r)  c 2 r 3
6.5 r(s)  3 2s  s 5
6.6 f (x)  ax 3  bx 2  cx  d 6.7 f (x)  at 3 x 2  t 2 x  t 3 6.8 f (t )  t 2  2t
6.3 f (x)  2x 3 x 4
6.4 f (z)  0,6z 4
6.9 o(r )  2r 2  2rh
7.
Bilde die 1. Ableitung mithilfe der Produktregel!

7.1 f1 ( x )  x x  1
8.
7.2 f 2 (x)  x 5 x 2  2x




7.3 f 3 ( x )  x 2  1 x 3  1
7.4 f 4 (x) 
 x  x3x 2  2x  1
Bestimme die Ableitung folgender Funktionen durch Ausmultiplizieren und mithilfe der Produktregel!






1

8.2 g(x)   x  1 3x 3  1 8.3 h( x)  x x 2  x  1
2

8.1 f (x)  2  x  x 2  1
8.4 f (s)  s 2 s  12  0,5s
8.5 g( t )  1  t t  12t  3 8.6 k ( x )  a  bx c  dx 
9.
Ermittle jeweils die Ableitung folgender Funktion:
9.1 f ( x ) 
10.
11.
f1 ( x ) 
5.
f 5 (t)  t  t

2
a
2.
f 2 (x) 
6.
f 6 (z)  2 z  33 z  44 z 7.
3.
x3
4
f 3 (x)  x 7


f 7 (x)  x 2  1 3 x
4.
f 4 (x) 
8.
f8 (x) 
a
nx
x x
x
f (x)  x , x  0
xo  1 / 10 / 100
2.
3
g( x )  x 2 , x  0
xo  1 / 10 / 100
Bilde die Ableitung folgender Funktionen mithilfe der Quotientenregel:
f (x) 
x 1
, x 1
x 1
2.
g( x ) 
x2  x  6
, x  -2
3x  6
3.
h(x) 
4
2
x 1
Bilde jeweils die Ableitung folgender Funktionen: (Die Exponenten sind natürliche Zahlen.)
f (x)  x n 1
2.
g( x)  x k 1  x k 1
3.
h ( x )  x 2n  x r
4.
4.
k(x) 
x2 1
4
k(x) 
x n 1
n 1
Bilde die Ableitung folgender Funktionen und gib die Stellen an, an denen die Funktionen möglicherweise nicht differenzierbar sind:
1.
5.
15.
x4
Berechne den Anstieg des Graphen der Funktion f(x) bzw. g(x) an der Stelle x o !
1.
14.
2
1.
1.
13.
3
9.2 f ( x)  x 2 , x  0
Bilde jeweils die Ableitung folgender Funktionen und gib jeweils den Definitionsbereich der Ableitung an:
1.
12.
4
3x 3
f (x) 
k(x) 
7
3
x 1
2.
1
x
7
6.
g(x ) 
m( t ) 
6x
2
x 2
1
t
4

3.
h(x) 
1
4x
3
1
t2
Berechne jeweils den Anstieg folgender Funktionen an der Stelle xo:
1.
f (x) 
x4 1
, xo  2
2x  1
2.
g( x ) 
1 x2
, x o  1
x
4.
j(r ) 
4  r2
r2  4
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Übungen zu Ableitungsregeln
16.
Gib jeweils die Gleichungen der Tangenten in x0 = -1 und x0 = 2 an!
1.
17.
18.
1
x
f 2 (x) 
2.
3
f 3 (x) 
3.
2x 2
x
x 1
Bilde die Ableitung folgender Funktionen unter Benutzung der Kettenregel:
1.
f1 ( x)  2  3x 2
5.
f 5 (x)  2 x 2  3 x


2.
f 2 (x)  4  x 2
6.
f 6 (x) 
2
2

3 x  2x 2
3.
1 

f 3 ( x )  1  x  x 3 
3 

3.
 2r  5 
h (r )  

 3r  1 
2
4.
f 4 ( x )  2x
4.
k ( x )  x 2  1 x  7 
3
Bilde die Ableitung folgender Funktionen:
1.
19.
f1 ( x ) 
t2 1
f (t ) 
t  1
2
g(x)  4  x 3 x  54
2.
3
3



(x  0) /
- x
(x  0)
4
Bestimme von folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:
1.
f (x)  px  q n n  N*
g( x )  n px  q n  N * px  q  0
2.
Lösungen:
(1)
f ( x )  0
0/0/2/- 3 /-
(2)
f (x)  1
24x2 / 20x4 / x
(3)
f (x)  zx z 1
(4)
4.1
(5)
f ( x )  3x 2  x
(6)
h(s)  2as
(7)
f ( x )  2x  1
1
2x 2
(n  3)xn  2 / (t - 3)xt - 4 / 0
f (x)  3x 2 ; f  (x0 )  27; x 01  3; x 0 2  -3
z 2  2z / 1 -
1
x
1
x  1 / 4x / 3t2  2 t  2
2
/
2
g( x )  20x 3 ; g (x0 )  20; x 0  1
4.2
3c 2 r 2 / 14x6 / 2,4z3 / 3 2  5s4 / 3ax2  2bx  c / 2at3x  t 2 / - 2t  2 / 4r  2h
1
7x6  12x5 / 5x4  3x2 - 2x / 9x2  4x  7,5 x 3  3 x 
1
2 x
(8)
f (x)  3x 2  4x - 1
(9)
f ( x )  
(10)
f ( x )  
4
f (x) 
x4
8
x
6x3  9x2 2
33 x
(x  0)
5
1
/ 3x2 - 2x - 1 / - 2s3  7,5s2 - 4s / - 6t2 - 6t  2 / - 2bdx  ad - bc
2
-
3a
x
4
(x  0) /
1
2(t - t )(1-
74 3
a
x (x  0) / (x  0)
n n 1
4
n x
1
) (t  0) /
2 t
(11)
11.1
(12)
f (x) 

z
1
3 2
z
f (1)  0,5 f (10) 0,16 f (100) 0,05
3x2  12x  12
-2
2
(3x  6) 2
(x - 1)
(13)
f (x)  (n  1)x n  2
(14)
f (x) 
 21x 2
3
(x  1)
4
3
6x  4 x  2
(15)
f (x) 
(16)
16.1
f (1)  1 t : y  -x - 2
16.2
f (1)  3 t : y  3x  4,5
(2x  1)
2
- 8x
(x2  1) 2
1
(z  0)
4 3
z
x2 1
3
3 x
f (1) 
11.2
/
2x  3 x 
2
2x2
2
f (10) 0,3 f (100) 0,14
3
1
x
2
(k  1)xk  (k  1)x k  2 / 2nx2n -1  rxr 1 / xn
(x  1)
2
/

x 2  12x  2
2
(x  2)
2
(x  R)
-3
/
(x  0) / 0 (r  2)
4x
m  f (2)  6,9
g(x) 
f (2)  
4
- x2 1
x2
1
1
t: y  - x 1
4
4
f (2)  
3
3
9
t: y  - x 
8
8
8
m  g(-1)  - 2
/
7
x8
(x  0)
/ -
4 2
(t  0)
t5 t3
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Übungen zu Ableitungsregeln
16.3
(17)
f (1)  
f ( x )  12  18x
(18)
f ( t ) 
(19)
19.1
 4t
2
( t  1)
3
1
1
1
t: y  - x 
4
4
4
- 8  2x
f (2)  1 t : y  -x  4
/
(2x2  2)(1  x 
3(4  x)2 ( x  5)4  4(4  x )3 ( x  5)3
f (x)  np(px  q) n 1 n  N
19.2
/
1 3
x )
3
 2r  5 
3

 3r  1 
1
/
6
/ (x2  3 x )(8x 
2x
2
g(x) 

  17 
 3r  12 


)
/
x
/



- (4x  1) 2
(x  2x2 ) 4

3
4 x 2  1 x  7  3x 2  14x  1
pn
px  q1n n  N px  q  0
n