Konstruktion von Dreiecken
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Kü /Ma Geometrie – Konstruktion von Dreiecken SJ 2014/2015 Skript zum Thema „Konstruktion von Dreiecken“ Inhalt Skript zum Thema „Konstruktion von Dreiecken“ .................................................................... 1 Einleitung – Worum geht’s? .................................................................................................. 2 Zielkompetenzen – Was muss ich am Ende können? ............................................................ 2 Zur Verfügung stehendes Material – Gesamtübersicht .......................................................... 3 Kompetenzen ...................................................................................................................... 4 Modul 1 wichtige Grundlagen ............................................................................................ 5 Warum eigentlich immer Dreiecke? .............................................................................. 5 Welche Arten von Dreiecken gibt es? ................................................................................ 5 Definition „Konstruieren“ .................................................................................................. 5 Modul 2 Größen am Dreieck konstruieren ............................................................................. 6 Winkelhalbierende (wα, wβ, und wγ) .................................................................................. 6 Mittelsenkrechte (ma, mb, und mc) ................................................................................ 7 Seitenhalbierende (sa, sb, und sc) ................................................................................. 8 Höhe in einem Dreieck (ha, hb, und hc) ........................................................................ 9 Umkreis ........................................................................................................................... 10 Inkreis .............................................................................................................................. 11 Kompetenzen Modul 2 ..................................................................................................... 12 Modul 3 Dreiecke konstruieren ............................................................................................ 13 Kongruenzsätze ................................................................................................................ 13 Konstruktion bei SSS ....................................................................................................... 14 Konstruktion bei WSW .................................................................................................... 14 Konstruktion bei SWS ...................................................................................................... 14 Konstruktion bei SSW ...................................................................................................... 15 **Zusatz** Erweiterte Konstruktionen ............................................................................ 15 Kompetenzen Modul 3 ..................................................................................................... 16 Kü /Ma Geometrie – Konstruktion von Dreiecken SJ 2014/2015 Einleitung – Worum geht’s? In den nächsten Stunden beschäftigen wir uns mit dem Thema „Konstruktion von Dreiecken“. Das Besondere an dieser Einheit ist, dass du dir das Thema mithilfe dieses Skripts und zusätzlichen Materialien selbstständig erarbeitest! Wie das genau funktioniert, kannst du im übernächsten Abschnitt lesen. Zunächst bekommst du im folgenden Abschnitt eine Übersicht darüber, was du am Ende dieser Einheit können musst. Zielkompetenzen – Was muss ich am Ende können? Jeder Schüler kann dies auf seine eigene Art und Weise und in seinem eigenen Tempo tun. Wichtig ist aber, dass ihr am Ende alle das Gleiche gelernt habt und daher dann auch das Gleiche könnt. Wenn du der Meinung bist, dass du am Ende eines Abschnitts etwas noch nicht gut genug anwenden kannst, frage den Lehrer nach weiteren Aufgaben **Kompetenz-Check** Am Ende der gesamten Einheit solltest du Folgendes können (bitte lies dir das genau durch und kreuze es vor und nach der Bearbeitung des Skriptes einmal ehrlich an): Skript Geometrie am Dreieck - Kompetenzübersicht Wichtig!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Du kannst deine Ergebnisse immer zwischendurch mit dem Lehrer abgleichen, um zu sehen, ob du auf dem richtigen Weg bist. Ein Lernportfolio führen Gerade wenn du an dem Projekt arbeitest (aber auch wenn du mit dem Skript eigenverantwortlich durch das Thema gehst), ist es wichtig, dass du festhältst, - wie du vorgegangen bist, - in welche Probleme du gelaufen bist und wie du sie gelöst hast - was du dadurch gelernt hast und - welche wichtigen Ergebnisse, Erkenntnisse, Merksätze oder Lösungsstrategien du herausgefunden hast. Am besten ist es, wenn du das in deinen eigenen Worten oder auch durch eine Skizze ausdrücken kannst. Selbst wenn das dann nicht ganz richtig ist, ist es besser so, als etwas Fertiges abzuschreiben. Der Lehrer kann so drauf schauen und dir helfen, wenn du etwas noch nicht vollständig verstanden hast. Problemlösestrategien stehen bei diesem Projekt im Vordergrund nicht die Inhalte! Wenn du nicht genau weißt, was du aufschreiben sollst, lasse es dir vom Lehrer erläutern. Vorgefertigte Bögen, wo du Hilfestellung zu den Inhalten des Lernportfolios bekommst, kannst du beim Lehrer abholen, oder findest du im Blog unter Ankreuzbogen zur Lernreflexion (für die „Anfänger“) Hilfsfragen zur Lernreflexion (für „Fortgeschrittene“) Diese Dinge hältst du bitte in einem Blog, einem Online-Notizbuch oder einer ExtraMappe fest! Kü /Ma Geometrie – Konstruktion von Dreiecken SJ 2014/2015 Zur Verfügung stehendes Material – Gesamtübersicht Diese Gesamtübersicht aller erklärenden Materialien soll dir helfen, wenn du noch einmal etwas nachgucken willst, ohne dass du in den einzelnen Modulen lange suchen musst. Dies ist vor allem dann hilfreich, wenn du die Projektaufgabe bearbeitest. Stößt du dabei auf ein Thema, zu dem du Erklärungen benötigst, kannst du dir hier passende Materialien suchen. **Video** „Winkelhalbierende konstruieren“: https://www.youtube.com/watch?v=ljIY0ks0twAv „Mittelsenkrechte konstruieren“: https://www.youtube.com/watch?v=NOu70swWUL0 „Seitenhalbierende konstruieren“: https://www.youtube.com/watch?v=pXRP7LybFkg „Was ist ein Lot?“: https://www.youtube.com/watch?v=aRN_Cax52bE „Lot fällen“: https://www.youtube.com/watch?v=vl4KAV3dvAQ „Höhe im Dreieck“: https://www.youtube.com/watch?v=roJCA96wg-Y „Umkreis eines Dreiecks konstruieren“: https://www.youtube.com/watch?v=-mXvN1yqqRA „Inkreis eines Dreiecks konstruieren“: https://www.youtube.com/watch?v=peVmy_g4MMs „Konstruktion von Dreiecken“: https://www.youtube.com/watch?v=zJsKTog9KjA **Infotext** Skript Geometrie am Dreieck - Winkelhalbierende Skript Geometrie am Dreieck - Mittelsenkrechte Skript Geometrie am Dreieck - Seitenhalbierende Skript Geometrie am Dreieck - Höhe im Dreieck Skript Geometrie am Dreieck - Konstruktion nach SSS Skript Geometrie am Dreieck - Konstruktion nach WSW Skript Geometrie am Dreieck - Konstruktion nach SWS Skript Geometrie am Dreieck - Konstruktion nach SSW **Internet** http://www.hirnwindungen.de/wunderland/grundkons/winkelhalb.html http://www.br.de/grips/faecher/grips-mathe/28-grundlagen-konstruktion-nachlesen102.html http://www.zum.de/dwu/depotan/amdl005.htm http://www.mathebibel.de/lot-faellen http://de.serlo.org/mathe/artikel-und-videos-aus-serlo-1-spaeter-loeschen/lot http://www.zum.de/dwu/depotan/amdl006.htm http://www.mathematik-wissen.de/hoehen.htm http://www.zum.de/dwu/depotan/amdl003.htm http://www.zum.de/dwu/depotan/amdl004.htm http://www.mathematik-wissen.de/kongruenzsaetze.htm Kü /Ma Geometrie – Konstruktion von Dreiecken SJ 2014/2015 Kompetenzen Folgende Dinge solltest du am Ende der Einheit beherrschen: Kompetenzen, die du nun erreicht haben solltest Modul 1 Ich kann folgende Dreiecksarten erkennen und nach Merkmalen unterscheiden - Beliebige Dreiecke Gleichseitige Dreiecke Gleichschenklige Dreiecke Rechtwinklige Dreiecke Ich kann folgende geometrische Hilfslinien an beliebigen Dreieck einzeichnen 1. Mittelsenkrechte 2. Winkelhalbierende 3. Seitenhalbierende 4. Höhe auf eine beliebige Seite Ich kann n einem beliebigen Dreieck den Umkreis einzeichnen Ich kann n einem beliebigen Dreieck den Inkreis einzeichnen Modul 2 Ich weiß, was kongruente Dreiecke sind Ich kann folgende Arten von Dreiecken rekonstruieren: 1. SSS 2. WSW 3. SWS 4. SSW + 0 - Kü /Ma Geometrie – Konstruktion von Dreiecken SJ 2014/2015 Modul 1 wichtige Grundlagen Warum eigentlich immer Dreiecke? Es wird eine Menge Wind gemacht um diese geometrische Form – warum? Das Dreieck wird konstruiert, berechnet, gezeichnet,… … weil es „die“ grundlegende Form ist, aus der man viele andere eckige Formen zusammensetzen lassen. Kann man also Dreiecke konstruieren und berechnen, so auch Rechtecke, Quadrate, Trapeze,… Du wirst sehen, das Dreieck wird dich während deiner Schullaufbahn und eventuell danach noch eine Weile beschäftigen. Es lohnt sich daher ein wenig aufzupassen! Welche Arten von Dreiecken gibt es? Man sollte wesentliche, wichtige Dreiecke kennen und ihre Besonderheiten. **Video** „Arten von Dreiecken“: http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/arten-von-dreiecken-2 **Infotext** Skript Geometrie am Dreieck - Dreiecksarten **Internet** http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/p40_dreieck_01.htm http://www.zum.de/dwu/mdl001vs.htm Definition „Konstruieren“ Konstruieren bedeutet eine Strategie verfolgen, einen Algorithmus durchführen, um in diesem Falle eine geforderte Figur zu schaffen. Da die Konstruktion bestimmter Figuren nach einem konkreten Ablaufplan erfolgt (einem Algorithmus), kann man die einzelnen Konstruktionsschritte festhalten und wenn man sie exakt ausführt, erhält man immer das gewünschte Ergebnis. Es geht darum, konkrete, exakte Schritte auszuführen und nicht darum, ein Lineal solange „hin- und her zu schieben“, bis es zusammenpasst… Laut Lexikon heißt konstruieren: planen, entwerfen, bauen, berechnen… Es geht also darum einen konkreten Plan zu verfolgen, um eine Figur nach konkreten Vorgaben zu „bauen“ bzw. zu zeichnen -> hier konkret: ein Dreieck mit Lineal und Zirkel nach bestimmten Längenvorgaben zu zeichnen! Kü /Ma Geometrie – Konstruktion von Dreiecken SJ 2014/2015 Modul 2 Größen am Dreieck konstruieren Weißt du, was man in der Geometrie unter einem Winkel versteht? Weißt du, was der Scheitelpunkt und was die Schenkel eines Winkels sind? Kannst du mit dem Geodreieck die Weite eines Winkels messen? Das solltest du können für die folgenden Aufgaben, falls nicht, hole das nach! Frage beim Lehrer nach zusätzlichen Materialien oder informiere dich im Internet, was das ist und wie das geht! Winkelhalbierende (wα, wβ, und wγ) Was ist das eigentlich genau und wie kann man das konstruieren? **Video** „Winkelhalbierende konstruieren“: https://www.youtube.com/watch?v=ljIY0ks0twAv **Infotext** Skript Geometrie am Dreieck - Winkelhalbierende **Internet** http://www.hirnwindungen.de/wunderland/grundkons/winkelhalb.html Aufgaben 1. Halte die Konstruktionsschritte für eine Winkelhalbierende mit einem Beispiel in eigenen Worten in deinem Merkheft fest. 2. Konstruiere in folgendem Dreieck alle drei Winkelhalbierende (wα, wβ, und wγ) Kü /Ma Geometrie – Konstruktion von Dreiecken SJ 2014/2015 Mittelsenkrechte (ma, mb, und mc) Was ist eine Mittelsenkrechte? Wie kann ich sie auch ohne Geodreieck konstruieren? **Video** „Mittelsenkrechte konstruieren“: https://www.youtube.com/watch?v=NOu70swWUL0 **Infotext** Skript Geometrie am Dreieck - Mittelsenkrechte **Internet** http://www.br.de/grips/faecher/grips-mathe/28-grundlagen-konstruktion-nachlesen102.html Aufgaben 1. Halte die Konstruktionsschritte für die Mittelsenkrechte mit einem Beispiel in eigenen Worten in deinem Merkheft fest. 2. Konstruiere in folgendem Dreieck alle drei Mittelsenkrechten (ma, mb, mc) Kü /Ma Geometrie – Konstruktion von Dreiecken SJ 2014/2015 Seitenhalbierende (sa, sb, und sc) Was genau ist eine Seitenhalbierende? Was ist der Unterschied zur Mittelsenkrechten, die eine Seite ja auch halbiert? **Video** „Seitenhalbierende konstruieren“: https://www.youtube.com/watch?v=pXRP7LybFkg **Infotext** Skript Geometrie am Dreieck - Seitenhalbierende **Internet** http://www.zum.de/dwu/depotan/amdl005.htm Aufgaben 1. Halte die Konstruktionsschritte für die Seitenhalbierende mit einem Beispiel in eigenen Worten in deinem Merkheft fest. Notiere auch, was der genaue Unterschied zur Mittelsenkrechten ist. 2. Konstruiere in folgendem Dreieck alle drei Seitenhalbierenden (sa, sb, sc) 3. Zeichne den Schwerpunkt des Dreiecks ein. 4. Formuliere in eigenen Worten, was der Schwerpunkt eines Körpers ist! Kü /Ma Geometrie – Konstruktion von Dreiecken SJ 2014/2015 Höhe in einem Dreieck (ha, hb, und hc) Zu Dieser Station darfst du bei der Konstruktion ein Geodreieck verwenden, da es um rechte Winkel geht!!!!!!!! Die Höhe steht nämlich immer senkrecht auf einer Seite! Daher geht es hier zunächst auch ums Lot! **Video** „Was ist ein Lot?“: https://www.youtube.com/watch?v=aRN_Cax52bE „Lot fällen“: https://www.youtube.com/watch?v=vl4KAV3dvAQ „Höhe im Dreieck“: https://www.youtube.com/watch?v=roJCA96wg-Y **Infotext** Skript Geometrie am Dreieck - Höhe im Dreieck **Internet** http://www.mathebibel.de/lot-faellen http://de.serlo.org/mathe/artikel-und-videos-aus-serlo-1-spaeter-loeschen/lot http://www.zum.de/dwu/depotan/amdl006.htm http://www.mathematik-wissen.de/hoehen.htm Aufgaben 1. Halte die Konstruktionsschritte für die Höhen mit einem Beispiel in eigenen Worten in deinem Merkheft fest. Notiere auch, was ein Lot und ein Lotfußpunkt ist. 2. Konstruiere in folgenden Dreiecken jeweils alle drei Höhen (ha, hb, hc) 3. Zeichne den Höhenschnittpunkt der Dreiecke ein. Kü /Ma Geometrie – Konstruktion von Dreiecken SJ 2014/2015 Umkreis Eigentlich kannst du schon einen Umkreis konstruieren – du musst nur noch wissen, was das ist. **Video** „Umkreis eines Dreiecks konstruieren“: https://www.youtube.com/watch?v=-mXvN1yqqRA **Internet** http://www.zum.de/dwu/depotan/amdl003.htm Definition: Der Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten eines Dreiecks ist der Mittelpunkt des Umkreises dieses Dreiecks. Der Radius des Umkreises entspricht dem Abstand vom Schnittpunkt zu einem der Eckpunkte. Aufgaben 1. Konstruiere in folgenden Dreiecken jeweils den Umkreis und zeichne den Radius ein. Kü /Ma Geometrie – Konstruktion von Dreiecken SJ 2014/2015 Inkreis Eigentlich kannst du schon einen Inkreis konstruieren – du musst nur noch wissen, was das ist. **Video** „Inkreis eines Dreiecks konstruieren“: https://www.youtube.com/watch?v=peVmy_g4MMs **Internet** http://www.zum.de/dwu/depotan/amdl004.htm Definition: Der Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist der Mittelpunkt des Inkreises dieses Dreiecks. Der Radius des Inkreises entspricht dem Abstand vom Schnittpunkt zum Lotfußpunkt (des Lotes vom Schnittpunkt auf eine der Seiten). Aufgaben 1. Konstruiere in folgenden Dreiecken jeweils den Inkreis und zeichne den Radius ein. Kü /Ma Geometrie – Konstruktion von Dreiecken SJ 2014/2015 Kompetenzen Modul 2 Folgende Dinge solltest du am Ende dieses Moduls beherrschen: Kompetenzen, die du nun erreicht haben solltest + 0 - Modul 1 Ich kann folgende Dreiecksarten erkennen und nach Merkmalen unterscheiden - Beliebige Dreiecke Gleichseitige Dreiecke Gleichschenklige Dreiecke Rechtwinklige Dreiecke Ich kann folgende geometrische Hilfslinien an beliebigen Dreieck einzeichnen 5. Mittelsenkrechte 6. Winkelhalbierende 7. Seitenhalbierende 8. Höhe auf eine beliebige Seite Ich kann n einem beliebigen Dreieck den Umkreis einzeichnen Ich kann n einem beliebigen Dreieck den Inkreis einzeichnen **Selbsttest** Hole dir beim Lehrer den Selbsttest zu Modul 2 ab, um für dich selbst zu überprüfen, ob du alle nötigen Kompetenzen erreicht hast: Selbsttest Modul 2 Kü /Ma Geometrie – Konstruktion von Dreiecken SJ 2014/2015 Modul 3 Dreiecke konstruieren Es geht nun darum Dreiecke mit Hilfe von Lineal und Zirkel zu konstruieren. Wichtig: Man muss 3 Angaben gegeben haben, um ein Dreieck eindeutig zeichnen zu können!!! Je nachdem, welche Angaben gegeben sind (z.B. 2 Seitenlängen und ein Winkel oder drei Seitenlängen oder….) muss man die Konstruktion entsprechend gestalten. Kongruenzsätze Da gibt es natürlich ne Menge Zusammensetzungen. Unterscheide in der Konstruktion ergeben sich bei folgenden Angaben: SSS (drei Seitenlängen sind gegeben) WSW (zwei Winkel und die dazwischen eingeschlossene Seitenlänge sind gegeben) SWS (zwei Seitenlängen und der dazwischen eingeschlossene Winkel sind gegeben) SSW (zwei Seitenlängen und der anschließende Winkel sind gegeben Achtung: WWW gibt es nicht, denn auf Grund der Innenwinkelsumme von 180° kann man sich bei zwei gegebenen Winkeln den dritten leicht errechnen- d.h. der 3 Winkel bringt einen nicht weiter, es fehlt also eine dritte Angabe, daher ist ein solches Dreieck nicht eindeutig zu konstruieren! SSS, WSW, SSW und SWS sind die sogenannten Kongruenzsätze. D.h. wenn diese Angaben jeweils gegeben sind, ergeben sich immer deckungsgleiche Dreiecke (man kann die daraus konstruierten Dreiecke übereinanderschrieben und sie verdecken si gegenseitig – sie sind also „gleich“. Nur bei diesen Angaben erhält man also eindeutige Dreiecke, alle anderen Angaben führen nicht zu konkreten Dreiecken. Es kann auch mal sein, dass statt einer Außenseite eine Seitenlänge einer Seitenhalbierenden gegeben ist o.ä. – dann muss man die Konstruktionen natürlich etwas abwandeln Doch wie konstruiert man solche Dreiecke nun????? Kü /Ma Geometrie – Konstruktion von Dreiecken SJ 2014/2015 Konstruktion bei SSS Wenn alle drei Seitenlängen gegeben sind, konstruiert man auf folgende Art und Weise: **Video** „Konstruktion von Dreiecken“: https://www.youtube.com/watch?v=zJsKTog9KjA **Internet** http://www.mathematik-wissen.de/kongruenzsaetze.htm **Info-Text** Skript Geometrie am Dreieck - Konstruktion nach SSS Aufgaben 1. Schreibe dir selbst in dein Merkheft einen Algorithmus, wie du diese Art Konstruktion schrittweise durchführst – es sollten unbedingt deine Worte sein! 2. Konstruiere folgendes Dreieck a. a= 6,4 cm, b = 3,5 cm, c = 5,3 cm Konstruktion bei WSW Wenn eine Seitenlänge und die beiden an die Seite angrenzenden Winkel gegeben sind, konstruiert man auf folgende Art und Weise: **Video** „Konstruktion von Dreiecken“: https://www.youtube.com/watch?v=zJsKTog9KjA **Internet** http://www.mathematik-wissen.de/kongruenzsaetze.htm **Info-Text** Skript Geometrie am Dreieck - Konstruktion nach WSW Aufgaben 1. Schreibe dir selbst in dein Merkheft einen Algorithmus, wie du diese Art Konstruktion schrittweise durchführst – es sollten unbedingt deine Worte sein! 2. Konstruiere folgendes Dreieck a. a= 4 cm, α= 37°, ɣ= 90° Konstruktion bei SWS Wenn zwei Seitenlängen und der dazwischen eingeschlossene Winkel gegeben sind, konstruiert man auf folgende Art und Weise: **Video** „Konstruktion von Dreiecken“: https://www.youtube.com/watch?v=zJsKTog9KjA **Internet** http://www.mathematik-wissen.de/kongruenzsaetze.htm **Info-Text** Skript Geometrie am Dreieck - Konstruktion nach SWS Kü /Ma Geometrie – Konstruktion von Dreiecken SJ 2014/2015 Aufgaben 1. Schreibe dir selbst in dein Merkheft einen Algorithmus, wie du diese Art Konstruktion schrittweise durchführst – es sollten unbedingt deine Worte sein! 2. Konstruiere folgendes Dreieck a. a = 3,6 cm; c = 5,8 cm; β = 37° Konstruktion bei SSW Wenn zwei Seitenlängen und der angrenzende Winkel gegeben sind, konstruiert man auf folgende Art und Weise (Wichtig: Der gegebene Winkel muss der längeren der beiden Seiten gegenüberliegen, sonst ist das Dreieck nicht eindeutig oder es entsteht überhaupt keins): **Video** „Konstruktion von Dreiecken“: https://www.youtube.com/watch?v=zJsKTog9KjA **Internet** http://www.mathematik-wissen.de/kongruenzsaetze.htm **Info-Text** Skript Geometrie am Dreieck - Konstruktion nach SSW Aufgaben 3. Schreibe dir selbst in dein Merkheft einen Algorithmus, wie du diese Art Konstruktion schrittweise durchführst – es sollten unbedingt deine Worte sein! 4. Konstruiere folgendes Dreieck a. b = 6,8 cm, c= 5,2 cm, β = 75° **Zusatz** Erweiterte Konstruktionen Nun ein paar Aufgaben, die etwas aus dem Rahmen fallen. Mal schauen, ob du das anwenden kannst, was du vorher gelernt hast – auch in einem etwas anderen Zusammenhang! Aufgaben a) c= 3 cm, β = 75°, sa = 4 cm b) b = 8,4 cm; α = 47°; β = 56° c) b=7,6 cm; sb=8 cm; γ=125° d) b=3,1 cm; wα=3,4 cm; α=80° e) α=35°; β=75°; wα=6,1 cm f) c=5 cm; β=109°; hc=5,6 cm g) a=4 cm; c=4,5 cm; hc=3,5 cm Kü /Ma Geometrie – Konstruktion von Dreiecken SJ 2014/2015 Kompetenzen Modul 3 Folgende Dinge solltest du am Ende dieses Moduls beherrschen: Kompetenzen, die du nun erreicht haben solltest + 0 - Modul 2 Ich weiß, was kongruente Dreiecke sind Ich kann folgende Arten von Dreiecken rekonstruieren: 5. SSS 6. WSW 7. SWS 8. SSW **Selbsttest** Hole dir beim Lehrer den Selbsttest zu Modul 3 ab, um für dich selbst zu überprüfen, ob du alle nötigen Kompetenzen erreicht hast: Selbsttest Modul 3 Kü /Ma Geometrie – Konstruktion von Dreiecken SJ 2014/2015
