Relativitästheorie

Relativitätstheorie
1.Das Relativitätsprinzip der klassischen Physik:
Jede Beschreibung mechanischer Vorgänge erfordert ein räumliches Bezugssystem und eine Zeitskala.
Beispiel: Beobachtung eines gleichförmig fahrenden Autos.
a.ruhender Beobachter A: Für ihn hat das Auto die Geschwindigkeit v.
b.Beobachter B in einem relativ zu A gleichförmig bewegten Zug: Auch der Beobachter B sieht ein
gleichförmig fahrendes Auto. Er mißt aber eine andere Geschwindigkeit.
c.Beobachter C in einem beschleunigten Zug: C beobachtet eine beschleunigte Bewegung.
Skriptum zum Fach Angewandte Physik 3.Jahrgang HTL-Eisenstadt
Version 1.1
DIE RELATIVITÄTSTHEORIE
Ausgezeichnet sind im Rahmen der klassischen Newtonschen Physik jene Bezugssystem, in denen die
Newtonschen Axiome - insbesondere F = m ⋅ a - gelten.
Def.: Wenn ein kräftefreier Körper in einem Bezugssystem ruht oder sich gleichförmig geradlinig bewegt, dann ist dieses Bezugssystem ein Inertialsystem.
•
•
Bezugssytem A und B sind daher Inertialsysteme. In ihnen gelten alle Newtonschen Axiome. Keines
der beiden ist gegenüber dem anderen ausgezeichnet.
Bezugssystem C ist kein Inertialsystem. Der Beobachter registriert eine einwirkende Kraft. Er kann
aber - wegen der Gleichheit von träger und schwerer Masse - nicht unterscheiden, ob sie im Zusammenhang mit der Beschleunigung steht oder ob es sich um eine Gravitationskraft handelt.
Bezüglich der Zeit geht die Newtonsche Physik von der Annahme aus, daß es eine absolute Zeit gibt, die
in allen Bezugssystem gleichmäßig vergeht.
Galilei-Transformation zwischen zwei Inertialsystemen: Zusammenhang zwischen den Koordinaten x
bzw. x′ eines Ereignisses.
x′ = x − u ⋅ t
y′ = y
t′ = t
Geschwindigkeit eines Autos in A und B:
∆x x 1 − x 0
A:
vA =
=
t1 − t 0
∆t
∆x ′ x 1′ − x ′0 (x 1 − u ⋅ t 1 ) − (x 0 − u ⋅ t 0 ) (x 1 − x 0 ) − u ⋅ (t 1 − t 0 )
=
=
=
= vA − u
∆t
t1 − t 0
t1 − t 0
t1 − t 0
vB = vA − u
B: v B =
Dipl.Ing.Dr.Günter Hackmüller
©2005 Dipl.Ing.Dr.Günter Hackmüller
Alle Rechte vorbehalten
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Geschwindigkeit: Die Newtonsche Mechank sagt voraus, dass der Beobachter B eine um die Relativgeschwindigkeit u kleinere Geschwindigkeit mißt, wie Beobachter A
vB = vA − u
Beschleunigung: Beobachter A und B messen dieselbe Beschleunigung und auch dieselben Kräfte
a B = a A ⇒ FA = m.a A = m.a B = FB
Relativitätsprinzip der klassischen Physik:
Durch mechanische Versuche kann kein Inertialsystem vor einem anderen - etwa als absolut ruhend ausgezeichnet werden.
2.Die Lichtausbreitung:
Bis ins 19.Jhdt. vermutete man, daß Licht sich ganz ähnlich wie Schall die Schwingung eines Trägermediums ist, die sich ausbreitet. Während es sich beim Schall um Schwingungen der Luft handelt, wurde
Licht als die Schwingung eines noch unbekannten Mediums interpretiert. Diese Trägermedium wurde
Äther genannt.
Elektrische, magnetische und auch Schwerkräfte würden demnach durch Spannungen des Äthers übertragen. Licht wäre eine Schwingung des Äthers.
Die Existenz des Äthers würde das Inertialsystem, in dem der Äther ruht, gegenüber allen anderen
Inertialsystemen auszeichnen.
Das Experiment von Michelson und Morley - Die Suche nach dem Äther
Wellenausbreitung unter Annahme der Existenz des Äthers:
a.Ruhesystem des Äthers
Erde bewegt sich mit der
Geschwindgkeit v
b.Ruhesystem der Erde
v
Q
G
S1, S2
A
Geschwindigkeit der Anordnung relativ zum Äther
Lichtquelle
halbdurchlässigerSpiegel
Spiegel
Fernrohr zur Messung der Interferenz der Wellen von S1 bzw. S2.
Der von der Lichtquelle Q ausgehende Lichtstrahl wird durch den halbdurchlässigen Spiegel G geteilt
und auf die beiden Spiegel S1 und S2 geworfen. Dort werden die Lichtstrahlen reflektiert und interferieren
schließlich am Ort A.
Würde sich die Erde relativ zum Äther mit der Geschwindigkeit v bewegen, würden sich die Laufzeiten
der beiden Wege unterscheiden. Ein Beobachter müsste daher feststellen, dass die beiden Strahlen nach
ihrer Wiedervereinigung in A eine Phasendifferenz besitzen, die durch Interferenz zu beobachten wäre.
Aus dem Laufzeitunterschied ließe sich die Geschwindigkeit der Erde relativ zum Äther errechnen.
Berechung des Laufzeitunterschiedes:
l
l
2⋅l
t1 =
+
=
c−v c+v
c
Zeit für GS1 und zurück:
v
c
Geschwindigkeit der Erde relativ zum Äther
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle im Äther
Auf der Erde zu messende Wellenausbreitungsgeschwindigkeiten:
In Richtung der Erdgeschwindigkeit
Entgegen der Richtung der Erdgeschwindigkeit
(c − v )
(c + v )
Senkrecht zur Erdgeschindigkeit
c2 − v2
Zeit für GS2 und zurück:
Zeitunterschied:
Diese Unterschiede wollten Michelson und Morley zur Messung der Erdgeschwindigkeit relativ zum Äther ausnutzen.
Prinzipieller Versuchsaufbau der Experiments von Michelson und Morley:
t2 =
2⋅l
c −v
2
2
=
2⋅l
c
1
v2
1− 2
c
1
1−
v2
c2




2⋅l
1
1 
−
∆t = ( t 2 − t 1 ) =
2
c 
v2 
 1− v
1 − 2 

c 
c2

km
m
⇒
∆t = 10 −15 s .
c = 2.99793 ⋅ 10 8
s
s
Gelbes Licht hat eine Periode von T = 2 ⋅ 10 −15 s . In der Zeit ∆t = 10 −15 s kommt die Welle um
Die beiden Strahlen müssten sich in A durch Interferenz gerade auslöschen.
Beispiel:
l = 30m
v = 30
λ
2
weiter.
Das Experiment erwies sich als „Fehlschlag“. Niemals konnte ein Laufzeitunterschied gemessen werden.
Schlussfolgerungen: Das Licht breitet sich daher nach allen Seiten mit konstanter Geschwindigkeit aus,
auch in Bezugssystemen, die sich gegenüber dem Fixsternhimmel bewegen, wie die Erde.
Schlußfolgerung: Ob zwei Ereignisse an verschiedenen Orten gleichzeitig stattfinden oder nicht, hängt
von der Wahl des Bezugssystems ab. Zwei Ereignisse, die für einen Beobachter gleichzeitig sind, sind
nicht gleichzeitig für einen bewegten Beobachter.
3.Grundprinzipien der Speziellen Relativitätstheorie
Relativitätsprinzip: Die Naturgesetze nehmen in allen Inertialsystemen die gleiche Form an.
Gleichzeitigkeit ist ebenso wie Ort und Geschwindigkeit relativ. Die in der klassischen Physik angenommene absolute Zeit ist mit der Konstanz der Vakuumlichtgeschwindigkeit unverträglich.
Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum hat in jedem Inertialsystem stets den Wert c=3.108 m/s. Es gibt keinen absoluten Raum in dem das Lichtausbreitungsmedium ruht.
Synchronisation von Uhren:
Uhren lassen sich dadurch synchronisieren, dass sie von Lichtsignalen in Gang gesetzt werden, die
gleichzeitig von einer Quelle in ihrer Mitte ausgesandt werden.
Das Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit widerspricht der Galileitransformation. Ein
Lichtsignal breitet sich in jedem Raum mit Lichtgeschwindigkeit c aus. Versuchen wir ihm nachzulaufen,
so entfernt sich das Licht trotzdem mit der Lichtgeschwindigkeit von uns.
Zwei Uhren die für einen in ihrer Mitte befindlichen Beobachter synchron gehen, sind nicht synchron für
einen bewegten Beobachter.
4.Die Relativität der Gleichzeitigkeit
Zwei gleichwertige Definitionen von Gleichzeitigkeit:
•
•
Zwei Ereignisse an verschiedenen Orten sind gleichzeitig, wenn von ihnen ausgehende Lichtsignale
einen in ihrer Mitte befindlichen Beobachter zugleich erreichen.
Zwei Ereignisse sind gleichzeitig, wenn sie von Lichtsignalen ausgelöst wurden, die zugleich von
einer Quelle in ihrer Mitte ausgehen.
4.Die Zeitdilatation
Zwei an verschiedenen Orten stattfindende Ereignisse, die für einen Beobachter A gleichzeitig sind, sind
für einen relativ zu A bewegten Beobachter B nicht gleichzeitig.
Gedankenexperiment: Eine Eisenbahnwagon bewegt sich relativ zu einem in einem Inertialsystem ruhenden Beobachter I gleichförmig. In der Mitte des Eisenbahwagons befindet sich ein Blitzgerät und ein
Beobachter I .
Grundlage jeder Uhr ist ein physikalischer Vorgang, der sich in gleicher Weise dauernd wiederholt. Jeder
Wiederholung wird die gleiche Zeitdauer zugeordnet.
Eine Modelluhr: Eine „Lichtuhr“ besteht aus einem Zylinder, an dessen oberen Ende sich eine Blitzlampe
befindet. Ein von der Lampe ausgehender Lichtblitz durchläuft den Zylinder und wird am unteren Ende
an einem Spiegel reflektiert. Wenn der Lichtblitz wieder am oberen Ende eintrifft, rückt die Anzeige um
eine Einheit weiter.
Wagonfester Beobachter I :
•
Das Lichtsignal trifft für ihn Vorder- und Hinterwand gleichzeitig
Beobachter I :
•
Die Vorderseite des Wagons läuft dem Lichtsignal davon, die Hinterseite läuft ihm entgegen. Das
Licht wird daher an der Vorderseite später ankommen als an der Hinterseite. Die beiden Ereignisse
finden für ihn nicht gleichzeitig statt.
z.B.: l=15cm entspricht einer Zeiteinheit von 1Nanosekunde = 10-9s
Beobachtung einer Lichtuhr C, die in einem Inertialsystem I - ihrem Ruhesystem - ruht und sich gegenüber dem System I gleichförmig mit der Geschwindigkeit v bewegt:
a.Mitbewegter Beobachter I :
Periodendauer T
c.
T
= L⇒
2
halbe Periodendauer der ruhenden Uhr
T L
=
2 c
Mathematischer Zusammenhang:
I
T
b.Beobachter in einem Inertialsystem I ; die Uhr C hat für ihn die Geschwindigkeit v:
2
 c.T 
 v.T 

 = L2 + 

 2 
 2 
I
L=
T=
T
T
v
c.T
2
bzw.
2
.
T=
2⋅L
c
T
.
T
.
v2
1− 2
c
Eigenzeit der Uhr C; Zeitangabe der bewegten Uhr C
Zeitangabe der ruhenden Uhren A und B
Geschwindigkeit der Uhr relativ zu A und B
Derselbe Vorgang, der für den mit der Uhr mitbewegten Uhr die Zeit T dauert, dauert für einen Beobachter gegenüber dem sich die Uhr mit der Geschwindigkeit v bewegt die Zeit T .
•
•
•
•
Uhr C bewegt sich mit v
Uhr A, B sind synchronisiert und ruhen in I
t=0: A und C sind am selben Ort; beide beginnen zu laufen
Wenn Lichtblitz in C oben ankommt, befinde sich C genau am Ort von B
Im Intertialsystem der beiden ruhenden Uhren A und B läuft das Licht in der bewegten Uhr C schräg auf
und ab. Der Weg den das Licht zwischen zwei Reflexionen zurücklegen muss ist daher länger als der in
den ruhenden Uhren A und B. Das Lichtsignal erreicht den oberen Spiegel in einer bewegten Uhr daher
später, als in einer ruhenden Uhr.
Zeitdilatation: Die bewegte Uhr geht langsamer. Bewegt sich eine Uhr an einem Satz synchronisierter Uhren vorbei, der in einem Inertialsystem ruht, so geht sie im Vergleich zu diesen langsamer.
Ihre Zeit ist gedehnt. Man nennt diesen Effekt Zeitdilatation (Lateinisch: Dehnung=Dilatation).
Kurz, eine bewegte Uhr geht langsamer als eine ruhende Uhr. Die Zeit vergeht nicht absolut.
Zahlenbeispiele:
Der uns nächste Fixstern ist α-Centauri am südlichen Sternenhimmel mit einer Entfernung von 4.5 Lichtjahren.
• Wie lange braucht ein Raumschiff um zu diesem Stern zu gelangen, wenn seine Geschwindigkeit
v=0,5c beträgt?
• Wie lange würder der Flug für die Astronauten an Bord dauern?
• Wie schnell müßten die Astronauten fliegen, damit der Flug für sie nur 1 Jahr dauert?
Entfernung: s = c ⋅ TL mit TL = 4.5Jahre
s c ⋅ TL
=
= 2 ⋅ TL = 9Jahre
v
v
b.Zeit für Beobachter im Raumschiff: er bewegt sich mit v gegenüber Erdbeobachter. Für ihn vergeht die Zeit
T=
a.Zeit der Reise für Beobachter der auf der Erde ruht:
T = T ⋅ 1−
v2
3
⇒ T⋅
⇒ T = 7.794Jahre .
4
c2
c.Für einen erdfesten Beobachter dauert die Reise eines Raumschiffs T =
Für den Astronauten dauert die Reise T = T ⋅ 1 − vc ²² =
c⋅TL
v
Aufgelöst nach der gesuchten Geschwindigkeit: β =
TL
⋅ 1 − vc ²² ⇒
T ² + TL ²
bzw. v =
T
TL
s c ⋅ TL
=
v
c
⋅ β = 1 − β² mit β =
c⋅TL
T ² + TL ²
v
c
v = 0.976 ⋅ c
Zwillingsparadoxon:
• Der von einer Reise zurückkehrender Raumfahrer ist jünger als sein auf der Erde zurück gebliebener
Zwillingsbruder.
• Der Raumfahrer könnte scheinbar mit demselben Recht sagen, dass sich der Beobachter auf der Erde
relativ zu ihm bewegt hat und daher der Jüngere sein müsste. Wer hat recht?
• Achtung: Das Raumschiff ist kein Inertialsystem! Um zurückzukehren muss das Raumschiff mindestens einmal beschleunigen und verzögern! Seine Beurteilung des Gangs der Uhr auf der Erde ist daher
nicht die eines Beobachters in einem Inertialsystem!
Bsp.:
3
c an den beiden ruhenden Uhren A und B
1. Eine Uhr C bewegt sich mit der Geschwindigkeit v =
2
vorbei. In welchem Verhältnis steht die Zeitangabe der Uhr C zu den Zeitangaben der Uhren A und B.
• Wie stellt sich diese Situation aus der Sicht eines Beobachters im Ruhesystem der Uhr C dar?
2. Ein Mensch unternimmt eine Reise von einem Fixstern A zu einem weit entfernten Fixstern B und
zurück. Die Reisegeschwindigkeit des Raumschiffes beträgt 12/13 der Lichtgeschwindigkeit. Für einen Beobachter auf der Erde vergehen zwischen der Abfahrt und der Rückkehr zur Erde 52 Jahre.
• Um wieviele Jahre ist der Raumfahrer bei seiner Rückkehr gealtert?
• Der Raumfahrer wundert sich. Aus seiner Sicht hat ja nicht er sich bewegt, sondern die Bewohner von
A. Der Bewohner von A müßte dann doch jünger sein als er selbst. Warum irrt er sich?
Hinweis: Überdenken Sie die Voraussetzungen der Herleitung der Formel für die Zeitdilatation. Sind
die beiden Bezugssysteme Fixstern A und Raumschiff wirklich im physikalischen Sinne gleichberechtigt?
Experimente mit Elementarteilchen: Eine Bestätigung der relativistischen Zeitdehnung liefert der Zerfall
schnell fliegender Elementarteilchen.
Myonen-Experiment:
µ+ µ−
µ+
µ−
±
•
•
•
µ + , µ − sind elektrisch geladene Elementarteilchen
Masse Myon = 207 x Masse Elektron
Myonenen sind instabil. Sie zerfallen in ein Elektron bzw. Antielektron und zwei Neutrinos:
µ ± → e± + ν + ν
Halbwertszeit: Die Halbwertszeit ist jene Zeit, in der die Hälfte der Teilchen zerfallen ist.
t=0s:
t=1µs:
t=1,52µs:
Anzahl an Myonen: 10000 Myonen
6347 Myonen
5000Myonen
Die Halbwertszeit der Myonen beträgt 1,52µs.
Im CERN beobachtete man Myonen, die sich unter dem Einfluß eines Magnetfeldes mit großer Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn bewegen. Die Geschwindigkeit der Myonen lag 0,06% unterhalb der
Lichtgeschwindigkeit: v=0,99942.c.
Speicherring:
Lorentzkraft FL =
qv v
v×B
c
Fliehkraft = Lorentzkraft
m
t 1/2LABOR =
v2 e
= ⋅v⋅B
R c
t 1 / 2 RUHESYSTEM
1−
v2
c2
⇒ t 1/2LABOR = 29,4 t 1 / 2 RUHESYSTEM = 44,6 µs
In dieser Zeit im Labor zurückgelegte Wegstrecke: s = v ⋅ t 1/2LABOR = 13372m
5.Die Lorentzkontraktion
Längenmessung im Ruhesystem: Im Ruhesystem eines Körpers kann seine Länge dadurch bestimmt werden, daß man untersucht, wie oft ein Maßstab der gewählten Einheitslänge in der Länge des Körpers enthalten ist. Die so ermittelte Länge ist die Eigenlänge l0 des Körpers.
Längenmessung eines bewegten Körpers: Um die Länge eines bewegten Körper zu messen, kommt es
darauf an, den Ort seines vorderen und hinteren Endes zu ein und demselben Zeitpunkt zu kennen. Dazu muss der Körper am Ort seiner Enden gleichzeitig Markierungen im Beobachtungssystem hinterlassen, deren Abstand anschließend wie bei einem ruhenden Körper vermessen werden kann. Was gleichzeitig ist, interpretieren verschieden bewegte Beobachter aber unterschiedlich! Jeder dieser Beobachter wird
daher auch zu einem anderen Ergebnis bezüglich der Körperlänge kommen.
Längenmessung mit Hilfe des Lichtes: Man sendet vom hinteren Ende des Körpers ein Lichtsignal in
Richtung des am vorderen Endes befestigten Spiegel, der das Signal zurückreflektiert. Aus der Zeit, die
das Licht braucht, bis es vom hinteren Ende zum vorderen Ende und wieder retour kommt, lässt sich die
Körperlänge bestimmen.
Im Ruhesystem des Körpers I : - Vorders und hinteres Ende ruhen. Mit einer im Ruhesystem ruhenden
Uhr wird die Zeit T vom Absenden bis zur Rückkehr des Signals gemessen.
Die Zeit T1, die das Signal braucht, um den vorderen Spiegel zu erreichen errechnet sich daher aus der
Gleichung
c ⋅ T1 = L + v ⋅ T1 zu
L 1
T1 = ⋅
.
v
c
1−
c
Analog erhält man aus c ⋅ T2 = L − v ⋅ T2 die Zeit T2 für die Rückkehr des Signal vom vorderen Spiegel
zum hinteren Ende:
L 1
T2 = ⋅
.
v
c
1+
c
Im Beobachtungssystem besteht daher folgender Zusammenhang zwischen Gesamtzeit T = T1 + T2 und
Länge des Körpers:
L
1
T = 2⋅ ⋅
.
c
v2
1− 2
c
Aus der gemessenen Gesamtzeit kann dann die Körperlänge bestimmt werden:
 v2 
1
L = ⋅ c ⋅ T ⋅ 1 − 2  .
2
 c 
In welchem Verhältnis die von den beiden Beobachtern gemessenen Längen stehen, lässt sich ermitteln,
wenn man den unterschiedlichen Gang der Uhren von mitbewegtem und ruhendem Beobachter in Rechnung stellt. Die in I mitbewegt Uhr geht langsamer als die Uhr in I :
T
T=
v2
1− 2
c
kann die Zeit T durch die „Eigenzeit“ T des bewegten Köpers ausgedrückt werden. Beachtet man, dass
1
für die vom mitbewegten Beobachter gemessene die „Eigenlänge“ L = ⋅ c ⋅ T gilt, ergibt sich
2
v2
.
c2
Lorentzkontraktion: Die Länge L eines Körpers wird in seiner Bewegungsrichtung um den Faktor
v2
1 − 2 kleiner gemessen als seine im Ruhesystem gemessene Eigenlänge L .
c
L = L ⋅ 1−
Wegen c ⋅ T = 2 ⋅ L hat der Körper für einen Beobachter in seinem Ruhesystem daher die Länge
1
L = ⋅c⋅T .
2
Im Beobachtungssystem I : Im Beobachtungssystem bewegt sich der Körper mit der Geschwindigkeit v in
Längsrichtung. Die Länge des Körpers sei L . Wieder wird die Zeit T vom Absenden eines Lichtsignals
am hinteren Ende bis zu seiner Rückkehr gemessen.
Die Lorentzkontraktion tritt nur in Längsrichtung auf. Senkrecht zur Bewegungsrichtung messen alle Beobachter dieselbe ausdehnung des Körpers.
Anmerkung: Bei der Zeit- und Längenmessung kommt im Prinzip dasselbe Messgerät zur Anwendung.
Das Messergebnis wird nur einmal als Zeit und das andere mal als Länge interpretiert. Man sieht, dass
Raum und Zeit miteinander zusammenhängen.
Auch im Beobachtungssystem breitet sich das Licht mit der Geschwindigkeit c aus. Wenn im Beobachtungssystem die Zeit t verstreicht bewegen sich Körper und Signal um die Strecke v ⋅ t bzw. c ⋅ t .
Achtung: Ebenso wie bei der Zeitdilatation handelt es sich bei der Lorentzkontraktion weder um einen
scheinbaren Effekt, noch darum, dass der Körper mechanisch gedehnt und dadurch einer Spannung ausgesetzt würde.
Lichtmaßstab: Ähnlich wie eine Lichtuhr lässt sich mit der geschilderten Anordnung im Prinzip auch ein
Lichtmaßstab definieren.
6.Relativistische Kinematik
Graphische Darstellung der Galileitransformation: eine gleichförmig bewegte Kugel in einem Labor
6.1.Beschreibung von Bewegungen, das Raum-Zeit-Diagramm
Laborsystem und Ruhesystem:
Bewegungsabläufe lassen sich in einem Ort- Zeit-Diagramm anschaulich darstellen.
Jede Bewegung eines Körpers wird durch eine Kurve in einem solchen x-t-Diagramm beschrieben. Diese
Linie bezeichnet man als die Weltlinie des Körpers.
• Gleichförmige Bewegungen entsprechen geraden Weltlinien. Eine beschleunigte Bewegung wird
durch eine gekrümmte Weltlinie beschrieben.
• Die Steigung der Weltlinie drückt die Geschwindigkeit des Körpers ist:.
• Je steiler die Weltlinie ist, desto kleiner die Geschwindigkeit
• Ereignisse, die gleichzeitig stattfinden, liegen auf einer Parallelen zur x-Achse.
• Nicht jede Linie ist eine mögliche Weltlinie
6.2.Klassische Kinematik - Die Galileitransformation
Beobachtet man ein Ereignis in einem Inertialsystem I, so kann man angeben an welcher Stelle x und zu
welcher Zeit t das Ereignis stattgefunden hat. Ein Beobachter in einem relativ zu I mit der Geschwindigkeit v bewegten Inertialsystem I' wird andere Koordinatenwerte x' und t' feststellen.
Die klassische Physik geht von der Existenz einer absoluten Zeit aus. Dann
lassen sich die Koordinatenwerte x', t' eines Ereignisses aus den Koordinatenwerten x,t mit Hilfe der Galileitransformation berechnen.
x′ = x − u ⋅ t
y′ = y
t′ = t
Geschwindigkeit eines Autos in A und B:
∆x x 1 − x 0
A:
=
vA =
∆t
t1 − t 0
∆x ′ x 1′ − x ′0 (x 1 − u ⋅ t 1 ) − (x 0 − u ⋅ t 0 ) (x 1 − x 0 ) − u ⋅ (t 1 − t 0 )
=
=
=
= vA − u
∆t
t1 − t 0
t1 − t 0
t1 − t 0
Geschwindigkeit: Die Newtonsche Mechank sagt voraus, dass der Beobachter B eine um die Relativgeschwindigkeit u kleinere Geschwindigkeit mißt, wie Beobachter A
vB = vA − u
B: v B =
Im Ruhesystem der Kugel hat sich nicht die Kugel, sondern das Messgerät bewegt.
Schlussfolgerung:
• Alle Ereignisse zur Zeit t=0 liegen auf der x-Achse.
• Die t-Achse wird von der Weltlinie des Koordinatenursprungs gebildet.
Diese beiden Darstellungen können in einem Diagramm zusammengefaßt werden. Man braucht nur
schiefwinklige Koordinaten x′ , y′ zu verwenden.
Laborsystem und Ruhesystem vereint:
Zeitachse: Die neue Zeitachse t′ enthält alle Ereignisse an der Stelle x'=0. Für sie gilt daher
x ' = x − v.t = 0 ⇒ x = v.t
.
Die Zeitachse t' von I' ist eine Gerade in I. Sie verläuft parallel zur
Weltlinie der Kugel.
Raumachse: Sie enthält alle Ereignisse zur Zeit t'=0. Wegen der
Annahme der Existenz einer absoluten Zeit gilt t'=t=0. Die Raumachse x' von I' fällt mit der Raumachse x von I zusammen.
Die Zeitachse t' von I' ist eine schräge Gerade in I. Sie verläuft parallel zur Weltlinie der Kugel. Die
Raumachse x' von I' fällt mit der Raumachse x von I zusammen.
Beispiel: Ein Fluss hat eine Strömungsgeschwindigkeit v F = 10 ms . Ein Boot fährt zunächst 10s mit einer
Geschwindigkeit v B = 30 ms relativ zum Wasser stromaufwärts, treibt dann für 5s und fährt anschließend
wieder 10s mit der Geschwindigkeit v B , jetzt aber stromabwärts. Wo befindet es sich dann. Lösen sie die
Aufgabe graphisch und zwar einmal im Ufersystem und einmal in einem flussfesten System!
6.3.Das Minkowsky-Diagramm
Die Galileitransformation genügt nicht dem Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.
Minkowskydiagramme: Raum-Zeit-Diagramme, die den Postulaten der Relativitätstheorie genügen nennt
man Minkowskydiagramme.
Beispiel: eine Rakete der Länge 1Ls=1Lichtsekunde bewegt sich
im Inertialsystem I mit 3/5-tel der Lichtgeschwindigkeit v=3c/5.
Ursprung von I': Der Koordinatenursprung ist frei wählbar. Wir
wählen das Raketenende.
Konstruktion der t'-Achse: Die t'-Achse stimmt mit der Weltlinie des Ursprungs von I' überein.
Erklärung: Die Weltlinie eines in I' ruhenden Beobachters ist
parallel zur Zeitachse. Nur dann bleibt seine Ortskoordinate x'
ungeändert. Ruht er insbesondere im Ursprung, ist seine Weltlinie mit der Zeitachse t' ident.
Konstruktion der Raumachse von I': Alle Ereignisse, die auf der
x'-Achse liegen, finden in I' gleichzeitig statt.
Um die x'-Achse zu konstruieren, muß man daher zwei Ereignisse finden, die in Bezug auf I' beide zur
Zeit t'=0 stattfinden. (Anmerkung: Alle Ereignisse, die auf derselben Parallelen zur x-Achse liegen sind in
I gleichzeitig)
Konstruktion zweier Ereignisse die in I' zur Zeit t'=0 passieren:
Zwei Lichtsignale ausgesandt in O bzw. S:
Signal O wird zur Zeit t=t'=0 am Ende der Rakete ausgesandt.
Signal S wird von der Raketenspitze ausgesandt.
Wenn diese beiden Signale bei einem in der Raketenmitte ruhenden Beobachter zum gleichen Zeitpunkt
eintreffen, sind sie für ihn gleichzeitig und zwar beide zur Zeit t'=0 in A bzw. B ausgesandt worden. O
und S müssen dann auf der x'-Achse liegen.
Anmerkung: Da es absolute Gleichzeitigkeit nicht gibt, können die x- und die x'-Achse nicht gleich sein
(Zwei Ereignisse, die in I gleichzeitig sind, sind in I' nicht gleichzeitig)!
Die Konstruktion der Einheitsstrecken: Eine bewegte Uhr geht langsamer. Während in I' die Zeit t'=1s
vergeht, vergeht in I die Zeit t
t=
Galileitransormation: Die Galileitransformation genügt nicht dem Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit!
t'
.
v2
1− 2
c
Für v=3c/5 ergibt sich das, daß die bewegte Uhr um den Faktor 1,25 schneller geht. Damit kann die Einheit in I' eingezeichent werden.
Beobachter in I und in I’
müssten eine andere Lichtgeschwindigkeit messen:
∆x ' ∆x
c' =
≠
=c
∆t ' ∆t
Ein Lichtsignal das 1s lang unterwegs ist, legt auch in I' eine
Strecke von 1Lichtsekunde zurück. Die Einheitsstrecke auf
der x'-Achse, die den Punkt x'=1 festlegt, kann daher mit Hilfe
des Prinzips von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit konstruiert werden.
Konstruktion des Minkowskidiagramms:
Inertialsystem I: Die Rakete hat eine Geschwindigkeit v =
Inertialsystem I′ : Ruhesystem der Rakete.
3
⋅c.
5
Koordinatenachsen von I’:
• Als t’-Achse wird die Weltlinie des Koordinatenursprungs gewählt.
• Die x′ -Achse wird von allen in I’ gleichzeitigen Ereignissen zur Zeit t’=0s gebildet.
Einheitsstrecken in I’:
Eine in I’ am Raketenende plazierte Uhr geht aus der Sicht von I langsamer als die Uhren von I. Wenn für
die Uhren in I daher die Zeit t vergangen ist, zeigt die mit dem Raketenende mitbewegte Uhr erst die Zeit
t' = t ⋅ 1 −
v2
c2
bzw. t ' = 54 ⋅ t .
6.4.Die Lorentztransformation
Ein Ereignis findet für einen Beobachter in I am Ort x und zur Zeit t statt. Aus dem Minkowskydiagramm
können dann Orts- und Zeitangaben für einen Beobachter der in I' ruht herausgelesen werden. Man kann
sie aber auch berechnen:
x' =
Die Uhr am Raketenende zeigt daher erst dann t’=1s, wenn für die Uhren von I die Zeit t = 54 s vergangen
ist.
Auch im bewegten System I’ hat das Licht die Geschwindigkeit c. In einer Sekunde legt es daher eine
Strecke von einer Lichtsekunde zurück. Damit lässt sich die Einheitsstrecke auf der x-Achse konstruieren.
x − v.t
1−
x=
v2
c2
x '+ v.t '
1−
v2
c2
y' = y
y = y'
v
⋅x
c2
v2
1− 2
c
v
t '+ 2 ⋅ x '
c
t=
v2
1− 2
c
t' =
t−
.
Dieser Zusammenhang zwischen den Koordinaten (x,t) und den Koordinaten (x',t') wird als Lorentztransformation bezeichnet.
Für Geschwindigkeiten v, die kleine gegenüber der Lichtgeschwindigkeit c sind, ergibt sich wieder die
Galileitransformation der klassischen Physik.
Beipiele: Sexl S76, Nr.7.19
Lösen die folgende Aufgabe rechnerisch mit Hilfe der Lorentztransformation und zeichnerisch mittels
eines Minkowskydiagrammes:
Ein Ereignis E1 hat in I die Koordinaten x1=10Ls, t1=10s. Welche Koordinaten hat dieses Ereignis in
einem Koordinatensystem I', das sich gegenüber I mit v=0,6c in Richtung der positiven x-Achse bewegt?
Welche Koordinaten haben die Ereignisse E2 (x2=10Ls, t2=6s) und E3 (x3=10Ls, t3=2s)?
Welche Ergebnisse erhält man, wenn sich das Bezugssystem I' mit der selben Geschwindigkeit, aber in
die entgegengesetzte Richtung bewegt?
Der Beobachter in I sieht einen Zeitunterschied
Begründung der Lorentztransformation:
∆t =
L'⋅v
1
⋅
c²
1−
v²
c²
.
Beweis:
Ein Beobachter misst für den Abstand eines Ereignisses vom Ursprung von I’:
Für den Beobachter in I ergibt sich dieser Abstand zu:
x’
x − v⋅t
Wegen der Lorentzkontraktion misst er einen kürzeren Abstand als der Beobachter in I’:
x − v ⋅ t = 1−
x' =
v²
c²
⋅ x'
x − v⋅t
1−
v²
c²
Abstimmung der Uhren in I und I’:
• Im Ursprung von I und I’ befindet sich je eine Uhr U0 bzw. U0’. In dem Moment, in dem die beiden
Uhren am gleiche Ort sind, werden beide auf t=t’=0 gestellt.
• Alle anderen Uhren in I bzw. I’ lassen sich dann synchronisieren.
Aus Sicht von I geht die Uhr U0’ langsamer als die eigene Uhr U0:
t'
t ' = t ⋅ 1 − vc ²² bzw. t =
1 − vc ²²
Der Beobachter in I’ hat seine Uhren synchronisiert. Eine Uhr U1’ in I’ bei x’ zeigt für ihn daher dieselbe
Zeit an, wie die Uhr U0’. Anders für einen Beobachter in I. Für ihn geht die Uhr U1’ bei x’ nach und zwar
um
x '⋅v
1
∆t =
⋅
.
c²
1 − vc ²²
Zwischen den Zeiten in I und in I’ besteht daher zusammengenommen die Beziehung
t '+ xc'⋅²v
t=
.
1 − vc ²²
Um zur gesuchten Beziehung für t’ in Abhängigkeit von t und x zu gelangen ist x’ mittels der obigen Beziehung für x’ zu ersetzen:
v²
⋅t
x⋅v
1
⋅
− c²
.
1 − vc ²² ⋅ t = t '+
c²
1 − vc ²²
1 − vc ²²
Umformen nach t’ ergibt schließlich
t − vc⋅²x
t' =
1 − vc ²²
Einschub: Wie groß ist die von I wahrgenommene Zeitdifferenz zwischen zwei Ereignissen E1 und E2 die
in I’ gleichzeitig geschehen? Der Abstand der Ereignisse in I bzw. I’ beträgt L bzw. L’.
Ein Signal in der Mitte eines Wagons der Länge L, der in I’ ruht und dort die Länge L’ hat, kommt aus
der Sich eines Beobachters in I an der vorderen und der hinteren Seite zu den Zeiten
L
L
tv =
bzw. t h =
c−v
c+v
an. Für die Zeitdifferenz zwischen den beiden Ereignisse gilt dann
L⋅v 1
∆t = t v − t h = 2 ⋅
.
c 1 − vc ²²
Wegen der Längenkontraktion sieht der Beobachter in I die Länge L gegenüber der Eigenlänge L’ verkürzt:
L = L'⋅ 1 − vc ²² .
Eintragen in die Beziehung ergibt das behauptete Resultat.
6.5 Lichtgeschwindigkeit und Kausalität
Beweis der Lorentztransormation:
Annahme: Der Zusammenhang zwischen den Koordinaten hat die Form
x ' = a.x + b.t
.
Ereignis 1: Raketenende:
in I'
x'=0
in I
x=v.t
Ein Ereignis am Raketenende x'=0 zur Zeit t' findet vom Standpunkt eines Beobachters in I zur Zeit t am
Ort x = v . t statt. Es gilt also 0 = a.v.t + b.t , woraus b = −a.v folgt.
Die Lichtgeschwindigkeit als Grenzgeschwindigkeit
Mit Signalen, die sich mit Überlichtgeschwindigkeit ausbreiten, könnte man Botschaften in die Vergangenheit senden. Eine Frage wäre dann beantwortet, ehe sie gestellt wurde.
Die Transformation muß sich also in der Form x ' = a ( x − v.t ) schreiben lassen.
Ereignis 2: Ursprung von I: in I
x=0
in I'
x'=-v.t
.'
Der Koordinatenursprung bewegt sich mit selber Geschwindigkeit in die entgegengesetzte Richtung.
Für einen Beobachter in I' geht eine im Ursprung von I ruhende Uhr um den Faktor
1
1−
v2
c2
langsamer:
t
t' =
.
v2
c2
Einsetzen in die Transormation:
1−
t
x ' = − v.
1−
v2
c2
= a.(0 − v.t ) .
Daher ist
a=
1
.
v2
c2
Für die Transformation erhält man daher endlich
1
x' =
( x − v.t )
.
v2
1− 2
c
1−
Bsp. für Signale mit Überlichtgeschwindigkeit und die Widersprüche, die sich ergeben.
Existenz einer Grenzgeschwindigkeit: Es kann keine Signale geben, die sich schneller als das Licht ausbreiten. Ebenso unmöglich ist es, einen Körper auf Überlichtgeschwindigkeit zu beschleunigen.
Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft
Auch in der Relativitätstheorie gilt das Kausalitätsprinzip, wonach stets die Ursache der Wirkung zeitlich
vorausgeht.
Zukunft:
Die Weltlinien der von A ausgehenden Lichtsignale grenzen den Einflußbereich von A ein, weil sich kein
Signal schneller als Licht ausbreiten kann.
Das Ereignis A kann nur solche Ereignisse auslösen, die innerhalb des nach oben offenen Lichtkegels mit
der Spitze in A liegen. Dieser Lichtkegel bildet die Zukunft von A.
Vergangenheit:
Die Vergangenheit von A wird durch alle jene Ereignisse gebildet, die das Ereignis A beeinflussen können. Die Vergangenheit von A besteht daher aus allen Ereignissen, die in dem nach unten offenen Lichtkegel mit der Spitze in A liegen.
Gegenwart:
Alle Ereignisse, die außerhalb der beiden Lichtkegel liegen, können weder auf das Ereignis A einwirken,
noch von ihm beeinflußt werden. Diese Ereignisse bilden die Gegenwart von A.
6.6 Das Geschwindigkeitsadditionstheorem
Eine Wagon I' bewegt sich in x-Richtung mit der Geschwindigkeit v gegenüber dem Laborsystem I.
Im Wagon bewegt sich ein Körper in x’-Richtung
v
u’
u
Geschwindigkeit des Wagens
Geschwindigkeitskomponente des Körpers (parallel zu v) für eine Beobachter im Wagen I’
Geschwindigkeit des Körpers für Beobachter in I
u=
u '+ v
u '.v
1+ 2
c
in x-Richtung
Köper bewegt sich in eine beliebige Richtung
w’
w
v
Geschwindigkeit des Körpers für eine Beobachter im Wagen I’
Geschwindigkeit des Körpers für Beobachter in I
Geschwindigkeit des Wagens
v2
c2
w = w '⋅
u '.v
1+ 2
c
1−
in y-Richtung.
Für Geschwindigkeiten v, die sehr klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit c sind gilt wieder
u=u’+v und w=w’
Beispiele:
7.Dynamik
1.Teilchen fliegt mit 0,5c gegenüber I. Welche Geschwindigkeit hat es gegenüber I', das sich selbst mit
0.6c gegenüber I bewegt?
7.1.Die klassische Dynamik
2.Ein Teilchen bewegt sich in I' mit 50% der Lichtgeschwindigkeit unter einem Winkel von 70° zur xAchse. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Teilchens aus der Sicht eines Beobachters I, wenn sich I'
ihm gegenüber mit 0,8c in Richtung der gemeinsamen x-Achse bewegt? In welche Richtung fliegt das
Teilchen bezüglich I?
u'=0,274c
w'=0,752c
u=0,681c
w=9,573c
φ=40,1°
3.Neutrinos sind Elementarteilchen, die sich wie Photonen mit Lichtgeschwindigkeit bewegen
In einem Inertialsystem I' fliegt ein Neutrino längs der Winkelhalbierenden. Wie groß ist die Geschwindigkeit in I, wenn sich I' mit 0,4c in Richtung der x-Achse bewegt.
In einem abgeschlossenen System (ohne Einwirkung von Außen) bleiben Masse, Impuls und Energie
erhalten:
4.Zwei Raumschiffe A und B fliegen mit 0,8c und 0,7c in entgegengesetzter Richtung an der Erde vorbei.
Welche Geschwindigkeit des Raumschiffes B miss der Beobachter in A?
Massenerhaltung:
Impulserhaltung:
mA + mB = mC + mD
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
p A + p B = p C + p D mit p = m ⋅ v m A ⋅ v A + m B ⋅ v B = m C ⋅ v C + m D ⋅ v D
Energieerhaltung:
1
2
5.Ein radioaktiver Kern fliegt mit der Geschwindigkeit v=0,5c in x-Richtung. In seinem Ruhesystem sendet er Elektronen mit einer Geschwindigkeit von 0,6c aus.
Welche Geschwindigkeit haben die Elektronen im Laborsystem, wenn sie im Ruhesystem des Kernes
a.in positiver x-Richtung
b.in y-Richtung
c.in negativer x-Richtung emittiert werden?
6.Zwei Neutrinos fliegen beide mit Lichtgeschwindigkeit aber in entgegengesetzter Richtung an einem
Beobachter vorbei. Mit welcher Geschwindigkeit entfernen sie sich voneinander?
2
2
2
⋅ m A ⋅ v A + 12 ⋅ m B ⋅ v B = 12 ⋅ m C ⋅ v C + 12 ⋅ m D ⋅ v D
2
7.2.Der Impuls und die relativistische Massenzunahme
Vorüberlegungen:
• Beschleunigt man einen Körper mit einer Beschleunigung a=g=10m/s², so müßte er nach 3.107s (ungefähr ein Jahr) die Lichtgeschwindigkeit erreicht haben. Durch weiter Beschleunigung würde er Überlichrtgeschwindigkeit erreichen. Dies widerspricht der Aussage, daß sich kein Körper mit Überlichtgeschindigkeit bewegen kann.
• Am Teilchenbeschleuniger von Stanford wurde Elektronen eine Energie von 3.3 10-9J zugeführt.
Nach der klassischen Mechanik müßten die Elektronen eine Geschwindigkeit v=8.5 1010m/s=283.c
erreichen. Tatsächlich wurde aber festgestellt, daß die Elektronen um ∆v=5.10-10.c langsamer als das
Licht waren.
Gedankenexperiment:
Inertialsystem I: Ein Körper fliegt mit der Geschwindigkeit w<<c gegen eine Wand. Die Wand wird eingedrückt. Die Tiefe der Deformation ist ein Maß für die Größe des Teilchenimpulses. Die Teilchengeschwindigkeit w sei sehr klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit. Daher ist die klassische Mechanik
anwendbar.
Inertialsystem I':
Das Inertialsystem I' bewege sich mit hoher Geschwindigkeit v parallel zur Wand. Der Beobachter in I'
stellt dieselbe Delle in der Wand fest (Lorentzkontraktion erfolgt nur in Bewegungsrichtung). Er schließt
daher auf denselben an die Wand übertragenen Impuls.
•
Längen quer zur Geschwindigkeit sind unverkürzt (gleichzeitiges markieren der Enden im Ruhesystem I ist auch im System I’ gleichzeitig): ∆y = ∆y′
•
Von I’ aus gesehen gehen alle Uhren sind alle Vorgänge im ruhenden System I um den Faktor
2
2
1 − vc 2 verlangsamt (Alle Uhren in I gehen um diesen Faktor langamser): ∆t = ∆t ′ ⋅ 1 − vc 2
Daher gilt w ′ =
∆y′ ∆y
=
⋅ 1−
∆t ′ ∆t
Ein bewegter Körper hat daherr die Energie
v2
c2
= w ⋅ 1−
v2
c2
w′ = w ⋅ 1 −
v2
c2
.
E = m ⋅ c2
Beide Beobachter messen zwar denselben Impuls, aber eine andere Geschwindigkeit. Dies ist nur möglich, wenn beide eine andere Masse des Körpersmessen:
p = m ⋅ w′ = p = m0 ⋅ w
m=
m
m0
Der zweite Term dieser Summe stellt nichts anderes dar, als die kinetische Energie des Körpers. Daraus
ist zu schließen, dass auch alle anderen Terme die Bedeutung von Energien haben.
⇒
m ⋅ w ⋅ 1−
v2
c2
= m0 ⋅ w
v
m0 ⋅ v
v
v
p = m⋅v =
v2
1− 2
c
m0
2
v
1− 2
c
⇒
m=
Masse und Energie treten daher immer vereint auf.
Auch der ruhende Körper besitzt nicht die Energie Null, sondern die Ruheenergie E0:
E0 = m0 ⋅ c2
m0
1−
v2
c2
Der Masse m 0 eines Körpers ist die Ruheenergie E 0 = m 0 ⋅ c 2 äquivalent.
Die Gesamtenergie eines Körpers ist die Summe seiner Ruheenergie und seiner kinetischen Energie:




2
1
 m ⋅c

E = E0 + E k = m0 ⋅ c2 + m0 ⋅ c2 
= m ⋅ c2
− 1 = 0
2
2
v
v

 1−
1− 2


c2
c


Masse des Körpers im Beobachtungssystem, dynamische Masse
Masse des Körpers in seinem Ruhesystem
E
m
7.3.Energie
Es gilt
1
1
1⋅ 3 2 1⋅ 3 ⋅ 5 3
= 1+ ⋅ x +
⋅x +
⋅ x +K
für
2
2⋅4
2⋅4⋅6
1+ x
Angewandt auf die Formel für die dynamische Masse ergibt sich
 1 v2 3 v4

m0
=
⋅
.
m=
m
0
1 + 2 ⋅ c 2 + 8 ⋅ c 4 + K
v2


1− 2
c
Nach Multipliklation mit c2:
m ⋅ c2 =
m0 ⋅ c2
1−
v2
c2
= m0 ⋅ c2 +
Interpretation dieses Ergebnisses:
1
3
v4
⋅ m0 ⋅ v2 + ⋅ m0 ⋅ 2 + K
2
8
c
.
Gesamtenergie des Teilchens
dynamische Masse des Teilchens
7.4.Massen- und Energieeinheiten der Hochenergiephysik
7.5.Massendefekt
Ein elektrisch geladenes Teilchen wird durch ein elektrisches Feld beschleunigt. Die kinetische Energie
des Teilchens nimmt zu. Für diese Energieerhöhung des Teilchens gilt
Atomkerne bestehen aus Nukleonen: Protonen und Neutronen.
∆E = q.U
q
U
Beispiel: Der Atomkern von Helium besteht aus 2Protonen und 2Neutronen
.
elektrische Ladung des Teilchens
durchlaufene Spannung
Elektronvolt: Ein Elektronvolt ist jene Energie, die ein Elektron oder Proton zusätzlich erhält, wenn es
eine Spannung von 1Volt durchläuft.
Ladung eines Elektrons oder Protons (Elementarladung): q = e = 1.6 ⋅ 10 −19 As
Erinnerung: Strom=Ladung/Zeit
Daher
daher
[Ladung]=[Strom].[Zeilt]
1eV = 1.6 ⋅ 10 −19 As ⋅ 1V = 1.6 ⋅ 10 −19 W ⋅ s = 1.6 ⋅ 10 −19 J
1eV = 1.6 ⋅ 10 −19 J
Wegen der Äquivalenz von Masse und Energie kann auch die Masse in Elektronvolt ausgedrückt werden:
Bsp.: Drücken Sie die Masse eines Elektrons m e = 9.11 ⋅ 10 −31 kg in Elektronvolt aus.
Ruheenergie des Elektrons
E e = m e ⋅ c 2 ≈ 8.2 ⋅ 10 −14 J ≈ 512 ⋅ 10 3 eV ≈ 0.512MeV
Bsp.:
• Das Proton hat eine Masse von mp=938.3MeV. Wie groß ist die Masse in Kilogramm?
• Das Neuton hat eine Masse von mn=939.5MeV. Wie groß ist die Masse in Kilogramm?
Atomare Masseneinheit [m] = 1u: 1u = 121 der Masse des Kohlenstoffisotops 12C.
1 ⋅ u = 931 ⋅ MeV
Masse Neutron:
Masse Proton:
m n = 1.008665 ⋅ u
m p = 1.007276 ⋅ u
Unter dem Massendefekt bezeichnet man in der Kernphysik den Massenunterschied zwischen der Summe
der Massen der Bestandteile eines Atomkernes und der tatsächlichen Masse dieses Atomkerns.
Der Massendefekt erklärt sich aus der Äquivalenz von Masse und Energie. Er ist demnach identisch mit
der Kernbindungsenergie der Nukleonen.
Massendefekt bei verschiedenen Massenzahlen: Massenzahl = Anzahl Protonen + Anzahl Neutronen
7.6 Die Erhaltungssätze
Der Massendefekt ist bei verschiedenen Atomkernen unterschiedlich groß.
In der klassischen Mechanik gibt es drei Erhaltungssätze: die Erhaltung der Masse, des Impulses und der
Energie.
Für den Stoß zweier Teilchen A und B, bei dem zwei neue Teilchen C und D entstehen gilt dann
mA + mB = mC + mD
EA + EB = EC + ED
r
v
v
v
pA + pB = pC + pD
.
In der Relativitätstheorie ist die Mmasse keine Erhaltungsgröße mehr. Erhalten ist nur die Summe aus
Ruheenergie und kinetischer Energie:
EA + EB = EC + ED
r
v
v
v
pA + pB = pC + pD
mit
•
•
•
Maximum des Massendefektes bei der Massenzahl 56
Bei Atomkernen mit einer größeren Massenzahl kann Energie durch Kernspaltung gewonnen werden
Bei Kernen mit kleinerer Massenzahl wäre es im Prinzip möglich, Energie durch Fusion zu gewinnen
E = m ⋅ c2 = m0 ⋅ c2 + E K
v
m0 ⋅ v
v
p = m.v =
v2
1− 2
c
für Energie und Impuls jedes Teilchens.
7.7.Schlußfolgerungen aus den Erhaltungssätzen
Die Relativitätstheorie besagt, daß es möglich ist Masse in Energie umzuwandeln Ähnlich wie potentielle
Energie in kinetische Energie kann also auch Masse in eine andere Energieform ungewandelt werden.
Masse ∆m → Energie ∆m.c² in einer anderen Form: z.B. elektromagnetische Strahlung
Frage: Wieso gibt es überhaupt stabile Elementarteichen?
Antwort: Neben Erhaltungssätzen der Energie und des Impulses der Relativitätstheorie noch andere physikalische Größen gibt, die bei den Wechselwirkungen zwischen den Elementarteilchen erhalten bleiben.
Erhaltung der elektrischen Ladung: Bei allen Experimenten bleibt die vorhandene die elektrische Ladung
stets gleich groß ist.
Noch nie ist beobachtet worden, dass sich zwei Elektronen in Strahlung auflösen:
ε + ε −>γ
Neben Energie, Impuls und elektrischer Ladung muss es noch weitere Erhaltungsgrößen geben. Sonst
wäre etwa folgende Wechselwirkung möglich, bei der sich ein Wasserstoffatom in Strahlung auflösen
würde:
.
p++e- ->γ
Tatsächlich sind heute eine Reihe weiterer Erhaltungsgrößen bekannt:
Weitere Erhaltungssätze: Erhaltung der Baryonenzahl, der Leptonenzahl, usw.
7.8.Beispiel für die Anwendung der Erhaltungssätze
b.Elektronen werden auf ruhende Positronen geschossen. Welche Energie wäre dann notwendig?
Die Entdeckung des Psi-Teilchens Nobelpreis für Physik des Jahre 1976: Burton Richter (Stanford) und
Samuel C. Ting (Massachussetts Institute of Technology)
Energieerhaltung:
Experiment am DESY-Teilchenbeschleuniger (Deutsches Elektronensynchrotron - Hamburg):
Der DESY-Beschleuniger kann Elektronen und Positronen (Positronen haben eine positive Ladung,
stimmen aber sonst in allen Eigenschaften mit den Elektronen überein) auf eine Maximalenergie von
7.5GeV beschleunigen.
Beschleunigte Teilchen können dann im Doppelspeicherring DORIS für Stunden gespeichert werden.
Elektronen e- und Positronen e+ kreisen in entgegengesetzter Richtung. An den Kreuzungsstellen der beiden Ringe kommt es zu Kollisionen der beiden Teilchenarten.
m 0e ⋅ c 2
2
v
1 − e2
c
m 0ψ ⋅ c 2
+ m 0e ⋅ c 2 =
1−
vψ
(1)
2
c2
Impulserhaltung:
m 0e ⋅ v e
2
v
1 − e2
c
+0=
m 0ψ ⋅ v ψ
1−
Die Teilchengeschwindigkeit v wurde variiert.
vψ
(2)
2
c2
Zwei Gleichungen für die beiden unbekannten Geschwindigkeiten.
Ergebnis:
•
Zunächst beobachtete man nur wenige Stöße zwischen Elektronen und Positronen.
•
Bei Erreichen einer bestimmten Geschwindigkeit nahm die Zahl der Stöße stark zu. Bei jedem Zusammenstoß wurden die beiden Teilchen in ein neues Teilchen mit hoher Masse umgewandelt. Diesem neuen Teilchen gab man den Namen Psi-Teilchen
(1)2-c2(2)2:
2
m 0e ⋅ c 4
2
1−
ve
c2
2
+ 2⋅
2
m 0e ⋅ c 4
2
+ m 0e ⋅ c 4 −
2
1−
ve
c2
m 0e ⋅ v e
2
1−
ve
c2
2
2
=
m 0ψ ⋅ c 4
1−
vψ
c
Dieses Experiment zeigt, daß es möglich ist die Energie von Positron und Elektron in Masse umzuwandeln!
2 ⋅ m 0 e ⋅ c 4 + 2 ⋅ (E erf + m 0 e ⋅ c 2 ) ⋅ m 0e ⋅ c 2 = m 0 ψ ⋅ c 4
a.Ruhemasse des Psi-Teilchens M=7400.me. Wie groß war die Geschwindigkeit der Elektronen und der
Positronen?
2 ⋅ E erf ⋅ m 0 e ⋅ c 2 = m 0 ψ ⋅ c 4 − 2 ⋅ m 0e ⋅ c 4 − 2 ⋅ m 0 e ⋅ c 4
p e+ = −p e− ⇒ p ψ = p e+ + p e− = 0
2
−
m 0ψ ⋅ v ψ
1−
vψ
2
2
c2
2
(
 1  m 0ψ
E erf =  
 2  m 0e

Impulserhaltung
2
2
)
2
2


 − 2  ⋅ m 0e ⋅ c 2



E erf ≈ 14000GeV
Energieerhaltung
Eψ =
2
2
2
m 0ψ ⋅ c 2
1−
vψ
c
2
= m 0ψ ⋅ c = 2 ⋅
2
m 0e ⋅ c 2
2
v
1 − e2
c
⇒
Die erforderliche Energie ist in diesem Fall um ein Vielfaches größer. Der Großteil dieser Energie wird
nicht in die Ruhemasse des Psi-Teilchens umgewandelt, sondern in kinetische Energie dieses Teilchens
2
1−
2
7400 ⋅ m 0e ⋅ c 2 = 2 ⋅
m 0e ⋅ c 2
ve
c2
ve
= 0.999999963477
c
Erforderliche Energie:
E erf = E e + + E e − − 2 ⋅ m 0e ⋅ c 2 = (m 0 ψ − 2 ⋅ m 0e )c 2 = (7400 − 2 )m 0 e ⋅ c 2 ≈ 3700MeV
HÜ:
• Zwei Teilchen gleicher Ruhemasse m0 und gleicher kinetischer Energie von je EK=2m0c2 stoßen
zentral zusammen und bilden ein neues Teilchen. Wie groß ist die Ruhemasse M0 des neuen Teilchens? (M0=6m0)
8.Gesetze der Elektrodynamik
Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen Q und Q’ üben aufeinander eine Kraft aus:
1
Q ⋅ Q′
⋅ 2
F=
4 ⋅π ⋅ε0
r
Elektrische Feldstärke: E - Kraft auf eine Ladung der Größe 1. Aus positiven
Ladungen treten elektrische Feldinien aus, in negative treten sie ein.
v
Lorentzkraft: Auf eine in einem Magnetfeld bewegte Ladung wirkt eine
Kraft v
v v
F = Q× v×B
B
magnetische Flussdichte (magnetische Induktion) des Feldes:
B = µ0 ⋅ H
H
magnetische Feldstärke
v
Geschwindigkeit rechtwinkelig zu den Feldlinien
Q
Größe der bewegten Ladung
v
ε 0 ⋅ ∫∫ E ⋅ dF = Q
ε 0 = 8.85 ⋅ 10 −12
A⋅s
V ⋅m
Dielektrizitätskonstante
Aus der Lorentzkraft erklärt sich die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern:
Magnetische Feldstärke: H - gleichartige magnetische Pole stoßen einander ab, ungleichartige zeihen
sich an. Magnetische Feldlinien verlaufen außerhalb des Magneten vom Nordpol zum Südpol, innerhalb
vom Südpol zum Nordpol.
Merke: Elektrische Feldlinien haben einen Anfang und ein Ende, magnetische Feldinien sind in sich geschlossen!
Plus- und Minuspol treten immer nur gemeinsam auf. Es gibt keine magnetischen Ladungen!
v
v
µ 0 ⋅ ∫∫ H ⋅ dF = 0
µ 0 = 1.257 AV⋅⋅ms
magnetische Feldkonstante
1.Maxwellsche Gleichung: Ströme und zeitlich veränderliche elektrische Felder erzeugen ein Magnetfeld.
2.Maxwellsche Gleichung: Jedes sich ändernde Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Feld.
v
v
∫ H ⋅ ds = I + ε
∂A
0
⋅
d v v
E ⋅ dF
dt ∫∫
A
v
v
∫ E ⋅ ds = −µ
∂A
0
⋅
v v
d
H ⋅ dF
dt ∫∫
A
Induktionsgesetz:
U ind = −
Sonderfälle: Magnetisches Feld um stromdurchflossenen Leiter
H=
dΦ
mit
dt
v v
Φ = µ 0 ⋅ ∫∫ H ⋅ dF
Elektromagnetische Wellen: Ein zeitlich veränderliches elektrischesFfeld erzeugt ein magnetisches Feld ein zeitlich veränderliches magnetisches Feld erzeugt ein elektrisches Feld
I
2 ⋅π ⋅ r
Ausbreitungsgeschwindigkeit
1
c=
ε 0 ⋅ µ0
8.1.Die Assymetrie der Elektrodynamik
8.2.Magnetismus als elektrischer Effekt
„Daß die Elektrodynamik Maxwells in ihrer Anwendung auf bewegte Körper zu Assymmetrien führt, welche den Phänomenen selbst nicht anzuhaften scheinen, ist bekannt. Man denke z.B. an die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen einem Magneten und einem Leiter. Das beobachtbare Phänomen hängt
hier nur ab von der Relativbewegung von Leiter und Magnet, während nach der üblichen Auffassung die
beiden Fälle, daß der eine oder der andere Körper der bewegte sei, streng voneinander zu trennen sind.
Bewegt sich nämlich der Magnet und ruht der Leiter, so entsteht in der Umgebung des Magneten ein elektrisches Feld von gewissem Energiewerte, welches an den Orten, wo sich Teile des Leiters befinden,
einen Strom erzeugt. Ruht aber der Magnet und bewegt sich der Leiter, so entsteht in der Umgebung des
Magneten kein elektrisches Feld, dagegen im Leiter eine elektromotorische Kraft, welcher an sich keine
Energie entspricht, die aber - Gleichheit der Relativbewegung bei den beiden vorausgesetzt - zu elektrischen Strömen von derselben Größe und demselben Verlauf Veranlassung gibt, wie im ersten Falle die
elektrischen Kräfte.“(A.Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper)
Untersucht wird, wie ein Elektronenstrahl durch ein von einem Strom erzeugtes Magnetfeld beeinflusst
wird.
Interpretation im Laborsystem I (Röhre ruht): Die Ablenkung des Elektronenstrahl lässt sich durch die
Lorentzkraft erklären.
Interpretation im Ruhesystem I’ der Strahlelektronen: In diesem System kann die Ablenkung des Strahls
nicht mit der Lorentzkraft erklärt werden, den für den mitbewegten Beobachter ist die Geschwindigkeit
der Elektronen Null. Damit ist aber auch die magnetische Kraft (dieLorentzkraft) nicht mehr vorhanden,
denn diese Kraft wirkt nur auf im Magnetfeld bewegte Teilchen.
Im Ruhesystem lässt sich die Kraft auf die Elektronen nur mit Hilfe eines elektrischen Feldes erklären.
Leiterschaukel bewegt: Wird die Leiterschaukel bewegt, so wirkt auf die mitbewegten elektrischen Ladungen eine magnetische Kraft, die senkrecht zur Bewegungsrichtung und senkrecht zur Richtung des
magnetischen Feldes gerichtet ist. Diese Kraft beschleunigt die Leitungselektronen in der Leiterschaukel
und ruft so den elektrischen Strom hervor.
Magnet bewegt sich: Das Magnetfeld kann nicht die Ursache der Bewegung der Leigunselektronen sein,
denn auf ruhende Ladungen wirkt keine magnetische Kraft. Auf ruhende Ladungen vermag nur ein elektrisches Feld eine Kraft auszuüben. Zur Erklärung nimmt man jetzt an, dass durch die Bewegung des
Magnetfeldes ein elektrisches Feld erzeugt wird. Dieses Feld ist im Beispiel parallel zum Leiter gerichtet
und übt auf die Leitungselektronen eine elektrische Kraft aus.
Dieses von Einstein aufgeworfene Problem löst sich dadurch, dass magnetische und elektrische Kräfte
auf einen einzigen Wirkungsmechanismus zurückgeführt werden können. Tatächlich gibt es keine voneinander getrennten elektrischen und magnetischen Erscheinungen, sondern nur eine einheitliche elektromagnetische Kraftwirkung.
Im Ruhesystem der Elektronen bewegt sich der Leiter relativ zu
den ruhenden Strahlelektronen. An den Strahlelektronen fliegen
die negativen Leitungselektronen und die positiv geladenen Atomrümpfe vorbei.
Bei stromlosem Leiter haben die Leitungselektronen und die Atomrümpfe in I’ dieselbe Geschwindigkeit. Die negativen Leitungselektronen üben auf ein ruhendes Strahlelektron eine abstoßende elektrische Kraft, die Coulombkraft, aus. Die positiven Atomrümpfe wirken mit gleicher Kraft anziehend, sodass ein Strahlelektron bei stromlosem Leiter keine resultierende Kraftwirkung
erfährt.
Wird der Strom im Leiter eingeschaltet, so haben im Ruhesystem
der Strahlelektronen die Leitungselektronen eine kleinere Geschwindigkeit als die Atomrümpfe. Diese geringere Geschwindigkeit der Leitungselektronen in I’ führt zu einer geringeren Lorentzkontraktion der negativen Ladungen. Der Leiter erscheint dem Strahlelektron dadurch positiv geladen
und die anziehende Coulombkraft der positiven Atomrümpfe überwiegt.
Damit ist es gelungen, die magnetische Kraft auf die elektrische Kraft zurückzuführen.
Die Relativitätstheorie erklärt magnetische Kräfte durch die Lorentzkontraktion des Abstandes bewegter
Ladungen.
ARBEITSBLÄTTER
ARBEITSBLATT KAUSALITÄT
Inertialsystem I’ bewegt sich mit v =
3
⋅ c gegenüber dem Inertialsystem I
5
Beobachter A ruht im Inertialsystem I, Beobachter B ruht im Inertialsystem I’
Zeichnen Sie die Weltlinien von A und B ein!
A sendet zur Zeit t=0 an B ein Signal mit vierfacher Lichtgeschwindigkeit und B Antwortet sofort, indem
er ebenfalls ein Signal mit vierfacher Lichtgeschwindigkeit an A zurück sendet. Zeichnen Sie die Weltlinie beider Signale ein!
Wann kommt die Antwort von B bei A an?
ARBEITSBLATT GESCHWINDIGKEITSADDITION
ARBEITSBLATT GESCHWINDIGKEITSADDITION
Zwei relativ zueinander mit der Geschwindigkeit v bewegte Beobachter I bzw. I’ beobachten beide die
Bewegung eines Körpers. Um seine Geschwindigkeit zu ermitteln, messen beide die Zeit ∆t bzw. ∆t ′ ,
die der Körper braucht, um eine in I abgesteckte Wegstrecke der Länge L zurückzulegen. Der Beobachter
I misst die Geschwindigkeit u, der Beobachter I’ die Geschwindigkeit u’.
A.Beobachter I:
Wie hängt für den Beobachter I die gemessene Zeit ∆t von der Geschwindigkeit u des Körpers ab?
Welche Eigenzeit ∆t 0 vergeht demgemäß für den Körper?
B.Beobachter I’:
Welche Relativgeschwindigkeit gegenüber der Strecke hat der Körper für den Beobachter I’?
Welche Länge L′ hat die Strecke für den Beobchter I’?
3
Inertialsystem I’ bewegt sich mit v = ⋅ c gegenüber dem Inertialsystem I
5
In I’ bewegt sich ein Körper mit der Geschwindigkeit u ′ =
1
⋅c
2
Welchen Weg ∆x′ legt der Körper in ∆t ′ = 1s zurück?
Welche Zeit ∆t ′ benötigt der Körper für den Beobachter I’, um die Strecke zurückzulegen?
Welche Eigenzeit ∆t 0 vergeht dann für den Körper?
Zeichnen Sie die Weltlinie des Körpers ein!
Welchen Weg ∆x legt der Körper für einen Beobachter in I in der Zeit ∆t = 1s zurück?
Welche Geschwindigkeit u misst der Beobachter in I?
Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der Geschwindigkeit u = u ′ + v , die sich gemäß Galileitransformation ergäbe!
C.Schlussfolgerung:
Welche Schlussfolgerung über den Zusammenhang der Geschwindigkeiten u und u’ lassen sich durch den
Vergleich der beiden Aussagen für die Eigenzeit ziehen?
ARBEITSBLATT GESCHWINDIGKEITSADDITION – AUFLÖSUNG
Zwei relativ zueinander mit der Geschwindigkeit v bewegte Beobachter I bzw. I’ beobachten beide die
Bewegung eines Körpers. Um seine Geschwindigkeit zu ermitteln, messen beide die Zeit ∆t bzw. ∆t ′ ,
die der Körper braucht, um eine in I abgesteckte Wegstrecke der Länge L zurückzulegen. Der Beobachter
I misst die Geschwindigkeit u, der Beobachter I’ die Geschwindigkeit u’.
A.Beobachter I:
Wie hängt für den Beobachter I die gemessene Zeit ∆t von der Geschwindigkeit u des Körpers ab?
L
∆t =
u
Welche Eigenzeit ∆t 0 vergeht demgemäß für den Körper?
L
2
∆t 0 = ⋅ 1 − uc 2
u
B.Beobachter I’:
Welche Relativgeschwindigkeit gegenüber der Strecke hat der Körper für den Beobachter I’?
u rel = u ′ + v
Welche Länge L′ hat die Strecke für den Beobchter I’?
2
L′ = L ⋅ 1 − vc 2
A.Beobachter I:
Welche Zeit ∆t der Beobachter I bis der Körper in Querrichtung an der gegenüberliegenden
Wie groß ist für I der Betrag der Geschwindigkeit des Körpers?
Welche Eigenzeit ∆t 0 vergeht daher für den Körper?
Welche Zeit ∆t ′ benötigt der Körper für den Beobachter I’, um die Strecke zurückzulegen?
L′
L
2
∆t ′ =
=
⋅ 1 − vc 2
u′ + v u′ + v
Welche Eigenzeit ∆t 0 vergeht dann für den Körper?
L
2
2
2
∆t 0 = ∆t ′ ⋅ 1 − uc′2 =
⋅ 1 − vc 2 ⋅ 1 − uc′2
u′ + v
C.Schlussfolgerung:
Welche Schlussfolgerung über den Zusammenhang der Geschwindigkeiten u und u’ lassen sich durch den
Vergleich der beiden Aussagen für die Eigenzeit ziehen?
(
)
2
1 − uc 2
u 2  u′ v 
= +  ⋅
2
2
v2
c
 c c  1 − c 2 ⋅ 1 − uc′2
(
2
)(
)
 1 − v2 − u′2 + u′2 ⋅ v2 + u′2 + 2 ⋅ uc′ ⋅ vc +
c
c
c
c
c

v2
u ′2

1
−
2 ⋅ 1−
c
c2

2
2
2
(
u=
u′ + v
1 + uc′⋅2v
2
)(
2
)
1 − uc 2
u  u′ v 
=  + ⋅
c  c c  1 − v22 ⋅ 1 − u′22
c
c
2
L
L
2
2
2
⋅ 1 − uc 2 =
⋅ 1 − vc 2 ⋅ 1 − uc′2
u
u′ + v
⇒
⇒
v2
c2

( uc′ + vc )2
1 +
2
2

1 − vc 2 ⋅ 1 − uc′2

(
)(
 u2
( uc′ + vc )2
⋅
=
2
2
 c2
1 − vc 2 ⋅ 1 − uc′2

(
)(
)
)
)(
(1 + ) ⋅ u
(1 − )⋅ (1 − ) c
u ′⋅ v 2
c2
2
v
c2
2
u′
c2
B.Beobachter I’:
Wie lange ist die Strecke B in Querrichtung für den Beobachter I’?
Welche Zeit ∆t ′ misst der Beobachter in I’?
Wie groß ist für I’ der Betrag der Geschwindigkeit des Körpers?
Welche Eigenzeit ∆t 0 vergeht daher für den Körper?
 u2
( uc′ + vc )2
⋅
=
2
2
2
 c
1 − vc 2 ⋅ 1 − uc′2

(
ARBEITSBLATT ADDITION ALLGEMEINER GESCHWINDIGKEITEN
Zwei relativ zueinander mit der Geschwindigkeit v bewegte Beobachter I bzw. I’ beobachten beide die
Bewegung eines Körpers. Um seine Geschwindigkeitskomponente senkrecht auf die Richtung von v zu
ermitteln, messen beide die Zeit ∆t bzw. ∆t ′ , die der Körper braucht, um eine in I abgesteckte Wegstrecke der Breite B in Querrichtung zurückzulegen. Der Beobachter I misst die Geschwindigkeitskomponente w, der Beobachter I’ die Geschwindigkeitskomponente w’.
2
2
)
=
( uc′ + vc )2
(1 − )⋅ (1 − )
v2
c2
u ′2
c2
C.Schlussfolgerung:
Welche Schlussfolgerung über den Zusammenhang der Geschwindigkeitskompononten w und w’ lassen
sich durch den Vergleich der beiden Aussagen für die Eigenzeit ziehen, wenn man berücksichtigt, wie die
x-Komponenten u bzw. u’ der Geschwindigkeit zusammenhängen?
ARBEITSBLATT ADDITION ALLGEMEINER GESCHWINDIGKEITEN – AUFLÖSUNG
Zwei relativ zueinander mit der Geschwindigkeit v bewegte Beobachter I bzw. I’ beobachten beide die
Bewegung eines Körpers. Um seine Geschwindigkeitskomponente senkrecht auf die Richtung von v zu
ermitteln, messen beide die Zeit ∆t bzw. ∆t ′ , die der Körper braucht, um eine in I abgesteckte Wegstrecke der Breite B in Querrichtung zurückzulegen. Der Beobachter I misst die Geschwindigkeitskomponente w, der Beobachter I’ die Geschwindigkeitskomponente w’.
A.Beobachter I:
Welche Zeit ∆t der Beobachter I bis der Körper in Querrichtung an der gegenüberliegenden
∆t = wB
Wie groß ist für I der Betrag der Geschwindigkeit des Körpers?
B
w
⋅ 1− u
2
+w2
c2
B
w
⋅ 1 − u′ c+2w′
2
Maximum des Massendefektes bei der Massenzahl 56
Bei Atomkernen mit einer größeren Massenzahl kann Energie durch Kernspaltung gewonnen werden
Bei Kernen mit kleinerer Massenzahl wäre es im Prinzip möglich, Energie durch Fusion zu gewinnen
Massendefekt bei verschiedenen Massenzahlen: Massenzahl = Anzahl Protonen + Anzahl Neutronen
B.Beobachter I’:
Wie lange ist die Strecke B in Querrichtung für den Beobachter I’?
B = B′
Welche Zeit ∆t ′ misst der Beobachter in I’?
∆t ′ = wB′
Wie groß ist für I’ der Betrag der Geschwindigkeit des Körpers?
u′2 + w′2
Welche Eigenzeit ∆t 0 vergeht dabei für den Körper?
∆t 0 =
Der Massendefekt ist bei verschiedenen Atomkernen unterschiedlich groß.
•
•
•
u2 + w2
Welche Eigenzeit ∆t 0 vergeht daher für den Körper?
∆t 0 =
Massendefekt bei verschiedenen Massenzahlen: Massenzahl = Anzahl Protonen + Anzahl Neutronen
Der Massendefekt ist bei verschiedenen Atomkernen unterschiedlich groß.
2
C.Schlussfolgerung:
Welche Schlussfolgerung über den Zusammenhang der Geschwindigkeitskompononten w und w’ lassen
sich durch den Vergleich der beiden Aussagen für die Eigenzeit ziehen, wenn man berücksichtigt, wie die
x-Komponenten u bzw. u’ der Geschwindigkeit zusammenhängen?
2
2
2
2
2
2
2
2
u2 +w2
1
= w1′ ⋅ 1 − u′ c+2w ′ ⇒ w 2 ⋅ 1 − u′ c+2w ′ = w ′ 2 ⋅ 1 − u c+2w ⇒ w 2 ⋅ 1 − uc′2 = w ′ 2 ⋅ 1 − uc 2
w ⋅ 1−
c2
(
(
)
mit u = 1u+′+u ′v⋅ v ⇒ w 2 ⋅ 1 − uc′2 = w ′ 2 ⋅
c2
(
w = w′ ⋅
)
1−
1+
1+ 2⋅
+
u ′ 2 ⋅v 2
c4
(
−
u ′2
c2
u ′⋅ v 2
− 2⋅
(1 + )
(1 − )⋅ (1 − )
⋅
(1 + )
)
u ′⋅v
c2
−
(
)
(
)
v2
c2
c2
1 − uc′2 − vc 2 +
2
w 2 ⋅ 1 − uc′2 = w ′ 2 ⋅
2
2
)
u ′⋅v
c2
2
v
c2
u ′⋅v
c2
2
(1 + )
u ′⋅ v 2
c2
u ′2 ⋅v 2
c4
= w′2
u′2
c2
v2
c2
u ′⋅ v 2
c2
•
•
•
Maximum des Massendefektes bei der Massenzahl 56
Bei Atomkernen mit einer größeren Massenzahl kann Energie durch Kernspaltung gewonnen werden
Bei Kernen mit kleinerer Massenzahl wäre es im Prinzip möglich, Energie durch Fusion zu gewinnen
ARBEITSBLATT Gesetze der Elektrodynamik
Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen Q und Q’ üben aufeinander eine Kraft aus:
1
Q ⋅ Q′
F=
⋅ 2
4 ⋅π ⋅ε0
r
Elektrische Feldstärke: E - Kraft auf eine Ladung der Größe 1. Aus positiven
Ladungen treten elektrische Feldinien aus, in negative treten sie ein.
v
Lorentzkraft: Auf eine in einem Magnetfeld bewegte Ladung wirkt eine
Kraft v
v v
F = Q× v×B
B
magnetische Flussdichte (magnetische Induktion) des Feldes:
B = µ0 ⋅ H
H
magnetische Feldstärke
v
Geschwindigkeit rechtwinkelig zu den Feldlinien
Q
Größe der bewegten Ladung
v
ε 0 ⋅ ∫∫ E ⋅ dF = Q
ε 0 = 8.85 ⋅ 10 −12
A⋅s
V ⋅m
Dielektrizitätskonstante
Aus der Lorentzkraft erklärt sich die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern:
Magnetische Feldstärke: H - gleichartige magnetische Pole stoßen einander ab, ungleichartige zeihen
sich an. Magnetische Feldlinien verlaufen außerhalb des Magneten vom Nordpol zum Südpol, innerhalb
vom Südpol zum Nordpol.
Merke: Elektrische Feldlinien haben einen Anfang und ein Ende, magnetische Feldinien sind in sich geschlossen!
Plus- und Minuspol treten immer nur gemeinsam auf. Es gibt keine magnetischen Ladungen!
v
v
µ 0 ⋅ ∫∫ H ⋅ dF = 0
µ 0 = 1.257 AV⋅⋅ms
magnetische Feldkonstante
1.Maxwellsche Gleichung: Ströme und zeitlich veränderliche elektrische Felder erzeugen ein Magnetfeld.
2.Maxwellsche Gleichung: Jedes sich ändernde Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Feld.
v
v
∫ H ⋅ ds = I + ε
∂A
0
⋅
d v v
E ⋅ dF
dt ∫∫
A
v
v
∫ E ⋅ ds = −µ
∂A
0
⋅
v v
d
H ⋅ dF
dt ∫∫
A
Induktionsgesetz:
U ind = −
Sonderfall: Magnetisches Feld um stromdurchflossenen Leiter
H=
dΦ
mit
dt
v v
Φ = µ 0 ⋅ ∫∫ H ⋅ dF
Elektromagnetische Wellen: Ein zeitlich veränderliches elektrischesFfeld erzeugt ein magnetisches Feld ein zeitlich veränderliches magnetisches Feld erzeugt ein elektrisches Feld
I
2 ⋅π ⋅ r
Ausbreitungsgeschwindigkeit
1
c=
ε 0 ⋅ µ0
ARBEITSBLATT Assymmetrie der Elektrodynamik
ARBEITSBLATT Magnetismus als elektrischer Effekt
„Daß die Elektrodynamik Maxwells in ihrer Anwendung auf bewegte Körper zu Assymmetrien führt, welche den Phänomenen selbst nicht anzuhaften scheinen, ist bekannt. Man denke z.B. an die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen einem Magneten und einem Leiter. Das beobachtbare Phänomen hängt
hier nur ab von der Relativbewegung von Leiter und Magnet, während nach der üblichen Auffassung die
beiden Fälle, daß der eine oder der andere Körper der bewegte sei, streng voneinander zu trennen sind.
Bewegt sich nämlich der Magnet und ruht der Leiter, so entsteht in der Umgebung des Magneten ein elektrisches Feld von gewissem Energiewerte, welches an den Orten, wo sich Teile des Leiters befinden,
einen Strom erzeugt. Ruht aber der Magnet und bewegt sich der Leiter, so entsteht in der Umgebung des
Magneten kein elektrisches Feld, dagegen im Leiter eine elektromotorische Kraft, welcher an sich kenie
Energie entspricht, die aber - Gleichheit der Relativbewegung bei den beiden vorausgesetzt - zu elektrischen Strömen von derselben Größe und demselben Verlauf Veranlassung gibt, wie im ersten Falle die
elektrischen Kräfte.“(A.Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper)
Untersucht wird, wie ein Elektronenstrahl durch ein von einem Strom erzeugtes Magnetfeld beeinflusst
wird.
Interpretation im Laborsystem I (Röhre ruht): Die Ablenkung des Elektronenstrahl lässt sich durch die
Lorentzkraft erklären.
Interpretation im Ruhesystem I’ der Strahlelektronen: In diesem System kann die Ablenkung des Strahls
nicht mit der Lorentzkraft erklärt werden, den für den mitbewegten Beobachter ist die Geschwindigkeit
der Elektronen Null. Damit ist aber auch die magnetische Kraft (die Lorentzkraft) nicht mehr vorhanden,
denn diese Kraft wirkt nur auf im Magnetfeld bewegte Teilchen.