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6.3
Messung der Lichtgeschwindigkeit
6.3.1
Drehspiegelmethode nach Foucault
6.3.2
Zahnradmethode nach Fizeau
7
Spezielle Relativitätstheorie
7.1
Relativbewegung und Inertialsysteme
• Inertialsysteme sind alle Koordinatensysteme, die sich gleichförmig geradlinig bewegen
• Die Newtonschen Axiome sind in Inertialsystemen gleich: Eine Kraft
führt unabhängig vom Inertialsystem zur gleichen Beschleunigung
• Bewegen sich zwei Inertialsysteme relativ zueinander z.B. in x-Richtung,
so gilt die Galilei-Transformation
x! = (x − vt)
y! = y
z! = z
t! = t
• Geschwindigkeiten addieren sich
• Raum und Zeit werden als “absolut” angesehen
7.2
Das Michelson-Morley-Experiment
• Beim Doppler-Effekt des Schalls hatten wir die beiden Fälle bewegter Beobachter und bewegte Quelle, da Schallwellen an Materie (Luft,
Wasser etc.) gebunden sind
187
• Bewegt sich das Medium, wird auch die Schallgeschwindigkeit entsprechend geändert
• In welchem “Medium” bewegt sich das Licht: Theorie des “Äthers”
• Relativbewegung der Erde bezüglich des Äthers sollte Lichtgeschwindigkeit ändern
• Es wurde jedoch stets die gleiche Geschwindigeit gemessen
7.3
Postulate der speziellen Relativitätstheorie
• Die physikalischen Gesetze sollten in allen Inertialsystemen gleich sein
• Die gemessene Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes ist unabhängig
von der Relativbewegung des Beobachters zur Lichtquelle
• Das bedeutet, dass es den Lichtäther nicht gibt
• Diese Postulate haben interessante Konsequenzen auf das Verständnis
von Raum und Zeit
• Solche Konsequenzen kann man sich mit Gedankenexperimenten deutlich machen
• Heute kann man alle diese Gedankenexperimente real durchführen
7.4
Gleichzeitigkeit
• Die Postulate der speziellen Relativitätstheorie geben dem Begriff der
Gleichzeitigkeit eine neue Bedeutung
• Man stelle sich ein Flugzeuge vor, das an einem Zeppelin mit der Geschwindigkeit v vorbeifliegt
• In den Zeppelin schlage vorne und hinten ein Blitz derart ein, dass das
Licht der beiden Blitze gleichzeitig den in der Mitte sitzenden Beobachter erreicht
188
• Der in der Mitte des Flugzeuges sitzende Beobachter sieht jedoch den
Blitz von der Spitze des Zeppelins zuerst einschlagen
• Da er jedoch die gleiche Lichtgeschwindigkeit misst wie der Beobachter
im Zeppelin und die Abstände zu den Enden des Flugzeuges die gleichen
sind, sind für ihn die Blitzeinschläge tatsächlich nicht gleichzeitig
• Ganz entscheidend ist die Tatsache, dass der Beobachter im Flugzeug
keine Möglichkeit hat, experimentell festzustellen, dass das Ereignis für
den Beobachter im Zeppelin gleichzeitig stattfindet
7.5
Zeitdilatation
• Wir betrachten wieder zwei Beobachter, einen auf der Erde, den anderen in einem Flugzeug
• Beide haben Uhren, in denen ein Lichtblitz hin und herläuft
• vom jeweils anderen Beobachter aus gesehen ist der Weg, den der Lichtblitz durchläuft, länger als im eigenen Koordinatensystem, und zwar
um
1
∆t = ∆t0 !
1 − v2/c2
• Diese Zeitdilatation ist symmetrisch, also gilt sie aus beiden Systemen
• Diese Verlängerung der Zeit führt zum Zwillingsparadoxon:
– Ein Geschwister bleibt auf der Erde, das andere fliegt ins All und
kommt zurück: Das auf der Erde zurück gebliebene ist älter als
das aus dem All zurück gekehrte
– Dieser scheinbare Widerspruch liegt darin begründet, dass bei der
Umkehr ein Wechsel in ein anderes Inertialsystem gemacht wird:
Beschleunigung, Gegenstand der allgemeinen Relativitätstheorie
189
7.6
Längenkontraktion
• Wir betrachten jetzt ein Flugzeug, dass sehr schnell von Lübeck nach
Hamburg fliegt
• Die gemessene Geschwindigkeit des Flugzeugs von der Erde ist gleich
der gemessenen Geschwindigkeit der Erde vom Flugzeug
• Von der Erde aus gilt:
v=
L0
∆t0
• Vom Flugzeug aus gesehen gilt:
v=
• Damit wird
L
L
!
=
∆t
∆t0 1 − v/c
L = L0
!
1 − v/c
• Die Entfernung für eine im Flugzeug sitzende Person verkürzt sich!
• Entsprechend wird natürlich für eine am Boden stehende Person das
Flugzeug kürzer!
7.7
Lorentz-Transformation
• Mit den oben festgestellten Veränderungen können wir nun die relativistische Transformation der Koordinaten vornehmen:
1
x! = !
(x − vt)
1 − v/c
y! = y
z! = z
!
t
"
1
vx #
!
=
t− 2
c
1 − v/c
• Dies ist die Lorentz-Transformation
190
7.8
Relativistischer Impuls
• Fordern wir, dass die Impulserhaltung auch relativistisch gilt, so erhalten wir für den Impuls:
m!v
p! = !
1 − v2/c2
• Mit der Anaolgie zum klassischen Impuls können wir das schreiben als
p! = mrel!v
• mit der relativistischen Masse
m
mrel = !
1 − v2/c2
• wobei m die Ruhemasse ist
• mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt die träge Masse also zu, wird
in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit sogar unendlich gross
• Damit kann ein Körper dann nicht weiter beschleunigt werden, was bedeutet, dass die Lichtgeschwindigkeit die grösste überhaupt erreichbare
Geschwindigkeit ist
• Das zweite Newtonsche Axiom ist nur in seiner allgemeinen Form F =
d!p/dt relativistisch gültig
7.9
Energie und Masse
• Betrachten wir die Arbeit, die wir zur Beschleunigung einers Körpers
bis in relativistische Bereiche verrichten müssen, so erhalten wir
W =!
mc2
1 − v2/c2
191
− mc2
• Diese verrichtete Arbeit muss gleich der kinetischen Energie des Körpers sein:
mc2
− mc2
Ekin = !
2 2
v
1 − /c
• Wie interpretieren wir diese beiden Terme? Die kinetische Energie ist
die Gesamtenergie infolge der Bewegung minus einer Energie mc2 , die
offensichtlich der Körper auch ohne Bewegung inne hat
• Letzterer Term wird Ruheenergie des Körpers genannt
Eruhe = mc2
• Masse ist also eine Form der Energie! Wir werden noch sehen, dass das
tatsächlich beobachtet wird
• Für den Zusammenhang zwischen Energie und Impuls findet man:
E 2 = p2 c2 + m2 c4
7.10
Dopplereffekt des Lichts
• Beim Dopplereffekt des Schalls hatten wir die Fälle bewegter Beobachter und bewegte Quelle unterschieden, wobei wir als Bezug das Medium
verwendet hatten
• Da es kein Licht-Medium gibt, kann es diesen Unterschied beim Licht
auch nicht geben
• Zusätzlich misst ein Beobachter stets die gleiche Lichtgeschwindigkeit
• Die Zeit, die zwischen der Emission zweier Wellenberge im Bezugssystem der Quelle vergeht, ist
∆t0 =
192
λ0
c
• Ein bewegter Beobachter misst aber eine andere Zeit aufgrund der Zeitdilatation:
!
∆t = ∆t0 / 1 − v 2 /c2
• Der Beobachter misst als Abstand der Wellenberge
λ = c∆t − v∆t = ∆t(c − v) =
• und schliesslich
λ = λ0
$
λ0
1
!
(c − v)
c 1 − v 2 /c2
c−v
c+v
• Bewegen sich Quelle und Beobachter voneinander weg, so ergibt sich
λ = λ0
$
c+v
c−v
• Für die Frequenzen gilt jeweils das Reziproke
8
Atomistische Struktur der Materie
In der Mechanik hatten wir bereits festgestellt, dass Materie aus Teilchen
aufgebaut ist. Dabei ist die kleinste Einheit identischer Teilchen das Molekül oder das Atom. Moleküle entstehen durch chemische Bindung mehrerer
Atome.
8.1
8.1.1
Atome
Frühe Atommodelle
• Die erste Vorstellung vom Atom bestand aus negativen Elektronen, die
in positiv geladenes Material eingebettet sind: Rosinenkuchen
• Streuexperimente von Rutherford 1909 zeigten jedoch, dass dieses Modell nicht stimmen kann, sondern dass die Masse des Atoms im wesent193