Blatt 4 Allgemein

Blatt 4
Allgemein
Folgende Aufgaben sollten von allen bearbeitet werden.
Aufgabe 1
11 Zahnräder sind wie folgt zusammengefügt:
Können alle Zahnräder gleichzeitig rotieren?
Aufgabe 2
Sind folgende Aussagen korrekt?
a) Wenn eine Zahl durch 4 und durch 3 teilbar ist, so ist sie auch durch 3 · 4 = 12
teilbar.
b) Wenn eine Zahl durch 4 und durch 6 teilbar ist, so ist sie auch durch 4 · 6 = 24
teilbar.
Aufgabe 3
Was ist der Rest nach Division durch 7 der folgenden Zahlen?
a) 9, 14, 2, 17, 7, 141, 0
b) 9 · 14, 9 · 17, 5937 · 23 · 983 · 49 · 3974
c) 9 + 14, 141 + 17, 1 + 2 + 3 + . . . + 70
Level 1
Folgende Aufgaben entsprechen der Schwierigkeitsstufe 1
Aufgabe 4
Ist es möglich ein 5 × 5 Schachbrett mit 1 × 2 Dominosteinen zu überdecken?
Aufgabe 5
Was ist der Rest nach Division durch 6 der folgenden Zahlen?
a) 73
b) 142
c) 133984
d) 2007 · 2008 · 2009 + 20103
Aufgabe 6
Zeige, dass das Produkt von drei aufeinander folgenden Zahlen (zum Beispiel 11,12,13)
immer durch 6 teilbar ist.
Aufgabe 7
Es sei ein konvexes 101–gon gegeben, welches eine Symmetrieachse besitzt. Zeige, dass
die Symmetrieachse duch eine der Ecken des Polygons verläuft. Was kannst du über ein
10–gon mit derselben Eigenschaft aussagen?
Konvex heisst, dass keine Ecke ”nach innen geht”:
Konvex:
Nicht Konvex:
Aufgabe 8
Peter kauft sich ein Notizbuch mit 96 Seiten und nummeriert diese von 1 bis 192. Angela
reisst 20 Seiten aus dem Buch und addiert die 40 Nummern, welche sie auf den Seiten
findet. Ist es möglich, dass sie als Summe 2009 erhält?
Aufgabe 9
Zeige, dass für jede natürliche Zahl n die Zahl n3 + 2n durch 3 teilbar ist.
Aufgabe 10
Zeige, dass n2 + 1 nicht durch 3 geteilt werden kann, egal wie gross n ist.
Aufgabe 11
Die Nummern 1, 2, 3, . . . , 2006, 2007 seien auf der Wandtafel aufgeschrieben. Nun löschen
wir zwei beliebige Zahlen und ersetzten sie durch die positive Differenz. Wir wiederholen
diesen Vorgang, bis nur noch eine Zahl übrigbleibt. Kann diese Nummer gleich Null sein?
Level 2
Folgende Aufgaben entsprechen der Schwierigkeitsstufe 2
Aufgabe 12
Angenommen, a + 1 ist durch 3 teilbar. Zeige, dass dann auch 4 + 7a durch 3 teilbar ist.
Aufgabe 13
Drei Fussbälle, wir bezeichnen sie mit A, B und C, liegen auf einem Spielfeld. Eine
Fussballspielerin spielt nun jeweils einen Fussball so, dass er immer zwischen den anderen
Bällen hindurchfliegt. Dies wiederholt sie 25 mal. Ist es möglich, dass die Bälle am Schluss
wieder auf der Anfangsposition liegen?
Aufgabe 14
Was ist der Rest nach Division durch 15 der folgenden Zahlen?
a) 416
b) 43
c) 4378
Aufgabe 15
Wie viele Nullen stehen am Ende der Zahl 1 · 2 · 3 · 4 · · · 99 · 100?
Aufgabe 16
Nicole wird heute 100 Jahre alt. Das muss gefeiert werden, denkt sie und will sich eine
Flasche Wein öffnen. Sie hat noch fünf Flaschen übrig und kann sich nun nicht entscheiden,
welche der fünf Flaschen gerade heute geöffnet werden soll. Sie entscheidet sich, diese
abzuzählen, und zwar wie folgt:
Sie fängt an bei der ersten Flasche und zählt bis 5. Dann zählt sie zurück (ohne die
hinterste Flasche zweimal zu zählen). Dann wieder vorwärts, etc. (siehe Bild)
1
9
2
8
10
3
7
11
4
6
12
5
...
Sie zählt bis 1909, ihrem Geburtsjahr. Welche Flasche wird sie öffnen?
Aufgabe 17
Was ist die letzte Ziffer der Zahl 20092009 ?
Aufgabe 18
Angenommen es sind 7 natürliche Zahlen gegeben. Zählen wir 6 davon zusammen (egal
welche), erhalten wir immer eine Zahl, welche durch 5 teilbar ist. Zeige, dass jede der 7
Zahlen selbst durch 5 teilbar sein muss.
Zusatzaufgaben
Folgende Aufgaben entsprechen der Schwierigkeitsstufe 3
Aufgabe 19
a) Zeige, dass die Summe von zwei natürlichen Zahlen geteilt durch 3 den gleichen Rest
gibt, wie die Summe der Reste der natürlichen Zahlen geteilt durch 3. Das heisst:
Seien n und m zwei natürliche Zahlen. Zeige, dass der Rest von n + m geteilt durch
3 gleich dem Rest von n geteilt durch 3 plus dem Rest von m geteilt durch 3 ist.
b) Zeige, dass die Behauptung von a) auch für Produkte von zwei Zahlen gilt.
Aufgabe 20
Zeige, dass für jede natürlich Zahl n die Zahl 11n+2 + 122n+1 durch 133 teilbar ist.
Aufgabe 21
Sagen wir, eine natürliche Zahl n heisst parktisch, falls n2 + 1 durch 1’000’001 teilbar ist.
Zeige, dass unter den Zahlen 1, 2, . . . , 10 0000 000 eine gerade Anzahl von Zahlen praktisch
sind.
Aufgabe 22
Sei n eine beliebige natürliche Zahl. Finde eine Zahl x, so dass x + (n2 − 1)1000 · (n2 + 1)1001
durch n teilbar ist.
Aufgabe 23
Wie viele natürliche Zahlen n kleiner gleich 100 000 gibt es, so dass 2n − n2 durch 7 teilbar
ist?