Übungsbeispiele

Statistik 1 UE
SS 2017
27.03.2017
Beispiel 1. Beispiel 11 vom 1. Übungszettel:
Urne A enthält zwei weiße und zwei schwarze Kugeln. Urne B enthält drei weiße und
zwei schwarze Kugeln. Eine Kugel wird (blind) von Urne A nach Urne B transferiert.
Danach wird eine Kugel aus Urne B gezogen.
1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel weiß ist?
2. Gegeben die gezogene Kugel ist weiß, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die
transferierte Kugel weiß war?
Beispiel 2. Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable X auf den vier Punkten x1 =
1, x2 = 3, x3 = 4, und x4 = 6. Darüber hinaus seien die Wahrscheinlichkeiten P[X =
x1 ] = 0.2, P[X = x2 ] = 0.4 sowie P[X = x3 ] = 0.25 gegeben.
1. Wie groß ist P[X = x4 ]?
2. Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion (cumulative distribution function, cdf).
3. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X und Y := X 2 .
Beispiel 3. Gegeben sei eine Zufallsvariable X mit der Verteilung P[X = −2] =
0.2, P[X = 0] = 0.5, P[X = 3] = 0.3.
1. Geben Sie die Verteilungsfunktion F (x) der ZV X in funktionaler Form an.
2. Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der Zufallsvariablen Z =
−3X 2 − 1.
Beispiel 4. Sie haben 4 Banknoten in Ihrem Geldbeutel: zwei 5 e Banknoten, eine 10 e
Banknote, und eine 20 e Banknote. Ein Dieb greift in Ihren Geldbeutel und entwendet
genau zwei Scheine. Wir nehmen an, die Wahrscheinlichkeit gestohlen zu werden hängt
nicht vom Wert der Banknote ab. Der gestohlene Betrag sei durch die Zufallsvariable X
ausgedrückt.
1. Geben Sie die Verteilungsfunktion von X an und skizzieren Sie diese.
1
2. Als der Dieb zu seinem Auto zurückkehrt, verlangt ein Polizist 10 e von ihm, da
er im Parkverbot geparkt hat. Zuhause angekommen, muss er den mit nachhause
gebrachten Betrag zu gleichen Teilen mit seiner Frau teilen. Anschließend trifft er
sich mit Freunden in einer Bar. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er sich
mit jenem Teil Y , der ihm letztendlich übrig bleibt von diesem Diebstahl, ein Bier
zum Preis von 4.10 e leisten kann.
3. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von Y .
Beispiel 5. Wir betrachten das Spiel Chuck a luck, welches wie folgt funktioniert: Ein
Spieler wählt eine Zahl zwischen 1 und 6 und wirft dann drei Würfel. Zeigen alle drei
Würfel die angesagte Zahl, erhält er drei Pfund; zeigen genau zwei Würfel diese Zahl,
erhält er zwei Pfund; und zeigt ein Würfel seine Zahl, erhält er ein Pfund. Wenn kein
Würfel seine Zahl anzeigt, muss der Spieler ein Pfund zahlen.
1. Berechnen Sie den erwarteten Gewinn des Spielers.
2. Wieviel müsste der Spieler im Fall, dass alle drei Würfel die angesagte Zahl zeigen,
erhalten, sodass es ein faires Spiel wäre? Die Annahmen für die anderen Ausgänge
bleiben unberührt.
Beispiel 6.
Ein Kontrollor weiß, dass jeder 10. Fahrgast ohne Fahrschein unterwegs ist. Er kontrolliert 20 Fahrgäste. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er
1. keinen Schwarzfahrer,
2. genau einen Schwarzfahrer,
3. mindestens zwei Schwarzfahrer erwischt?
Beispiel 7. Bei einem Automaten gewinnt man in 40% aller Spiele. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass man bei 10 Spielen
1. genau 2 Mal,
2. maximal 2 Mal,
3. maximal 9 Mal gewinnt?
Beispiel 8. Wir betrachten eine Gruppe von 100 Personen. Wir nehmen an, dass die
Wahrscheinlichkeit an einem bestimmten Wochentag geboren zu sein für jeden Tag gleich
groß ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
1. genau 14 Personen an einem Dienstag geboren wurden?
2. keine Person an einem Donnerstag geboren wurde?
3. genau 30 Personen an einem Wochenende geboren wurden?
2
Beispiel 9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nach genau k mal würfeln (mit einem
Würfel) zum ersten Mal einen Sechser zu haben?
Beispiel 10. In einer Autowerkstatt ist bekannt, daß 20 % der Fahrzeuge, die in die
Werkstatt kommen, einen Motorschaden haben. Bezeichne X die Anzahl der ankommenden Fahrzeuge ohne Motorschaden bis zum ersten Fahrzeug mit Motorschaden.
1. Berechnen und skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X.
2. Berechnen und interpetieren Sie den Erwartungswert von X.
3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das 10. vorbeigebrachte Fahrzeug das
erste Fahrzeug ist, daß einen Motorschaden hat?
Beispiel 11. Aus einer Lieferung von 300 Teilen werden 10 willkürlich entnommen,
um sie dann einer Qualitätsprüfung (gut/schlecht) zu unterziehen. Vom Hersteller wird
bekannterweise ein Anteil von 1 % schlechter Teile angegeben. Dieser ist auch für diese
Lieferung zu unterstellen. Welcher Verteilungstyp ist anzuwenden, um die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl fehlerhafter Teile in der Stichprobe angeben zu können? Geben
Sie die Parameter der Verteilung an.
Beispiel 12. In einer Packung seien 500 Schrauben. Davon seien 10 defekt. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 5 zufällig aus der Packung gezogenen Schrauben
genau eine defekt ist?
Beispiel 13. In einer Urne befinden sich drei weiße und sieben schwarze Kugeln. Es
werden zufällig 5 Kugeln gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß genau 4
schwarze Kugeln gezogen werden, wenn wir
1. mit Zurücklegen ziehen,
2. ohne Zurücklegen ziehen.
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