Uumlbungsaufgaben

2. Übung am Mittwoch, 25.09.2013
Jannick Weißhaupt und Franziska Flegel
http://people.physik.hu-berlin.de/˜flegel
Matlab-Tutorium 24. - 26.09.2013
1.
Schwingkreis
Ein elektrischer Schwingkreis ist eine Schaltung aus einem Kondensator mit Kapazität C und einer Spule mit
Induktivität L. Lädt man den Kondesator und schließt daraufhin die Schaltung, bildet sich eine elektrische und
harmonische Schwingung. Die Spannung, die am Kondensator anliegt, ist gegeben durch
UC = U0 sin (ω(t − t0 ))
mit ω = √
1
.
CL
(1)
a) Verwende das auf Blatt 1 Aufgabe 5 vorbereitete Skript mit den entsprechenden Daten. Fitte die Daten mit
Hilfe von wnonlinfit mit der in Gl. (1) angegeben Formel. Beschrifte außerdem die Achsen und schreibe
die Fitunktion in den Titel der Legende. Benenne die Variablen in der Legende passend zur Funktion im
Titel. Gib die Grafik anschließend als pdf aus.
b) Die gemessene Kapazität des Kondensators betrage C = (1,1 ± 0,1) µH. Berechne aus dieser Angabe und
den aus dem Fit gewonnenen Werten die Induktivität der Spule mit Unsicherheit. Zur Berechnung der
Unsicherheit verwende Gauß’sche Fehlerfortpflanzung.
2.
Entladevorgang eines Kondensators
Die Kapazität des Kondensators aus der 1. Aufgabe soll nun noch etwas genauer bestimmt werden. Dazu wurde
die Spule aus dem Schaltkreise entfernt und durch einen Widerstand mit R = (1,00±0,05) kΩ. Der Kondensator
wurde erneut geladen und die Spannung während des Entladevorgangs aufgenommen. Lade diese Daten von
people.physik.hu-berlin.de/~flegel/Fitting/Uebung/osci2.dat herunter. Die erste Spalte gibt dabei die
Zeit in Sekunden an, die zweite die Spannung am Kondensator in Volt. Die Unsicherheit der Spannung UC ist
durch 0,05 V + 0,02 · UC gegeben. Die theoretische Vorhersage für die Kondensatorspannung während eines
Entladevorgangs ist
t
UC = U0 · e− τ
mit τ = RC.
(2)
a) Fitte die Daten mit Gl. (2) und beschrifte Variablen, Legende und Achsen wie in der 1. Aufgabe.
b) Berechne die Kapazität des Kondensators mit Unsicherheit.
c) Oha! Da hat sich wohl ein Zahlendreher in die Daten eingeschlichen. Vertausche die ersten beiden Ziffern
eines dir auffällig erscheinenden Wertes in der Datei osci2.dat. Lass anschließend das Skript erneut
durchlaufen.
[bitte wenden]
3.
χ2 -Minimierung für f (x) = ax + b
Wir haben Messwerte (xi , yi )i=1,...,N mit den Unsichererheiten uyi . Unsere Fithypothese lautet y = ax + b.
a) Zeige, dass für die optimalen Parameter â und b̂ gilt:
N
X
xi yi
i=1
u2i
= â
N
X
x2
i
2
u
i=1 i
+ b̂
N
X
xi
2
u
i=1 i
und
N
N
N
X
X
X
yi
xi
1
=
â
+
b̂
2
2
2
u
u
u
i=1 i
i=1 i
i=1 i
Tipp: Was ist die notwendige Bedingung für ein Minimum in χ2 (â, b̂)?
b) Schreibe dieses Gleichungssystem in Matrixform:
v=A
â
,
b̂
und bestimme A und v. Was muss man jetzt noch tun, um nach â und b̂ aufzulösen?
c) Lade die Datei people.physik.hu-berlin.de/~flegel/Fitting/Uebung/ohm.dat herunter und schreibe ein Skript, dass diese Daten mit der Methode aus a) und b) linear fittet. Ermittle â und b̂.
Zusatz: Eigene Minimalroutine zum nichtlinearen Fitten
Man kann sich den Kern der wnonlinfit-Routine auch selber schreiben. Als Beispiel nehmen wir wieder den
Datensatz osci.dat und die Fitfunktion entsprechend Gl. (1).
a) Schreibe ein Skript, dass den Datensatz osci.dat lädt, die Unsicherheiten wie in Aufg. 5 Blatt 1 berechnet
und eine anonymous function gemäß Gl. (1) definiert. Die Funktion braucht 2 Argumente (eine Variable
t und einen Vektor θ).
b) Schreibe eine anonymous function χ2 (θ).
c) Benutze die Funktion fminsearch, um χ2min und die optimalen Fitparameter θ̂ zu bestimmen. Plotte
den Fit zusammen mit den Messdaten. (In wnonlinfit wird statt fminsearch allerdings lsqnonlin
verwendet.)
Jetzt fehlen „nur“ noch die Unsicherheiten...
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