Modellierung – WS 2014/2015 Hausaufgaben

Paderborn, 05. Dezember 2014
Universität Paderborn
Institut für Informatik
H. Kleine Büning,
J. Blömer
Modellierung – WS 2014/2015
Hausaufgaben
Übungsblatt 8
Abgabe: 15. Dezember 2014, 13:00h
Organisatorisches: Die Lösungen der Hausaufgaben sind in die Kästen im D3-Flur einzuwerfen. Bilden
Sie bitte innerhalb ihrer Übungsgruppe Gruppen von 2-3 Personen zur Lösung der Aufgaben. Die Lösung
muss die Namen und Matrikelnummern derjenigen enthalten, die die Aufgaben gelöst haben sowie die
Übungsgruppennummer. Nicht getackerte Abgaben werden nicht korrigiert.
Aufgabe 1 (8 Punkte): Darstellungen
Der Nikolaus richtet sich mit folgendem Graphen und einigen Fragen an Sie. . .
a
e
b
d
c
(a) Stellen Sie den Graph G = (V, E) durch die Angabe der Mengen V und E dar.
(b) Bestimmen Sie Γ(a), Γ(d) und deg(d).
(c) Sei der Graph H = (VH , EH ) mit VH = {a, e, b} und EH = {{a, e}, {a, b}} gegeben.
(c1) Ist H ein Teilgraph von G?
(c2) Ist H ein induzierter Teilgraph von G?
(c3) Ist H eine Zusammenhangskomponente von G?
(d) Besitzt G einen Eulerkreis? Falls ja, so geben Sie einen Eulerkreis an.
(e) Besitzt G einen Eulerweg? Falls ja, so geben Sie einen Eulerweg an.
(f) Geben Sie einen Hamiltonkreis des Graphen an.
Aufgabe 2 (3 Punkte): Darstellung, Begriffe
Die Kanten eines Graphen G seien durch die folgenden Nachbarschaften von Knoten gegeben:
1
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v
1
2
3
4
5
6
7
Γ(v)
{2, 3}
{1, 4, 5, 7}
{1, 4}
{2, 3, 7}
{2, 6}
{5, 7}
{2, 4, 6}
(a) Geben Sie die Knotenmenge V und die Kantenmenge E des Graphen G an.
(b) Zeichnen Sie den durch die Knotenmenge {1, 2, 4, 7} induzierten Teilgraphen.
Aufgabe 3 (7 Punkte): Graphen,Modellierung
Ein Chef möchte neue Büros bauen und seine Mitarbeiter auf diese aufteilen. Dabei möchte er möglichst
viele Mitarbeiter in einem möglichst großen Großraumbüro unterbringen. Der Chef weiß allerdings, dass
es einige Mitarbeiter gibt, die sich gegenseitig nicht mögen. Er möchte keine Mitarbeiter in einem Büro
unterbringen, die sich nicht mögen.
(a) Modellieren Sie die Mitarbeiter als Graphen. Und drücken Sie die Relation „x und y mögen sich
gegenseitig nicht“ durch Kanten aus.
(b) Beschreiben Sie intensional die Mengen von Mitarbeitern, die in einem Büro der Größe k untergebracht werden können, so dass das Büro voll besetzt ist.
(c) Beschreiben Sie formal, wie groß das größte Büro sein kann und welche Mengen von Mitarbeitern
darin untergebracht werden können.
(d) Gegeben sei der Petersen Graph aus der Vorlesung. Zeichnen Sie diesen Graphen, nummerieren Sie
die Knoten und lösen Sie das Problem des Chefs für diese Mitarbeiter.
Aufgabe 4 (7 Punkte): Modellierung, Begriffe
Sie bekommen die Aufgabe, n Rechner zu vernetzen. Ihr Auftraggeber verlangt folgende Eigenschaften des
Netzwerkes:
P0 Von jedem Rechner aus muss jeder andere Rechner über einen Leitungsweg erreichbar sein.
P1 Auch wenn genau eine Leitung zwischen zwei Rechnern ausfällt, muss jeder Rechner über einen Weg
mit jedem anderen Rechner verbunden sein.
P2 An jedem Rechner können maximal 4 Leitungen angeschlossen werden.
Ein Netzwerk lässt sich leicht als Graph darstellen: ein Knoten repräsentiert einen Rechner, eine Kante eine
Leitung.
(a) Formulieren Sie die Eigenschaften P0 , P1 und P2 mit Begriffen der Graphentheorie.
(b) Untersuchen Sie die folgenden Graphen mit V = {0, . . . , n − 1} auf ihre Tauglichkeit bezüglich der
Eigenschaften P0 , P1 und P2 .
(b1) G1 = (V, E1 ) mit E1 = {{0, i} | 1 ≤ i ≤ n − 1}
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(b2) G2 = (V, E2 ) mit E2 = {{i, i + 1} | 0 ≤ i ≤ n − 2}
(b3) G3 = (V, E3 ) mit E3 = {{i, (i + 1) mod n} | 0 ≤ i ≤ n − 1}
(b4) G4 = (V, E4 ) mit E4 = {{i, bi/2c} | 1 ≤ i ≤ n − 1}
Aufgabe 5 (8 Punkte): Beweis
(a) Ein Schnittknoten eines Graphen ist ein Knoten, dessen Entfernen zu einem Graphen führt, der mehr
Zusammenhangskomponenten enthält als der ursprüngliche Graph.
Sei G die Menge aller Graphen und V die Menge aller Knoten. Gegeben seien die Funktionen
zk : G → N und tg : G × V → G. Dabei bildet zk einen Graphen auf die Anzahl der Zusammenhangskompontenten dieses Graphen ab. Die Funktion tg bildet einen Graphen G = (V, E) und
eine Knotenmenge V 0 auf den von V 0 ∩ V induzierten Teilgraphen ab.
Geben Sie für einen Graphen G = (V, E) unter Verwendung von zk und tg eine intensionale Darstellung der Menge der Schnittknoten an.
(b) Es sei G = (V, E) ein zusammenhängender, ungerichteter Graph. Zeigen Sie die Äquivalenz der
folgenden Aussagen:
(b1) v ∈ V ist ein Schnittknoten.
(b2) ∃a, b ∈ V \{v} mit a 6= b, so dass jeder Weg in G von a nach b über v geht.
(b3) ∃A, B ⊆ V mit A ∩ B = ∅ und A, B 6= ∅ und A ∪ B = V \{v} und jeder Weg von a ∈ A nach
b ∈ B enthält v.
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