Bezeichnungen, Abkürzungen, Vereinbarungen
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Bezeichnungen, Abkürzungen, Vereinbarungen Vereinbarungen In dieser Arbeit wird überwiegend die symbolische Schreibweise verwendet Bei Verwendung der Tensorschreibweise durchlaufen griechische Buchstaben grundsätzlich die Werte 1 und 2, lateinische hingegen die Werte 1,2 und 3. Abkürzungen CARAT Finite–Elemente–Programm – ’Computer Aided Research Analysis Tool’ RWP Randwertproblem AWP Anfangswertproblem ARWP Anfangs–Randwertproblem Definitionen (, ) inneres Produkt, Skalarprodukt B(, ) Bilinearprodukt bzw. virtuelle innere Arbeit A(, ) virtuelle innere Arbeit des nichtlinearen Problems N(u, ) nichtlineares Randwertproblem N h(u h, ) diskretisiertes nichtlineares Randwertproblem h N (u h) innere Kräfte des diskretisierten nichtlinearen Randwertproblems () h Finite–Elemente–Approximation () Größen der verformten Konfiguration () neu Größen der neu generierten Finite–Elemente–Diskretisierung () alt Größen der alten Finite–Elemente–Diskretisierung () pr Prädiktorwert () Inkrement Symbole () ~ Dirac Delta () ”regularisiertes” Dirac Delta () ,x . () partielle Ableitung nach dem Vektor x () Gradient Ableitung nach einer Zeit– oder Pfadvariablen 11 Geometrie ii Basisvketoren des orthonormalen Koordinatensystems x Ortsvektor in der Referenzkonfiguration xK Ortsvektor des Finite–Elemente–Knotens K r Ortsvektor der Schalenmittelfläche in der Referenzkonfiguration g i, g i ko– bzw. kontravariante Vektorbasis in der Referenzkonfiguration 1, 2, 3 krummlinige, konvektive Koordinaten a i, a i ko– bzw. kontravariante Vektorbasis der Schalenmittelfläche in der Referenzkonfiguration g ij Metriktensor s Determinante des Schalentensors n Normalenvektor Körper in der Referenzkonfiguration N Neumann Rand von D Dirichlet Rand von D K Gebiet eines Finite Elementes K Untergebiet von N Neumann Rand von D Dirichlet Rand von D K Rand eines Finiten Elementes K d Schalendicke N N Kinematik u verallgemeinerte Verschiebungen w Differenzvektor der Direktoren aus beiden Konfigurationen u* Verschiebungsvektor eines Punktes im Schalenraum G Greensche Funktion e Fehler in den Verschiebungen ei Fehler auf einem Knotenstern i e~ Fehler des linearisierten Problems 12 ~ w Verschiebungen des linearisierten Problems v verallgemeinerte virtuelle Verschiebungen, Testfunktionen uc Verschiebungen am singulären bzw. kritischen Punkt F Deformationsgradient E Green–Lagrange Verzerrungstensor linearisierter Green–Lagrange Verzerrungstensor e elastische Verzerrungen p plastische Verzerrungen Membranverzerrungstensor Schubverzerrungstensor Krümmungstensor ^ Membranverzerrungstensor der linearen Theorie ^ Schubverzerrungstensor der linearen Theorie ^ Krümmungstensor der linearen Theorie , 3 Deformationsgradient der Schale Permutationstensor Statik p Gebietslasten f Randlasten Lastparameter c kritischer Lastparameter Fh diskreter Knotenlastvektor Cauchy Spannungen s Deviatorspannungen * geglättete Cauchy Spannungen K Finite–Elemente–Spannungen am Knoten K eq im Gleichgewicht befindliche Spannungen f NP Randkräfte an lokalen Neumann Problemen t Pfad– oder Zeitvariable P 1. Piola–Kirchhoff Spannungen 13 S 2. Piola–Kirchhoff Spannungen n Schnittkrafttensor, basierend auf 1. Piola–Kirchhoff Spannungen m Schnittmomententensor, basierend auf 1. Piola–Kirchhoff Spannungen N Schnittkrafttensor, basierend auf 2. Piola–Kirchhoff Spannungen M Schnittmomententensor, basierend auf 2. Piola–Kirchhoff Spannungen Materialabhängige Größen C elastischer Werkstofftensor , Lamé Konstanten C ep elastoplastischer Werkstofftensor Cn nichtlinearer Werkstofftensor F Fließbedingung interne Variable plastischer Multiplikator E0 Elastizitätsmodul im elastischen Bereich ET elastoplastische Tangente H Verfestigungsmodul Y einaxiale Fließspannung H kondensierter Elastizitätstensor D n Dehnsteifigkeiten D m Biege– und Drillsteifigkeiten D q Schubsteifigkeiten Steifigkeitsausdrücke KT tangentiale Steifigkeitsmatrix KE linearer Anteil von K T KU Anfangsverschiebungsmatrix KG geometrische Steifigkeitsmatrix Normen u e Energienorm u 0 L 2–Norm u Maximumsnorm 14 u n n–te Sobolev Norm |u| n n–te Sobolev Seminorm Funktionenräume H1 Sobolev Raum H 1 H 10 Sobolev Raum mit homogenen Neumann Randbedingungen H 10 u H 1 : u 0 on N V Lösungsraum einer Differentialgleichung Vh Finite–Elemente–Raum Fehlerabschätzung und Netzadaption I Interpolierende geschätzter Gesamtfehler (Fehlerestimator) K Fehlerindikator für das Element K rel geschätzter relativer Gesamtfehler ^ vorgegebener relativer Gesamtfehler Effektivitätsindex i Elementverfeinerungskriterium em geforderter durchschnittlicher Elementfehler hK charakteristische Länge eines Elementes K Netzdichtefunktion inverse Netzdichtefunktion Sc Stabilitätskonstante R Elementinnenresiduum NR Elementinnenresiduum der Membrankräfte MR Elementinnenresiduum der Momente QR Elementinnenresiduum der Querkräfte J Sprungresiduum NJ Sprungresiduum der Membrankräfte MJ Sprungresiduum der Momente QJ Sprungresiduum der Querkräfte d Belastung des dualen Problems IEL Anzahl der Knoten eines Finiten Elementes 15 NP Anzahl der Knoten des gesamten Finiten–Elemente–Netzes NEL Anzahl der Elemente des gesamten Finiten–Elemente–Netzes NSP Anzahl der ”superkonvergenten” Punkte min kleinster Eigenwert des elastischen Werkstofftensors L Lagrange Parameter K Finite–Elemente–Ansatzfunktion bezüglich des Knotensterns K Numerische Lösungstrategien i e^ i Basisvektor (0, , 1, ., 0) c^ Penalty Parameter Sonstige Größen A Querschnitt eines Körpers cf Federkonstante cd Dämpfungskonstante ck Srömungsgeschwindigkeit gesamte potentielle Energie c Komplementärpotential Funktional NK Formfunktion am Knoten K Menge der reellen Zahlen Eigenwert max größte Eigenwert min kleinster Eigenwert , lokales Koordinatensystem auf einem Finiten Element 16
