Ministerium für Schule und Berufsbildung Schleswig

Ministerium für Schule und Berufsbildung
Schleswig-Holstein
Kernfach Mathematik
Schriftliche Abiturprüfung
2015
Bei der Bearbeitung der Aufgabe dürfen alle Funktionen des Taschenrechners genutzt werden.
Aufgabe 3: Analytische Geometrie
Es wird das Modell einer Dreieckspyramide ABCS betrachtet. Ihre Grundfläche ABC ist ein
gleichseitiges Dreieck und liegt in der x1 x2 -Ebene.
Die Seitenfläche ABS wird als Frontfläche bezeichnet und hat die Eckpunkte A(14 | 8 | 0),
B(2 | 13 | 0) und S(5 | 7 | 6).
Eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.
S
B
C
A
a) • Bestimmen Sie die Länge der Kante AB und den Inhalt der Frontfläche ABS.
• Berechnen Sie den Inhalt der Grundfläche ABC.
[Hinweis: Dieses ist möglich, ohne die Koordinaten des Punktes C zu bestimmen.]
(7 P)
b) Auf einem Turm ist ein Laser-Entfernungsmesser so montiert,
 der Laserstrahl vom
 dass
3
Punkt L(1 | 14 | 6) ausgeht und in Richtung des Vektors ~v = −5 verläuft.
−2
• Zeigen Sie, dass mit dieser Lasereinstellung ein Punkt P auf der Kante BS beleuchtet
wird.
• Berechnen Sie die Koordinaten von P sowie den Abstand von P zum Punkt L.
[Zur Kontrolle: P (4 | 9 | 4)]
• Bestimmen Sie den Punkt R der Geraden durch B und S, dessen Abstand zu L minimal
ist, und berechnen Sie diesen Abstand.
(15 P)
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c) Der Laser-Entfernungsmesser ist auf dem Turm so befestigt, dass er gedreht werden kann.
Dabei gehen die Laserstrahlen immer vom Punkt L(1 | 14 | 6) aus und verlaufen in der
Ebene E mit E : 2 x1 − 8 x2 + 23 x3 = 28.
• In der Ausgangsstellung ist der Laser auf den Punkt P aus Teilaufgabe b) ausgerichtet.
Am Ende der Drehung wird ein Punkt auf der Kante AS beleuchtet. Berechnen Sie den
Winkel α, um den der Laser gedreht wurde.
• Bestimmen Sie den Schnittwinkel ϕ zwischen der Ebene E und der x1 x2 -Ebene sowie
die Schnittgerade dieser Ebenen.
(14 P)
d) Bestimmen Sie alle Punkte der x1 x2 -Ebene, die mit den Eckpunkten A und B ein gleichseitiges Dreieck bilden.
(4 P)
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Erwartete Schülerleistung
Teilaufgabe a)

−→ −12 Es ist AB =  5  = 13, daher ist die Kante AB genau 13 m lang.
0
Bewertung
Zuordnung
I
II III
1
Der Inhalt der Frontfläche ist 
 
  
−12
−9
1 30 1 −→ −→ 1 
5  × −1 = · 72
AFront = · AB × AS = · 2
2 2 57 6 0
≈ 48,30.
Die Frontfläche hat einen Inhalt von ca. 48,3 m2 .
3
Für den√Flächeninhalt AG des gleichseitigen Dreiecks ABC gilt
3 −→2 169 √
AG =
· AB =
· 3 ≈ 73,18.
4
4
Die Grundfläche hat einen Inhalt von ca. 73,18 m2 .
3
Teilaufgabe b)
Der Laserstrahl
der Geraden l mit

 entlang
  verläuft
3
1
l : ~x = 14 + r · −5.
−2
6
Die Kante
der Geraden h mit
 ist einTeil
 BS
3
2
h : ~x = 13 + s · −6.
6
0
Das
Gleichsetzen der Terme
ergibt
1 + 3r = 2 + 3s 3r − 3s = 1 r = 1 14 − 5r = 13 − 6s ⇔ −5r + 6s = −1 ⇔ .
6 − 2r = 6s
−2r − 6s = −6 s = 2 3
Damit schneiden
l.
 
  h und
 die Geraden
 sich
4
3
2
−→
2
Wegen OP = 13 + · −6 = 9 ist der Schnittpunkt P (4 | 9 | 4).
3
4
6
0
−→ −−→
−→
Wegen OP = OB + s · BS mit s ∈ [0 ; 1] ist P ein Punkt der Kante BS.
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2
2
1
1
1
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Erwartete Schülerleistung
 
−→ 3 √
d = LP = −5 = 38 ≈ 6,16
−2 Die Entfernung beträgt ca. 6,16 m.
Bewertung
Zuordnung
I
II III
1
Die Hilfsebene H soll den Punkt L enthalten und senkrecht zu h verlaufen.
  
1
3
1    
Daher sind ~n = · −6 = −2 ein Normalenvektor
3
2
6

und H : x1 − 2 x2 + 2 x3 = 1 − 28 + 12 = −15 eine Koordinatenform der
Ebene H.
Setzt man die Koordinaten der Punkte der Geraden h in die Koordinatenform der Ebene H ein, ergibt sich
(2 + 3 s) − 2 · (13 − 6 s) + 2 · (6 s) = −15 ⇔ 27 s = 9 ⇔ s = 13 .
1
1
2
 
   
3
2
3
−→   1    
Wegen OR = 13 + · −6 = 11 ist R(3 | 11 | 2) der Punkt der
3
2
0
6
Geraden h mit dem kleinsten Abstand zum Punkt L.
1
 
−→ 2 √
e = LR = −3 = 29 ≈ 5,39
−4 Der kleinste Abstand beträgt ca. 5,39 m.
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Erwartete Schülerleistung
Bewertung
Zuordnung
I
II III
Teilaufgabe c)
Q ist der Schnittpunkt der Ebene E mit der Geraden k, entlang der die
−→
−→
Der Drehwinkel
Kante AS verläuft.
  α ist der Winkel zwischen LP und LQ.
 
−9
14



Es ist k : ~x = 8 + t · −1.
6
0
1
1
Nach Einsetzen der Koordinaten der Punkte der Geraden k in die Koordinatenform der Ebene E ergibt sich
2 · (14 − 9 t) − 8 · (8 − t) + 23 · (6 t) = 28 ⇔ t = 21 .
2
 
   
9,5
14
−9
−→   1    
Damit ist OQ = 8 + · −1 = 7,5 und Q(9,5|7,5|3) der Punkt
2
3
0
6
auf der Kante AS, der nach der Drehung beleuchtet wird.
1

 
8,5
3
−5 ◦ −6,5
−→ −→
−3
−2
64
LP ◦ LQ
 = √
cos(α) = −→ −→ =   
≈ 0,934
√
3 8,5 38 · 123,5
|LP | · |LQ|
−5 · −6,5
−2 −3 Also ist α ≈ 20,90◦ .
Der Laser ist um α ≈ 20,9◦ gedreht worden.

 
0
n~′ = 0 ist ein Normalenvektor der x1 x2 -Ebene.
1
   
2
0 −8 ◦ 0
′
~
~
n
◦
n
23
1 23
cos(ϕ) =
=     = √
≈ 0,941
2 0 597
·
1
|~n| · |n~′ |
−8 · 0
23 1 Also ist ϕ ≈ 19,72◦ .
Der Schnittwinkel der Ebenen beträgt ca. 19,72◦ .
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1
2
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Erwartete Schülerleistung
Bewertung
Zuordnung
I
II III
Die Punkte der Ebene E, bei denen die x3 -Koordinate null ist, bilden die
Schnittgerade j. Also gilt 2 x1 − 8 x2 + 0 = 28 ⇔ x1 = 4 x2 + 14.
2
Ist t ∈ R und x2 = t, so ist x1 = 4 t + 14. Daher gilt für die Schnittgerade
 
  
  
4
14
4 t + 14
x1







t
= 0 + t · 1 .
j : ~x = x2 =
0
0
0
x3
2
Teilaufgabe d)
Die zu bestimmenden Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten der Strecke
AB in der x1 x2 -Ebene. Diese Mittelsenkrechte ist gegeben durch
 
 

5
5
8
−→
−→ −−→
g : ~x = 12 · (OA + OB) + r ·~v = 10,5 + r · 12 , wobei 12 ⊥ AB.
0
0
0

2
Da für √
die Höhe h in einem gleichseitigen Dreieck mit der√Seitenlänge a
a
h = 2 · 3 gilt und der Richtungsvektor ~v die Länge |~v | = 169 = 13 hat,
haben die möglichen Eckpunkte C1 und C2 die Ortsvektoren
√  


  
8
+
2,5
·
8
5
12,33
3
√
−−→ 
13 √
1   
12 = 10,5 + 6 · 3 ≈ 20,89
OC1 = 10,5 +
· 3·
2
13
0
0
0
0
und
√  



  
8
3,67
8
−
2,5
·
5
3
√
−−→ 
13 √
1   
12 = 10,5 − 6 · 3 ≈ 0,11.
OC2 = 10,5 −
· 3·
2
13
0
0
0
0

Punktsummen
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