Extremwertaufgaben kpl. - Rivius Gymnasium Attendorn

Name, Jahr
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Carola Schöttler, 2009
X
Extremwertaufgaben
Zimmer im Dach
In der Skizze ist ein Querschnitt eines Dachgeschosses der Höhe 4,8m und
Breite 8m dargestellt.
In diesem Dachgeschoss soll ein möglichst großes Zimmer entstehen.
Begründe, ob man dies für bestimme Maße erzielen kann.
Mögliche Lösungen
Aus Symmetriegründen genügt es, „das halbe Problem“ zu betrachten.
Bei diesen Gegebenheiten ergibt sich das größt mögliche Rechteck immer genau
für die halben Seitenlängen. (Können Sie dies begründen?)
In diesem Fall für x = 2,4 und y = 2.
Das Zimmer wird also möglichst groß für eine Breite von 4m und eine Höhe von 2,4m.
Sind diese Maße praktisch angemessen?
Name, Jahr
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Carola Schöttler, 2009
XX
Extremwertaufgaben
Zylinder aus Kugel
Eine Holzkugel soll so bearbeitet werden, dass ein Zylinder entsteht.
Begründe, ob das Volumen des Zylinders bei der Wahl bestimmter Maße maximal wird.
Mögliche Lösungen
Für das Volumen des Zylinders gilt VZ = π rZ h (Extremalbedingung).
2
⎛1 ⎞
2
2
h ⎟ + rZ = rK
⎝2 ⎠
Als Nebenbedingung muss gelten: ⎜
(Pythagoras in der nebenstehenden Längsschnittzeichnung).
Durch Einsetzen von rZ2 in die Extremalbedingung erhält man als Zielfunktion VZ ( h) = π rK h −
2
3
1
π h mit dem Definitionsbereich
4
DV = ]0; rK [, für die ein zu findendes h einen möglichst großes
Volumen annehmen soll.
Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von VZ (h) . Notwendige
3
2
π h2 = 0 ⇔ h =
rK .
4
3
2
Zu prüfen bleibt, ob die hinreichende Bedingung für ein Maximum gilt. VZ’’’(
r )<0
3
2
Für h =
rK wird das Volumen des Zylinders maximal.
3
Bedingung für die Existenz einer Extremstelle: VZ’(h) = 0 ⇔ π rK −
2
Name, Jahr
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Jan Hendrik Müller, 2009
X
Extremwertaufgaben
Zahlentheoretisches
Begründe, ob
a) man zu irgendeiner positiven reellen Zahl den Kehrwert dieser Zahl addieren kann, so dass diese Summe möglichst klein wird.
b) es ein möglichst kleines Produkt von zwei reellen Zahlen mit der Differenz 1
gibt.
c) die Zahl 12 so in zwei Summanden zerlegt werden kann, dass das Produkt
der Summanden möglichst groß wird.
Mögliche Lösungen
a) Die Zahl sei x. Aus dem Text ergibt sich die Funktion f ( x) = x +
1
, die für ein zu findendes x einen
x
möglichst kleinen Wert annehmen soll. Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von f(x). Notwendige Bedingung für die Existenz einer Extremstelle: f ’(x) = 0 ⇔ 1 −
1
= 0 ⇔ x ² = 1.
x2
Bei x = ±1 kann also eine Extremstelle liegen. Da eine positive reelle Zahl gesucht wurde ist nur zu prü-
2
2
= = 2 > 0 . Für x = 1 ergibt sich also tatsächlich
x³ x =1 1³
1
1
die kleinste Summe 1 + = 2 . Alle anderen Summen sind größer, da 1 − 2 klarerweise für x = 1 den
1
x
fen, ob für ein Minimum gilt f ’’(1) > 0. f ' ' ( x) =
größten Wert annimmt (von 1 wird abgezogen!)!
b) Wenn die Differenz zweier Zahlen x und y genau 1 ist und x die größere der zwei Zahlen ist, so gilt x - y
= 1 bzw. x = y + 1. Für das Produkt der Zahlen gilt also x ⋅ y = (y +1) ⋅ y = y² + y. Diesen Term y² + y als
Funktion f(y) betrachtet ist eine nach oben geöffnete Parabel, die klarerweise genau ein Minimum besitzt. Notwendigerweise gilt f ’(y) = 2y + 1 = 0, also muss y = -0,5 sein. Also ist x = 0,5.
c) Sind x und y die zwei reellen Zahlen, so gilt x + y = 12 bzw. x = 12 – y. Für das Produkt der Zahlen gilt
also x ⋅ y = (12 - y) ⋅ y = 12y – y². Diesen Term 12y – y² als Funktion f(y) betrachtet ist eine nach unten
geöffnete Parabel, die klarerweise genau ein Maximum besitzt. Notwendigerweise gilt f ’(y) = 12 – 2y =
0, also muss y = 6 sein. Also ist x = 6.
Name, Jahr
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Jan Hendrik Müller, 2009
X
Extremwertaufgaben
Zahlentheoretisches
Begründe, ob
d) man zu irgendeiner positiven reellen Zahl den Kehrwert dieser Zahl addieren kann, so dass diese Summe möglichst klein wird.
e) es ein möglichst kleines Produkt von zwei reellen Zahlen mit der Differenz 1
gibt.
f) die Zahl 12 so in zwei Summanden zerlegt werden kann, dass das Produkt
der Summanden möglichst groß wird.
Mögliche Lösungen
d) Die Zahl sei x. Aus dem Text ergibt sich die Funktion f ( x) = x +
1
, die für ein zu findendes x einen
x
möglichst kleinen Wert annehmen soll. Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von f(x). Notwendige Bedingung für die Existenz einer Extremstelle: f ’(x) = 0 ⇔ 1 −
1
= 0 ⇔ x ² = 1.
x2
Bei x = ±1 kann also eine Extremstelle liegen. Da eine positive reelle Zahl gesucht wurde ist nur zu prü-
2
2
= = 2 > 0 . Für x = 1 ergibt sich also tatsächlich
x³ x =1 1³
1
1
die kleinste Summe 1 + = 2 . Alle anderen Summen sind größer, da 1 − 2 klarerweise für x = 1 den
1
x
fen, ob für ein Minimum gilt f ’’(1) > 0. f ' ' ( x) =
größten Wert annimmt (von 1 wird abgezogen!)!
e) Wenn die Differenz zweier Zahlen x und y genau 1 ist und x die größere der zwei Zahlen ist, so gilt x - y
= 1 bzw. x = y + 1. Für das Produkt der Zahlen gilt also x ⋅ y = (y +1) ⋅ y = y² + y. Diesen Term y² + y als
Funktion f(y) betrachtet ist eine nach oben geöffnete Parabel, die klarerweise genau ein Minimum besitzt. Notwendigerweise gilt f ’(y) = 2y + 1 = 0, also muss y = -0,5 sein. Also ist x = 0,5.
f) Sind x und y die zwei reellen Zahlen, so gilt x + y = 12 bzw. x = 12 – y. Für das Produkt der Zahlen gilt
also x ⋅ y = (12 - y) ⋅ y = 12y – y². Diesen Term 12y – y² als Funktion f(y) betrachtet ist eine nach unten
geöffnete Parabel, die klarerweise genau ein Maximum besitzt. Notwendigerweise gilt f ’(y) = 12 – 2y =
0, also muss y = 6 sein. Also ist x = 6.
Name, Jahr
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Carola Schöttler, 2009
XXX
Extremwertaufgaben
Unterschiedliche Wahl der Variablen
Einem Viertelkreis mit dem Radius r = 5cm wird ein Dreieck OPQ einbeschrieben. Begründe, ob für eine bestimmte Wahl des Winkels α wird der Inhalt des
Dreiecks maximal wird.
Mögliche Lösungen
Name, Jahr
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Carola Schöttler, 2009
XX
Extremwertaufgaben
Rechteck unter Parabel
Das Stück CD ist Teil des Graphen von f mit f ( x) =
7 2
x + 2 . Begründe, ob für
16
eine bestimmte Lage von Q der Inhalt des Rechtecks RBPQ maximal wird.
Mögliche Lösungen
Name, Jahr
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Carola Schöttler, 2009
X
Extremwertaufgaben
Rechteck im Trapez
Bei einem Din-A4-Papier werden zwei gegenüberliegende Ecken aufeinander
gefaltet. Schneidet man entlang der Faltlinie entstehen zwei kongruende Trapeze.
In eins der entstehenden Trapeze soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt einbeschrieben werden.
Welche Maße sind (wie?) zu wählen?
Mögliche Lösungen
Extremalbedingung: Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt
A = a ⋅b
Nebenbedingung: Der Punkt P hat die Koordinaten (a/b) und liegt auf
der Geraden y= -0,707x + 22,27, d.h. b = -0,707a+22,27.
Zielfunktion: Durch Einsetzen von b in die Extremalbedingung erhält
man A(a) = −0,707 x 2 + 22,27 x mit dem Definitionsbereich
DA = ]0;21[ .
Für die Zielfunktion soll ein zu findendes a einen möglichst großen
Wert A annehmen. Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von
A(a). Notwendige Bedingung für die Existenz einer Extremstelle:
A’(a) = 0 ⇔ −1,414 x + 22,27 = 0 ⇔ x = 15,75 .
A’’(15,75) < 0, demnach hat A(a) an der Stelle 15,75 ein lokales
Maximum. Für b ergibt sich dann 11,13 und die Fläche beträgt
175,4cm2.
Name, Jahr
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Carola Schöttler, 2009
X
Extremwertaufgaben
Rechteck im Dreieck
Ein Din-A4-Papier wird entlang der Diagonalen halbiert. In das entstehende
rechtwinklige Dreieck soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt
einbeschrieben werden.
Welche Maße sind (wie?) zu wählen?
Kann man das Ergebnis verallgemeinern?
Mögliche Lösungen
Idee Falttechnik: Man legt einen Punkt auf der langen Seite fest und faltet jeweils die Parallelen zu
den beiden anderen Seiten. Man kann feststellen, dass es genau eine Wahl von P gibt (diese erhält
man durch die Seitenhalbierenden) so, dass die Fläche des entstehenden Rechtecks genau der Hälfte
des Ausgangsdreieck entspricht. Bei jeder anderen Wahl von P wird die Rechtecksfläche kleiner,
was man an den Überständen am Faltergebnis sieht. Rechnerischer Nachweis:
Extremalbedingung: Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt A = a ⋅ b
Nebenbedingung: Der Punkt P hat die Koordinaten (a/b) und liegt auf der Geraden y= 1,14x + 29,7,
d.h. b = -1,41a+29,7.
Zielfunktion: Durch Einsetzen von b in die Extremalbedingung erhält man
A(a) = −1,41x 2 + 29,7 x mit dem Definitionsbereich DA = 0;21 .
]
[
Für die Zielfunktion soll ein zu findendes a einen möglichst großen Wert A annehmen. Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von A(a). Notwendige Bedingung
für die Existenz einer Extremstelle: A’(a) = 0
⇔ −2,82 x + 29,7 = 0 ⇔ x = 10,5 .
A’’(10,5) < 0, demnach hat A(a) an der Stelle 10,5 ein lokales Maximum. Die Fläche beträgt dann 155,4cm2
Name, Jahr
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Carola Schöttler, 2009
X
Extremwertaufgaben
Postpaket
In der Gebührenordnung der Post heißt es unter der Rubrik Postverkehr mit
dem Ausland, dass Päckchen in Rollenform (Zylinder) höchstens so bemessen
sein dürfen, dass Länge h und vierfacher Radius r zusammen nicht mehr als
104 cm betragen.
Begründe, ob es bestimmte Abmessungen r und h gibt, bei denen das Volumen V des Päckchens möglichst groß wird.
Mögliche Lösungen
Für das Volumen eines Zylinders gilt V = r 2π h (Extremalbedingung). Als Nebenbedingung muss gelten:
h + 4r = 104 ⇔ h = 104 − 4r . Durch Einsetzen von h in die Extremalbedingung erhält man als Zielfunktion V (r ) = −4π r 3 + 104π r 2 mit dem Definitionsbereich DV = ]0;26[ , für die ein zu findendes r einen
möglichst großen Wert V annehmen soll.
Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von V(r). Notwendige Bedingung für die Existenz einer Ext-
⎛
⎝
remstelle: V’(r) = 0 ⇔ −12π r 2 + 208π r = 0 ⇔ r ⎜ r −
Bei r1 = 0 und r2 =
52 ⎞
r ⎟ = 0.
3 ⎠
52
1
= 17 kann also eine Extremstelle liegen. Da r1 = 0 ∉ DV , ist nur zu prüfen, ob
3
3
V ′′(r2 ) < 0 (Maximum).
Das Volumen wird demnach für r2 =
Höhe beträgt in diesem Fall h = 34
52
1
52
cm = 17 cm maximal und beträgt V ( ) = 32721cm 3 . Die
3
3
3
2
cm und entspricht dem Durchmesser.
3
Name, Jahr
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Carola Schöttler, 2009
X
Extremwertaufgaben
Papierschachtel
Aus einem Din-A4-Papier soll durch Einschnitte (siehe Figur unten) eine oben
offene Schachtel hergestellt werden.
Begründe, ob es für die Wahl der Höhe x Werte gibt, für die das Volumen der
Schachtel möglichst groß wird.
Mögliche Lösungen
Extremalbedingung: Für das Volumen der Schachtel gilt
V = x⋅ y⋅z
Nebenbedingung(en): Für die Grundseitenlängen y und z der
Schachtel gilt y = 21 − 2 x und z = 29,7 − 2 x.
Zielfunktion:
Durch Einsetzen von y und z in die Extremalbedingung erhält man
V ( x) = (21 − 2 x) ⋅ (29,7 − 2 x) ⋅ x = 4 x 3 − 101,4 x 2 + 623,7 x mit dem Definitionsbereich DV = ]0;10,5[ .
Für die Zielfunktion soll ein zu findendes x einen möglichst großen Wert V annehmen. Gesucht ist also eine
mögliche Extremstelle von V(x). Notwendige Bedingung für die Existenz einer Extremstelle: V’(x) = 0
⇔ 12 x 2 − 202,8x + 623,7 = 0 ⇔ x1 = 12,86 ∨ x2 = 4,04 . ( x1 ∉ DV )
V’’(4,04) = -105,84 < 0, demnach hat V(x) an der Stelle 4,04 ein lokales Maximum.
Das Volumen beträgt dann V=1128,5cm3 und der Flächeninhalt der zugehörigen Grundfläche A=279,3cm2
Name, Jahr
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Carola Schöttler, 2009
X
Extremwertaufgaben
Papierschachtel mit Deckel
Aus einem Din-A4-Papier soll durch Herausschneiden von 6 Quadraten eine
Schachtel mit Deckel hergestellt werden, deren Deckel an 3 Seiten übergreift.
Wie groß sind die Quadrate zu wählen, damit das Volumen der Schachtel
möglichst groß wird?
Mögliche Lösungen
Extremalbedingung: Für das Volumen der Schachtel gilt V = x ⋅ y ⋅ z (Höhe x Länge x Breite)
Nebenbedingung(en): Für die Bodenlänge und -breite y und z gilt y = 21 − 2 x und z =
29,7
− 1,5 x.
2
Zielfunktion:
Durch Einsetzen von y und z in die Extremalbedingung erhält man
V ( x) = (21 − 2 x) ⋅ (
29,7
− 1,5 x) ⋅ x = 3x 3 − 61,2 x 2 + 311,85 x mit dem Definitionsbereich DV = ]0;9,9[ .
2
Für die Zielfunktion soll ein zu findendes x einen möglichst großen Wert V annehmen. Gesucht ist also eine
mögliche Extremstelle von V(x). Notwendige Bedingung für die Existenz einer Extremstelle: V’(x) = 0
⇔ 9 x 2 − 122,4 x + 311,85 = 0 ⇔ x1 = 10,2 ∨ x2 = 3,4 . ( x1 ∉ DV )
V’’(3,4)= -61,2 < 0, demnach hat V(x) an der Stelle 4,04 ein lokales Maximum.
Das Volumen beträgt dann V=456,672cm3.
Name, Jahr
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Carola Schöttler, 2009
X
Extremwertaufgaben
Kegel
Begründe, ob ein Kegel mit einer Seitenkante von s = 12 cm bei bestimmter
Wahl von Radius r und Höhe h maximales Volumen annimmt.
Mögliche Lösungen
Für das Volumen des Kegels gilt V =
1 2
π r h (Extremalbedingung).
3
Als Nebenbedingung ergibt sich mit dem Satz von Pythagoras
r 2 + h 2 = 12 2 ⇔ r 2 = 144 − h 2 .
Durch Einsetzen von r2 in die Extremalbedingung erhält man als Zielfunktion
1
V (h) = 48π h − π h 3 mit dem Definitionsbereich DV = ]0;12[, für die ein zu finden3
des h ein möglichst großes Volumen V annehmen soll.
Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von V(h).
Notwendige Bedingung für die Existenz einer Extremstelle: V’(h) = 0 ⇔ −π h 2 + 48π = 0 ⇔ h = ± 48 .
(h = − 48 ∉ DV )
Zu prüfen bleibt die notwendige Bedingung. V ′′( 48) < 0.
Das Volumen wird demnach für h = 6,93cm und r = 9,8 cm maximal und beträgt V = 696,97 cm3.
Name, Jahr
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Carola Schöttler, 2009
X
Extremwertaufgaben
Kegel in Kegel
Begründe, ob ein Kegel mit einer Seitenkante von s = 12 cm bei bestimmter
Wahl von Radius r und Höhe h maximales Volumen annimmt.
Mögliche Lösungen
Für das Volumen des Kegels gilt V =
1 2
π r h (Extremalbedingung).
3
Als Nebenbedingung ergibt sich mit dem Satz von Pythagoras r 2 + h 2 = 12 2 ⇔ r 2 = 144 − h 2 .
1
3
Durch Einsetzen von r2 in die Extremalbedingung erhält man als Zielfunktion V (h) = 48π h − π h 3 mit
dem Definitionsbereich DV = ]0;12[, für die ein zu findendes h ein möglichst großes Volumen V annehmen
soll.
Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von V(h).
Notwendige Bedingung für die Existenz einer Extremstelle: V’(h) = 0 ⇔ −π h 2 + 48π = 0 ⇔ h = ± 48 .
(h = − 48 ∉ DV )
Zu prüfen bleibt die notwendige Bedingung. V ′′( 48) < 0.
Das Volumen wird demnach für h = 6,93cm und r = 9,8 cm maximal und beträgt V = 696,97 cm3.
Name, Jahr
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Jan Hendrik Müller, 2009
XX
Extremwertaufgaben
Gedrehtes Quadrat
Zwei kongruente Quadrate werden so aufeinander gelegt, dass die Ecke des einen Quadrates fest mit der
Mitte des anderen Quadrats verbunden bleibt. Nun
dreht man das „äußere“ Quadrat.
g) Begründe, ob die Innenwinkelsumme des schraffierten Bereichs in irgendeiner Position des „äußeren“ Quadrats möglichst groß bzw. möglichst klein
werden kann.
h) Begründe, ob die Anzahl der Symmetrieachsen
des schraffierten Bereichs in irgendeiner Position
des „äußeren“ Quadrats möglichst groß bzw. möglichst klein werden kann.
i) Begründe, ob der Flächeninhalt des schraffierten Bereichs in irgendeiner Position des „äußeren“ Quadrats möglichst groß bzw. möglichst klein werden kann.
j) Begründe, ob der Umfang des schraffierten Bereichs in irgendeiner Position des „äußeren“
Quadrats möglichst groß bzw. möglichst klein werden kann.
Mögliche Lösungen
a) Die Innenwinkelsumme beträgt für 4-Ecke immer 360°, für Dreiecke stets 180°!
b) Für α=0° (Quadrat) 4 Symmetrieachsen, für 0°<α<45°
keine Achsensymmetrie, für α=45° (gleichschenkliges
fehlt
Dreieck) eine Symmetrieachse.
c) Der Flächeninhalt bleibt stets identisch. Z.B. mit dem
Kongruenzsatz SWS kann eingesehen werden, dass
neu überstrichene „dreieckige“ Flächen gerade den
„dreieckigen“ Flächen entsprechen, die „fehlen“:
neu
a/2
α
a/2cosα
d) Die Seitenlänge des Quadrats sei a: Der Umfang berechnet sich z.B. mit Hilfe der Funktion
U (α ) = 2 ⋅
a
+ a (+a, weil die beiden Außen2 cos(α )
kanten zusammen so lang wie eine Quadratseite
sind). Demzufolge ist der Umfang am kleinsten für
α=0° (Quadrat) und am größten für α=45° (gleichschenkliges Dreieck).
Name, Jahr
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Carola Schöttler, 2009
X
Extremwertaufgaben
Fußballfeld
Ein Sportstadion mit einer Laufbahn der Länge 400m soll so angelegt werden,
dass die Fläche A eines eingeschlossenen Rechtecks als Fußballfeld möglichst
groß ist.
Mögliche Lösungen
Name, Jahr
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Carola Schöttler, 2009
X
Extremwertaufgaben
Flugkosten
1050 Leute benutzen täglich 15 Flieger. Die Tageseinnahmen liegen bei
210.000 €. Marktuntersuchungen haben ergeben, dass bei einer Preissenkung
von je 25 € jeweils 20 Leute pro Flieger zusätzlich mitfliegen würden.
Prüfen Sie, ob sich eine Preissenkung für die Fluggesellschaft lohnt.
Wann erzielt die Fluggesellschaft den maximalen Gewinn?
Mögliche Lösungen
x : Anzahl an Preissenkungen um 25€
Für den Gewinn (Personen mal Preis) gilt: G ( x) = (1050 + 15 ⋅ 20 x) ⋅ (200 − 25 x) mit DG = {0,...,8}.
Gesucht ist ein mögliches x, für das der Gewinn maximal wird.
Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von G(x). Notwendige Bedingung für die Existenz einer Ex
tremstelle: G’(x) = 0 ⇔ −15.000 x + 33.700 = 0 ⇔ x = 2,25 .
x kann nur ganzzahlige Werte annehmen.
Für x= 2, d.h. eine Preis von 150 €, ergibt sich der maximale Gewinn von G(2) = 247.500 €.
( G(3) = 243.750 € )
Name, Jahr
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Jan Hendrik Müller, 2009
XX
Extremwertaufgaben
Extrem extremales DINA4 Blatt
Aus einem DINA4 Blatt soll nur der Rand eines Gefäßes hergestellt werden,
also kein Boden und kein Deckel. Der Boden des Gefäßes soll
a) quadratisch oder
b) kreisrund sein.
Begründe, ob es möglich ist, das Blatt so zu zerschneiden, dass das Volumen
des Gefäßes maximal wird. Damit man die Stücke gut miteinander verkleben
kann, sollen sie sich an allen Klebestellen jeweils 1 cm überlappen.
Mögliche Lösungen
Teilt man das DINA4 Blatt der Übersicht halber der Länge nach in n rechteckige Streifen der Länge 30cm
(jede andere Art wäre zwar auch möglich, aber zunächst schwieriger zu berechnen), dann berechnet sich der
Umfang des
a) Quadrates durch 28⋅n, da jeweils 2 cm für die Klebeüberlappung wegfallen. Die Seitenlänge des Quadrates ist demnach 7⋅n. Der Flächeninhalt der Grundfläche des Gefäßes also 49⋅n². Die Breite der Streifen
21
. Das Volumen des Gefäßes berechnet sich durch die Formel
n
21
V (n) = 49 ⋅ n² ⋅ = 49 ⋅ 21 ⋅ n . Diese Funktion V(n) hat keine Extremstellen, da
n
V ' (n) = 49 ⋅ 21 ≠ 0 für alle n. Erstaunlich ist: Wählt man n beliebig groß, so wird auch das Volumen beliebig groß. Man schreibt daher lim V (n) = ∞ . Viel interessanter als die Schreibweise ist aber die Tatsabeträgt
n→∞
che, dass man mit einem DINA4 Blatt ein unendlich großes Volumen bilden kann!
b) Kreises ebenfalls durch 28⋅n, da jeweils 2 cm für die Klebeüberlappung wegfallen. Der Radius des Kreises kann durch Umstellung der Gleichung Umfang(Kreis) = 2⋅π⋅r = 28⋅n nach r berechnet werden- Es gilt
2
196
⎛ 14 ⎞
⋅ n ² . Die Breite der Streir = ⋅ n . Der Flächeninhalt des Kreises beträgt r ² ⋅ π = ⎜ ⋅ n ⎟ ⋅ π =
π
π
⎝π ⎠
21
fen beträgt wieder
. Das Volumen des Gefäßes berechnet sich durch die Formel
n
196
21 196
V ( n) =
⋅ n² ⋅ =
⋅ 21 ⋅ n . Auch diese Funktion V(n) hat aus den gleichen Gründen wie oben
π
n
π
14
keine Extremstellen. Wählt man auch hier n beliebig groß, so wird auch das Volumen beliebig groß.
Name, Jahr
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Carola Schöttler, 2009
XX
Extremwertaufgaben
Analysis pur …
Eine Funktion f mit Graph G ist gegeben durch f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 9 x ; x ∈ ℜ .
a) Skizziere G für 0 ≤ x ≤ 4 .
(Als Wiederholung kann hier auch eine Kurvendiskussion oder einzelne Punkte einer Kurvendiskussion durchgeführt werden.)
b) Durch den Punkt P(u/f(u)) auf G mit 0<u<3 werden die Parallelen zu den
Koordinatenachsen gezeichnet. Diese Parallelen bilden zusammen mit den
Koordinatenachsen ein Rechteck mit dem Inhalt A(u). Skizziere den Graphen
der Funktion A.
c) Bestimme u so, dass der Flächeninhalt A(u) maximal wird und berechne diesen maximalen Flächeninhalt.
Mögliche Lösungen
Name, Jahr
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Carola Schöttler, 2009
XX
Extremwertaufgaben
Abwasserkanal
Der Querschnitt eines Abwasserkanals hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis.
Begründe, ob bei gegebenem Umfang U die Querschnittsfläche für bestimmte
Maße maximal wird.
Mögliche Lösungen
2
1 ⎛a⎞
Für die Querschnittsfläche des Abwasserkanals gilt A = ab + π ⎜ ⎟ (Extremalbedingung).
2 ⎝2⎠
a
a a
U
Als Nebenbedingung muss gelten: U = 2b + a + π ⇔ b = − − π + .
2
2 4
2
Durch Einsetzen von b in die Extremalbedingung erhält man als Zielfunktion
⎤
⎡
⎥
U ⎢
⎛ 1 π⎞ 2 U
A(a) = ⎜ − − ⎟a + a mit dem Definitionsbereich D A = ⎥ 0;
⎢ , für die ein zu
π
2
⎝ 2 8⎠
⎥ 1+ ⎢
⎥⎦
2 ⎢⎣
findendes a einen möglichst großen Wert A annehmen soll. Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von
A(a). Notwendige Bedingung für die Existenz einer Extremstelle: A’(a) = 0
U
U
⎛ 1 π⎞
. Da A(a) eine nach unten geöffnete Parabel beschreibt wird die
⇔ 2⎜− − ⎟ a + = 0 ⇔ a =
π
2
⎝ 2 8⎠
2+
2
U
Querschnittsfläche für a =
maximal. (Beispiel: Für U=5m ergibt sich a=1,4m und b=0,7m).
π
2+
2