EINF¨UHRUNG IN DIE ZAHLENTHEORIE

EINFÜHRUNG IN DIE ZAHLENTHEORIE
JÖRN STEUDING — WÜRZBURG, KURZSKRIPT SOMMERSEMESTER 2012
Inhaltsverzeichnis
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Der euklidische Algorithmus
Rationale vs. irrationale Zahlen
Algebraische vs. transzendente Zahlen
Primzahlen
Modulare Arithmetik
Der chinesische Restsatz
Primitivwurzeln
Quadratische Reste und Nichtreste
Einheitswurzeln und Gaußsche Summen
Das quadratische Reziprozitätsgesetz
Summen von Quadraten
Pythagoräische Tripel und die Fermat-Gleichung
Kongruenzzahlen und elliptische Kurven
Kettenbrüche
Quadratische Irrationalzahlen
Die Pellsche Gleichung
Charaktere
Dirichlet-Reihen und Euler-Produkte
Der Dirichletsche Primzahlsatz
1
2
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5
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8
8
9
10
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18
20
20
21
Worum geht es in der Zahlentheorie? Zunächst um Zahlen. Am Anfang stehen
die ineinander geschachtelten Zahlbereiche N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C der natürlichen,
ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen mit den bekannten rationalen Operationen der Addition und Multiplikation sowie der damit verbundenen
Struktur (Halbgruppe, Ring, Körper); darüberhinaus sind aber auch Zahlkörper
und deren Ganzheitsringe von zentraler Bedeutung. Wichtig: all diese Zahlbereiche sind multiplikativ abgeschlossen; insofern sind Teilbarkeitseigenschaften
von wesentlichem Interesse. Ein fundamentales Hilfsmittel ist die Wohlordnung:
Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (äquivalent zum
Induktionsprinzip). Konvention: Mit kleinen lateinischen Buchstaben werden ausschließlich ganze Zahlen bezeichnet, kleine griechische stehen für reelle Zahlen.
1. Der euklidische Algorithmus
Mit Hilfe der Wohlordnung beweist sich der Satz zur Division mit Rest: Gegeben a, b ∈ N mit a > b, existieren eindeutig bestimmte Zahlen q, r mit a = qb+r
und 0 ≤ r < b. Eine Zahl a heißt durch b teilbar, wenn a = bd für ein d besteht
(also der Rest null bei Division mit Rest entsteht). Zwei Zahlen a, b besitzen
1
2
EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
(wiederum aufgrund der Wohlordnung) einen (in N eindeutigen) größten gemeinsamen Teiler ggT(a, b); dessen Berechnung erfolgt mit dem euklidischen Algorithmus: Zu a =: r−1 , b =: r0 bilde rj+1 = qj rj + rj−1 bis rm+1 = 0 6= rm ; dann
gilt rm = ggT(a, b). Mit dieser sukzessiven Division mit Rest (rückwärts) finden
sich auch Lösungen von linearen diophantischen Gleichungen (worunter wir polynomielle Gleichungen mit ganzzahligen oder rationalen Koeffizienten verstehen,
die ganzzahlig oder rational zu lösen sind). Hier besagt der Satz von Bézout:
Die Gleichung aX − bY = c besitzt genau dann Lösungen (x, y) ∈ Z2 , wenn
ggT(a, b) | c; in diesem Fall ergibt sich die Menge aller Lösungen als
x
xs
b/ggT(a, b)
=
+Z
,
y
ys
a/ggT(a, b)
wobei (xs , ys ) irgendeine spezielle Lösung sei; insbesondere gilt
{ax − by : x, y ∈ Z} = ggT(a, b)Z.
Geometrisch interpretiert liefert dies also Gitterpunkte (genauer: Punkte mit
ganzzahligen Koordinaten) auf gewissen Geraden in der Ebene. Der Quotient
der Koordinaten liefert respektable rationale Approximationen an die Steigung
der Geraden. Eine Anwendung aus der Chemie: Welche Werte für die Unbekannten sind in der Reaktionsgleichung für Fermentation (Saccharose
Ethanol +
Kohlendioxid)
X · C6 H12 O6
−→
Y · C2 H5 OH + Z · CO2 .
möglich? Das Frobenius-Problem fragt bei gegebenen teilerfremden natürlichen Zahlen a1 , . . . , am nach der größten natürlichen Zahl g = g(a1 , . . . , am ), die
sich nicht darstellen lässt als eine Linearkombination g = k1 a1 + . . . + km am mit
kj ∈ N0 . Für m = 2 ist g(a1 , a2 ) = a1 a2 − a1 − a2 ; hingegen ist für m > 3
im Allgemeinen kein geschlossener Ausdruck für g(a1 , . . . , am ) bekannt. Systeme
linearer diophantischer Gleichungen in mehreren Unbekannten löst man durch
Substitution (oder mit der Cramérschen Regel). In der chinesischen Literatur des
sechsten Jahrhunderts findet sich hierzu folgende Aufgabe: Wenn ein Hahn fünf
Münzen kostet, eine Henne drei und drei Hühnchen zusammen eine Münze, wie
viele Hähne, Hennen und Hühnchen, insgesamt einhundert in Zahl, kann man
für einhundert Münzen ersteigern?
2. Rationale vs. irrationale Zahlen
Die Farey-Folge der ineinander geschachtelten Mengen
a
Fn := { : 0 ≤ a ≤ b ≤ n, ggT(a, b) = 1}
b
entsteht aus den Zahlen 01 und 11 durch sukzessive Bildung der Mediante a+c
b+d
aus Nachbarn ab und dc ; hierbei heißen zwei Elemente Nachbarn, wenn Fn keine
Elemente zwischen ab und dc enthält, bzw. äquivalent hierzu: wenn ad − bc = ±1,
wie sich mit dem Satz von Bézout zeigt. Die gekürzten Brüche in Fn bilden
bei wachsendem n sämtliche rationalen Zahlen des Einheitsintervalls: Q/Z ≈
∪n≥1 Fn . Damit folgt sofort: Die rationalen Zahlen liegen dicht in der Menge
der reellen Zahlen. Darüber hinaus ergibt sich der Approximationssatz von
Dirichlet: Zu α ∈ R \ Q existieren unendlich viele pq ∈ Q mit
α − p < 1 ;
q q2
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32
85
53
3
21
G
a
∈ Fn sind erklärt durch die Menge alb
1
und bilden eine schöne Kreispackung
2b2
Abbildung 1. Die Ford-Kreise zu
|z − ( ab
i
)|
2b2
+
=
ler komplexen z mit
mit Hilfe derer visuell nach den besten rationalen Näherungen einer vorgegebenen reellen Zahl gesucht √
werden kann. In diesem Beispiel ergeben sich für
den goldenen Schnitt G := 5+1
sukzessive die Näherungen 21 , 32 , 35 usw.
2
für rationale α besitzt diese Ungleichung hingegen nur endlich viele Lösungen.
Eine weitere Charakterisierung von Irrationalzahlen liefert der Satz von Beatty/Rayleigh: Sei 1 < α ∈ R \ Q, dann ist B(α)∪B(β) eine disjunkte aperiodische
Partition von N, wobei B(α) := {⌊nα⌋ : n ∈ N} und α1 + β1 = 1. (Hier steht ⌊x⌋
für die größte ganze Zahl ≤ x, auch Gauss-Klammer genannt.) Für rationale α
hingegen entsteht eine periodische Zerlegung.
Bereits Lambert und Euler bewiesen: π und e = exp(1) sind irrational. Zum
Nachweis von e 6∈ Q werden Partialsummen der Exponentialreihe untersucht;
unter der Annahme e = ab ∈ Q ist


X 1
X n!
=
α := n! e −
k!
k!
0≤k≤n
1
n,
k>n
eine ganze Zahl mit 0 < α < was den gewünschten Widerspruch liefert. Analog
sind die Integrale
Z 1
n
1 n
x (1 − x)n
In := πa
fn (x) sin(πx) dx
mit fn (x) := n!
0
4
EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
n
unter der Prämisse π 2 = ab ganzzahlig, was wegen 0 < In < π an! für große n
P
2
unmöglich ist, und also π 2 6∈ Q zeigt, und somit auch n≥1 n−2 = π6 6∈ Q.
Ein Einzeiler
(nach Dedekind)
√
√
beweist 2 6∈ Q: Wäre 2 = ab
mit
b) = 1, dann ebenso
√ ggT(a,
2b−a
2 = a−b und ein Widerspruch
ergibt sich aus der Minimalität
von b. Allgemeiner
gilt: Für
√
natürliche n ist n genau dann
irrational, wenn die Exponenten
in der Primfaktorzerlegung von
n alle gerade sind. Im Allgemeinen ist es jedoch schwierig, eine
vorgegebene Zahl auf Irrationalität zu untersuchen; so ist ungeklärt, ob die Euler-MascheroniP
Konstante limN →∞ ( n≤N n1 −
P
log N ) oder auch n≥1 n−5 irrational ist. Erst 1978 bewies Roger
die Irrationalität von
P Apéry
−3 .
n
n≥1
Abbildung 2. Der PythagorasSchüler Hipasos entdeckte die Inkomensurabilität von Diagonale und
Seite im Quadrat
√ (bzw. die Irrationalität von 2). Oben ein geometrischer Beweis mittels Wechselwegnahme (bzw. euklidischem Algorithmus).
3. Algebraische vs. transzendente Zahlen
Eine komplexe Zahl α heißt algebraisch, wenn sie Nullstelle eines nichtkonstanten Polynoms P mit ganzzahligen Koeffizienten ist; besitzt P dabei minimalen Grad, so definiert dieser den Grad von α durch deg α = deg P , und P
heißt das Minimalpolynom. Andernfalls, wenn also P √
(α) 6= 0 √
für alle P ∈ Z[X] mit
3
deg P ≥ 1, ist α transzendent. Beispielsweise sind 5 , 2, i = −1 algebraisch. Die
Menge Q aller algebraischen Zahlen ist ein Körper (wie mit ein wenig linearer
Algebra folgt). Mit dem Cantorschen Diagonalargument zeigt sich: Die Menge
Q der algebraischen Zahlen ist abzählbar, und die Menge C \ Q der transzendenten Zahlen ist überabzählbar (die Abzählung von Q erfolgt über die Koeffizienten
sowie den Grad der P ∈ ZP
[X]). Die historisch ersten explizit bekannten transzen−n! lassen sich mit Hilfe des Liouvilleschen
denten Zahlen wie etwa
n≥1 10
Approximationssatzes ’konstruieren’: Sei α ∈ R algebraisch vom Grad d ≥ 2,
dann existiert eine nur von α abhängige Konstante C > 0 mit
α − p > C
q qd
für alle pq ∈ Q (im Falle d = 1 ist noch zusätzlich pq 6= α zu fordern). Der Beweis
erfolgt mit dem Mittelwertsatz der reellen Analysis. Der tiefliegende Satz von
Thue–Siegel–Roth liefert sogar die untere Schranke C ′ q −2−ǫ für jedes positive
ǫ mit einer nur von α und ǫ abhängigen Konstanten C ′ , sofern α algebraisch irrational ist. Gegebene Zahlen als transzendent nachzuweisen, ist jedoch schwierig:
e und π sind transzendent, wie zuerst Hermite und Lindemann zeigten, aber die
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5
P
Beweise sind nicht trivial.∗ Insbesondere sind wegen n≥1 n−2k ∈ π 2k Q für gerade k alle diese Reihen transzendent; demgegenüber ist unbekannt, ob e · π und
e + π transzendent sind (sicher ist es eine der beiden).
4. Primzahlen
Primzahlen sind die multiplikativen Bausteine von Q: Eine ganze Zahl n > 1
heißt prim, wenn sie keine Teiler außer 1 und n (in N) besitzt; ansonsten ist n
zusammengesetzt. Euklids Lemma besagt: Teilt eine Primzahl ein Produkt, so
teilt sie einen der Faktoren (was für zusammengesetzte Zahlen falsch ist). Insbesondere folgt, dass jede natürliche Zahl eine eindeutige Primfaktorzerlegung
besitzt, d.h. zu n ∈ N existieren eindeutig bestimmte ν(n; p) ∈ N0 mit
Y
n=
pν(n;p) ,
p
wobei das Produkt über alle
√ Primzahlen p√läuft (allerdings stets endlich ist). In
−5] := {a + b −5 : a, b ∈ Z} (dem Ganzheitsring
Zahlbereichen wie etwa
Z
[
√
des Zahlkörpers Q( −5)) hingegen existieren verschiedene Faktorisierungen in
irreduzible Faktoren, z.B.:
√
√
6 = 2 · 3 = (1 + −5) · (1 − −5).
Mit dem Sieb des Eratosthenes lässt sich eine Liste aller Primzahlen erstellen:
Streicht man sukzessive die echten Vielfachen nicht gestrichener Elemente aus der
Liste der ihrer Größe nach geordneten natürlichen Zahlen n ≥ 2, so verbleiben
genau die Primzahlen.
11
21
x/
31
41
51
/
61
71
81
/
91
x
2
12
—
/
—
22
—
32
42
—
x/
—
52
—
62
72
—
/
—
82
—
92
3
13
23
33
/
43
53
63
x/
73
83
93
/
—
4
—
14
x
24
—
/
—
34
—
44
54
—
/
—
64
—
74
84
—
x/
—
94
5
15
\/
25
\
x
35
\
45
\/
55
\
65
\
75
\/
85
\
95
\
—
6/
—
16
—
26
—
36
/
—
46
—
56
x
—
66
/
—
76
—
86
—
96
/
7
17
27
/
37
47
57
/
67
77
x
87
/
97
—
8
18
—
/
—
28
x
38
—
48
—
/
—
58
—
68
—
78
/
—
88
—
98
/9 10
—
\
19 20
—
\
29 30
—
\/
39
/ 40
—
\
49
x 50
—
\
59 60
—
\/
69
/ 70
—
x\
79 80
—
\
89 90
—
\/
99
/ ...
Als Primzahltest ist das Sieb ungeeignet: Es liefert mit den (fast) kompletten
Primfaktorisierungen zu viele Informationen, als dass es effizient sein könnte. Es
gibt unendlich viele Primzahlen bzw., wie Euklid es formulierte, es gibt mehr
Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen. Sein Beweis basiert auf
der Primfaktorzerlegung von p1 p2 · . . . · pm + 1, wenn p1 , . . . , pm eine solche vorgelegte Menge von Primzahlen ist. Dieses Argument zeigt sogar: Es gibt unendlich
viele Primzahlen in der Menge 4Z + 3 (versagt aber ohne weiteres für Primzahlen
in 4Z + 1). Es gibt beliebig große Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen (wie die Zahlen n! + d mit 2 ≤ d ≤ n zeigen); andererseits besagt das
Bertrandsche Postulat: Für n > 1 existiert stets mindestens eine Primzahl p
mit n < p < 2n. Der Beweis (nach Erdös) basiert auf der Primfaktorzerlegung
∗
Beweise finden sich etwa in dem Klassiker: G.H. Hardy, E.M. Wright, An introduction
to the theory of numbers, Clarendon Press 1979, 5th ed.
6
EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
des mittleren Binoialkoeffizienten ( 2n
n ). Darüber hinaus gilt der Primzahlsatz:
Für die Anzahl π(x) der Primzahlen p ≤ x gilt†
log x
= 1.
x
Insbesondere bilden die Primzahlen also eine dünne Teilmenge von N. Ungelöst
ist, ob es zwischen zwei Quadratzahlen stets mindestens eine Primzahl liegt?
Kaum vorstellbar: 1 , 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 , 17, . . .
lim π(x)
x→∞
Abbildung 3. Die Spirale von Ulam: Die natürlichen Zahlen spiralförmig aufgeführt, Primzahlen weiß eingefärbt und zusammengesetzte Zahlen schwarz. Die Bildmitte enthält die kleineren Zahlen und mehr Primzahlen.
Additive Verknüpfungen multiplikativer Objekte sind oft schwierig zu behandeln: Die offene Goldbach-Vermutung behauptet, dass jede gerade Zahl n ≥ 4 sich
als Summe von zwei Primzahlen darstellen lässt; z.B. 100 = 83 + 17. Die ebenfalls
ungelöste Primzahlzwillingsvermutung besagt, dass es unendlich viele Paare von
Primzahlen mit Abstand zwei gibt wie etwa 17 und 19. Mit analytischen Werkzeugen lassen sich bemerkenswerte Teilergebnisse erzielen: So weiß man dank der
Kreismethode von Hardy, Ramanujan & Littlewood, dass fast alle geraden Zahlen
sich als Summe von zwei Primzahlen darstellen lassen, und, dass für unendlich
viele Primzahlen p die Zahl p + 2 nur höchstens zwei Primfaktoren besitzt (wie
Chen in den 1960ern mit Siebmethoden zeigte).
†
Der Beweis mittels komplexer Analysis erfolgt in der Mastervorlesung zur Zahlentheorie im
SoSe 2013
EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
7
Von zentraler Bedeutung für die Zahlentheorie ist das Restklassenkalkül, eingeführt von Gauß (in seinen wegweisenden Disquisitionae Arithmeticae von 1801).
Die multiplikative Abgeschlossenheit von 4Z + 1 erlaubte den Nachweis der Existenz unendlich vieler Primzahlen in 4Z + 3 (siehe §4); ferner lassen sich die
ganzen Zahlen, welche durch drei (neun) teilbar sind, durch die Teilbarkeit ihrer
Quersumme durch drei (neun) charakterisieren. Diese beiden Beispiele motivieren
den Wunsch einer vereinfachten Schreibweise bzgl. Teilbarkeit. Tatsächlich wird
eine Reduktion auf die wesentlichen Informationen bei der modularen Arithmetik
interessante additive und insbesondere multiplikative Strukturen offenlegen!
5. Modulare Arithmetik
Für m ∈ N und a, b ∈ Z schreiben wir a ≡ b mod m, falls m | (b − a), diese
also denselben Rest bei Division durch m lassen; wir sagen in diesem Fall a
ist kongruent b modulo m und nennen dies eine Kongruenz zum Modul m. Dies
definiert eine Äquivalenzrelation auf Z mit den Restklassen a mod m := a+mZ =
{b : a ≡ b mod m}. Im Gegensatz zu Z besteht das Bild der Abbildung a 7→
a mod m aus nur endlich vielen, genauer m verschiedenen Restklassen modulo
m. Mit diesen lässt sich vermöge der folgendermaßen erklärten Addition und
Multiplikation von Restklassen
+
+
(a mod m)
(mod m) := a b mod m
×
×
wie mit ganzen Zahlen rechnen. Eine Restklasse a mod m heißt eine prime Restklasse, wenn a und m teilerfremd sind (was wegen ggT(a, m) = ggT(a + km, m)
für beliebiges k unabhängig vom gewählten Repräsentanten ist). Die Menge der
primen Restklassen modulo m ist multiplikativ abgeschlossen; ihre Anzahl ϕ(m)
zählt die Eulersche ϕ-Funktion. Eine Menge von Restklassen a1 , . . . , am mod m
heißt ein vollständiges Restsystem modulo m, wenn die aj paarweise inkongruent sind (also verschiedene Restklassen repräsentieren); ferner heißt eine Menge
von Restklassen a1 , . . . , aϕ(m) mod m ein primes Restsystem modulo m, wenn die
primen Restklassen aj paarweise inkongruent sind. Eine Restklasse a mod m ist
genau dann (multiplikativ) invertierbar, wenn a und m teilerfremd sind. Das Inverse lässt sich in diesem Fall mit dem Satz von Euler berechnen: Für zu m
teilerfremde a gilt aϕ(m) ≡ 1 mod m mit der Eulerschen ϕ-Funktion. Der Beweis
basiert darauf, dass mit a1 , . . . , aϕ(m) auch aa1 , . . . , aaϕ(m) ein primes Restsystem
ist, wenn a und m teilerfremd sind, sowie der daraus resultierenden Kongruenz
ϕ(m)
ϕ(m)
Y
Y
j=1
aj ≡
j=1
ϕ(m)
ϕ(m)
(aaj ) ≡ a
Y
aj mod m.
j=1
Speziell für Primzahlmoduln m = p ergibt sich aus dem Eulerschen Satz der kleine Fermatsche Satz: ap−1 ≡ 1 mod p für teilerfremde p und a. (Oft schreiben
wir von nun an kurz a statt a mod m.) Das RSA-Verfahren ist das am weitesten
verbreitete Kryptosystem zum Verschlüsseln geheimer Nachrichten: Bob wählt
geheim zwei große verschiedene Primzahlen p und q und veröffentlicht deren Produkt N := pq; ferner wählt er ein zu ϕ(N ) = (p − 1)(q − 1) teilerfremdes e und
berechnet geheim dessen multiplikativ Inverse d mod ϕ(N ). Alice verschlüsselt
ihre Nachricht M an Bob mit dessen öffentlichen Schlüssel als M e mod N . Bob
kann diese Nachricht durch Berechnung von (M e )d ≡ M mod N mit Hilfe seines
geheimen Schlüssels entziffern. Die Sicherheit von RSA basiert auf der Beobachtung, dass zwar die Multiplikation großer ganzer Zahlen leicht ist, jedoch für die
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EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
Faktorisierung einer großen gegebenen ganzen Zahl kein effizienter Algorithmus
bekannt ist.
6. Der chinesische Restsatz
Wir notieren die Menge aller Restklassen modulo m als Z/mZ. Modulare Arithmetik tarnsportiert die Struktur von Z; es gilt nämlich: Z/mZ ist ein Ring (ein
Faktorring im Sinne der Algebra). Der Restklassenring Z/mZ ist genau dann
ein Körper, wenn m eine Primzahl ist. Z/mZ ist der so genannte Restklassenring
bzw. Restklassenkörper modulo m; die zugehörige Einheitengruppe heißt prime
Restklassengruppe modulo m und wird mit (Z/mZ)∗ bezeichnet; ihre Ordnung ist
gleich ϕ(m). Mit dem Eulerschen Satz lässt sich über die Lösbarkeit linearer Kongruenzen aX ≡ b mod m entscheiden; falls diese überhaupt lösbar sind, liefert
der euklidische Algorithmus ein Lösungsverfahren. Systeme linearer Kongruenzen behandelt der chinesische Restsatz: Zu gegebenen paarweise teilerfremden
Zahlen m1 , . . . , mk und beliebigen a1 , . . . , ak besitzt das lineare Kongruenzsystem
X ≡ aj mod mj
für
j = 1, . . . k
eine eindeutige Lösung
P x mod m, wobei m := m1 · . . . · mk ; diese Lösung lässt
sich explizit als x = 1≤j≤k aj (m/mj )ϕ(mj ) angeben. Sun Tsu stellte hierzu im
vierten Jahrhundert folgende Aufgabe: Gegeben sei eine unbekannte Zahl, welche
bei Division durch 3 den Rest 2 lässt, während bei Division durch 5 der Rest 3
entsteht, sowie der Rest 2 bei Division durch 7; um welche Zahl(en) handelt es
sich? Mit dem chinesischen Restsatz ergibt sich eine bijektive Abbildung
Y
Z/mj Z
Z/mZ →
1≤j≤k
x mod m 7→ (x mod m1 , . . . , x mod mk )
und damit die Isomorphie beider Seiten; selbiges gilt ebenso für die jeweiligen
primen Restklassengruppen. Es folgt damit die Produktdarstellung
Y
1
,
ϕ(m) = m
1−
p
p|m
wobei das Produkt über alle Primteiler p von m läuft; insbesondere gilt ϕ(mn) =
ϕ(m)ϕ(n) für teilerfremde m, n, womit ϕ ein erstes Beispiel einer multiplikativen arithmetischen Funktion ist (und eine Anwendung hiervon wird im RSAKryptosystem benutzt; s.o.). Ein covering system ist eine Menge von Kongruenzen
X ≡ aj mod mj
für j = 1, . . . k,
so dass jede ganze Zahl mindestens eine dieser Kongruenzen erfüllt; beispielsweise
liefern die Paare (aj , mj )j = {(0, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 6), (11, 12)} ein solches. Unbekannt ist eine Frage von Selfridge, ob es ein ’covering system’ mit verschiedenen
ungeraden Moduln mj gibt?
7. Primitivwurzeln
Gegeben eine prime Restklasse a mod m, heißt die kleinste natürliche k mit
der Eigenschaft ak ≡ 1 mod m die Ordnung von a mod m und wird mit o(a; m)
bezeichnet. Falls o(a; m) = ϕ(m) gilt, erzeugt a die gesamte prime Restklassengruppe modulo m; solch ein a heißt Primitivwurzel. Beispielsweise ist 2 mod 11
EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
9
eine solche Primitivwurzel, denn
1 = 20 , 2 = 21 , 3 ≡ 29 , 4 = 22 , 5 ≡ 24 ,
6 ≡ 210 , 7 ≡ 28 , 8 = 23 , 9 ≡ 27 , 10 ≡ 26 mod 11.
Die Brüche
1
7
= 0, 142857 ,
2
7
= 0, 285714 ,
3
7
= 0, 428571
usw.
besitzen eine periodische Dezimalbruchentwicklung maximaler Länge, denn 10 ist
eine Primitivwurzel modulo 7. Modulo einer Primzahl p existieren genau ϕ(p − 1)
Primitivwurzeln. Damit sind die primen Restklassengruppen modulo Primzahlen
stets zyklisch! Der Beweis beruht u.a. darauf, dass ein Polynom P ∈ Z[X] modulo einer Primzahl p höchstens deg P viele Wurzeln besitzt; wie das Beispiel
X 2 − 1 mod 8 zeigt, ist dies für zusammengesetzte Moduln falsch. In Kombination mit dem kleinen Fermat folgt: Das Polynom X p−1 −1 besitzt p−1 verschiedene
Wurzeln. Ist g mod p eine Primitivwurzeln, so ergeben sich die weiteren Primitivwurzeln modulo p durch gk mit zu ϕ(p) = p − 1 teilerfremden k; im Fall p = 11
ergeben sich so die ϕ(10) = 4 Primitivwurzeln
21 = 2, 23 ≡ 8, 27 ≡ 9, 29 ≡ 3 mod 11.
Für zusammengesetzte Moduln zeigte Gauß: (Z/mZ)∗ besitzt genau dann eine
Primitivwurzel, ist also genau dann zyklisch, wenn m = 1, 2, 4, pk oder 2pk mit
einer ungeraden Primzahl p und k ∈ N. Das diskrete Logarithmus-Problem
(in der primen Restklassengruppe) fragt bei gegebenen, zu einer Primzahl p teilerfremden g, h nach dem Exponenten e, so dass h ≡ ge mod p gilt. Die Unkenntnis
einer Lösung dieser Aufgabe ist Basis für kryptographische Verfahren wie etwa
der Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch.‡ Es ist also auch kein Algorithmus bekannt,
der effizient eine Primitivwurzel zu einem gegebenen Modul berechnet; die kleinste Primitvwurzel modulo 191 ist 19. Ungelöst ist auch Artins Vermutung,
dass jedes a > 1 Primitivwurzel für unendlich viele Primzahlen p ist.
Lineare Kongruenzen werden wie auch lineare diophantische Gleichungen mit
Hilfe des euklidischen Algorithmus gelöst. Im Folgenden untersuchen wir quadratische Kongruenzen auf deren Lösbarkeit. Diese Theorie der quadratischen Reste
basiert auf Vorarbeiten von Euler und Legendre sowie der systematischen Grundlegung durch Gauß und markiert den Beginn der modernen Zahlentheorie.
8. Quadratische Reste und Nichtreste
Die allgemeine quadratische Kongruenz aX 2 + bX + c ≡ 0 mod m mit zu m
teilerfremden a ist genau dann lösbar, wenn die Diskriminante 4a−bc ein Quadrat
modulo m ist. Der Fall m = 2 ist trivial; im Folgenden sei zunächst unser Modul
p > 2 prim. Eine prime Restklasse a mod p heißt quadratischer Rest modulo p,
wenn die Kongruenz X 2 ≡ a mod p lösbar ist; andernfalls heißt a quadratischer
Nichtrest. Es gibt p−1
2 quadratische Reste modulo p; diese ergeben sich als die
paarweise inkongruenten Restklassen x2 mod p für 1 ≤ x ≤ p−1
2 ; z.B.:
x
x2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 4 9 5 3 3 5 9 4 1 mod 11.
‡
Für alle ’rechnerischen’ Belange rund um Primzahlen und Kryptographie empfehlenswert
ist Prime Numbers von R.E. Crandall & C. Pomerance, Springer 2007.
10
EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
Die Symmetrie folgt aus (p − x)2 ≡ x2 mod p. Das Legendre-Symbol ist erklärt
durch

 +1
falls a quadr. Rest,
a
0
falls p | a,
=

p
−1
falls a quadr. Nichtrest;
dies definiert eine (offensichtlich) p-periodische arithmetische Funktion.
a b
Tatsächlich ist das Legendre-Symbol streng multiplikativ ( ab
p ) = ( p )( p ) (ist also
∗
ein Gruppenhomomorphismus (Z/pZ) → {±1}), wie aus dem Euler-Kriterium
p−1
folgt: ( ap ) ≡ a 2 mod p. Der Beweis desselben erfolgt mit Hilfe einer Primitivwurzel g; dabei zeigt sich, dass die quadratischen Reste alle von der Form g2k
sind und eine Untergruppe der primen Restklassengruppe modulo p bilden.
9. Einheitswurzeln und Gaußsche Summen
Die komplexen Wurzeln der Gleichung X n − 1 = 0 heißen n-te Einheitswurzeln
und sind gegeben durch
2πk
2πk
ζnk = exp( 2πik
n ) = cos n + i sin n
für 0 ≤ k < n.
Die Menge der n-ten Einheitswurzeln bildet eine zyklische Gruppe der Ordnung
n; jeder der ϕ(n) Erzeuger heißt primitive n-te Einheitswurzel, z.B. ζn1 = exp( 2πi
n )
(in Analogie zu Primitivwurzeln in der primen Restklassengruppe). Mit Hilfe der
geometrischen Reihe zeigt sich die Orthogonalitätsrelation:
X
n
falls a ≡ 0 mod n,
ak
ζn =
0
sonst.
0≤k<n
Insbesondere verschwindet also die Summe aller n-ten Einheitswurzeln.
Die ζnk für 0 ≤ k < n definieren als Eckpunkte ein regelmäßiges n-Eck (der komplexen Einheistkreislinie einbeschrieben).
Gauß zeigte (als Siebzehnjähriger!): Das
regelmäßige n-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn n das
Produkt einer Zweierpotenz und verschiek
dener Fermatscher Primzahlen fk := 22 +
1 ist; tatsächlich zeigte erst Wantzel die
Notwendigkeit der Bedingung. (Die einzigen bislang bekannten Fermatschen Primzahlen sind 3, 5, 17, 257 und 65 537, und
es wird vermutet, dass es keine weiteren
gibt.) Das reguläre Fünfeck (Pentagramm)
konstruiert sich leicht√vermöge cos 2π
5 =
Abbildung 4. Das
regelmäßige Fünfeck ist
konstruierbar.
= (2G)−1 mit
Re ζ5 = 12 (ζ5 + ζ54 ) = 5−1
4
(mal wieder) dem Goldenen Schnitt G gilt.
Gauß konstruierte das reguläre Siebzehneck und berechnete hierzu den algebraischen Wert
cos( 2π
)
17
=
1
16
−1 +
√
17 +
q
r
!
q
q
√
√
√
√
34 − 2 17 + 2 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 .
EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
11
Im Folgenden sei p eine ungerade Primzahl und ζ := ζp = exp( 2πi
p ). Die zum
Legendre-Symbol modulo p assoziierte Gaußsche Summe ist die gewichtete Summe
von Einheitswurzeln
X b
ζ ab
τa :=
p
b mod p
sowie τ := τ1 ; hierbei läuft die Summation über ein vollständiges (primes) Restsystem modulo p. Gauß fand die folgenden fundamentalen Beziehungen:
X
p−1
a
2
τa =
τ, τ =
ζ x , τ 2 = (−1) 2 p.
p
x mod p
Die Beweise basieren auf dem Restklassenkalkül und der√Orthogonalitätsrelation.§ Insbesondere ist jeder quadratische Zahlkörper Q( d) in einem Kreisteilungskörper enthalten; der Satz von Kronecker–Weber besagtm sogar: jede
endliche abelsche Körpererweiterung K von Q ist ein Teilkörper eines Kreisteilungskörpers Q(ζn ).¶
10. Das quadratische Reziprozitätsgesetz
Das quadratischen Reziprozitätsgesetz besagt: Für zwei verschiedene ungerade Primzahlen p und q gilt
p−1 q−1
q
p
= (−1) 2 2 .
q
p
Vermutet von Euler gab Gauß den ersten Beweis; sein sechster von insgesamt
acht Beweisen, die er hierfür fand, basiert auf Gaußschen Summen und Kongruenzrechnung modulo q Z[ζp ].k Das Reziprozitätsgesetz liefert also Information
über die Lösbarkeit von verschiedenen quadratischen Gleichungen in verschiedenen Restklassenkörpern! Das erste bzw. zweite Ergänzungsgesetz besagt:
p−1
−1
+1, falls p ≡ +1 mod 4,
= (−1) 2 =
−1, falls p ≡ −1 mod 4.
p
und
p2 −1
2
+1, falls p ≡ ±1 mod 8,
= (−1) 8 =
−1, falls p ≡ ±3 mod 8.
p
(diese ergeben sich aus dem Euler-Kriterium bzw. wiederum mittels Gaußscher
Summen). Damit lässt sich nun jedes Legendre-Symbol berechnen. Ein Beispiel:
2
73
−1
36
6
37
= +1.
=+
=
= +1
bzw. . . . =
=
73
37
37
37
37
Als Anwendung lassen sich nun die Primzahlen p charakterisieren, zu denen ein
vorgegebenes a ein quadratischer Rest mod p ist; beispielsweise zeigt sich so, dass
( 13
p ) = +1 genau für die Primzahlen p ≡ ±1, ±3, ±4 mod 13 gilt. Eine weitere
Konsequenz: Es existieren unendlich viele Primzahlen in der arithmetischen Progression 4Z + 1. Als Beweiseinstieg benutzt man hier die Existenz einer Lösung
√
Die genaue Bestimmung des komplexen Vorzeichens der Gauß-Summe τ , nämlich τ = p fr
√
p ≡ 1 bzw. = i p für p ≡ 3 (mod )p, soll Gauß sogar vier Jahre Forschung gekostet haben.
¶
Mehr hierzu und auch zur Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal in der empfehlenswerten
Einführung in die Zahlentheorie und Algebra von Jürgen Wolfart, Vieweg 1996.
k
Mittlerweile existieren mindestens 196 verschiedene Beweise!
§
12
EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
der quadratischen Kongruenz X 2 + 1 ≡ 0 mod p. Allgemeiner als das LegendreSymbol erklärt sich das Jacobi-Symbol durch
a Y a ν(m;p)
Y
=
für ungerade m =
pν(m;p) .
m
p
p|m
p|m
Mit diesem Kunstgriff erleichtert sich die Bestimmung vieler quadratischer Reste, es gelten nämlich die analogen Formeln zum Legendre-Symbol, jedoch ist
a
) = −1 zwar impliziert, dass X 2 ≡ a mod m unlösbar ist,
zu beachten, dass ( m
a
allerdings ( m ) = +1 nicht die Lösbarkeit. Z.B. ist 2 kein Rest mod 15.
Das so genannte Lokal-Global-Prinzip besagt, dass Information über den lokalen Körpern Information über dem globalen Körper liefern: Beispielsweise ist
eine rationale Zahl genau dann ein Quadrat (in Q), wenn sie ein Quadrat in allen lokalen Körpern Z/pZ mit Primzahlen p ist. Dieses Prinzip entspringt der
nicht-archimedischen Welt der p-adischen Zahlen und ist gültig für quadratische
Formen, versagt jedoch bei kubischen Formen.∗∗ Ein weiteres Beispiel: Die Kongruenz
(X 2 − 13)(X 2 − 17)(X 2 − 221) ≡ 0 mod p
ist für jede Primzahl p lösbar, während die Gleichung (X 2 − 13)(X 2 − 17)(X 2 −
221) = 0 keine Lösung in Z besitzt.
11. Summen von Quadraten
Für k ∈ N bezeichne k die Menge all der natürlichen Zahlen n, welche sich als
Summe von k Quadraten ganzer Zahlen darstellen lassen. Der Zweiquadratesatz von Fermat besagt: Jede Primzahl p ≡ 1 mod 4 besitzt eine Darstellung als
Summe von zwei Quadraten ganzer Zahlen. Der Beweis basiert auf der Existenz
einer Lösung der Kongruenz z 2 + 1 ≡ 0 mod p (mit Hilfe des ersten Ergänzungsgesetzes) und der Methode des Fermatschen Abstiegs (frz.: ’descente infinie’) angewandt auf die Menge M aller natürlichen Zahlen m < p, so dass mp ∈ 2 :
Die Aussage folgt durch den Nachweis, dass zu beliebigem 1 < g ∈ M =
6 ∅ ein
h ∈ M mit h < g gefunden werden kann (vermöge der Wohlordnung). Der Beweis ist (bis auf den Einstieg) konstruktiv; z.B.: 30 449 = 1002 +1432 . Primzahlen
p ≡ 3 mod 4 hingegen benötigen stets mindestens drei Quadrate. Gauß zeigte,
dass genau dann n ∈ 3 , wenn n 6= 4k (8m + 7) für k, m ∈ N0 . Darüberhinaus
besagt der Vierquadratesatz von Lagrange: Jede natürliche Zahl lässt sich
als Summe von vier Quadraten schreiben. Der Beweis basiert wiederum auf dem
Fermatschen Abstieg und der Normabbildung der Hamiltonschen Quaternionen
a + ib + jc + kd (mit i2 = j 2 = k2 = 1 und ijk = 1). Zumal die Menge 1 der
Quadrate eine sehr dünne Teilmenge der natürlichen Zahlen bilden, ist N = 4
eine sehr erstaunliche Aussage. Das Waringsche Problem fragt nach der minimalen
Anzahl g = g(k), so dass jede natürliche Zahl als Summe von höchstens g vielen
k-ten Potenzen dargestellt werden kann. Hilbert zeigte, dass g(k) < ∞ für alle
k ≥ 2 gilt. Eine andere, leichtere Frage: Welche Zahlen lassen sich als Differenz
von Quadraten schreiben?
•
• △
△ △
• △ ⋆
△ △ ⋆
⋆ ⋆ ⋆
...
∗∗
hierzu konsultiere man etwa die Zahlentheorie von S.I. Borewicz & I.R. Šafarevič,
Birkhäuser 1966
EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
13
Die Menge Z[i] der√ganzen Gaußschen Zahlen a + ib (mit i = −1) bildet einen euklidisch und insbesondere faktoriellen Ring.
Mit Hilfe der Normabbildung a + ib 7→
a2 + b2 folgt die Identität
(a2 + b2 )·(c2 + d2 ) = (ac− bd)2 + (ad+ bc)2 ,
und die Menge 2 aller n ∈ N, welche sich
als Summe von zwei Quadraten darstellen
lassen, multiplikativ abgeschlossen. Damit
folgt: Es gilt genau dann n ∈ 2 , wenn die
Exponenten der Primfaktoren p ≡ 3 mod 4
in der Primfaktorzerlegung von n alle gerade sind. Ferner sind genau die Primzahlen
p ≡ 1 mod 4 reduzibel und die Primzahlen
p ≡ 3 mod 4 irreduzibel in Z[i].
Abbildung 5. Eine
Darstellung von 41 als
Summe von zwei Quadraten auf einer Fliese
am Bahnhof in Tottori
(Japan).
Nun untersuchen wir diophantische Gleichungen. Das zehnte Hilbertsche Problem fragt nach einem Algorithmus, der entscheidet, ob eine gegebene diophantische Gleichung (über Z) lösbar ist; Matjasevich gab 1970 hierzu eine negative
Antwort!†† (Für den Körper Q ist die entsprechende Fragestellung noch ungelöst.)
Spezielle über Z (oder Q) definierte Gleichungen lassen sich manchmal mittels
einer geeigneten Faktorisierung hinsichtlich ganzzahliger (oder rationaler) Lösbarkeit untersuchen.
12. Pythagoräische Tripel und die Fermat-Gleichung
Natürliche Zahlen x, y, z mit x2 + y 2 = z 2 bilden ein pythagoräisches Tripel
(mit Blick auf die Geometrie rechtwinkliger Dreiecke), z.B.: 3–4–5 und 5–12–
13. Pythagoräische Tripel erleichtern die Konstruktion rechtwinklieger Dreiecke;
neben diesem praktischen Nutzen liefern sie auch ein Beispiel einer diophantischen
Gleichung mit unendlich vielen Lösungen: Euklids Parametrisierung besagt
nämlich: Jedes pythagoräische Tripel ist von der Gestalt
x = a2 − b2 ,
y = 2ab,
z = a2 + b2
für
a > b;
wenn hierbei a und b unterschiedlicher Parität sind, ist das Tripel x–y–z primitiv,
d.h. x, y, z sind paarweise teilerfremd. Pythagoräische Tripel liefern in eineindeutiger Weise die rationalen Punkte auf dem Einheitskreis: u2 + v 2 = 1 mit
u = xz , v = yz , welche sich durch den Schnitt mit Geraden rationaler Steigung
durch (−1, 0) ergeben (bekannt als Bachets Sekanten-Tangenten-Methode, welche auch Struktur bei elliptischen Kurven liefert). Hingegen besagt Fermats
letzter Satz, dass die Gleichung
Xn + Y n = Zn
für
n≥3
nur triviale Lösungen in ganzen Zahlen besitzt (also solche, die sofort ersichtlich
sind); der biquadratische Spezialfall (also n = 4) folgt mit Hilfe von Euklids Parametrisierung der pythagoräischen Tripel und der Fermatschen Abstiegsmethode.
Tatsächlich gilt sogar: X 4 +Y 4 = Z 2 besitzt keine Lösungen in N. Die Fermatsche
††
was Henri Darmon folgendermaßen quotierte: “In other words: a number theorist cannot be
replaced by a computer!
14
EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
Abbildung 6. Im Bild die Gerade durch die Punkte (−1, 0) und
( 53 , − 45 ); dieser Schnitt mit dem Einheitskreis liefert das pythagoräische Tripel 3–4–5.
Vermutung (im angelsächsischen Sprachraum auch als ’Fermat’s last theorem’ bekannt) aus dem 17. Jahrhundert für den allgemeinen Exponenten wurde erst 1995
von Anrew Wiles gelöst (womit obiger Name letztlich gerechtfertigt ist).∗ Sowohl
bei Euklids Charakterisierung der pythagoräischen Tripel als auch im Beweis des
Fermatschen Satzes für den Exponenten n = 4 ist ausschlaggebend, dass aufgrund
der eindeutigen Primfaktorzerlegung die teilerfremden Faktoren eines Quadrates
selbst wieder Quadrate sein müssen. Eine Vielzahl von diophantischen Problemen
(wie auch das Fermatsche für hinreichend große Exponenten) folgte aus der ungelösten die abc-Vermutung die besagt, dass eine Gleichung der Form a + b = c
in ganzen teilerfremden Zahlen a, b, c die Abschätzung
1+ǫ

Y
max{|a|, |b|, |c|} ≤ Cǫ 
p
p|abc
für ein beliebiges ǫ nachsichzieht, wobei Cǫ eine von ǫ abhängige Konstante ist.
Das Analogon für Polynome ist ein Satz von Stothers & Mason (unabhg.).†
13. Kongruenzzahlen und elliptische Kurven
Eine natürliche Zahl n heißt Kongruenzzahl, wenn es ein rechtwinkliges Dreieck
mit rationalen Seitenlängen und Fläche n gibt; dies lässt sich auch als folgendes
diophantisches Problem formulieren:
a2 + b2 = c2
∗
und
n = 21 ab,
wenngleich auch Homer Simpson folgende Gegenbeispiele entdeckte und öffentlich bekannt
machte: 178212 + 184112 = 192212 sowie 398712 + 436512 = 447212
†
siehe etwa Diophantine Analysis von Jörn Steuding, Chapman Hall 2004
EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
15
224403517704336969924557513090674863160948472041
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€
8912332268928859588025535178967163570016480830
411340519227716149383203
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
21666555693714761309610
157
6803298487826435051217540
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€
411340519227716149383203
Abbildung 7. 157 ist eine Kongruenzzahl; der Beweis ist mühsame Rechnerei. Aber wie gelangt man zu einem solchen expliziten Dreieck? Und
tatsächlich ist dies das einfachste von unendlich vielen ...
wobei a, b, c ∈ Q gesucht sind. Mit dem pythagoräischen Tripel 3–4–5 offenbart sich n = 6 als eine Kongruenzzahl; ferner ist n = 5 eine Kon41
gruenzzahl, denn 23 – 20
3 – 6 bildet ein rechtwinkliges Dreieck mit Flächeninhalt 5 (wie zuerst Fibonacci beobachtete). Die ersten Kongruenzzahlen sind
5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, . . . , 96, 101, . . . , 2012, . . .. Die Existenz dreier Quadrate rationaler Zahlen in arithmetischer Progression, also
x2 = y 2 − n
und
z2 = y2 + n
ist äquivalent dazu, dass n eine Kongruenzzahl ist. Gesucht sind also rationale
Punkte auf zwei speziellen Quadriken; Mulitplikation derselben liefert eine kubische Kurve und (vermöge X = y 2 ) ist n genau dann eine Kongruenzzahl, wenn
die Kurve
En :
Y 2 = (X − n)X(X + n)
einen rationalen Punkt (x, y) mit y 6= 0 enthält. Sei nun K ein Körper einer
Charakteristik 6= 2, 3. Dann definiert die Menge aller Punkte (x, y) ∈ K2 , welche
der kubischen Gleichung
Y 2 = X 3 + aX + b
mit 4a3 + 27b2 6= 0
genügen, plus ein unendlich ferner Punkt ∞ eine elliptische Kurve E(K). Legt man
eine Sekante durch zwei K-rationale Punkte P, Q ∈ E(K), so existiert ein dritter
Schnittpunkt P ∗ Q = (x, y) auf E(K) mit Koordinaten in K; dessen Spiegelbild
wird als die Summe der beiden Punkten definiert: (x, −y) =: P + Q. Mit dieser
Addition + von Punkten ist die elliptische Kurve E(K) eine abelsche Gruppe wie
Poincaré zeigte; Mordell bewies überdies, dass diese sogar endlich erzeugt ist. Mit
Hilfe der Fermatschen Abstiegsmethode zeigt sich: Die Gleichung Y 2 = X 3 − X
besitzt nur die trivialen Lösungen (x, y) = (0, 0) und (±1, 0) in Q2 ; diese Punkte
sowie ∞ bilden die elliptische Kurve E1 (Q); insbesondere ist weder n = 1 noch
irgend ein Quadrat eine Kongruenzzahl wie zuerst Fermat bewies. Andererseits ist
E6 (Q) unendlich. Für einen endlichen Körper Z/pZ bewies Hasse die Ungleichung
√
|p + 1 − ♯E(Z/pZ)| < 2 p. Die Existenz vieler Punkte auf ’vielen’ lokalen Kurven
E(Z/pZ) sollte mit ’vielen’ rationalen Punkten auf der globalen Kurve E(Q)
korrespondieren; solch ein Lokal-Global-Prinzip ist für allgemeine Kegelschnitte
bekannt (vgl. §10), nicht aber für kubische Kurven. Die ungelöste Vermutung
16
EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
Y2 =X3 -62 X
20
P=H-3,9L
9360006 15120493920
P+Q=H €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ , €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ L
1324801 1524845951
10
1074902978 394955797978664
Q=H- €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ , €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€ L
2015740609 90500706122273
-5
5
10
15
-10
-20
Abbildung 8. Addition von Punkten auf der elliptischen Kurve Y 2 =
X 3 − 62 X. Die Kurve E6 enthält unendlich viele rationale Punkte.
von Birch & Swinnerton–Dyer gibt ein solches Kriterium für unendliche
E(Q) in Abhängigkeit von den lokalen Gruppenordnungen ♯E(Z/pZ).‡
Im
Wechselspiel
mit
diophantischen
Gleichungen
steht
die
diophantische Approximation. Manchmal existiert ein enger Zusammenhang
zwischen ganzzahligen (rationalen) Lösungen algebraischer Gleichungen mit den
rationalen Näherungen gewisser zugeordneter Irrationalzahlen. Insbesondere
bei der Frage nach ganzzahligen (oder rationalen) Punkten auf Kegelschnitten
sind solche Wechselbeziehungen zu beobachten: So fragte Archimedes seinerzeit
Eratosthenes (in einer Textaufgabe zur Anzahl der Rinder des Sonnengottes)
nach einer Lösung der Gleichung X 2 − 4 729 494Y 2 = 1 in natürlichen Zahlen.
Bereits die Lösbarkeit des Problems ist keineswegs trivial und die kleinste Lösung
x besitzt 45 Dezimalstellen! tatsächlich sind hierfür rationale Näherungen an
√
4 729 494 verantwortlich...
‡
Zum Kongruenzzahlproblem und elliptischen Kurven mehr im Buch Introduction to Elliptic
Curves and Modular Forms von Neil Koblitz, Springer 1993.
EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
17
14. Kettenbrüche
sind Ausdrücke der Gestalt
1
[a0 , a1 , a2 , . . . , an , αn+1 ] := a0 +
a1 +
,
1
a2 +
...
1
+
1
am−1 +
an +
1
αn+1
wobei a0 ∈ Z und die Teilnenner an ∈ N für n ∈ N sowie αn+1 > 1 sind. Die
abgeschnittenen Näherungsbrüche pqnn = [a0 , a1 , . . . , an ] lassen sich rekursiv durch

pn = an pn−1 + pn−2 ,
 p−1 = 1, p0 = a0 , und

q−1 = 0, q0 = 1,
und
qn = an qn−1 + qn−2
berechnen. Jede reelle Zahl lässt sich vermöge des Kettenbruchalgorithmus
1
sowie an := ⌊αn ⌋ für n = 0, 1, . . . in einen
α0 := α und αn = ⌊αn ⌋ + αn+1
solchen Kettenbruch entwickeln. Für rationale α bricht diese Iteration ab und es
entsteht ein endlicher Kettenbruch, der sich im Wesentlichen aus dem euklidischen
Algorithmus ergibt. Der Calkin-Wilf-Baum wird gebildet vermöge der Iteration
a
a
a+b
(1)
7→
,
b
a+b
b
1
aus der Wurzel 1 . In diesem binären Baum tritt jede positive rationale Zahl genau
einmal auf, und zwar als gekürzter Bruch. Außerdem stehen in der n-ten Generation genau die positiven rationalen Zahlen mit Teilnennersumme gleich n; hier
die ersten vier Generationen:
1
4
1
3
u
uuu
uuu
1
2
jj
jjjj
j
j
j
j
jjjj
JJJ
JJJ
J
777
4
3
3
5
3
2
1
1
TTTT
TTTT
TTTT
TT
u
uuu
uuu
777
5
2
2
5
2
3
2
1
JJJ
JJJ
J
777
5
3
3
4
3
1
777
4
1
Für Irrationalzahlen α bricht der Kettenbruchalgorithmus nicht ab, und es entsteht ein konvergenter unendlicher Kettenbruch: Sei α = [a0 , a1 , . . . , an , αn+1 ]
irrational mit Näherungsbrüchen pqnn , dann gilt
α−
pn
(−1)n
=
qn
qn (αn+1 qn + qn−1 )
(was den Dirichletschen Approximationssatz noch verschärft) und insbesondere α = limn→∞ pqnn = [a0 , a1 , a2 , . . .]. Wir nennen pq eine beste rationale Approximation an ein α ∈ R, wenn |qα − p| < |nα − m| für alle m
n mit n ≤
q gilt, wenn also insbesondere keine bessere rationale Näherung mit kleinerem oder gleich großen Nenner existiert. Das Gesetz der besten Näherungen besagt: Die besten rationalen Approximationen an eine reelle Irrationalzahl sind die Näherungsbrüche der Kettenbruchentwicklung. Dem Kettenbruch
π = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 21, 31, 14, 2, 1, 2, 2, 2, . . .] liest man die sukzessive be333 355
sten rationalen Näherungen 3, 22
7 , 106 , 113 , . . . ab; die letzte war bereits Sun Tsu
18
EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
im fünften Jahrhundert bekannt, eine systematische Theorie der Kettenbrüche
entstand aber erst seit Huygens im 17. Jahrhundert.
Die metrische Kettenbruchtheorie behandelt mit ergodentheoretischen und
probabilistischen Methoden die Statistik von Teilnennern sowie das fast sichere Verhalten der Folge der Näherungsbrüche. Beispielsweise besagt ein Satz von
Khintchine, dass fast alle reellen Zahlen x ∈ (0, 1) die relative Häufigkeit eines
1
)/ log 2 zu vorgegebenem k ∈ N ist.
Teilnenners an (x) = k gleich log(1 + k(k+2)
15. Quadratische Irrationalzahlen
sind algebraische
Zahlen vom Grad zwei und lassen sich stets in der Form
√
d ∈ Z und a, b ∈ Q darstellen; die zugehöriα = a + b d mit quadratfreiem
√
ge Körpererweiterung Q( d) heißt quadratischer Zahlkörper
und ist ein zweidi√
mensionaler Q-Vektorraum; einen Unterring bildet Z[ d]. Mit Hilfe der rekursiv
durch F0 = √
0, F1 = 1 und Fn+1 = Fn + Fn−1 definerten Fibonacci-Zahlen ergibt sich so 5+1
= [1, 1, 1, . . .] = [1] mit allen Teilnennern gleich eins; weitere
2
Beispiele quadratischer Irrationalzahlen sind etwa
p
p
n2 + 1 = [n, 2n]
und
n2 + 2 = [n, n, 2n]
für beliebiges n ∈ N, wobei aj , . . . , aj+N eine Periode andeutet. Tatsächlich gilt
(in Analogie zur Charakterisierung der rationalen Zahlen als diejenigen mit periodischer oder abbrechender Dezimalbruchentwicklung) der Satz von LagrangeEuler: Eine Irrationalzahl besitzt genau dann eine periodische Kettenbruchentwicklung, wenn sie quadratisch irrational ist. Der Satz von Galois beschreibt
diese für Wurzeln natürlicher Zahlen noch genauer: Für quadratfreies d ∈ N gilt
√
√
√
d = [⌊ d⌋, a1 , a2 , . . . , a2 , a1 , 2⌊ d⌋].
Insbesondere sind die Teilnenner der Kettenbrüche quadratischer Irrationalzahlen beschränkt; es ist eine offene Frage,
√ ob die Teilnenner algebraischer Irrationalitäten höheren Grades wie etwa 3 2 unbeschränkt sind?
16. Die Pellsche Gleichung
Existieren ganzzahlige Punkte auf einer Hyperbel? Oder äquivalent: Besitzt
die Pellsche Gleichung
X 2 − dY 2 = 1
mit
d∈N
Lösungen in Z? Stets ist x = ±1, y = 0 eine solche Lösung, aber existieren auch
weitere, wobei wir wegen der Symmetrien nur noch nach Lösungen (x, y) ∈ N2
fragen. Ist d ein Quadrat, existieren neben der trivialen Lösung keine weiteren
(wie Faktorisieren zeigt).√Andernfalls sind Lösungen (x, y) unter√sehr guten rationalen Näherungen an d zu suchen: Faktorisieren im Ring Z[ d] liefert
√
√
√
1
x
2
2
d− =
√
bzw.
.
1 = x − dy = (x − y d)(x + y d)
y
y2( d + x )
√
y
Mit dieser Idee von Euler gelingt:
Wenn d 6∈ Q und bezeichnet pn /qn die Fol√
ge der Näherungsbrüche an d, so liefert x = pm , y = qm für m = δkN − 1
mit beliebigem k ∈ N sämtliche Lösungen der Pellschen
√ Gleichung, wobei N die
Länge der minimalen Periode des Kettenbruches von d ist und δ = 1 oder 2 ist,
je nachdem ob N gerade oder ungerade ist. Insbesondere liegen also unendlich
EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
19
viele ganzzahlige Punkte auf der durch die Pellsche Gleichung definierten Hyperbel. Diese bilden eine zyklische Gruppe, wobei Potenzen der Fundamentallösung
15
10
5
-5
5
10
15
20
-5
-10
-15
Abbildung 9. Ganzzahlige Gitterpunkte auf der Hyperbel X 2 −
2Y 2 = 1. Die trivialen Punkte (±1, 0) sowie die nicht-trivialen
Punkte (±3, ±2) bzw. ihre ’Quadrate’ (17, ±12). Dem Gitterpunkt
(99, 70) liegt das Din A-Format zugrunde.
(x0 , y0 ) mit minimalem x0 ∈ N alle Lösungen liefern vermöge
√
√
(x0 + y0 d)k = xk + yk d
für k ∈ Z.
√
Tatsächlich bilden die Elemente
x + y d mit Norm x2 − dy 2 gleich eins die
√
Einheitengruppe im Ring Z[ d].
√
[1, 2]
(3, 2)
√2 =
[1, 1, 2]
(2, 1)
√3 =
5
=
[2,
4]
(9, 4)
√
[4, 2, 1, 3, 1, 2, 8]
(170, 39)
√19 =
61
=
[7,
1,
4,
3,
1,
2,
2,
1,
3,
4,
1,
14]
(1
766 319 049, 226 153 980)
√
[9, 1, 18]
(10, 1)
√ 99 =
2002 = [44, 1, 2, 1, 9, 5, 6, 9, 1, 2, 1, 88] (11 325 887, 253 128)
Die Pellsche Minus-Gleichung X 2 − dY 2 = −1 hingegen ist schwieriger zu behandeln; sie ist offensichtlich unlösbar im Falle d ≡ 3 mod 4.
20
EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
Nun behandlen wir mit Primzahlverteilung ein zentrales Thema der Zahlentheorie. Aufhänger: Wie sind die (unendlich vielen) Primzahlen verteilt? Werden gewisse Restklassen bevorzugt? Ram Murty zeigte, dass ein euklidischer Beweis für den Nachweis unendlich vieler Primzahlen in einer primen Restklasse
a mod q genau dann existiert, wenn a2 ≡ 1 mod q gilt (vgl. unsere Ergebnisse für ±1 mod 4). Zur Beantwortung der Verteilungsfrage bei beliebigen primen
Restklassen führte Dirichlet 1837 zwei wichtige Hilfsmittel (analytischer und algebraischer) Natur ein.
17. Charaktere
Es sei G eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung ♯G. Ein nicht-trivialer
multiplikativer Gruppenhomomorphismen χ G :→ C∗ heißt Charakter; es gilt also
χ(gh) = χ(g)χ(h) für alle g, h ∈ G, und die Wertemenge von χ ist die Gruppe
der ♯G-ten Einheitswurzeln. Es gibt genau ♯G verschiedene Charaktere und die
Menge dieser Charaktere bildet die zu G isomorphe Charaktergruppe Ĝ mit dem
Hauptcharakter χ0 ≡ 1 als neutralem Element und der durch (χ1 · χ2 )(g) :=
χ1 (g)χ2 (g) für g ∈ G erklärten Multiplikation; das Inverse von χ ist der komplex
konjugierte Charakter χ−1 = χ. Für die primen Restklassengruppen G = Z/q Z
entstehen so genannte Restklassencharaktere bzw. Dirichlet-Charaktere χ mod q
(wie etwa das Legendre-Symbol im Falle einer Primzahl q = p); beispielsweise
existieren so vier Charaktere modulo 5:
1 ≡ 20
2 ≡ 21
4 ≡ 22
3 ≡ 23
χ0 χ1 χ2 χ3
+1 +1 +1 +1
+1 -1 +i
-i
+1 +1 -1 -1
+1 -1
-i +i
χ1 ist hier das Legendre-Symbol. Man beachte, dass Charaktere modulo Primzahlen bereits durch den Wert auf einer Primitivwurzel eindeutig bestimmt sind.
Entsprechend ist auch die Charaktergruppe modulo Primzahlen zyklisch (im obigen Beispiel etwa erzeugt von χ2 ). Allgemein besteht die Orthogonalitätsrelation
X
1
1
falls n ≡ a mod q,
χ(a)χ(n) =
0
sonst;
ϕ(q)
χ mod q
eine alternative Formel gilt bei festem Charakter und Summation über die Restklassen. Beispiele additiver Charaktere sind durch die Exponentialfunktion gegeben (siehe §8).
18. Dirichlet-Reihen und Euler-Produkte
Gegeben
P eine arithmetische Funktion n 7→ f (n) heißt die erzeugende Funktion
F (s) := n≥1 f (n)n−s die assoziierte Dirichlet-Reihe. Gilt f (mn) = f (m)f (n)
für teilerfremde m, n, so heißt f multiplikativ, bzw. streng multiplikativ, falls die
Teilerfremdheitsbedingungen weggelassen werden kann. In diesen Fällen kann die
erzeugende Funktion auch als Euler-Produkt über Primzahlen p dargestellt werden:


X
Y
X
Y
1 +
f (n)n−s =
f (pk )p−ks  =
(1 − f (p)p−s )−1 ;
n≥1
p
k≥1
p
EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
21
hierbei gilt die letzte Identität nur für streng multiplikative f . Prototyp ist die
Riemannsche Zetafunktion
X
Y
ζ(s) :=
n−s =
(1 − p−s )−1
n≥1
p
sowie Dirichletsche L-Funktionen zu Restklassencharakteren
X
Y
L(s, χ) :=
χ(n)n−s =
(1 − χ(p)p−s )−1 ;
n≥1
p
diese Reihen bzw. Produkte konvergieren für s > 1 (bzw. Re s > 1 in der komplexen Ebene). Die Identitäten zwischen Dirichlet-Reihe und Euler-Produkt sind
gewissermaßen jeweils analytische Versionen der eindeutigen Primfaktorzerlegung
der ganzen Zahlen; der Konvergenznachweis der Darstellungen legt ferner die
Abschätzungen
X1
Y
1
1
und
≥ log log x + O(1)
≪
1−
p
log x
p
p≤x
p≤x
nahe, wobei O(1) für einen beschränkten Fehlerterm steht. Hinsichtlich der letzten
Abschätzung findet sich bereits bei Euler die Formel 12 + 13 + 51 + . . . = log log ∞.
Der Primzahlsatz liefert für die Anzahl π(x) der Primzahlen p ≤ x die Asymptotik π(x) ∼ logx x bei x → ∞; der Beweis§ basiert auf einer Analyse von ζ(s)
als Funktion einer komplexen Veränderlichen. (Analoge quantitative Ergebnisse
gelten für das Auftreten von Primzahlen in arithmetischen Progressionen.) Die
ungelöste Riemannsche Vermutung über das Nichtverschwinden ζ(s) 6= 0 in
1
der Halbebene Re s > 12 impliziert einen Fehlerterm der Größenordnung x 2 +ǫ im
Primzahlsatz.
19. Der Dirichletsche Primzahlsatz
Mit Hilfe der Orthogonalitätsrelation gilt für teilerfremde a und q bei s > 1
X
X
X
1
χ(a)
χ(p)p−s
p−s =
ϕ(q)
p
χ mod q
p≡a mod q
P
−s bis auf einen
wobei über Primzahlen p summiert wird. Nun ist
p χ(p)p
beschränkten Fehlerterm gleich − log L(s, χ) (wie Logarithmieren des EulerProduktes von L(s, χ) zeigt). Nun ist L(s, χ) für χ verschieden vom Hauptcharakter analytisch in s = 1 und es gilt darüberhinaus: L(1, χ) 6= 0; dies ist für
nicht-reelle Charaktere leicht nachzuweisen, während für reelle χ die Asymptotik
X
X f (n)
√ = 2N L(1, χ) + O(1)
für f (n) =
χ(d)
n
2
d|n
n≤N
mit Hilfe Abelscher Teilsummation herzuleiten ist. Aus der Divergenz bei N → ∞
folgt das Nichtverschwinden der Dirichletschen L-Reihen in s = 1 und insbesondere die Unbeschränktheit der Reihe über die Reziproken der Primzahlen
p ≡ a mod q, also der Dirichletsche Primzahlsatz: In jeder arithmetischen
Progression existieren unendlich viele Primzahlen sofern a und q teilerfremd sind;
ferner gilt für die Anzahl π(x; a mod q) der Primzahlen p ≡ a mod q mit p ≤ x
1
π(x; a mod q)
=
.
x→∞
π(x)
ϕ(q)
lim
§
in einer weiterführenden Veranstaltung im Master
22
EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
Abbildung 10. Die Riemannsche Zetafunktion (ein Bild bereitgestellt von Elias Wegert): Die komplexen Funktionswerte in
der komplexen Ebene werden ihrem Argument entsprechend eingefärbt; interessant ist die Zetafunktion insbesondere dort, wo sie
nicht durch ihre Dirichlet-Reihe definiert ist.
Damit sind die Primzahlen in den primen Restklassen sogar gleichverteilt.¶ Rubinstein & Sarnak (1994) bestätigten hingegen eine Vermutung von Tschebyscheff, dass Primzahlen in primen Restklassen zu Nichtresten früher auftreten als
deren Pendants in zu quadratischen Resten assoziierten primen Restklassen.
Im Sommersemester 2013 wird eine vierstündige Vorlesung Zahlentheorie (im
Master) angeboten werden, welche insbesondere die letzten Themen dieser Vorlesung als Schwerpunkte weiterführen wird:
• Mittelwerte arithmetischer Funktionen: Eine typiche Frage: Wie
viele ganzzahlige Gitterpunkte liegen in einem Kreis? Hierzu gehört die
Leibnizsche Formel L(1, χ) = π4 für den Nicht-Charakter χ mod 4. Auch
behandelt werden: Das Dirichletsche Teilerproblem
zum Mittelwert der
P
stark oszillierenden Teilerfunktion n 7→ d|n 1 bzw. die Ergebnisse von
Hardy & Ramanujan zur durchschnittlichen Anzahl ω(n) der Primfaktoren von n.
¶
Das Buch Einführung in die analytische Zahlentheorie von Jörg Brüdern, Springer 1996,
stellt weitaus tiefere Ergebnisse dieser Art bereit.
EINFÜHRUNG ZAHLENTHEORIE
23
• Primzahlverteilung mit dem anaytischen Beweis des Primzahlsatzes.
Ferner die Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion, sowie der
Zusammenhang zwischen der Riemannschen Vermutung und dem Fehlerterm im Primzahlsatz (vermöge der expliziten Formel). Auch soll ein Ausblick auf die Verteilung der Primzahlen in arithmetischen Progressionen
und eine tiefere Analyse Dirichletscher L-Funktionen gegeben werden.
• Quadratische Formen und Arithmetik in Ganzheitsringen: Hier
behandeln wir Quadratische Formen (x, y) 7→ ax2 + bxy + cy 2 und ihre
Reduktionstheorie. Wir untersuchen den Zusammenhang mit der Arithmetik in quadratischen Zahlkörpern, insbesondere führen wir den Nachweis der Endlichkeit der Klassenzahl (als Maß für die Zerlegbarkeit in
Primelemente) und deren Berechnung mittels der analytischen Klassenzahlformel von Dirichlet – ein weiterer Zusammenhang zu Werten L(1, χ)
gewisser Dirichletscher L-Funktionen.
• Diophantische Aspekte: Fragen zur Gleichverteilung wie etwa: Wie ist
die Folge der gebrochenen Anteile von nα bei gegebenem α (rational oder
irrational) und n ∈ N verteilt? Was weiß man wenn n hier nur die Primzahlen durchläuft? Entsprechend stellt sich auch die Frage: Nimmt die
Folge der Ganzteile der Folge nα auch Primzahlen als Werte an? Welche
Zahlen stellen quadratische Formen dar? Diese Fragen knüpfen an den Dirichletschen Primzahlsatz bzw. den Satz von Lagrange an. Angesprochen
werden soll aber auch Billard im Kreis und im Quadrat...