Aufgaben und Lösungen

Elektromagnetische Felder und Wellen: Lösung der Aufgabe 4.2.6
1
Lösung der Aufgabe 4.2.6
Vorläufige Version, noch nicht korrigiert!
Aufgabe
In der y − z− Ebene befindet sich eine Leiterschleife mit dem Radius r und Widerstand
R. Ihr Mittelpunkt liegt im Ursprung des Koordinatensystems. Im Punkt (d, 0, 0)T ist ein
magnetischer Punktdipol mit konstantem Dipolmoment m
~ = (m, 0, 0)T . Gesucht ist der
Strom im Kreisring, wenn der Dipol mit konstanter Geschwindigkeit v auf der x− Achse
in Richtung der Leiterschleife bewegt wird.
Nehmen Sie zur Lösung dieser Aufgabe an, dass die Bewegung so langsam verläuft, dass
das Magnetfeld durch das Feld eines statischen Dipols angenähert werden kann. Die Bewegung beginnt zum Zeitpunkt t = 0.
Zur Berechnung des Stroms wird die induzierte Spannung im Ring benötigt. Diese folgt aus
dem elektrischen Feld im Ring, welches aus dem magnetischen Vektorpotenzial resultiert.
a) Skizzieren Sie die Anordnung. Der Ursprung des Koordinatensystems liege im Mittelpunkt des Ringes.
~ und A?
~ Statische elektrische Potentiale
b) Wie lautet der Zusammenhang zwischen E
werden nicht berücksichtigt.
c) Wie lautet das magnetische Vektorpotenzial des Dipols am Ort der Leiterschleife?
d) Wie lautet die Zeitabhängigkeit des Vektors ~r′ zum Dipol?
e) Berechnen Sie die induzierte Spannung U und den daraus im Ring fließenden Strom
I.
Wird der Ring auf den ruhenden Dipol zu bewegt, fließt der gleiche Strom wie vorher.
Zur Berechnung eignet sich hier die Lorentzkraft.
f) Wie lautet die Lorentzkraft auf einen Ladungsträger im Draht? Beachten Sie, dass
kein äußeres elektrisches Feld herrschen soll.
g) Die auf die Ladungsträger wirkende Kraft treibt den Strom durch den Ring. Welche
~ L?
Größe hat die dazu gehörende äquivalente elektrische Feldstärke E
~ die die Lorentzkraft im Ring hervorh) Welche Größe hat die magnetische Induktion B,
~ L?
ruft? Was resultierte daraus für E
i) Berechnen Sie die induzierte Spannung im Ring und den daraus resultierenden Strom.
2
Elektromagnetische Felder und Wellen: Lösung der Aufgabe 4.2.6
Lösung
Zur Berechnung des Stroms wird die induzierte Spannung im Ring benötigt. Diese folgt aus
dem elektrischen Feld im Ring, welches aus dem magnetischen Vektorpotential resultiert.
a) Zeichnung
b)
I =
U
RI
U = −
~ ~l
Ed
~ ×E
~ = −dB
~ = − d (∇
~ × A)
~
~ =−∂A
~ − ∇?????
~
∇
⇒E
| {z }
dt
dt
∂t
hier=0
I
∂
~ ~l
U =
· Ad
∂t
~ × (~r − ~r′ )
~ = µ0 · m
A
(Näherung laut Aufgabe!)
4π
|~r − ~r′ |3
da statische Lösung benutzen
c) Zylinderkoordinaten zur Berechnung von U:
e~x = e~ξ
e~y = cos {ϕ} · e~r − sin {ϕ} · e~ϕ
e~z = sin {ϕ} · e~r + cos {ϕ} · e~ϕ
m
~ = m · e~ξ ,
~r = r · e~r ,
~r′ = r ′ · e~ξ = (d − vt) · e~ξ
⇒m
~ × (~r − ~r′ ) = m · e~ξ × (r · e~r − r ′ · e~ξ ) = mr · e~ϕ
d)
|~r − ~r′ |3 = (r 2 + r ′2 )3/2
d~l = r · dϕ · e~ϕ
3
Elektromagnetische Felder und Wellen: Lösung der Aufgabe 4.2.6
e)
Z2π
µ0
mr · e~ϕ
∂ µ0 mr 2 2
·
· rdϕe~ϕ =
·
(r + r ′2 )−3/2 ·
dϕ
4π (r 2 + r ′2 )3/2
∂t
4π
0
0
2
2
− 5
µ0 mr
3
µ0 mr ∂ 2
∂
=
(r + r ′2 )−3/2 =
· −
· r 2 + r ′2 2 · 2r ′ · r ′
2 ∂t
2
2
∂t
|{z}
∂
U =
·
∂t
Z2π
=−v
3
d − vt
=
· µ0 mr 2 v
2
2
5/2
(r + (d − vt) ) 2
I=
3µ0 mr 2 v
d − vt
2R [r 2 + (d − vt)2 ] 25
Wird der Ring auf den ruhenden Dipol zu bewegt, fließt der gleiche Strom wie vorher.
Zur Berechnung eignet sich hier die Lorentzkraft.
f)
~ + ~v × B)
~ = q · E~L
F~ = q(E
treibt die Ladungsträger durch den Draht ⇒ Strom
g)
~ = 0
E
(kein äußeres elektr. Feld)
~
q · E~L = q(~v × B)
I
~
~
~ · d~l
EL = (~v × B)
⇒
U = − (~v × B)
~v = v · e~x = v · e~ξ
h)
~ · (~r − ~r′ )) · (~r − ~r′ ) − m
~ · |~r − ~r′ |2
~ = µ0 · 3 (m
B
4π
|~r − ~r′ |5
~r′ = d · e~x = d · e~ξ
~r = r · e~r + vt · e~ξ
~r − ~r′ = r · e~r + (vt − d) · e~ξ
m
~ · (~r − ~r′ ) = m · (vt − d)
4
Elektromagnetische Felder und Wellen: Lösung der Aufgabe 4.2.6
=0
~ = µ0 v
~v × B
4π
µ0 v
=
4π
z }| {
3m(vt − d) · e~ξ × (r · e~r + (vt − d) · e~ξ ) − m (~
eξ × e~ξ ) · |~r − ~r′ |2
·
|~r − ~r′ |5
3mr(vt − d) · e~ϕ
·
|~r − ~r′ |5
i)
U = −
Z2π
µ0 v 3mr(vt − d) · e~ϕ
−3µ0 mr 2 v vt − d
·
· rdϕe~ϕ =
·
4π
|~r − ~r′ |5
2
|~r − ~r′ |5
0
3µ0 mr 2 v
d − vt
I =
·
2
2R
[r + (d − vt)2 ]5/2