Flächeninhalt und Umfang von n-Ecken

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Bernard Ksiazek
Flächeninhalt und
Umfang von n-Ecken
Differenzierte Aufgaben zum Üben und
Festigen für das Gymnasium
Downloadauszug
aus dem Originaltitel:
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Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen
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schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich aber
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Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall
der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages.
Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfo
verfolgt.
Vorwort
Dass eine der wichtigsten Ziele des Mathematikunterrichts darin besteht, die Schüler1 dazu zu befähigen, Mathematik anzuwenden, ist wohl ebenso unumstritten wie die Tatsache, dass dies ein relativ
schwieriges Unterfangen ist. Dies geht erfahrungsgemäß am besten, wenn Sie Ihren Lerngruppen Anwendungsaufgaben aus dem Alltag anbieten können. Und dies fällt bei dem Thema „Flächen und Volumen von Figuren und Körpern“ eigentlich nicht besonders schwer, da diese Thematik fest in unseren
Lebensalltag integriert ist.
Wir brauchen diese Thematik, um viele alltägliche Situationen zu beschreiben bzw. zu hinterfragen. Es
gibt wohl kein Thema im Mathematikunterricht, dass sich so nah an der Umwelt und am gegenwärtigen
und zukünftigen Alltag der Schüler orientiert. Das Thema findet sogar seinen eigenen Platz in den mathematischen Leitideen der KMK Bildungsstandards für Mathematik.
Weiterhin ist das Thema hervorragend geeignet, um die entsprechenden mathematischen
Kompetenathe
zen („Argumentieren“, „Problemlösen“, „Modellieren“, „mathematische Darstellungen
ellung verwenden“, „mit
Mathematik symbolisch/formal/technisch umgehen“ und „Kommunizieren“)) bei jed
jedem Schüler auszubauen.
Ziel der vorliegenden Veröffentlichung ist es, alle wesentlichen Inhalte
der Größenthem
Größenthematik für die Klashalte de
sen 7 bis 10 zu erarbeiten, zu üben und zu vertiefen. Dabei sollen
allem
len vor alle
em auch zahlreiche oben erwähnte mathematische Kompetenzen bei den Schülern ausgeb
ausgebaut
ut werden.
Bei der Konzeption der Arbeitsblätter wurde in al
allen Kapiteln e
eine
besondere Akzentuierung
auf den
ne beson
ung au
Aufbau von Größenvorstellungen gelegt. Diese
Größenvorstellungen
werden durch Übung
Anwene Grö
envorstellun
g und An
dungen permanent ausgebaut und gefestigt.
Innerhalb
vorliegenden Kopiervorlagen
werden
unterstigt. In
nerhalb der vorli
ervorlagen w
erden unte
schiedliche Leistungsniveaus angeboten.
Aufgabe wurden die drei Kompetenzklassen
Anboten. Jeder Aufgab
petenzklasse bzw. An
forderungsbereiche der Bildungsstandards
zugeordnet
sstandards zugeor
dne 2:
Anforderungsbereich
Reproduzieren
h I: Reproduzie
en
Dieses Niveau umfasst
Wiedergabe und direkte Anwendung
von
grundlegenden
sst die Wiederga
ung v
n grun
dlegenden Begriffen, Sätzen
und Verfahren
abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden
Zusammenhang.
en in einem
m abgegrenzt
ederholenden Z
Anforderungsbereich
Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellen
rstellen
Dieses Niveau
umfasst das Bearbeiten
bekannter
Sachverhalte,
Niveau umfas
en beka
ter Sachverha
lte indem Kenntnisse, Fertigkeiten und
Fähigkeiten verknüpft werden, die in der
Auseinandersetzung
er Auseina
dersetzung mit Mathematik auf verschiedenen Gebieten erworben
erworb wurden.
Anforderungsbereich
III:
Verallgemeinern
f
I: Vera
iner und Reflektieren
Dieses Niveau umfasst
Bearbeiten ko
komplexer Gegebenheiten u. a. mit dem Ziel, zu eigenen Proasst das B
blemformulierungen,
Lösungen,
ungen, Lös
ungen Begründungen, Folgerungen, Interpretationen oder Wertungen zu gelangen.
Die entsprech
entsprechende
Angabe befindet sich in Klammern hinter jeder Aufgabe. Dabei steht
nde Ang
„R“ für den Bere
Bereich „Reproduzieren“,
„Z“ für den Be
Bereich „Zusammenhänge herstellen“ und
„V“ für den Bereich „Verallgemeinern und Reflektieren“.
Das Symbol
bedeutet, dass die Schüler die Aufgabe im Heft oder auf einem Extrablatt lösen sollen.
Wir wünschen Ihnen viel Freude und Erfolg beim Einsatz dieses Buches.
Bernard Ksiazek
Marco Bettner
Erik Dinges
1
2
Der Einfachheit halber verwenden wir hier die verallgemeinernde Form. Selbstverständlich sind auch alle weiblichen Personen angesprochen.
www.kmk.org/schul/Bildungsstandards/Mathematik_MSA_BS_04-12-2003.pdf
Bernard Ksiazek: Flächeninhalt und Umfang von n-Ecken
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1
Eigenschaften – Rechteck/Quadrat
Aufgabe 1 (V)
a) Beschrifte das Rechteck vollständig. (Eckpunkte, Winkel, Seiten)
b) Zeige, wie sich die Flächeninhaltsformel für ein Rechteck herleiten lässt.
a)
b)
1 cm
1 cm
Aufgabe 2 (Z)
Kreuze die richtigen
n Aussagen an.
Die Winkelsummen
kelsumme
en sind in einem
ein
Rechteck und einem
em Quadrat unterschiedlich
u
groß.
Jedes Rechteck ist
is auch ein Quadrat.
Jedes
des Quadrat
Quadrat ist
is auch gleichzeitig
eitig ein Rechteck.
echteck.
Bei eine
einem Rechteck sind die benachbarten
nachbarten Seiten
Seite gleich lang.
Bei einem Quadrat sind
d alle
a Seiten
en gleich lang.
la
Ein Quadrat ist punktsymmetrisch.
punktsym
h.
Ein Rechteck
teck hat
at vier
vier Symmetrieachsen.
Sym
Die
e Diagonalen
Diagonalen eines Rechtecks
R
sind gleich lang und halbieren einander.
Ein
n Rechteck
Rechteck ist kein
k
Sehnenviereck.
Der Flächeninhalt
Fläche
des Umkreises eines Quadrats ist doppelt so groß wie der des
Inkreises.
Der Flächeninhalt eines Quadrats berechnet sich aus der Summe der beiden Seiten-
längen.
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Flächeninhalt und Umfang – Rechteck
Aufgabe 1 (Z)
Übertrage die vorgegeben Eckpunkte A, B, C, eines Rechtecks in ein Koordinatensystem und
lies die Koordinate des Punktes D ab.
Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Rechtecke.
a) A (1|1), B (8|1), C (8|4)
b) A (3|–2), B (3|6), C (–3|6)
Aufgabe 2 (R)
Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der jeweiligen Rechtecke.
a) a = 8 cm
b = 3,5 cm
b) a = 12,3 dm
b = 31 dm
c) a = 3 km
b = 250 km
d) a = 5 dm
b = 9,9 cm
Aufgabe 3 (Z)
Ein Rechteck ist 32 cm lang und 8 cm breit.
Wie lang muss ein 20 cm breites Rechteck
ck sein,
sei wenn es denselben
denselbe Flächeninhalt wie das
erste haben soll?
Aufgabe 4 (Z)
Berechne die fehlenden Größen.
a)
b)
a
5,5 cm
16 m
b
cm
10,3 c
AR
c)
d)
e)
19 cm
7,6 cm
8,7
7m
448 m2
f)
11 dm
4 cm
33,93 m2
UR
110 cm
114 dm
Aufgabe
be 5 (II)
Berechne
chne jeweils
jeweils den Flächeninhalt und den Umfang.
a)
15 m
b)
32 m
22 m
19 m
4m
26 m
13 m
50 m
28 m
20 m
18 m
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8m
3
3
Flächeninhalt und Umfang – Quadrat
Aufgabe 1 (R)
Zeichne Quadrate mit den vorgegebenen Maßen und berechne den Flächeninhalt.
a) a = 8 cm
b) a = 3,3 cm
c) a = 0,55 dm
d) a = 1,2 dm
Aufgabe 2 (Z)
Zeichne ein Koordinatensystem und überprüfe, welches der Vierecke ein Quadrat ist.
Berechne im Anschluss den Flächeninhalt und den Umfang.
b) A (7|3), B (10|6), C (7|9),
|9 D (4|6)
a) A (1|2), B (3|3), C (3|5), D (1|4)
c) Trage ein weiteres Quadrat deiner Wahl ein und berechne UQ und AQ.
Aufgabe 3 (Z)
Berechne die fehlenden Größen.
a)
a
b)
c)
e)
f)
31 dm
31,8
7,6 cm
AQ
UQ
d)
d)
625 m2
140 cm
278,89 m2
86,4 cm
Aufgabe 4 (V)
Was passi
passiert mit dem Flächeninhalt
lt eines Quadrats
Quadrats, wenn die Seitenlänge a verdoppelt wird?
Begründe deine Aussage.
Begründ
Aufgabe 5 (Z)
Frau Bauer besitzt einen quadratischen Bauplatz mit einer Seitenlänge von 43 m, der unter
den beiden Söhnen aufgeteilt werden soll. Einer der beiden Söhne möchte sein Grundstück
mit Maschendraht umzäunen.
a) Wie groß sind die jeweiligen Grundstücke?
b) Wie viel Meter Draht benötigt der eine Sohn?
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4
Sachaufgaben – Rechteck/Quadrat
Aufgabe 1 (Z)
Ein Hauseingang ist 3,80 m lang und 260 cm breit und soll mit quadratischen Platten ausgelegt werden, deren Seiten 30 cm lang sind.
a) Berechne den Flächeninhalt vom Hauseingang.
b) Wie viele Platten werden benötigt?
Aufgabe 2 (Z)
Um ein 289 m2 großes, quadratisches Schwimmbecken soll ringsherum
m ein
e 1,5 m breiter Weg
2
gepflastert werden. 1 m kostet 28 €.
Fertige eine Skizze an und berechne die Kosten.
Aufgabe 3 (Z)
Ein Teilstück einer Bundestraße soll nach
h dem Winter
inter
neu geteert werden. Sie ist 2,8 km lang und
nd 8 m breit.
breit
2
10 m kosten 2 450 €.
Wie teuer wird das Teeren der Straße?
raße?
Aufgabe 4 (Z)
Ein rechteckiges
kiges Grundstück
Gru
undstück ist 2400
24 m2 groß.
lang
wenn es 30 m breit ist?
a) Wie la
g ist das Grundstück,
G nds
ist?
lang
der das komplette
b) Wie lan
g ist der Zaun,
Z
komple Grundstück einzäunt?
e
einzä
Aufgabe 5 (Z)
Aufgab
4m
Die nebenstehende Skizze
kizze zeigt
ze den
n
Außenumriss des Einfamilienhauses
Einfamilie
von Familie Schmidt.
2m
Berechne
echne die Wohnfläche ihres Hauses,
wenn sie zwei Etagen
E
Etage besitzen.
3m
2m
2m
3m
3m
2m
2m
3m
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Eigenschaften Parallelogramm
5
Aufgabe 1 (V)
Lisa und Abraham fragen sich, warum das Parallelogramm Parallelogramm heißt?
Welche Antwort gibst du Ihnen?
Aufgabe 2 (R)
Trage bei dem Parallelogramm alle fehlenden
de Bezeichnungen
zeichnun en ein.
(Eckpunkte, Winkel, Seiten, Symmetrien, Höhe)
Höhe
Aufgabe 3 (Z)
Kreuze
e die richtigen
richtigen Aussagen
Aussag an.
Die
ie Diagonalen
Diagona
alen in einem Parallelogramm halbieren einander.
Ein Parallelogramm
Paralle
besitzt immer einen rechten Winkel.
Jedes Parallelogramm ist auch ein Rechteck.
Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß.
Das Parallelogramm ist Achsen- und Punktsymmetrisch.
Bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegende Seiten gleich lang.
Jedes Quadrat ist auch ein Parallelogramm.
Gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu 180°.
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6
Flächenberechnung Parallelogramm
Aufgabe 1 (R)
Berechne den Flächeninhalt der jeweiligen Parallelogramme.
a) g = 6 cm
hg = 9 cm
b) g = 3,6 dm
hg = 8,8 dm
c) g = 92 cm
hg = 117 cm
a)
Aufgabe 2 (Z)
b)
d) g = 34 m
hg = 55,2 m
c)
d)
Übertrage die Abbildung in dein Heft und
vervollständige diese zu Parallelogrammen.
Berechne im Anschluss den Flächeninhalt
von jedem einzelnen Parallelogramm.
Aufgabe 3 (Z)
Berechne die fehlenden Größen.
a)
g
7,7 cm
m
hg
3,3 cm
AP
b)
c)
c
d)
e)
e)
f))
5,3 m
18 cm
m
5,5 cm
6,8 m
35
3 dm
8,4 dm2
25 cm
17,6
6 m2
9,1 m
96,25 cm2
Aufgabe 4 (Z)
Berechne jeweils
jeweils die Höhe
Höhe hc der Parallelogramme.
a) Ap = 112 c
cm
m2
c = 50 cm
b) Ap = 32 dm2
b
c = 20 dm
c) Ap = 65 m2
c = 13 m
d) Ap = 85 cm2
c = 68 cm
Aufgabe 5 (Z)
Berechne den Flächeninhalt ohne zu Messen.
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7
Umfangsberechnung Parallelogramm
Aufgabe 1 (R)
Gib die Formel für die Umfangsberechnung an.
Formel:
Aufgabe 2 (R)
Berechne den Umfang der jeweiligen Parallelogramme.
a) a = 11 cm
b = 17,2 cm
b) a = 4,2 dm
b = 7,7 dm
c) a = 134 cm
b = 88 cm
d) a = 62,5 m
b = 99 m
Aufgabe 3 (Z)
Übertrage die vorgegebenen Eckpunkte A, B, C eines Parallelogramms
Paral elogra
in ein Koordinatendinaten
system und lies die Koordinate des Punktes
s D ab.
ab
Berechne im Anschluss die Fläche
he und den Umfang
mfan der jeweiligen Parallelogramme.
lelogramme
a) A (–3|–1), B (1|–1), C (2|4)
2|4)
b) A (7|2), B (2|2),
(2|2 C (3|–2)
(3|–2
c) A (2|4), B (2|1), C (4|2)
(4 2)
d) A (1|–3), B (–2|–2),
(–2| 2), C (–2|–7)
(–2|–
–7)
Aufgabe 4 (Z)
Berechne d
den Umfang der Abbildung.
ng.
12 m
30 m
585 m
28,5 m
Aufgabe 5 (V)
Sebastian behauptet, dass wenn flächengleiche Parallelogramme und Rechtecke eine gemeinsame Grundseite besitzen, ein Parallelogramm immer den größeren Umfang der beiden
besitzt.
Hat er Recht? Überprüfe seine Behauptung und begründe dein Ergebnis.
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8
Eigenschaften Dreieck
Aufgabe 1 (R)
Zeichne jeweils ein a) gleichseitiges, ein b) gleichschenkliges und ein c) rechtwinkliges Dreieck in das Kästchen und beschrifte sie vollständig. (Eckpunkte, Seiten, Winkel).
Aufgabe 2 (Z)
Schreibe die Eigenschaften
ften der in Aufgabe
Aufga 1 genannten Dreiecke
iec
cke auf.
uf.
a) Gleichseitiges
tiges Dreieck:
Drreieck:
b) Gleichs
Gleichschenkliges Dreieck:
c) Rechtwinkliges
win
nkliges Dreieck:
Aufgabe 3 (R)
Gib die Flächeninhalts- und Umfangsformel an.
Flächeninhalt:
Umfang:
Aufgabe 4 (Z)
Schreibe Beispiele aus deiner Umwelt auf, in der die Form eines Dreiecks vorkommt.
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9
Flächeninhalt und Umfang – Dreieck 1
Aufgabe 1 (R)
Berechne den Flächeninhalt der jeweiligen Dreiecke.
a) a = 15 cm
ha = 7,7 cm
b) a = 31,1 m
ha = 19 m
c) a = 1,2 dm
ha = 3,5 dm
d) a = 9,8 cm
ha = 22,4 cm
Aufgabe 2 (Z)
Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der jeweiligen Dreiecke. Entnimm die benötigten Größen aus der Zeichnung.
a)
b)
c)
d)
Aufgabe 3 (Z)
Von einem Dreieck sind der Umfang
Umfang und zwei Seitenlängen
Sei
gegeben.
geg
n. Berechne
Berechne die dritte
dr
Seitenlänge.
a) U = 55 cm; a = 9 cm; b = 15 cm
b) U = 32,8
2,8 cm;
cm; b = 16,1 cm; c = 4,9 cm
c) U = 3,3 cm; a = 1,2
1, cm; c = 1,8 cm
d) U = 125 m; a = 48 m; b = 36 m
Aufgabe 4 (V)
Die Grund
Grundseite eines Dreiecks wird halbiert. Wie
Wie muss
mu die Höhe verändert werden, damit sich
der
er Flächeninhalt
Flä
des Dreiecks
e
nicht
ht verändert?
Aufgabe
gabe 5 (Z)
Z)
Familie
ie Bauer möchte
möch in ihrer Dachgeschosswohnung eine dreieckige Fensterfront einsetzen.
Die Grundseite
ndseite der Fensterfront beträgt 3,25 m und die Höhe 28 dm.
a) Wie viel m2 Glas werden bei Familie Bauer verbaut?
b) Wie viel muss Familie Bauer bezahlen, wenn sie pro m2 32 € zahlen muss?
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10
Flächeninhalt und Umfang – Dreieck 2
Aufgabe 1 (Z)
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und berechne den Flächeninhalt der Dreiecke.
a) A (0|3), B (0|7); C(–4|4)
b) A (2|–1), B (8|–1), C (4|3)
c) A (–4|–2), B(–4|–4), C(–1|–1)
d) A (1|1), B (1|9), C (4/7)
Aufgabe 2 (Z)
Berechne die fehlenden Größen.
a)
b)
5,6 cm
22 m
18,8 m
7 cm
AD = 92 m
4,2 cm
11,5 m
3,9 cm
d)
c)
4,4 dm
5,8 dm
24 cm
36 cm
2,2 dm
AD = 124 m
3 dm
12,4 cm
Aufgabe
ufg
3 (Z)
Ein Dachgiebel eines
nes Fachwerkhauses
Fachw
ses hat die Form eines gleichschenkligen Dreiecks. Die
Grundseite ist
st 8,5 m lang,
lang, die Giebelfläche beträgt 51 m2. Wie hoch ist der Giebel?
Aufgabe
be 4 (V)
Lisa behauptet, dass der Flächeninhalt des Rechtecks in der ersten Figur zwei Mal so groß
ist, wie der der Flächeninhalt des Dreiecks in Figur zwei. Begründe, warum sie Recht hat.
C
A
H
Figur 1
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C
B
A
H
B
Figur 2
11
Eigenschaften – Raute/Drachenviereck
11
Aufgabe 1 (R)
Gib jeweils die Formel für die Flächenberechnung einer Raute und eines Drachenvierecks an.
Formel Raute:
Formel Drachenviereck:
Aufgabe 2 (Z)
Wo findest du in deiner Umwelt Gegenstände mit einer Rautenform? Notiere sie.
Aufgabe 3 (Z)
Bei welchen Figuren handelt
ndelt es sich
s ch um
Drachenvierecke und
d Rauten?
Kreise
in
eise die
d entsprechenden
entspreche den Figuren
F
verschiedenen
verschied
enen Farben
Farbe ein.
(Drachenviereck
/ Rauten = grün)
(Drachenvi
ereck = blau
b
Aufgabe 4 (V)
Kreuze
e die richtigen
richtigen Aussagen
Aussag an.
Jede
ede Raute ist auch
auc ein Quadrat.
Jede
e Raute ist auch ein Parallelogramm.
Die Diagonalen eines Drachenvierecks stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich.
Ein Drachen, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind, ist eine Raute.
Ein Drachen zählt zu den Tangentenvierecken.
Die Gegenüberliegenden Seiten sind in einer Raute nicht parallel.
Jeder Innenwinkel wird in einer Raute durch eine Diagonale halbiert.
In einer Raute bilden die beiden Diagonalen die Symmetrieachsen.
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12
Flächeninhalt und Umfang – Raute
Aufgabe 1 (V)
Notiere die Formel für die Umfangsberechnung einer Raute.
Mit welcher bereits dir bekannten Figur, ist diese Formel identisch? Begründe.
Aufgabe 2 (R)
Berechne den Flächeninhalt der jeweiligen Rauten.
a) e = 12 cm
f = 10 cm
b) e = 14,6 cm
f = 19,3 cm
c) e = 38 m
f = 77,7 m
d) e = 24,1 cm
f = 8,9
8 cm
Aufgabe 3 (Z)
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem
ystem und berechne
berech den Flächeninhalt und
nd den
Umfang der jeweiligen Rauten.
a) A (1|3), B (5|5), C (7|9), D (3|7)
|7)
b) A (1|6), B (4|3), C (7|6),
|6), D (4|9)
(4| )
Aufgabe 4 (Z)
Berechne die
ie fehlenden
fehlenden Größen.
Größen
a)
e
6,9 m
f
ARaute
b)
9,5
9 cm
82,8 m2
c)
d)
e)
f)
22,6 cm
11 dm
18,4 cm
2,8 m
1,8 cm
4,4 m
41,8 cm
76 cm2
7
88 dm2
Aufgabe
be 5 (Z)
Entnimm
m die Größen aus der Zeichnung und berechne den Umfang und den Flächeninhalt.
a)
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b)
c)
13
13
Flächeninhalt und Umfang – Drachenviereck
Aufgabe 1 (R)
Berechne den Umfang der jeweiligen Drachen.
a) a = 7,5 cm
b = 21 cm
b) a = 3 dm
b = 5,2 dm
c) a = 46 cm
b = 29,2 cm
d) a = 148 m
b = 211,8 m
Aufgabe 2 (Z)
Tim und Sebastian wollen sich einen Drachen bauen. Sie haben bereits zwei Holzstäbe mit
einer Länge von 40 cm und 60 cm. Der Drachen soll von beiden Seiten mit
m Pergamentpapier
beklebt werden.
Wie viel Pergamentpapier benötigen Sie?
Aufgabe 3 (Z)
Entnimm die benötigten Größen aus der Zeichnung
ichnung und berechne
be
den Umfang und den
Flächeninhalt.
a)
b)
c)
d)
Aufgabe 4 (V)
Der Flächeninhaltt eines
eines Drachens
Dra
beträgt 588 dm2.
a) Berechne
f, wenn die Diagonale e = 42 dm lang ist.
echne die Länge der
der Diagonalen
D
b) Wie verändert
ver
sich der Flächeninhalt, wenn man die Diagonale f verdoppelt?
c) Wie verändert sich der Flächeninhalt, wenn man beide Diagonalen verdoppelt?
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14
14
Eigenschaften Trapez
Aufgabe 1 (V)
a) Zeichne in eines der Kästchen ein rechtwinkliges Trapez und beschrifte es vollständig.
(Eckpunkte, Winkel, Seiten)
b) Zeichne in das andere Kästchen ein allgemeines Trapez, beschrifte es vollständig und
veranschauliche die Herleitung der Flächeninhaltsformel.
a)
b)
Aufgabe 2 (V)
Kreuze die richtigen
n Aussagen an.
Jedes Trapez
rapez ist auch
auch ein Quadrat.
Qu
Jedes Rechteck ist
is auch ein Trapez.
Bei einem
einem Trapez
Trap sind die gegenüberliegende
enüberlie nde Seiten gleich lang.
Ein rec
rechtwinkliges Trapez gehört
rt nicht zu den
den Tangentenvierecken.
Ta
E
Ein rechtwinkliges Trapez
rapez besitztt immer drei
d rechte Winkel.
Bei einem Trapez
pez ist
st ein gegenüberliegendes
ber
Seitenpaar parallel.
In einem gleichschenkligen
gleichschenklige Trapez sind die beiden Diagonalen unterschiedlich lang.
Aufgabe
abe 3 (R)
Kreise die Figuren
Fi
ein, bei denen es sich um Trapeze handelt.
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15
Flächeninhalt und Umfang – Trapez
Aufgabe 1 (R)
Berechne den Flächeninhalt des Trapezes (a||c).
a) a = 13,5 cm; c = 8 cm; h = 4,8 cm
b) a = 3,5 cm; c = 7,6 cm; h = 39 cm
c) m = 25,3 dm; h = 11 dm
d) m = 9 m; h = 19,4 m
e) a = 10 cm; c = 4,5 cm; h = 3,5 cm
f) m = 42 dm; h = 55,1 dm
Aufgabe 2 (Z)
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und berechne den Flächeninhalt
chen
und den Umfang, ohne zu messen.
a) A (2|1), B (6|1), C (5|4), D (3|4)
b) A (–2|–4), B (0|–2),
2), C (0|0), D (–2|2)
c) A (4|5), B (0|5), C (0|2), D (2|2)
d) A (–5|5),
), B (–4|3),
(–4|3), C (–4|4), D (–5|2)
Aufgabe 3 (Z)
Berechne die fehlende Größe.
a) AT = 232 dm2; c = 24 dm; h = 8 dm;
Gesucht:
Ge uch a =
b) AT = 720 cm2; a = 53 cm; h = 18 cm;
m;
Gesucht: c =
c)) AT = 28 cm2; a = 8 cm;
m; c = 6 cm;
Gesucht:
cht: h =
d) a = 7,6 m;; c = 3,4
3 m; h = 4 m;
Gesucht:
G sucht: AT =
Aufgabe
ufg
4 (Z)
Der Flächeninhaltt eines
eines trapezförmigen
tra
gen Fußbodens mit den Maßen a = 7,5 m, c = 3,8 m und
h = 5,2 m soll
ll berechnet
berechnet werden.
werd
Aufgabe
be 5 (Z)
Die trapezförmige Wand einer Bauhütte soll
mit Wellblech verkleidet werden.
Wie viel m2 Blech werden benötigt?
2,95 m
3,5 m
5,2 m
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16
Vermischte Aufgaben – Trapez
Aufgabe 1 (V)
Wie ändert sich der Flächeninhalt des Trapez, wenn …
a) die Seiten a und c verdoppelt werden?
b) die Höhe halbiert wird?
c) die Höhe verdreifacht wird?
Aufgabe 2 (R)
Bestimme den Umfang der jeweiligen Trapeze.
apeze
a) a = 8,2 cm; b = 4,5 cm; c = 38 cm; d = 7 cm ;
U=
b) a = 5,6 cm; b = 7,8 cm; c = 15 cm; d = 6 cm;
cm
U=
c) a = 14 cm; b = 10,5 cm; c = 21,3 cm; d = 12,8 cm; U =
Aufgabe 3 (Z)
Berechne d
die fehlenden
fehle
Größen.
a
a)
b)
c)
2,6 cm
1
1,36
dm
4,25 cm
c
d)
6m
m
1,29 dm
h
3,5 cm
AT
14,7 cm2
4,025 cm
e)
f)
11 cm
5,2 dm
7 cm
4,8 m
3,4 dm
3,65 dm
5,5 cm
9,66 cm2
4,5 dm
15,3 m2
Aufgabe 4 (V)
Ein Trapez hat einen Flächeninhalt von AT = 47,6 m2. Die Höhe beträgt 3,4 m.
Berechne die Seiten a und c, wenn die zu a parallele Seite c drei Mal so lang wie a ist.
Bernard Ksiazek: Flächeninhalt und Umfang von n-Ecken
© Persen Verlag
17
17
Flächeninhalt Vielecke
Aufgabe 1 (V)
Vergleiche den Flächeninhalt der beiden Vielecke a) durch geschickte Zerlegung, b) durch
geschicktes Ergänzen.
a)
b)
Aufgabe 2 (Z)
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem
ensystem und
und berechne
berech im Anschluss
luss von dem
de
em Vieleck,
Viel
durch geschickte Zerlegung, den Flächeninhalt.
Flächeninhalt.
a) A (–5|0), B (–2|–1), C (0|5),
5), D (6|1),
(6|1), E (4|3), F (3|8)
(
b) A (1|4), B (2|6), C (0|4),
(–1|5), E (–3|–4),
F (–2|3)
(0 4), D (–1|5)
(–3
c) A (–2|–5), B (3|–5),
(6|5), E (–1|5), F (–5|1)
(3| 5),
5 C (2|1), D (6
Aufgabe 3 (Z)
Berechne den Flächeninhalt der Vielecke
elecke durch geschicktes
g
Zerlegen, in kleinere, dir
eka
bekannte
Flächen.
a)
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b)
18
Lösungen
Flächeninhalt und Umfang von regelmäßigen und unregelmäßigen n-Ecken
3. Flächeninhalt und Umfang – Quadrat
Aufgabe 1
a) AQ = 64 cm2
c) AQ = 0,3025 dm2
1. Eigenschaften Rechteck/Quadrat
Aufgabe 1
a) D
a
α
α
b
A
Aufgabe 2
C
a) Ist kein Quadrat
b) Ist ein Quadrat. AQ = 18 cm2; UQ = 16,97 cm.
c) Individuelle Lösungen
b
α
α
a
b) AQ = 10,89 cm2
d) AQ = 1,44 dm2
Aufgabe 3
B
b)
a
b=
5 Kästchen
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7,6 cm
35 cm
25 m
331,8 dm
16,7 m
21,6 cm
AQ 57,76 cm2 1 225 cm2 625 m2 1 011,2
011,24 dm2 278,89 m2 466,56 cm2
AR = a · b
AR = 5 · 7
= 35 Kästchen
UQ
30,4 cm
1000 m
140 cm
127,2 dm
d
66,8 m
86,4 cm
Aufgabe 4
Er vervierfacht
ht sich, da d
die
e verdoppelte Seitenlänge
d
quadriert wird.
a = 7 Kästchen
Aufgabe 2
Aufgabe 5
Die richtigen Antworten:
Jedes Quadrat ist auch gleichzeitig ein Rechteck.
Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang.
Ein Quadrat ist punktsymmetrisch.
leich lang
ang und halDie Diagonalen eines Rechtecks sind gleich
bieren einander.
kreises eines Quad
s ist d
Der Flächeninhalt des Umkreises
Quadrats
doppelt
eises.
so groß wie der des Inkreises.
a) Die jeweilig
jeweiligen Grundstücke sind 924,5 m2 groß.
b) Der Sohn benötigt 121,64 m Maschendrah
t.
Maschendraht.
4. Sachaufgaben – Rechteck/Quadrat
eck/Quadrat
Aufgabe 1
a) Der Flächeninhalt
halt b
beträgt
rägt AR = 9,8
9,88
8 m2.
den 11
b) Es werden
110 Platte
Platten benötigt.
g e2
Aufgabe
2. Fläche
Flächeninhalt
halt und Umf
Umfang
g – Re
Rechteck
1,5 m
1,5 m
Aufgabe 1
(1|4); UR = 20 cm; AR = 21 cm2
a) Punkt D (1|4
b) Punkt D (–3
(–3|–2); UR = 28 cm; AR = 48 cm2
Insgesamt sind 111 m2 zu plastern.
Die Kosten belaufen sich auf 3 108 €.
Aufgabe
ufgabe 2
a) AR = 28 cm2
UR = 23 cm
c) AR = 750 km
UR = 506 km
2
b) AR = 381,3 dm
m2
UR = 86,6 dm
Aufgabe 3
d) AR = 495 cm
UR = 119,8 cm
Aufgabe 4
Das Teeren der Straße kostet 5 488 000 €.
2
Aufgabe
be 3
a) Das Grundstück ist 80 m lang.
b) Der Zaun ist 220 m lang.
Es muss
lang
ss 12,8 cm la
ng sein.
Aufgabe 5
Aufgabe 4
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Die Wohnfläche beträgt 82 m2.
a
5,5 cm
16 m
3,9 m
19 cm
46 dm
7,6 cm
b
10,3 cm
28 m
8,7 m
36 cm
11 dm
4 cm
AR
56,65 cm2
448 m2
33,93 m2
684 cm2
506 dm2
30,4 cm2
Aufgabe 1
UR
31,6 cm
88 m
25,2 m
110 cm
114 dm
23,2 cm
Ein Parallelogramm ist ein konvexes ebenes Viereck, bei
dem die gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel sind.
Aufgrund dieser Eigenschaft heißt es Parallelogramm.
Aufgabe 5
a) A = 547 m2; U = 154 m
b) A = 1 146 m2; U = 214 m
5. Eigenschaften Parallelogramm
Aufgabe 2
D
C
c
δ
γ
d
b
h
Punktsymmetrisch
α
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A
β
a
B
19
Lösungen
Aufgabe 3
Aufgabe 5
Die richtigen Antworten:
Die Diagonalen in einem Parallelogramm halbieren einander.
Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß.
Bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegende Seiten gleich lang.
Jedes Quadrat ist auch ein Parallelogramm.
Ja, Sebastian hat recht. Das Parallelogramm hat den größeren Umfang, da die Höhe als kürzeste Verbindung zweier
paralleler Geraden nicht wie beim Rechteck mit der zweiten
Seitenlänge übereinstimmt.
8. Eigenschaften Dreieck
Aufgabe 1
a)
6. Flächenberechnung Parallelogramm
Aufgabe 1
a) AP = 54 cm2
c) AP = 10 764 cm2
a
A
b)
c)
γ
a
60°
60°
a
d)
c)
A
a)
b)
cc)
d)
e)
f)
7,7 cm
0,24 dm
d
5,3 m
1
18cm
5,5 cm
6,8 m
hg
3,3 cm
35 dm
3,32 m
25 cm
17,5 cm
9,1 m
8,44 dm2
17,6 m2
450 cm2
96,255 cm2
61,88 m2
a) hc = 2,2
2,24 cm
c) hc = 5 m
b) hc = 1,6 dm
d) hc = 1,25 cm
Aufgabe 5
a) AP = 7,5 cm2
b) AP = 12 cm2
7. Umfangsberechnung
fangsber
g
chnung
g Paral
Parallelogramm
α
β
c
B
a
γ
α
β
c
B
a) In einem gleichseitigen
ichse
eit n Dre
Dreieck sind
ind alle dre
drei Seiten
d som
nkel mit einer Größe
gleich lang und
somit auch alle Wi
Winkel
nder ko
ngruent.
von 60°° zuein
zueinander
kongruent.
g
Aufgabe 4
A
a
Aufgabe 2
b) AP = 5 cm2
d) AP = 11 cm2
Aufgabe 3
AP 25,41 cm2
B
b
C
b
a) AP = 6 cm2
c) AP = 13 cm2
C
60°
b) AP = 31,68 dm2
d) AP = 1 876,8 m2
Aufgabe 2
a)
b)
C
nem gleichs
henkli
b) In einem
gleichschenkligen
Dreieck sind mindestens zwei
Seite
n gleich lang
Seiten
lang. Dies
Diese Seiten werden als Schenkel
bezeic
net, die d
bezeichnet,
dritte Seite heißt Basis. Die beiden Basiswinkel s
nd gl
sind
gleich groß.
c) Ein rechtwinkliges
rec
Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechtten Winkel und einer Winkelsumme von 180°.
Aufgabe 3
1
Flächeninhaltsformel: AD = · g · h
2
Umfang: UD = a + b + c
Aufgabe 4
Zum Beispiel: Geodreieck, Verkehrsschilder, Triangel,
Kleiderbügel, Nussecken
Aufgabe 1
ormel: UP = 2 (a + b)
Umfangsformel:
9. Flächeninhalt und Umfang – Dreieck 1
Aufgabe 2
Aufgabe 1
a) UP = 56,4 cm
c) UP = 444 cm
b) UP = 23,8 dm
d) UP = 323 m
b) AD = 295,45 m2
d) AD = 109,76 cm2
Aufgabe 2
Aufgabe 3
a)
b)
c)
d)
a) AD = 57,75 cm2
c) AD = 2,1 dm2
D (–2|4); AP = 20 cm ;
D (8|–2); AP = 20 cm2;
D (4|5); AP = 6 cm2;
D (1|–8); AP = 15 cm2;
2
UP = 18,20 cm
UP = 18,25 cm
UP = 10,47 cm
UP = 16,32 cm
a) AD = 2,5 cm2
UD = 7,2 cm
b) AD = 4 cm2
UD = 9,6 cm
c) AD = 2,2 cm2
UD = 8,7 cm
d) AD = 2,5 cm2
UD = 7,8 cm
Aufgabe 4
Aufgabe 3
U = 1 311 m
a) c = 31 cm
c) b = 0,3 cm
Bernard Ksiazek: Flächeninhalt und Umfang von n-Ecken
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b) a = 11,8 cm
d) c = 41 m
20
Lösungen
Aufgabe 4
a) Insgesamt werden bei Familie Bauer 4,55 m2 Glas verbaut.
b) Sie müssen 145,6 € bezahlen.
Ein Drachen, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind, ist
eine Raute.
Ein Drachen zählt zu den Tangentenvierecken.
Jeder Innenwinkel wird in einer Raute durch eine Diagonale
halbiert.
In einer Raute bilden die beiden Diagonalen die Symmetrieachsen.
10. Flächeninhalt und Umfang – Dreieck 2
12. Flächeninhalt und Umfang – Raute
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Die Höhe muss verdoppelt werden.
Aufgabe 5
a) AD = 8 cm2
c) AD = 3 cm2
b) AD = 12 cm2
d) AD = 12 cm2
Aufgabe 2
a) AD = 8,19 cm2
UD = 16,5 cm
b) h = 16 m
UD = 52,3 m
c) AD = 3,3 dm
UD = 13,2 dm
d) h = 20 cm
UD = 72,4 cm
2
URaute = 4 · a
Der Umfang von Quadraten wird mit der gleichen Formel
berechnet, da Quadrate und Raute
Rauten jeweils vier gleich lange
Seiten haben.
Aufgabe 2
m2
a) ARaute = 60 cm
c) ARaute = 1476,3
76,3 m2
b) ARaute = 140,89 cm2
d) ARaute = 107,25 cm2
Aufgabe 3
Aufgabe
ufgabe 3
Der Giebel hat eine Höhe von 12 m.
a) ARaute = 12,0
12,00
0 cm2.; URaute = 17,89 cm
b) ARau
= 18 c
cm2; URaute = 16,97 cm
Raute
Aufgabe 4
Figur 1: Das Dreieck wird um zwei flächengleiche
che Dreiecke
eck entsteht.
vergrößert, sodass dieses Rechteck
ke des Dr
iecks finden
Figur 2: Die zwei kleinen Teildreiecke
Dreiecks
80°, als Teile des
es Rec
wir nach Drehung, um 180°,
Rechtecks
wieder.
Aufgabe
A
ufgabe 4
e
a)
b)
c)
d)
e)
f)
6,9 m
16 cm
22,6 cm
11 dm
18,4 cm
2,8 m
f
24 m
9,5 cm
c
41,8 cm
166 dm
1,8 cm
4,4 m
ARaute
82,8 m2
76 cm2
472,34
72,34 cm2
88 dm2
16,56 cm
6,16 m2
11. Eigenschaften
aften – Rau
Raute/Drachenviereck
e/Drachenvi
Aufgabe
e5
Aufgabe 1
a) ARaut
= 3,4 cm2
Raute
URaute = 9,2
,2 cm
Raute: ARaute =
Formel Raute
1
·e·f
2
Formel Drach
Drachenviereck: ADV =
1
·e·f
2
fga 2
Aufgabe
esf agge vo
orfah
Zum Beispiel in der Landesflagge
von Bayern, Vorfahrerder B
schild, Fußballwappen von W
Werder
Bremen.
Aufgabe 3
b) ARaute = 1,19 cm2
URaute = 6,8 cm
c
=6
6,13
13 c
cm2
c) ARaute
aute
URaute = 9,9 cm
13. Flächeninhalt und Umfang
Drachenviereck
Aufgabe 1
a) UDV = 57 cm
c) UDV = 150,4 cm
b) UDV = 16,4 dm
d) UDV = 719,6 m
Aufgabe 2
Sie benötigen 2 400 cm2 Pergamentpapier.
Aufgabe 3
a) ADV = 5,7 cm2
UDV = 10 cm
b) ADV = 8,3 cm2
UDV = 12,4 cm
c) ADV = 3,3 cm2
UDV = 9 cm
d) ADV = 8,3 cm2
UDV = 12 cm
Aufgabe 4
a) Die Länge der Diagonalen f beträgt 28 dm.
b) Der Flächeninhalt verdoppelt sich.
c) Der Flächeninhalt vervierfacht sich.
Aufgabe 4
Die richtigen Antworten:
Jede Raute ist auch ein Parallelogramm.
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21
Lösungen
14. Eigenschaften Trapez
Aufgabe 5
Es werden 16,77 m2 Wellblech benötigt.
Aufgabe 1
c
a) D
δ
C
16. Vermischte Aufgaben Trapez
γ
Aufgabe 1
d
a) Der Flächeninhalt verdoppelt sich.
b) Der Flächeninhalt halbiert sich.
c) Der Flächeninhalt verdreifacht sich.
b
α
β
A
b)
D
Aufgabe 2
C
a
c
a) UT = 57,7 cm
b
h
A
c) UT = 58,6 cm
Aufgabe 3
C
m
d
b) UT = 34,4 cm
C
a
zu b)
g
Wenn man ein allgemeines Trapez, wie gezeigt, zerlegt,
ensetzen
kann man es wieder zu einem Rechteck zusammensetzen.
Somit ist die Strecke AB = a und die Strecke CD = c.
m ist der Mittelwert der Streckenlänge von a und c, also
1
m = (a + c)
2
Daraus folgt: AT = m · h.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a
2,6 cm
1,36 dm
4,25
25 cm
3,6 m
11 cm
5,2 dm
c
5,8 cm
1,22 dm
3,8 cm
6m
7 cm
2,1 dm
m
4,2 cm
1,29 dm
4,025
025 cm
4,8 m
9 cm
3,65 dm
h
3,5 cm
3,4 dm
22,4 cm
3,19
3 m
5,5 cm
4,5 dm
AT
14,7 cm2
4,39 d
dm2
9,66 cm2
15,3 m2
49,5 cm2
16,43 dm2
Aufgabe 4
21 m; m = 14 m
a = 7 m; c = 2
17. Flächeninhalt Vielecke
17
Aufgabe 1
a) Beide gleich groß
roß
b) 1. Figur iist größer
Aufgabe 2
Die richtigen Antworten:
Jedes Rechte
ck ist auch ein Trapez.
Rechteck
Ein rechtwinkl
es Trapez gehört nicht zu den Tangente
rechtwinkliges
Tangentenvierecken.
Bei einem Tr
Trapez ist ein gegenüberliegendes Seitenpaar
arallel.
parallel.
Aufgabe 2
Aufgabe 3
a) A = 20 cm2
b) A = 16 cm2
D
nd Tra
peze.
Die Figuren b) und e) sind
Trapeze.
4 cm2
E
10 cm2
15. Flächeninhalt
ninhalt und Umfan
Umfang
g – Tr
Trapez
E
Aufgabe
abe 1
a) AT = 51,6
6 cm2
c) AT = 278,3
8,3 dm2
e) AT = 25,38
38 c
cm2
b) AT = 216,45 cm2
d) AT = 174,6 m2
f) AT = 2 314,2 dm2
Aufgabe 2
b) AT = 8 cm2
UT = 13,66 cm
c) AT = 9 cm2
UT = 12,61 cm
d) AT = 2 cm2
UT = 6,83 cm
Aufgabe 3
b) c = 27 cm
d) AT = 22 m2
A
C
C
B
12 cm2
10 cm2
B
Aufgabe 3
a)
a) AT = 9 cm2
UT = 12,32 cm
a) a = 34 dm
c) h = 4 cm
A
D
b) A = 16 cm2
11,88 cm2
11,25 cm2
Aufgabe 4
Der Flächeninhalt beträgt 29,38 m2.
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