Arbeitsblatt 06 - Kurvendiskussion Ver2

www.mathe−unterrichten.de
Analysis Arbeitsblatt − Mathematik Gk 11
Vollständige Kurvendiskussion mit Erläuterungen
Aufgabe: Gegeben ist die Funktion
Kurvendiskussion durch.
= ³−3
+ . Führen Sie eine vollständige
1.) Ableitungen:
=3 −6 +1
=6 −6
=6
(relevant für die Steigung der Funktion)
(relevant für das Kurvenverhalten der Funktion)
2.) Einfache Symmetrie:
Wir unterscheiden nur zwischen einer Symmetrie zur y-Achse (alle Exponenten der Funktion
sind gerade) und einer einfachen Punktsymmetrie zum Ursprung (alle Exponenten sind
ungerade & der y-Achsenabschnitt ist 0).
In der Funktion f(x) treten sowohl gerade als auch ungerade Exponenten auf und damit hat
die Funktion keine einfache Symmetrie.
3.) Definitons-/Wertebereich:
Definitionsbereich: Welche x-Werte dürfen in die Funktion eingesetzt werden? Es dürfen alle
reelle Zahlen eingesetzt werden, also gilt:
Df = R
Wertemenge: Welche Funktionswerte kann die Funktion f annehmen? Die Funktion f kann
den Wert aller reeller Zahlen annehmen, also gilt: W f = R.
4.) Grenzwerte:
Da Df = R prüfen wir nur die Grenzwerte an den beiden „Rändern“. Für die Grenzwerte
ist nur der Term mit dem größten Exponenten relevant, also x³. Für „große“ positive
Zahlen wird der Wert beliebig groß, für „kleine“ also negative Zahlen wird dieser
Wert beliebig klein.
lim
→
lim
→
=
∞
= −∞
5.) Nullstellen:
Die Nullstellen sind die Stellen, an denen die Funktion die x-Achse schneidet.
=0
−3 + = 0
−3 +1 =0
=>
=0
, = 1,5 ± !1,5 − 1 = 1,5 ± !1,25
≈ 2,62
≈ 0,38
% 0 |0 ; % 0,38 |0 ; % 2,62 |0
Analysis Arbeitsblatt − Mathematik Gk 11
www.mathe−unterrichten.de
6.) Extremstellen:
Die notwendige Bedingung für Extremstellen ist
=0
Die Funktion „besitzt“ an der Extremstelle also eine waagrechte Tangente.
Wir müssen jedoch mit dem Vorzeichenwechsel (oder der zweiten Ableitung) nachweisen,
dass es sich tatsächlich um eine Extremstelle handelt. Es könnte auch ein Sattelpunkt sein.
=0
3 ²−6 +1=0|∶ 3
1
−2 + = 0
3
,
= 1 ± *1 −
≈ 1,82
1
2
=1±*
3
3
≈ 0,18
Wir haben also an den beiden Stellen x1 und x2 potentielle Extremstellen.
Wir prüfen nun mit Hilfe der zweiten Ableitung auf Hoch-/Tiefpunkte.
1,82 = 6 ∙ 1,82 − 6 = 4,92 > 0
=> ./ 1,82 |
1,82
0123 ./ 1,82 | − 2,09
0,18 = 6 ∙ 0,18 − 6 = −4,92 < 0
=> 5/ 0,18 |
0,18
0123 5/ 0,18 | − 2,09
Alternativ könnten wir auch auf Vorzeichenwechsel prüfen:
An den Stellen x1=1,82 und x2=0,18 beträgt die Steigung 0,
der Graph hat also hier jeweils eine waagrechte Tangente.
Wir untersuchen nun wie die Steigung vor diesen Stellen, bzw. zwischen diesen beiden
Stellen aussieht:
0 = 3∙0 −6∙0+1 = 1 > 0
Also steigt die Funktion Intervall ] − ∞; 0,18[
1 = 3 ∙ 1 − 6 ∙ 1 + 1 = −2 < 0
Also fällt die Funktion Intervall ]0,18; 1,82[
2 = 3∙2 −6∙2+1 = 7 > 0
Also steigt die Funktion Intervall ]1,82; ∞[
Tipp: wähle jeweils einen
beliebigen Punkt aus dem
Intervall aus
Tabellarisch halten wir dies nun fest:
An den Extremstellen haben wir also einen Vorzeichenwechsel. Am Hochpunkt HP haben
wir einen Vorzeichenwechsel von + nach – und am Tiefpunkt TP von – nach +.
Analysis Arbeitsblatt − Mathematik Gk 11
www.mathe−unterrichten.de
www.mathe−unterrichten.de
Analysis Arbeitsblatt − Mathematik Gk 11
7.) Wendestellen:
Die notwendige Bedingung einer Wendestelle ist:
=0
6 −6=0|+6
6 =6|∶6
=1
=0
Wir haben also an der Stelle x = 1 eine mögliche Wendestelle. Wir prüfen mit Hillfe der
dritten Ableitung, ob es sich tatsächlich um eine Wendestelle handelt (alternativ
Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung)
1 =6≠0
Wir erhalten somit den Wendepunkt : 1 | 1 0123 : 1 | − 1
8.) Kurvenverhalten:
Wir wissen nun, dass der Graph der Funktion f an der Stelle x=1 sein Kurvenverhalten
ändert. Er könnte von einer Links- in eine Rechtskurve übergehen oder umgekehrt. Wir
prüfen dies mit Hilfe der zweiten Ableitung.
Gemäß unserer bisherigen Zeichnung müsste der Graph von einer Rechts- in eine
Linkskurve übergehen. Wir belegen dies aber nun noch rechnerisch:
Dazu nehmen wir eine beliebige Zahl aus dem Intervall ]-∞ ; 1[ beispielsweise die Zahl 0:
0 = 6 ∙ 0 − 6 = −6 < 0 0123 ;<2=ℎ?<@;A <? B?0Cℎ @D E A<?F011 ] − ∞; 1[
<@ < G<=ℎA2H ?F<
Da wir einen Wendepunkt an der Stelle x=1 erhalten haben, muss der Graph von einer
Rechts- in eine Linkskurve übergehen. Wir prüfen trotzdem nochmals zur Kontrolle, indem
wir eine Zahl aus dem Intervall ]1 ; ∞ [ auswählen, bspw. die Zahl 2.
2 = 6 ∙ 2 − 6 = 6 > 0 0123 ;<2=ℎ?<@;A <? B?0Cℎ @D E A<?F011 ]1; ∞[
<@ < I@ H2H ?F<
Wir können das Ergebnis nun auch tabellarisch festhalten:
Analysis Arbeitsblatt − Mathematik Gk 11
9.) Graph:
Der Funktionsgraph sieht also folgendermaßen aus:
www.mathe−unterrichten.de