Binärzahlen Seiten 1 bis 7

Informatik Klasse 8
Aufgaben
A1: Wandle durch Zerlegung in Zweierpotenzen in das Binärsystem um:
12; 22; 38; 57;
111; 31; 63; 96; 127; 65; 129; 145, 173
32; 64; 128; 255; 256
Wandle per Resteverfahren ins Binärsystem um: 28; 56; 112; 50; 100; 200; 155
Bit, Byte:
Aus wie vielen Byte bestehen125 KB?
Wie lange dauert der Download einer CD mit 700MB per DSL bei einer Downloadgeschwindigkeit
von 16MBit/sec?
Wie hoch ist der Papierstapel eines Textes, der auf eine DVD mit 4,7GB passt?
Hinweise: 1 Schreibmaschinenseite umfasst ca.2000Byte; die Dicke der Seite ist 0,1mm.
ASCII-Code ( American …
Code zur Darstellung von Ziffern, Buchstaben und Sonderzeichen
(http://de.wikipedia.org/)
Code
0…
1…
2…
3…
4…
5…
6…
7…
…0 …1 …2 …3 …4 …5 …6 …7 …8 …9 …A …B …C …D …E …F
SP
0
@
P
`
p
!
1
A
Q
a
q
"
2
B
R
b
r
#
3
C
S
c
s
$
4
D
T
d
t
%
5
E
U
e
u
&
6
F
V
f
v
nicht belegt
'
(
)
7
8
9
G H I
W X Y
g
h
i
w x
y
*
:
J
Z
j
z
+
;
K
[
k
{
,
<
L
\
l
|
=
M
]
m
}
.
>
N
^
n
~
/
?
O
_
o
Beispiel: @ = 6410 = #40 = …..................2
Wandle die Zahlen aus Aufgabe A1 ins 4er-, 5er-System um.
Wandle nach dem Horner-Schema ins Dezimalsystem: 1100 11012 1000 11012 1111 11102
Wandle mit Hilfe des Horner-Schemas ins Dezimalsystem um: #111, #1AF, #1000, #12AA
Wandle folgende Zahlen ins Hexadezimalsystem um: 17, 100, 205, 200, 216, 232, 255
Schreibe die Zahlen 0 bis 15 im Hex-System.
Wandle folgende Zahlen sowohl ins Binär- als auch ins Hex-System um: 116, 170, 227, 256, 450, 500
Wandle ins Dezimalsystem um:
110102 , 1000012 , 1010102 , #3E8, #1111 , #AFFE, #CAFE
Ermittle die hexadezimalen Farbwerte der Farben gold, silver, green, red, blue, yellow
Aufgabe
12 ;
Stelle das Doppelte (das Vierfache) der folgenden Zahlen im Binärsystem dar:
112 ; 1012 ; 1102 ; 1112 ; 10012
Stelle die Hälfte der Zahl im Binärsystem dar:
1002 ; 11002 ;
10102 ; 111002 ;
100002
Blatt 1
Informatik Klasse 8
Addieren im Binärsystem
1011001 + 100100;
1111 + 11110;
11100110 + 10101;
101010 + 11111
10111011 + 10110011;
Zähle von 1111 weiter bis 100000
Wie heißt die größte Zahl, die man im Binärsystem mit 4 (5, 6) Stellen schreiben kann?
Gib jeweils den Nachfolger und den Vorgänger an:
11112 10002 3024 33334 #FE #1FF #0F; #5F; #7F;
#8F; #FD; #100F; #21FF; #3FFF; #7EFF; #8000; #7FFF; #A001; #A000; #FFED; #FFFF
Aufgabe
Stelle
a) das Doppelte
b) das Vierfache der folgenden Zahlen dar: 112; 10012; ; 1112; 1102;
c) Gib die Hälfte an: 110, 1110, 1000, 1010, 111, 1111
Aufgabe
Schreibe im Dezimalsystem: 1326; 2546; 5156; 10506; 10006; 11116;
Gib jeweils den Nachfolger und den Vorgänger an:
a) 11112
b) 10002
c) 3024
d) 33334
e) 55556
f) 22226
g) 2078
h) 8889
i) 10008
k) 10009
m) 1000
n) 10004
Was ist falsch?
a) 2222
b) 10077
c) 82014
d) 30113
Teilbarkeit
T1
Schreibe die Teilermengen Ta für a = 30; 45; 70; 250; 340; 500 auf.
Nenne eine Zahl, deren Teilermenge genau ein Element enthält.
Gib 5 Zahlen an, deren Teilermenge genau 2 (3; 4) Elemente besitzt.
T2
Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Verbessere gegebenfalls!
T4 = {1; 2; 4}
T10 = {1; 2; 5; 10}
T8 = {1; 4; 8}
T6 = {2; 3; 6}
T18 = {1; 2; 3; 6; 9}
T45 = {1; 5; 9; 45}
T3
Ergänze jeweils die folgende Menge (falls nötig) derart, dass sie die Teilermenge einer
möglichst kleinen Zahl ist.
{1; 3; 9; 18}
{1; 2; 3; 5}
{4; 5; 10; 20}
{5; 7}
{1; 5}
{2; 3; 4}
{1; 2; 3; 4; 5}
Blatt 2
{1; 10; 100}
Informatik Klasse 8
T4
Es ist 12 Uhr mittags. Wie spät ist es in 1000 Stunden (14000 Stunden; 19744 Stunden)?
In Postonien kosten Briefe entweder 56 Cent oder 84 Cent. Das Postministerium will aber
nur eine einzige Briefmarke drucken. Welchen Wert muss diese Marke tragen?
T5
Setze für die Platzhalter Zahlen ein
Tx = {1, 2, ¤, 8}
Tx = {1, 2, 5, ¤}
Tx = {¤, 3, 7, a}
Tx = {1, 27, ¤, a}
Tx = {1, ¤, 5, a}
Tx = {1, 2, ¤, a}
Tx = {1, ¤, a, b}
Tx = {¤, a, b, 7}
Tx = {1, 10, ¤, 30}
Tx = {¤, a, b, 81}
Prüfe, ob die Menge {1; 3; 7; 14; 21; 42} eine Teilermenge ist.
Ergänze so, dass {1; 5; 11; 55; 77; 385} eine Teilermenge ist.
Ergänze so, dass {1; 3; 7; 13; 21; 91} eine Teilermenge ist.
T6
(a)
(b)
(c)
Teilbarkeit, Vielfachensumme
Prüfe die Behauptungen, ohne die Summe (Differenz) auszurechnen
38 | 3800 -76
45 | 135 + 4500
31 | 620 -93
Zerlege in eine Summe oder Differenz
20 | 23060
13 | 38987
11 | 11165
11 | 21945
Prüfe, ohne die Terme auszurechnen
12 | 240*133 - 24
7 | 21*602 + 49
6 | 30*17 - 24*5
13 | 42*11 - 26000
(d)
Bilde Vielfachensummen von a = 5 und b = 4, die den Wert 1 , 5 oder 7 ergeben.
(e)
Bilde Vielfachensummen von a = 6 und b = 10, die den Wert 1 , 2, 4 oder 5 ergeben.
T7
(a)
Quersumme (sum of digits) //Klett Kl5, G8, S. 218
Prüfe, ob die Zahlen durch 3 (durch 9) teilbar sind.
2752 7861 8808 11760
12597
17760
151515
Schreibe jeweils 3 fünfstellige Zahlen auf, die teilbar sind durch
(b1) durch 9
(b2) durch 3, aber nicht durch 9
(b)
(c)
(d)
Ersetze ⌂ so durch eine Ziffer, dass die Zahl durch 9 teilbar ist.
234⌂7; 7⌂312; 2114⌂; 50⌂4; 12⌂99; ⌂9999; 9999⌂
Gib die kleinste (größte) vierstellige Zahl an, die durch 3 (durch 9) teilbar ist.
(e)
Führe den Beweis für die Teilbarkeit durch 3 mit Hilfe der Zerlegung durch für
58401 (1630711).
(f)
Eine fünfstellige Zahl hat die Ziffern 1, 2, 3, 4, und 5. Überlege, ob die Zahl durch 3 (durch 9)
teilbar ist
(g)
Eine 6-stellige Zahl hat lauter gleiche Ziffern, z.B. 555555. Für welche Ziffern ist sie durch 3
(durch 9, durch 11) teilbar?
(h)
Schreibe auf: Alle durch 11 teilbaren dreiziffrigen Zahlen, wobei die erste Ziffer 8 (4; 9) ist.
Blatt 3
Informatik Klasse 8
(j)
Bestimme alle vierstelligen Zahlen z ∈ N der Form "aabb", die durch 99 teilbar sind.
(k)
Finde fünf vierstellige Zahlen im 10er-System, die durch 11 teilbar sind.
(l)
Finde fünf Hex-Zahlen, die durch 17 teilbar sind.
T8
(a)
Was steckt hinter folgenden Tricks?
Nehme eine 10-stellige Zahl, in der jede Ziffer von 0 bis 9 genau einmal vorkommt. Die Zahl
ist durch 9 teilbar.
(b)
Denke Dir eine zweistellige Zahl und schreibe diese 3-mal hintereinander (Beispiel: 47 
474747). Die Zahl ist durch 7 teilbar.
(c)
Schreibe hinter eine Zahl ihr "Spiegelbild". Die neue Zahl ist durch 11 teilbar.
T9
(a)
(b)
Das Produkt von 3 aufeinander folgenden Zahlen ist durch 6 teilbar.
Für alle n ∈ N gilt: 6 | n3 - n
EAN-13
Berechne die Prüfziffer P: 40 56100 04 221P
40 213 7500 174P
40 02334 20738P
Lsg 0
Welche der EAN sind falsch?
4062300078711
4011600001958
4153240080625
4052400068810
Herstellersuche EAN: http://www.gepir.de/v31_client/default.aspx
E1
(a)
Division mit Rest
Finde zu (b; n) die Zahlen q und r ( 0 ≤ r < n )
(101; 17)
(-101; 17)
(105; 17)
(-105; 17)
(b)
Wie viele Teiler besitzt eine natürliche Zahl a > 1 mindestens?
E2
(a)
Bestimme die Restdarstellung für (b; n)
(20; 3)
(-20; 3)
(101; 3)
(2; 5)
(b)
(1; 3) (4; 3) (16; 3)
(24; 5)
E3
(a)
(b)
(c)
(d)
(100; 3)
(4; 5)
Welche der folgenden Zahlen sind restgleich?
437
1706 1258
767
2682
213
97
558
299
1583
1517
648 911
2515
813
459
571 419
1704
8001
Blatt 4
(0; 6)
(224; 4)
(97; 4)
(-1; 6)
(-1; 6)
(-51; 5)
111260
100347
844592
32447
(-56; 5)
400001
1234776
3772304
4666904
bzgl. 3
bzgl. 5
bzgl. 8
bzgl. 9
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E4
(a)
(b)
Wahr oder falsch? Falls falsch, korrigiere:
4500 ≡ 56 mod 101
345 ≡ 21 mod 47
8793 ≡ 60 mod 123
345129 ≡ 335 mod 789
Bestimme jeweils die kleinste natürliche Zahl n, für die gilt:
-39 ≡ n mod 5
17 ≡ 245 mod n
82 ≡ 7891 mod n
62 ≡ 11111 mod n
111 ≡ 22112 mod n n ≡ 82 mod 131 und n > 82
n ≡ 15 mod 17 und n > 17
Euclid (also referred to as Euclid of Alexandria) (Greek: Εὐκλείδης) (c.
325–c. 265 BC), a Greek mathematician, who lived in
Alexandria, Hellenistic Egypt, almost certainly during the reign
of Ptolemy I (323 BC–283 BC), is often considered to be the
"father of geometry". His most popular work, Elements (Book 7),
is thought to be one of the most successful textbooks in the
history of mathematics.
The Euclidean algorithm is one of the oldest algorithms known, since it
appeared in Euclid's Elements around 300 BC. Euclid originally
formulated the problem geometrically, as the problem of finding a
common "measure" for two line lengths, and his algorithm proceeded by repeated subtraction of the
shorter from the longer segment. However, the algorithm was probably not discovered by Euclid and it
may have been known up to 200 years earlier.
Euclid's algorithm for greatest common divisor is still commonly used today; since Elements was
published in the fourth century BC, this algorithm has been in use for nearly 2400 years!
E5
Euklidischer Algorithmus (Trace-Tabelle)
a
b
rest
34
21
-- (Die Eingaben)
21 // a = b;
13 //b = rest 13 // rest = a mod
b;
// STOP
Blatt 5
Beispiel: ggT(34; 21)
Informatik Klasse 8
(832; 160)
(912; 464)
(1170; 735)
(1541; 736)
(3024; 4368)
(702; 1071)
(1024; 6561)
(4674; 21894)
(1584; 4165)
(549; 6039)
(756; 4914)
(354; 2832)
(208; 156),
(255; 76),
(154; 126),
(637; 455)
(144; 189),
(233; 144),
(377; 233)
(610; 377)
(987; 610),
(408; 323)
(49327; 55781)
E6
Ermittle mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus (Trace-Tabelle!) den ggT und anschließend
das kgV von
(1050; 630),
(450; 780),
(588; 3025),
(135; 225),
(150; 420),
(273; 390)
Finde drei Zahlen a, b, c mit ggT(a; b; c) = 1, ggT(a; b) = 2, ggT(b; c) = 3 und ggT(a; c) = 5.
E7
Vielfachensummen
Bestimme mit dem Berlekamp-Algorithmus die Zahlen a' und b' mit aa'+bb' = ggT(a,b):
In der Vielfachensumme kann man a' durch a' + k*b/ggT ersetzen, wenn man gleichzeitig b'
durch b'-k*a/ggT ersetzt. Gib zu jeder der Aufgaben drei weitere Lösungen an.
(a) a=286, b=121
(d) a=235, b= 3567
(g) a=7989, b=1233
(b) a=9111, b=47
(e) a=257, b=267
(h) a=567, b=568
(i)
(j)
(k)
→ 3 = ..*792 - ..* 75
11 = ..*286 - ..* 121
12 = ......* 516 - ......* 372
ggT(792, 75)
ggT(286, 121)
ggT(516, 372)
(c) a=391, b=153
(f) a=322, b=199
E8
(a)
Modulare Inverse
Bestimme mit Hilfe des Berlekamp-Algorithmus das modulare Inverse a' zu a
mod 5:
a = 1, 2, 3, 4
mod 6:
a = 1, 2, 3, 4, 5
mod 7:
a = 1, 2, 3, 4, 5, 6
mod 100:
a = 17, 21, 25, 97
mod 101:
a = 1, 2, 3, 4, 35
(b)
Löse:
2x ≡ 1 mod 5
67x ≡ 1 mod 127
5x ≡ 1 mod 17
66x ≡ 1 mod 109
46x ≡ 1 mod 25
96x ≡ 1 mod 173
(c)
(d)
Berechne modulare Inverse zu a = 3, 5, 7, 11, 12, 15, 16, 32
Berechne modulare Inverse zu a= 6, 7, 8, 9, 10, 12, 20, 30, 120
(e)
Bestimme für a < 11 alle modularen Inversen modulo 11.
Blatt 6
6x ≡ 1 mod 25
324x ≡ 1 mod 381
zum Modul n = 91.
zum Modul n = 19.
Informatik Klasse 8
Palindrome sind symmetrisch lesbare Wörter oder Sätze:
Lagerregal
Sei fein, nie fies
Draculas Alucard
Zahlenpalindrome sind symmetrische Zahlen, z.B. 12321 oder 4664. Die Zahl 2002 ist ein vierstelliges
Palindrom. Zeige: Alle vierstelligen Zahlenpalindrome sind durch 11 teilbar.
Ein Hund jagt ein Kaninchen, das sich 150 Fuß vor ihm befindet. Wenn das Kaninchen 7 Fuß weit
springt, macht der Hund einen Satz von 9 Fuß. Wie viele Sprünge muss der Hund machen, um das
Kaninchen einzuholen? (Nach ALCUIN von York [735 - 804], Lehrer Karls des Großen, lebte in
York, Aachen, und Tours).
Blatt 7