Quadratische Gleichungen

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Aufgaben
Quadratische Gleichungen
(bitte nur für den Eigengebrauch verwenden)
Aufgabe 1
Die Quadratische Gleichung
Welche der folgenden Gleichungen sind quadratische Gleichungen? Bringen Sie alle quadratischen Gleichungen in die Form
ax2 + bx + c = 0
und geben Sie die Werte der Koeffizienten a, b und c an.
2
b)
(x − 1) = 3x3 + 7x2 − 2
3
d)
1
=9
x
f)
a)
(x − 1) = 3x2 − 3
c)
e)
4x2 + 5x − 2 = x (4x − 3)
√
x + x2 = 9
2
x (x − 4) = − (x + 7)
Aufgabe 2
Diskriminante und Anzahl Lösungen
Berechnen Sie von folgenden Quadratischen Gleichungen die Diskriminante und geben Sie an, wie viele
Lösungen die Gleichung hat, ohne jedoch die die Lösungen zu bestimmen.
a)
3x2 − 6x + 3 = 0
b)
−7x2 + 2x + 17 = 0
c)
1
1
1
− x2 + x −
=0
4
7
49
d)
(x + 2) − x = 2x2 − 3
2
Aufgabe 3
Lösen mit Hilfe der Quadratischen Ergänzung
Lösen Sie die folgenden Quadratischen Gleichung durch Quadratisches Ergänzen.
a)
x2 + 4x = 1
b)
x2 − 6x + 13 = 4
c)
1 2
1
x − 5x + 11 =
2
2
d)
1.5x2 + 2x − 7.5 = 0
e)
2x2 − 3x = −4
f)
x2 + 6x + 6 = −3
g)
x2 + 2ax = b2
h)
x2 − 2ax = 6ab + 9b2
Aufgabe 4
Lösen mit der Auflösungsformel
Lösen Sie die Quadratische Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel. Geben Sie immer zuerst die Koeffizienten a, b und c an.
a)
b)
2x2 − 7x + 3 = 0
4x2 − x − 2 = 0
d)
7x2 − x + 11 = 0
e)
8x − 5x2 = 4
√
2x2 − 2x + 0.25 = 0
f)
u2 + 4u = 2.25
g)
x2 + 3x = sx + 2s + x
h)
(x − r) (x − s) = 6 (r − s)
c)
12. Juni 2003
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Aufgabe 5
Anzahl Lösungen bei Gleichungen mit Parameter
Für welche Werte des Parameters hat die Lösungsmenge genau ein Element? Geben Sie für jeden dieser
Parameterwerte die zugehörige Lösung an.
2x2 − 3x + t = 0
a)
b)
x2 + 3sx + 4s + 1 = 0
Aufgabe 6
Anwendung
Damit beim Kugelstossen die Kugel möglichst weit fliegt, muss sie in einem Winkel von 45◦ abgestossen
werden. Für die Flughöge h der Kugel in Abhängigkeit der Zeit t gilt die Formel
√
g
2
h=
vt − t2
2
2
wobei
• v die Abstossgeschwindigkeit
• g = 9.81 m
s2 die Fallbeschleunigung
ist.
Mit welcher Geschwindigkeit darf die Kugel in einer 4 m hohen Halle höchstens abgestossen werden?
Tip: Bestimmen Sie v so, dass die Quadratische Gleichung für die Höhe h = 4 genau 1 Lösung hat.
Aufgabe 7
Quadratische Gleichungen vereinfachen
Eine Gleichung darf links und rechts mit der gleichen Zahl (6= 0) multipliziert werden, ohne dass sich die
Lösungsmenge der Gleichung verändert. Die Quadratische Gleichung
(I)
1 2 1
2
x + x− =0
7
7
7
kann deshalb mit 7 multilpliziert werden und sie vereinfacht sich dadurch erheblich:
(II)
x2 + x − 2 = 0
Prüfen Sie nach, ob die beiden Gleichungen wirklich die gleichen Lösungen liefern.
12. Juni 2003
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