1 Laplace-Wahrscheinlichkeit 2 Bernoulli 3 Vierfeldertafel 4

Aufgaben zur Stochastik
1
Laplace-Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 1.1 Ein Glücksrad mit 12 gleichgroßen Feldern, beschriftet mit den
Zahlen 1 bis 12 wird gedreht. Berechne die W’keit der Ereignisse
A(Zahl ist gerade), B(Zahl ist Primzahl), C(Zahl ist mindestens 5).
Aufgabe 1.2 In einer Urne liegen 4 schwarze, 2 weiße und eine rote Kugel.
Zwei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass (a) die erste Kugel rot, die zweite schwarz ist, (b) beide weiß sind, (c)
genau eine schwarz ist, (d) genau eine rot ist.
2
Bernoulli
Aufgabe 2.1 Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei 29-maligem Würfeln (a) genau 5-mal die eins zu sehen; (b) genau 14-mal eine gerade Zahl zu sehen, (c)
genau 20-mal eine Zahl größer als 4 zu sehen.
Aufgabe 2.2 Karli will den Känguruwettbewerb mit reinem Raten bestreiten.
Bei jeder Aufgabe stehen 5 Antworten zur Auswahl, von denen genau eine richtig
ist. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass er von den 30 Aufgaben 12 richtig
angekreuzt hat?
3
Vierfeldertafel
Aufgabe 3.1 In einer Klasse sind 12 Mädchen und 14 Jungen. 7 der Mädchen
und 3 Jungen kommen mit dem Bus, die anderen kommen zu Fuß zur Schule.
Man trifft zufällig ein Kind der Klasse vor der Schule; wie wahrscheinlich ist es
mit dem Bus gekommen? Wie wahrscheinlich ist es ein Junge? Das Kind ist ein
Mädchen; wie wahrscheinlich kam es zu Fuß? Das Kind kam zu Fuß; wie wahrscheinlich ist es ein Mädchen? Das Kind kam mit dem Bus, wie wahrscheinlich
ist es ein Junge?
Aufgabe 3.2 In einer Firma sind 35% der Beschäftigten Frauen. Von denen
rauchen 20%. Von den Männern sind 45% Nichtraucher. Wie groß ist der Anteil der Raucher an der Belegschaft? Man sieht Rauch aufsteigen; mit welcher
Wahrscheinlichkeit stammt er aus der Zigarette eines Mannes?
4
Gegenwahrscheinlichkeit
Aufgabe 4.1 Ein Schütze trifft mit der Wahrscheinlichkeit 0.2 sein Ziel. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 80 Schüssen mindestens einmal zu treffen?
Aufgabe 4.2 Ein Schütze trifft mit der Wahrscheinlichkeit 0.5 sein Ziel. Wie
oft muss er schießen, um mit der Wahrscheinlichkeit 95% mindestens einmal
zu treffen?
1
Aufgabe 4.3 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 20-maligem Würfeln (a)
keinmal die 5 zu sehen, (b) mindestens einmal die 5 zu sehen, (c) mindestens
zweimal die 5 zu sehen?
Aufgabe 4.4 Drei Schützen schießen gleichzeitig auf eine Tontaube, der erste
trifft mit wahrscheinlichkeit 0.6, der zweite mit 0.5, der dritte mit 0.4. Berechne
die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a) alle drei treffen die Taube; b) wenigstens einer trifft die Taube; c) genau einer
trifft die Taube.
Aufgabe 4.5 In einer Lieferung von 50 Glühbirnen sind 10% defekt. Man entnimmt drei Birnen zufällig. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass (a) keine
defekt ist, (b) genau eine defekt ist, (c) mindestens eine defekt ist.
Aufgabe 4.6 In einer Lieferung von 50 Glühbirnen sind 10% defekt. Wieviele
Birnen muss man entnehmen, um mit 90% Wahrscheinlichkeit mindestens eine
defekte zu finden?
5
Lösungen
6
5
7
1.1) 12
= 12 ; 12
; 12
1 4
2 2 1
1 1 6
1.2) 7 · 6 = 21 ; 7 · 6 = 21
; 7 · 6 + 67 · 16 = 72
¡ ¢ 1 14 1 15
¡29¢ 1 5 5 24
· ( 2 ) ≈ 0.1445;
2.1 5 · ( 6 ) · ( 6 ) ≈ 0.1921; 29
14 · ( 2 )
¡29¢ 1 10 2 19
2.2 20 · ( 3 ) · ( 3 ) ≈ 0.1530
¡ ¢ 1 12 4 18
3.1 30
· ( 5 ) ≈ 0.00638
12 · ( 5 )
14 5
5
3
3.2 10
;
;
;
26 24 12 16 ; 10
4.1 42, 75% Raucher; 35.75/42.75 = 83.6%
4.2 a) kein Treffer q = 0.8, 20-mal kein Treffer 0.820 ; davon das Gegenteil:
1 − 0.820 = 0.98847
b)1 − 0.5n = 0.95 ⇒ 0.5n = 0.05 ⇒ n = 4.32 also 5-mal
4.3 a) n = 20; k = 0; p = 61 ⇒ B = ( 56 )20 ≈ 0.02608
b) k ≥ 1; ⇒ B = 1 − ( 56 )20 ≈ 0.9739
c) 1−B(0)−B(1) = 1−( 56 )20 −20( 16 )1 ( 56 )19 ≈ 1−0.02608−0.10433 = 0.88958
4.4 a) 0.6 · 0.5 · 0.4 = 0.12
b) 1 − 0.4 · 0.5 · 0.6 = 0.88
c) 0.6 · 0.5 · 0.6 + 0.4 · 0.5 · 0.6 + 0.4 · 0.5 · 0.4 = 0.38
4.5 p = 0.1; 50 ist belanglos; n = 3;
a) 0.93 = 0.729 b) 3 · 0.1 · 0.92 = 0.243 c) 1 − 0.93 = 0.271
4.6 1 − 0.9n = 0.90 ⇒ n = log0.1/log0.9 = 21, 85
2