35. Geometrische Optik (Strahlenoptik)

Optik – Geometrische Optik (Strahlenoptik)
35.
Geometrische Optik (Strahlenoptik)
35.1.
Einleitung
−
Optik ist die Lehre vom Licht. Licht sind elektromagnetische Wellen eines bestimmten Bereichs (sichtbares Licht) von ca.
!
λ ≈ (380 .. 700) nm
⇒ Auf 1 m kommen mehr als 1 Million Wellenlängen!
−
Deshalb:
In vielerlei Hinsicht kann man den Wellencharakter des Lichts vernachlässigen und sich auf die Betrachtung von Lichtstrahlen beschränken.
Die Lichtstrahlen sind identisch mit der Ausbreitungsrichtung des Lichts und
stehen senkrecht auf den Wellenfronten.
−
Wir sehen einen Gegenstand, weil Licht von ihm in unser Auge gelangt (direkte
Beobachtung):
·
·
−
!
Von jedem Punkt P der Oberfläche geht ein Strahlenbüschel aus.
Das Licht kann vom Gegenstand G selbst erzeugt werden (z.B. glühendes
Metall, Oberfläche des TV-Bildschirms) oder reflektiert werden.
Wir können aber auch
ein Bild des Gegenstandes sehen. Dies hier ist
ein sogenanntes reelles
Bild, da es auf einen
Schirm projiziert werden
kann:
2
Optik – Geometrische Optik (Strahlenoptik)
−
Im Gegensatz dazu gibt es das virtuelle Bild.
(Das Auge „denkt“, dass das Licht immer geradlinig gelaufen ist!)
−
Eine Lochkamera benutzt eine Lochblende als abbildendes System:
35.2.
Reflexion
−
An einer Grenzfläche zwischen zwei Medien wird Licht reflektiert, und zwar
·
mehr oder weniger vollständig (z.B. Luft - Metall) oder
·
zu einem geringen Teil (z.B. Luft - Glasscheibe).
!
−
Dabei ist Ausfallswinkel = Einfallswinkel (vgl. auch die Skizze zum virtuellen Bild!).
!
Erklärung:
·
FERMATsches Prinzip (es wird der optisch kürzeste Weg gewählt, vgl. <17.3.>)
·
Impulserhaltung (eine Welle transportiert Impuls!)
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Optik – Geometrische Optik (Strahlenoptik)
Die Senkrecht-Komponente p⊥ wird umgedreht
p nach,⊥ = − p vor ,⊥
Die Parallel-Komponente p|| bleibt unverändert
p nach,|| = p vor ,||
Daraus folgt sofort das bereits oben formulierte Reflexionsgesetz.
⇒
−
α1 = α 2
Betrachten wir nun einen sphärischen Hohlspiegel (Teil einer Kugel-Oberfläche)
·
·
bei Punkt A befinde sich ein leuchtender Körper (Gegenstand)
Kugelradius ist r, Spiegelmittelpunkt sei mit M bezeichnet
Für kleine Winkel gilt dann
β=
y
y
y
, γ = sowie δ =
g
r
b
Außerdem findet man
α = γ −β = δ− γ
Daraus folgt mit den oben gefundenen Beziehungen für β, γ und δ
1 1 
 1 1
α = y ⋅  −  = y ⋅  − 
b r
r g
Nach kurzem Umstellen erhält man
⇒
1 1 2
+ =
g b r
(1)
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Optik – Geometrische Optik (Strahlenoptik)
−
Also:
hier:
Alle von A (Gegenstand im Abstand g) ausgehenden Strahlen treffen
sich (für kleine Winkel) in einem Punkt B (Bild im Abstand b).
!
b ... Bildweite
g ... Gegenstandsweite
Es ist
f=
r
2
die Brennweite des Spiegels. Damit wird Gl. (1) zu
1 1 1
+ =
b g f
⇒
(2)
Dies ist die Abbildungsgleichung des Hohlspiegels.
−
u
Diskussion:
·
·
Der Strahlengang ist natürlich umkehrbar, da wir von der Ausbreitungsrichtung keinen Gebrauch gemacht haben, d.h. es ist äquivalent: Gegenstand bei B ⇒ Bild bei A.
Für g → ∞, d.h. parallel einfallendes Licht wird
b=
r
=f
2
Der Punkt P bei
·
!
r
heißt Brennpunkt.
2
Beim sphärischen Spiegel gilt die fokussierende Eigenschaft nur für kleine
Winkel. Ein Parabolspiegel sammelt alle Parallelstrahlen (auch achsenferne)
in einem Punkt F:
Es gilt:
SF =
Beispiel:
∗
∗
p
2
n
Parabolantennen für das Empfangen (Satellitenschüssel) und Senden
„Brennspiegel“
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35.3.
−
Brechung
Licht wird an einer Grenzfläche im Allgemeinen in seiner Richtung geändert.
Dies bezeichnet man als Brechung.
!
Es gilt:
sin α1 n 2
=
sin α 2 n 1
(3)
(Brechungsgesetz)
Die Größe n heißt Brechungsindex. Die Strahlungsrichtung ist bezüglich des
Abknickens ohne Belang (Umkehrbarkeit des Lichtwegs)!
Beispiel:
−
Material
Vakuum
Luft
Wasser
Kronglas BK 1
Flintglas F3
Diamant
n für 20 °C, 589 nm
1,000000
(optisch dünn)
1,000272
1,330
1,510
1,613
2,417
(optisch dicht)
n
Wie wir in <17.2.> gesehen haben, hängt sin α mit der Phasengeschwindigkeit
des Lichts zusammen. Es gilt für den Brechungsindex eines Mediums
n=
c0
cm
(4)
c0 ... Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (≡ c)
cm ... Lichtgeschwindigkeit im Medium
u
Kommentar:
·
Da die Frequenz des Lichts vorgegeben ist, hängt eine Reduzierung der Geschwindigkeit mit einer Verringerung der Wellenlänge zusammen:
Es gilt:
cm = ν ⋅ λ m
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·
Man kann das Abweichen aber auch verstehen als die Möglichkeit, die Zeit
zu minimieren, um von A nach B zu kommen (vgl. vorhergehende Skizze).
Der direkte Weg würde länger dauern (FERMATsches Prinzip, vgl.
<17.3.>)!)
!
·
Bei einem kontinuierlichem Übergang n = n(z) verläuft das Licht natürlich
kontinuierlich gekrümmt.
!
·
Fata Morgana
Die Luft unmittelbar über dem heißen Asphalt ist wärmer, dadurch ist n reduziert. Der optisch kürzeste Weg verläuft also gekrümmt!
·
scheinbarer Ort der Sonne:
Nahe dem Horizont kommt
es zu einer Verschiebung
von ≈ 0,5°. Die Sonne erscheint höher:
7 ⋅ 10 5
≈ 0,3°
150 ⋅ 10 6
35.4.
Totalreflexion
−
Wir betrachten den Übergang vom dichteren ins dünnere Medium
−
Im dünneren Medium muss die Wellenlänge λ größer sein, was durch den unterschiedlichen Winkel gewährleistet wird. Für Fall 4 ist das Maximum erreicht.
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Für diesen Fall folgt mit Gl. (3):
sin α T
n
= 1
sin 90° n 2
eine Möglichkeit zur Berechnung von αT
n1
n2
⇒
sin α T =
bzw.
α T = arcsin
n1
n2
αT ... Grenzwinkel der Totalreflexion
Beispiel:
·
·
−
−
Wasser (n = 1,33) gegen Luft
Glas (n = 1,5) gegen Luft
⇒
⇒









(5)
n
αT ≈ 49°
αT ≈ 42°
Für α > αT erfolgt Reflexion, und zwar praktisch zu 100 % - dies entspricht Fall 5
in der Skizze oben (Metallspiegel haben nur einen Reflexionsgrad von ca. 90%!).
!
Beispiel: Spiegelprismen in Ferngläsern
n
Die „wirkliche Physik“ (≠ Strahlenoptik) stellt sich etwas komplizierter dar: Die totalreflektierte
Welle dringt etwas ins dünnere
Medium ein und klingt dort exponentiell ab (sogenannte evaneszente Welle).
({1}, S. 457)
Stroboskopische
Aufnahme des
Eindringens von
Ultraschallwellen in ein totalreflektierendes
Medium
({1}, S. 457)
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Die evaneszenten Wellen ergeben sich auch formal als Lösungen der MAXGleichungen für den betrachteten Fall:
WELLschen
Anwendungsbeispiel: Glasfaserkabel
n
Es kommt zu einer praktisch verlustlosen Reflexion der Strahlung am äußeren Bereich
mit n1 < n2!
35.5.
−
Prismen
Gegeben sei ein Prisma mit n > 1 in Luft:
Es kommt zur zweimaligen Ablenkung.
Im symmetrischen Fall zeigt sich für die Gesamtablenkung δ
sin
γ+δ
γ
= n ⋅ sin
2
2
(6)
Dieser Zusammenhang ist nicht ganz simpel, da noch der Winkel γ enthalten ist.
Jedoch sieht man, dass die Ablenkung stark von n abhängt!
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Optik – Geometrische Optik (Strahlenoptik)
−
Im Allgemeinen gilt jedoch
n = n (λ )
Diese Erscheinung heißt Dispersion.
−
Einige typische Beispiele:
n
In der Regel sinkt also der Brechungsindex n mit zunehmender Wellenlänge λ,
was als normale Dispersion bezeichnet wird. 1
!
Die Dispersion bewirkt beispielsweise die Spektralzerlegung am Prisma:
1
Typisch ist die höhere Absorption im UV-Bereich.
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