Übungsblatt 11 - Institut für Mathematik

Institut für Mathematik
Geometrie und Lineare Algebra
J. Schönenberger- Deuel
Übung 11
Aufgabe 1. (4 Punkte)
Welche der folgenden Abbildungen f : R2 → R2 sind linear? Beweisen sie ihre Antwort
und geben sie gegebenenfalls deren Darstellungsmatrix an.
x
x+2
x
x+y
a) f :
7→
b) f :
7→
y
y
y
y
x
x+x
x
x·x
c) f :
7→
d) f :
7→
y
y+x
y
y+x
Aufgabe 2. (3 Punkte)
Bestimmen Sie, falls möglich, die Darstellungsmatrix der linearen Funktion f bezüglich
der Standardbasis.
a) f (1, 1) = (2, 1) und f (1, −1) = (0, 1)
b) f (2, 3) = (4, 1) und f (−4, 2) = (0, 2)
c) f (2, 1) = (2, 1) und f (−4, −2) = (0, 1)
Aufgabe 3. (2 Punkte)
Zeigen Sie, dass die Spaltenvektoren der Matrix
√
A=
−√ 22
2
2
√
− √22
− 22
!
orthogonal sind. Stellt A eine Rotation dar? Wenn ja, welche? (Skizze!)
Aufgabe 4. (3 Punkte) Gegeben ist das Dreieck A(7, 4), B(−2, 5), C(0, −6).
a) Welches ist die Abbildungsmatrix einer Rotation um 0 um −45◦ ? Berechnen Sie
das Bild des Dreiecks ABC bei dieser Abbildung.
b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix, wenn zuerst an der y-Achse gespiegelt und
dann um −45◦ gedreht wird? Berechnen Sie das Bild des Dreiecks ABC bei dieser
Abbildung.
Aufgabe 5. (4 Punkte)
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix der folgenden linearen Abbildungen f .
x
2x − y
x
x
a) f :
7→
b) f :
−→
y
x+y
y
y
x
0
x
−y
c) f :
−→
d) f :
−→
y
0
y
2x + y
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24th November 2013
Institut für Mathematik
Geometrie und Lineare Algebra
J. Schönenberger- Deuel
Aufgabe 6. (4 Punkte)
Beschreiben sie, falls möglich, die inversen Abbildungen von folgenden Abbildungen.
Geben sie die Matrix der Abbildung und ggf. der Inverse an.
a) Rotation um 45◦ .
b) Spiegelung an der Geraden y = x.
c) Scherung entlang der x-Achse um Winkel 45◦
d) Orthogonalprojektion auf die Gerade y = x.
Aufgabe 7. (3 Punkte)
Wie lautet die Transformationsmatrix bei einer Spiegelung an der Geraden g mit der
Gleichung
a) y = x?
b) y = 12 x ? (Tipp: zuerst die Gerade g drehen bis sie mit der x-Achse zusammenfällt!)
Abgabe: 5. 12. 13
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