Aufgaben

Mathe II für Naturwissenschaften
20.04.17
Dr. Christine Zehrt
Übung 7
Uni Basel
Besprechung der Lösungen: 24.–28. April 2017 in den Übungsstunden
Die Pharmaübungsstunde 32621-04 von Clemens findet ab sofort jeweils Freitags um
10.15 – 12.00 Uhr im Hörsaal 2 des Pharmazentrums statt.
Aufgabe 1
Die 2-stelligen booleschen Funktionen sind alle auf Seite 84 mit Hilfe einer Wertetabelle aufgelistet. Beschreiben Sie die Funktionen f3 , f4 , f5 , f6 und f10 , f11 , f12 , f13 , f14 durch möglichst
einfache boolesche Ausdrücke.
Aufgabe 2
(a) Überprüfen Sie die Gesetze von de Morgan (Satz 8.3(d)) mit Hilfe von Wertetabellen.
(b) Beschreiben Sie die drei Operationen ∧, ∨ und ¬ ausschliesslich mit NOR-Funktionen
(d.h. beweisen Sie den 2. Teil von Satz 8.5, Seite 88).
Aufgabe 3
Sind die folgenden Abbildungen linear? Wenn ja, geben Sie die Darstellungsmatrix [T ] an.
(a) T : R2 −→ R2 , T (x1 , x2 ) = (2x1 − x2 , x1 + 8x2 )
(b) T : R2 −→ R3 , T (x1 , x2 ) = (x1 + 3x2 , x1 , 2x2 )
(c) T : R3 −→ R3 , T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x3 , x21 + x2 x3 , x1 )
(d) T : R3 −→ R2 , T (x1 , x2 , x3 ) = (0, 0)
(e) T : R2 −→ R2 , T (x1 , x2 ) = (1, 1)
(f) T : Rn −→ R, T (x1 , . . . , xn ) = xn + 2017
Aufgabe 4
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen der folgenden Kompositionen T2 ◦ T1 : R2 −→ R2 .
(a) T1 : Orthogonalprojektion auf die x-Achse, T2 : Drehung um 90◦
(b) T1 : Drehung um 45◦ , T2 : Spiegelung an der Geraden y = −x
Gilt T2 ◦ T1 = T1 ◦ T2 in (a), bzw. (b) ?
Aufgabe 5
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen der folgenden linearen Abbildungen T : R3 −→ R3 .
(a) T ist die Orthogonalprojektion auf die xz-Ebene
(b) T ist die Drehung um den Winkel ϕ = 60◦ um die z-Achse
1
Berechnen Sie anschliessend das Bild des Vektors ~v = 1 für jede der beiden Abbildungen
1
T durch Multiplikation mit der zugehörigen Darstellungsmatrix [T ].
Zusatzaufgaben
Aufgabe 6
n
Begründen Sie, dass es 2(2 ) verschiedene n-stellige boolesche Funktionen gibt (d.h. beweisen
Sie Satz 8.4).
Aufgabe 7
Von einer linearen Abbildung
T : R2 −→ R2 kennen wir die zwei Bilder T (~e1 + ~e2 ) = ( 24 )
6 . Ist damit T eindeutig bestimmt? Wenn ja, bestimmen Sie die zwei
und T (~e1 − ~e2 ) = −2
reellwertigen Funktionen w1 (x1 , x2 ) und w2 (x1 , x2 ) mit T (x1 , x2 ) = (w1 , w2 ).
Aufgabe 8
Sei T : R2 −→ R2 eine lineare Transformation und A die Matrix, deren Spalten die Bilder
(unter T ) der Basisvektoren ~e1 und ~e2 von R2 sind, das heisst A = ( T (~e1 ) T (~e2 ) ). Zeigen
Sie, dass T (~x) = A~x für alle ~x in R2 .