Blatt 05

Prof. Dr. L. Schwachhöfer
Dr. F. Klinker
WS 2007/2008
Übungsblatt 5 zur Vorlesung
Geometrie für Lehramt Gymnasium:
Elementare Differentialgeometrie
Aufgabe 1:
Es sei L eine komplexwertige Abbildung, und D ⊂ C ihr maximaler Definitionsbereich. L heißt
Möbiustransformation, wenn es komplexe Zahlen a, b, c, d mit ad − bc 6= 0 gibt, so dass für alle
z ∈ D das Bild als
az + b
L(z) =
(♠)
cz + d
geschrieben werden kann. Die Matrix ac db heißt dann eine Darstellungsmatrix von L. Es sei M die
Menge der Möbiustransformationen.
a) Zeigen Sie, dass die Komposition L ◦ L0 zweier Möbiustransformationen L, L0 ∈ M wieder
eine solche ist und vergleichen Sie die drei zugehörigen Darstellungsmatrizen.
b) Zeigen Sie, dass L ∈ M invertierbar ist, indem Sie zur Darstellungsmatrix A von L eine
solche für L−1 angeben.
Umgekehrt definiert man die Abbildung τ , die einer Matrix A =
wertige Abbildung τA mit der Abbildungsvorschrift (♠) zuordnet.
ab
cd
∈ Mat(2, C) eine komplex-
c) Wie muss man den Definitionsbereich von τ einschränken, damit das Bild gerade M ist?
d) Zeigen Sie, dass τ nicht injektiv ist, indem Sie nachweisen, dass zwei Matrizen genau dann
das selbe Bild haben, wenn sie proportional zueinander sind.
e) Mit b) und d) geben Sie zu L ∈ M mit L(z) =
an.
az+b
cz+d
eine möglichst einfache Form von L−1
Aufgabe 2:
Zeigen Sie, dass man jede Möbiustransformation als Komposition spezieller Möbiustransformationen der Form
1
, az, z + b,
z
schreiben kann.
Aufgabe 3:
Berechnen Sie die Fixpunkte der Möbiustransformation L mit Darstellungsmatrix ac db . Zeigen Sie
dazu, dass mit χ := (a + d)2 − 4(ad − bc) folgendes gilt: Ist χ · c 6= 0 dann gibt es genau zwei
Fixpunkte. Wenn entweder χ = 0 oder c = 0 ist, so gibt es genau einen Fixpunkt. In allen anderen
Fällen ist L die Identität oder es gibt keinen Fixpunkt.
Aufgabe 4:
z−i
. Skizzieren Sie die Urbilder von
z+i
Kreisen um den Ursprung. Geben Sie das Urbild der Einheitskreisscheibe an.
Berechnen Sie das Inverse der Möbiustransformation L(z) =
Hinweis: Möbiustransformationen bilden (verallgemeinerte) Kreise auf (verallgemeinerte) Kreise
ab. Zur Festlegung des Urbilds eines Kreises geben Sie also den Mittelpunkt und den Radius des
Urbildkreises an. Verwenden sie dabei, dass sich jeder Punkt auf einem Kreis um den Ursprung als
Reiφ = R(cos φ + i sin φ) schreiben läßt mit φ ∈ [0, 2π[.