Institut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger- Deuel Übung 11 Aufgabe 1. (4 Punkte) Welche der folgenden Abbildungen f : R2 → R2 sind linear? Beweisen sie ihre Antwort und geben sie gegebenenfalls deren Darstellungsmatrix an. x x+2 x x+y a) f : 7→ b) f : 7→ y y y y x x+x x x·x c) f : 7→ d) f : 7→ y y+x y y+x Aufgabe 2. (3 Punkte) Bestimmen Sie, falls möglich, die Darstellungsmatrix der linearen Funktion f bezüglich der Standardbasis. a) f (1, 1) = (2, 1) und f (1, −1) = (0, 1) b) f (2, 3) = (4, 1) und f (−4, 2) = (0, 2) c) f (2, 1) = (2, 1) und f (−4, −2) = (0, 1) Aufgabe 3. (2 Punkte) Zeigen Sie, dass die Spaltenvektoren der Matrix √ A= −√ 22 2 2 √ − √22 − 22 ! orthogonal sind. Stellt A eine Rotation dar? Wenn ja, welche? (Skizze!) Aufgabe 4. (3 Punkte) Gegeben ist das Dreieck A(7, 4), B(−2, 5), C(0, −6). a) Welches ist die Abbildungsmatrix einer Rotation um 0 um −45◦ ? Berechnen Sie das Bild des Dreiecks ABC bei dieser Abbildung. b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix, wenn zuerst an der y-Achse gespiegelt und dann um −45◦ gedreht wird? Berechnen Sie das Bild des Dreiecks ABC bei dieser Abbildung. Aufgabe 5. (4 Punkte) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix der folgenden linearen Abbildungen f . x 2x − y x x a) f : 7→ b) f : −→ y x+y y y x 0 x −y c) f : −→ d) f : −→ y 0 y 2x + y HS13 1/2 24th November 2013 Institut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger- Deuel Aufgabe 6. (4 Punkte) Beschreiben sie, falls möglich, die inversen Abbildungen von folgenden Abbildungen. Geben sie die Matrix der Abbildung und ggf. der Inverse an. a) Rotation um 45◦ . b) Spiegelung an der Geraden y = x. c) Scherung entlang der x-Achse um Winkel 45◦ d) Orthogonalprojektion auf die Gerade y = x. Aufgabe 7. (3 Punkte) Wie lautet die Transformationsmatrix bei einer Spiegelung an der Geraden g mit der Gleichung a) y = x? b) y = 12 x ? (Tipp: zuerst die Gerade g drehen bis sie mit der x-Achse zusammenfällt!) Abgabe: 5. 12. 13 HS13 2/2 24th November 2013