8 Lineare Abbildungen

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Lineare Abbildungen
In diesem Kapitel untersuchen wir lineare Abbildungen von Rn nach Rm wie zum Beispiel
Spiegelungen, Drehungen, Streckungen und Orthogonalprojektionen in R2 und R3 . Man
nennt eine Abbildung linear, wenn man sie durch eine Matrix darstellen kann. Die Komposition (d.h. Verknüpfung) von zwei linearen Abbildungen kann dadurch einfach berechnet
werden. Weiter können an der Matrix einer linearen Abbildung die wichtigsten Eigenschaften
der Abbildung abgelesen werden.
8.1
Definition und Beispiele
Im letzten Semester haben wir reelle Funktionen (d.h. Funktionen von R nach R) betrachtet.
Nun kann man nicht nur Zahlen aus R, sondern auch Punkten in R2 , R3 oder allgemein Rn
eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel
Eine Funktion f : Rn −→ R nennt man reellwertige Funktion von n reellen Variablen.
Seien nun f1 , . . . , fm reellwertige Funktionen von n reellen Variablen, das heisst
w1 = f1 (x1 , . . . , xn )
w2 = f2 (x1 , . . . , xn )
..
.
wm = fm (x1 , . . . , xn ) .
Durch diese Gleichungen wird jedem Punkt (x1 , . . . , xn ) in Rn genau ein Punkt (w1 , . . . , wm )
in Rm zugeordnet. Wir erhalten damit eine Abbildung
T : Rn −→ Rm
durch
T (x1 , . . . , xn ) = (w1 , . . . , wm ) .
Der Buchstabe T steht für Transformation, denn Abbildungen von Rn nach Rm werden auch
Transformationen genannt.
Beispiel
Die Gleichungen
w1 = x1 + x2
w2 = 3x1 x2
w3 = x21 − x22
definieren eine Abbildung T : R2 −→ R3 durch
T (x1 , x2 ) = (x1 + x2 , 3x1 x2 , x21 − x22 ) .
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−→
Fasst man n-Tupel nicht als Punkte P in Rn sondern als Ortsvektoren ~x =OP in Rn
auf, dann erhalten wir eine Abbildung, welche Vektoren in Rn auf Vektoren in Rm abbildet. Tatsächlich werden wir Elemente aus Rn und Rm stets als Vektoren betrachten,
da wir ja mit der Struktur dieser Räume als Vektorräume vertraut sind und insbesondere
lineare Abbildungen den Rn auf einen Vektorraum in Rm abbilden. Die Funktionsvorschrift
T (x1 , . . . , xn ) = (w1 , . . . , wm ) bedeutet in diesem Fall also, dass der Vektor ~x in Rn mit
den Komponenten x1 , . . . , xn auf den Vektor w
~ in Rm mit den Komponenten w1 , . . . , wm
abgebildet wird. Oft beschreiben wir die Abbildung direkt mit Vektoren: T (~x) = w.
~
Definition Eine Abbildung T : Rn −→ Rm definiert durch T (x1 , . . . , xn ) = (w1 , . . . , wm )
heisst linear, wenn
w1 = a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn
w2 = a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn
..
..
.
.
wm = am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn
für reelle Zahlen aij (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n).
Das heisst, alle Variablen x1 , . . . , xn kommen in den Komponentenfunktionen w1 , . . . , wm
linear (d.h. zur ersten Potenz oder gar nicht) vor. Dieses Gleichungssystem kann man als
Matrixmultiplikation ausdrücken

 
 
a11 a12 · · · a1n
x1
w1
 a21 a22 · · · a2n   
 ..  
 . 
 .  =  ..
..
..   .. 
 .
.
.  
wm
xn
am1 am2 · · · amn
das heisst
T (~x) = w
~ = [T ]~x
wobei [T ] = (aij ) die sogenannte Darstellungsmatrix der linearen Abbildung T ist. Die
Einträge der Darstellungsmatrix hängen von der Wahl der Basen von Rn und Rm ab. Wir
wählen vorerst stets die Standardbasen; die Darstellungsmatrix nennt man in diesem Fall
auch Standardmatrix von T .
Beispiele
1.
T : R3 −→ R3 , T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 − x3 , 2x1 − 3x3 , 5x2 )
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2.
T : R2 −→ R3 , T (x1 , x2 ) = (x1 + 2x2 , x1 , 0)
3.
T : R2 −→ R2 , T (x1 , x2 ) = (x21 + x2 , 3x1 )
4.
T : R3 −→ R2 , T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + 4x3 , 1)
Eine Abbildung T : Rn −→ Rm ist also linear, wenn es eine m × n-Matrix A gibt (nämlich
A = [T ]), so dass T (~x) = A~x. Insbesondere gilt
T (~0) = A~0 = ~0
in Rm . Bei einer linearen Abbildung gilt stets, dass ~0 in Rn auf ~0 in Rm abgebildet wird.
Lineare Abbildungen werden also durch Matrizen beschrieben. Umgekehrt beschreibt
jede Matrix eine lineare Abbildung. Ist A eine m × n-Matrix, so definiert diese eine lineare
Abbildung T : Rn −→ Rm durch T (~x) = A~x.
Beispiel
Die Matrix
A=
1 2
3 0
definiert eine lineare Abbildung T : R2 −→ R2 durch
1 2
x1 + 2x2
x1
T (~x) = A~x =
=
.
3 0
3x1
x2
Was ist also zum Beispiel das Bild des Vektors ~x = ( 75 ) unter T ?
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Beispiele von linearen Abbildungen von R2 nach R2
Die wichtigsten linearen Abbildungen von R2 nach R2 kennen Sie aus der Schule: Spiegelungen, Projektionen, Drehungen und Streckungen.
1. Spiegelung an der y-Achse
T
−→
2. Spiegelung an der Geraden y = x
T
−→
3. Orthogonalprojektion auf die x-Achse
T
−→
4. Drehung um den Winkel ϕ um den Ursprung
T
−→
Es gilt (Herleitung später)
T (x, y) = (x cos ϕ − y sin ϕ, x sin ϕ + y cos ϕ) .
84
5. Streckung um den Faktor k mit dem Ursprung als Streckzentrum
T
−→
Spezialfälle:
1 0
• k = 1: T = Id Identität, T (x, y) = (x, y), [T ] =
0 1
0 0
• k = 0: T = 0 Nullabbildung, T (x, y) = (0, 0), [T ] =
0 0
Komposition von linearen Abbildungen
Seien T1 : Rn −→ Rk und T2 : Rk −→ Rm zwei lineare Abbildungen. Für ~x in Rn ist T1 (~x)
ein Vektor in Rk , dessen Bild unter T2 ein Vektor T2 (T1 (~x)) in Rm ist. Die Verknüpfung von
T1 und T2 ist also eine Abbildung von Rn nach Rm , die Komposition von T2 mit T1 genannt
und mit T2 ◦ T1 bezeichnet wird (vgl. letztes Semester, Kapitel 1); das heisst
(T2 ◦ T1 )(~x) = T2 (T1 (~x))
für alle ~x in Rn .
Die Komposition T2 ◦ T1 ist wieder linear, denn sie kann als Matrixmultiplikation beschrieben
werden.
Es gilt folglich
[T2 ◦ T1 ] = [T2 ][T1 ] .
Die Reihenfolge der beiden Matrizen auf der rechten Seite ist dabei wichtig.
Beispiel
Sei T1 : R2 −→ R2 die Spiegelung an der Geraden y = x und T2 : R2 −→ R2 die Orthogonalprojektion auf die y-Achse. Man bestimme die Komposition T2 ◦ T1 .
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8.2
Eigenschaften
Eine lineare Abbildung von Rn nach Rm hat die Eigenschaft, dass sie mit den Vektorraumstrukturen von Rn und Rm verträglich ist; das heisst, es spielt keine Rolle, ob zwei Vektoren
in Rn zuerst addiert und danach abgebildet werden oder ob sie zuerst abgebildet und danach
ihre Bilder in Rm addiert werden (entsprechend für die skalare Multiplikation).
Satz 8.1 Eine Abbildung T von Rn nach Rm ist genau dann linear, wenn für alle ~x, ~y in Rn
und k in R die folgenden zwei Linearitätsbedingungen gelten:
(1) T (~x + ~y ) = T (~x) + T (~y )
(2) T (k ~x) = k T (~x)
Insbesondere ist das Bild des Vektorraums Rn unter einer linearen Abbildung stets wieder
ein Vektorraum in Rm .
Warum gilt der Satz 8.1 ? Nun, ist T eine lineare Abbildung, dann kann man mit Hilfe
der Distributivgesetze für Matrizen leicht nachprüfen, dass T die Linearitätsbedingungen (1)
und (2) erfüllt.
Umgekehrt, ist T eine Abbildung von Rn nach Rm , welche die Linearitätsbedingungen (1)
und (2) aus Satz 8.1 erfüllt, dann gilt T (~x) = A~x für die Matrix A, deren Spalten die Bilder
(unter T ) der Basisvektoren e~1 , . . . , e~n von Rn sind, das heisst für
A = ( T (e~1 ) · · · T (e~n ) ) .
Die Abbildung T lässt sich also als Matrixmultiplikation schreiben und ist deshalb linear.
Damit gilt insbesondere die folgende wichtige Tatsache.
Satz 8.2 Sei T eine lineare Abbildung von Rn nach Rm . Dann stehen in den Spalten der
Darstellungsmatrix [T ] die Bilder der Basisvektoren e~1 , . . . , e~n von Rn .
Beispiel
Sei T : R2 −→ R2 die Spiegelung an der y-Achse.
Der Satz 8.2 ist vor allem dann praktisch, wenn eine lineare Abbildung geometrisch
beschrieben ist und die Abbildungsvorschrift T (~x) = w
~ nicht bekannt ist. Bestimmt man
die Bilder der Basisvektoren, dann ist die Abbildung eindeutig beschrieben.
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Beispiele
1. Sei T : R2 −→ R2 die Drehung um den Winkel ϕ um den Ursprung.
2. Sei T : R3 −→ R3 die Drehung um den Winkel ϕ um die x-Achse.
8.3
Basiswechsel
Tatsächlich gilt Satz 8.2 nicht nur für die Standardbasis e~1 , . . . , e~n von Rn , sondern für jede
beliebige Basis B = {u~1 , . . . , u~n } von Rn . Ist T : Rn −→ Rn eine lineare Abbildung, dann
erhält man die Darstellungsmatrix [T ]B von T bezüglich der Basis B, indem man die Bilder
der Basisvektoren u~1 , . . . , u~n in die Spalten der Matrix schreibt.
Beispiel
Sei T : R2 −→ R2 die Spiegelung an der Geraden g mit dem Richtungsvektor ~u1 =
√ 3
1
.
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Bezüglich der Standardbasis wäre die Darstellungsmatrix [T ] von T gegeben durch
√ !
[T ] =
1
√2
3
2
3
2
− 21
.
Im Gegensatz zur Matrix [T ] ist die Darstellungsmatrix [T ]B sofort erkennbar als Matrix
einer Spiegelung. Zudem lässt es sich mit Diagonalmatrizen sehr leicht rechnen. Aus diesen
Gründen ist ein Basiswechsel manchmal sinnvoll.
Tatsächlich gibt es eine (algebraische) Beziehung zwischen den Matrizen [T ]B und [T ].
Wir schreiben die Basisvektoren der Basis B als Spalten in eine 2 × 2-Matrix. Eine übliche
Bezeichnung dieser Matrix ist P −1 (tatsächlich ist diese Matrix invertierbar, da die Spalten
linear unabhängig sind). Wir setzen also
√
3 √
−1
−1
.
P = ( ~u1 ~u2 ) =
1
3
Damit ist
P = (P
−1 −1
)
1
=
4
√
3 √1
−1
3
und es gilt
[T ]B = P [T ] P −1
Die Matrix P −1 beschreibt dabei den Basiswechsel von der Basis B zur Standardbasis und
die Matrix P beschreibt den Basiswechsel von der Standardbasis zur Basis B.
Satz 8.3 Sei T : Rn −→ Rn eine lineare Abbildung und B eine beliebige Basis von Rn . Dann
gilt
[T ]B = P [T ] P −1
wobei in den Spalten von P −1 die Basisvektoren von B stehen.
Die Kunst ist nun, eine Basis B zu finden, so dass die Matrix [T ]B diagonal ist. Dies ist
tatsächlich “nur” ein Handwerk, welches wir im nächsten Kapitel erlernen. Man muss die
sogenannten Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix [T ] berechnen.
Lineare Abbildungen zwischen allgemeinen Vektorräumen
In der Literatur werden lineare Abbildungen oft direkt durch die Linearitätsbedingungen von
Satz 8.1 definiert. Dies hat den Vorteil, dass man sich nicht auf Abbildungen von Rn nach
Rm beschränken muss. Man geht von zwei (reellen) Vektorräumen V und W aus und nennt
eine Abbildung T : V −→ W linear, wenn gilt
(1) T (u + v) = T (u) + T (v)
(2) T (k v) = k T (v)
für alle u, v ∈ V und k ∈ R.
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Beispiele
1. Sei V = {ax2 + bx + c | a, b, c ∈ R} die Menge aller Polynome vom Grad ≤ 2. Wir haben
im letzten Semester (Kapitel 10, Seite 145) gesehen, dass V ein Vektorraum ist. Sei nun
T : V −→ V definiert durch
T (p) = p′ ,
das heisst, T (ax2 +bx+c) = 2ax+b (man leitet das Polynom p = p(x) nach x ab). Dies ist eine
lineare Abbildung, denn für Polynome p1 , p2 ∈ V und k ∈ R gilt mit den Ableitungsregeln
T (p1 + p2 ) = (p1 + p2 )′ = p′1 + p′2 = T (p1 ) + T (p2 )
T (kp1 ) = (kp1 )′ = kp′1 = kT (p1 )
2. Sei V die Menge aller 2 × 2-Matrizen und W = R. Wir betrachten T : V −→ W definiert
durch
T (A) = det(A)
für A ∈ V . Dies ist keine lineare Abbildung, da im Allgemeinen gilt
T (A + B) = det(A + B) 6= det(A) + det(B) = T (A) + T (B) .
Wählt man je eine Basis für V und W , dann kann man die lineare Abbildung T : V −→ W
durch eine (reelle) m × n-Matrix beschreiben, wobei m = dim(W ) und n = dim(V ).
Betrachten wir den Spezialfall W = V . Wir wählen also eine Basis B von V . Nach Satz 8.2
(leicht angepasst), stehen dann in den Spalten der Darstellungsmatrix [T ]B die Koordinaten
der Bilder der Basisvektoren.
Beispiel
Betrachten wir das 1. Beispiel oben mit V = {ax2 + bx + c | a, b, c ∈ R}. Eine Basis für V ist
B = {x2 , x, 1}. Nun bestimmen wir die (Koordinaten der) Bilder der Basisvektoren:
Die Matrix [T ]B beschreibt nun die Abbildung T im folgenden Sinn.
Sei beispielsweise
p(x) = 3x2 − 2x + 5. Der Koordinatenvektor von p bzgl. der Basis B ist
3 dann ~v = −2 . Dann ist der Koordinatenvektor von T (p) gegeben durch
5
Wir erhalten also
89
8.4
Bedeutung der Determinante einer Darstellungsmatrix
An der Determinante der Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung T : Rn −→ Rn (bzw.
T : V −→ V ) können gewisse Eigenschaften von T abgelesen werden.
Umkehrbare lineare Abbildungen
Eine lineare Abbildung T : Rn −→ Rn ist umkehrbar (d.h. bijektiv), wenn es eine lineare
Abbildung T −1 : Rn −→ Rn gibt, so dass
T ◦ T −1 = T −1 ◦ T = Id
die Identität ist (vgl. letztes Semester, Kapitel 1). Für die Darstellungsmatrizen (bzgl.
der Standardbasis oder einer anderen Basis) folgt [T ][T −1 ] = [T −1 ][T ] = E (wobei E die
Einheitsmatrix bezeichnet). Das heisst, [T ] ist invertierbar und
[T −1 ] = [T ]−1 .
In Worten: Die Darstellungsmatrix der Umkehrabbildung T −1 ist die Inverse [T ]−1 der
Darstellungsmatrix [T ] von T .
Ist umgekehrt T : Rn −→ Rn eine lineare Transformation und [T ] invertierbar, dann ist
T umkehrbar und T −1 ist definiert durch T −1 (~x) = [T ]−1 ~x für alle ~x in Rn .
Es gilt also
T umkehrbar ⇐⇒ [T ] invertierbar .
Mit Satz 9.5 (b), Seite 142, vom letzten Semester erhalten wir den folgenden Satz.
Satz 8.4 Sei T : Rn −→ Rn linear. Dann gilt
T umkehrbar
⇐⇒
det([T ]) 6= 0 .
Wegen Satz 8.3 ist die Standardmatrix [T ] invertierbar, genau dann wenn die Darstellungsmatrix [T ]B zu jeder anderen Basis B invertierbar ist. Der Satz 8.4 gilt also auch für [T ]B
anstelle von [T ].
Beispiele
1. Sei T : R2 −→ R2 die Orthogonalprojektion auf die x-Achse.
2. Sei T : R2 −→ R2 die Drehung um den Ursprung um den Winkel ϕ.
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Volumenänderung
Sei A eine n × n-Matrix. Wir hatten letztes Semester (Kapitel 9, Seite 143) bemerkt,
dass | det(A)| gleich dem Volumen des von den Spaltenvektoren von A aufgespannten Parallelepipeds ist.
Sei nun n = 2 und A = [T ] die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung T : R2 −→ R2 .
Die Standardbasis ~e1 , ~e2 von R2 wird unter T auf die Spaltenvektoren ~v1 , ~v2 von A abgebildet
(gemäss Satz 8.2). Der Flächeninhalt des von ~e1 und ~e2 aufgespannten Quadrats ist gleich 1,
das von ~v1 und ~v2 aufgespannte Parallelogramm hat den Flächeninhalt | det(A)|. Der Betrag
der Determinante ist also ein Mass für die durch die Abbildung bewirkte Veränderung des
Flächeninhalts (bzw. Volumen in höheren Dimensionen).
Orientierung von geometrischen Figuren
Was passiert eigentlich mit einem Dreieck in R2 unter einer linearen Abbildung von R2 nach
R2 ? Nehmen wir beispielsweise das Dreieck mit den Eckpunkten P = (1, 1), Q = (3, 1),
R = (4, 3) und die drei linearen Abbildungen definiert durch die Matrizen
2 −1
−1 3
1 0
A=
, B=
, C=
.
−1 2
1 −2
0 0
Unter der Abbildung A werden die Eckpunkte P, Q, R auf die Punkte P ′ = (1, 1), Q′ = (5, −1),
R′ = (5, 2) abgebildet, unter der Abbildung B auf P ′′ = (2, −1), Q′′ = (0, 1), R′′ = (5, −2)
und unter der Abbildung C auf P ′′′ = (1, 0), Q′′′ = (3, 0), R′′′ = (4, 0).
y
R
R’
Q’’
1
P
Q
P’
1
P’’’
Q’’’
x
R’’’
Q’
P’’
R’’
Es gilt allgemein, dass unter einer linearen Abbildung T : R2 −→ R2 ein Dreieck auf ein
Dreieck abgebildet wird, falls det([T ]) 6= 0. Weiter gilt:
det([T ]) > 0 =⇒ die Orientierung des Dreiecks bleibt erhalten
det([T ]) < 0 =⇒ die Orientierung des Dreiecks wird umgekehrt
Diese Bemerkungen gelten auch für andere geometrische Figuren als Dreiecke.
91
Drehungen und Spiegelungen im R2 und R3
Drehungen und Spiegelungen im R2 und R3 sind umkehrbar, also ist die Determinante der
Darstellungsmatrix einer Drehung oder Spiegelung ungleich Null.
Es gilt weiter, dass Drehungen und Spiegelungen längen- und winkeltreu sind, das heisst
Strecken werden auf Strecken gleicher Länge abgebildet und die Winkel (eines Dreiecks
beispielsweise) bleiben erhalten.
Ist A die Darstellungsmatrix einer Drehung oder Spiegelung in R2 , dann wird das Einheitsquadrat aufgespannt von den Standardbasisvektoren ~e1 , ~e2 also auf ein Quadrat Q der
Seitenlänge 1 abgebildet. Es gilt deshalb
| det(A)| = Flächeninhalt(Q) = 1 .
Analog gilt | det(A)| = 1 auch im R3 .
Da eine Drehung orientierungserhaltend und eine Spiegelung orientierungsumkehrend ist,
folgt
T Drehung
T Spiegelung
=⇒ det([T ]) = 1
=⇒ det([T ]) = −1 .
Durch eine Drehung oder Spiegelung (mit Darstellungsmatrix A) bleibt also die Länge
eines beliebigen Vektors ~v in R2 oder R3 unverändert,
kA~v k = k~v k .
Die Länge eines Vektors kann man mit dem Skalarprodukt ausdrücken:
Es gilt also
AT A = E .
Satz 8.5 Die Darstellungsmatrix einer Drehung oder Spiegelung im R2 oder R3 bzgl. einer
Orthonormalbasis ist orthogonal.