34. Österreichische Mathematik Olympiade 2003

34. Österreichische Mathematik Olympiade 2003
Kurswettbewerb für Anfänger
16. Mai 2003
1. Zahlentheorie:
a) Zeige, dass der Ausdruck n3 + 6n 2 + 14n für alle natürlichen Zahlen durch 3 teilbar ist!
2003
b) Untersuche ob 2003 eine Primzahl ist und bestimme die Einerziffer der Zahl 2003
!
8 P.
2. Gleichungen und Ungleichungen:
8
1 1 1 1 1 1
a) Beweise für alle a, b, c ∈ R + die Gültigkeit der Ungleichung:  +  .  +  .  +  ≥
 b c   a c   a b  abc
In welchem Fall gilt Gleichheit?
x

x
b) Gegeben ist die Gleichung  + 2  = + 1 . Löse über der Menge der reellen Zahlen.
3
 2
8 P.
3. Geometrie:
8 P.
Kurswettbewerb für Anfänger - LÖSUNGEN
16. Mai 2003
1. Aufgabe:
a) Zeige, dass der Ausdruck n3 + 6n 2 + 14n für alle natürlichen Zahlen durch 3 teilbar ist!
Lösung: Die Aufgabe kann mittels vollständiger Induktion oder einfach durch die Methode der
Fallunterscheidung mittels Restklassen (Kongruenzen) gezeigt werden.
Dabei genügt es sogar, sich auf den Term n³ +14.n zu beschränken, da 6.n² offensichtlich durch 3
teilbar ist: Man zeige also, dass n³ + 14.n durch 3 teilbar bzw. n 3 + 14.n ≡ 0(mod 3)
Fall 1: n ≡ 0(3) folgt: n 3 ≡ 0(3) und 14.n ≡ 0(3) , also auch n 3 + 14.n ≡ 0(3)
Fall 2: n ≡ 1(3) folgt: n 3 ≡ 1(3) und 14.n ≡ 14.1 ≡ 2(3) , also auch n 3 + 14.n ≡ 1 + 2 ≡ 0(3)
Fall 3: n ≡ 2(3) folgt: n 3 ≡ 8 ≡ 2(3) und 14.n ≡ 28 ≡ 1(3) , also auch n 3 + 14.n ≡ 2 + 1 ≡ 0(3)
Damit ist für alle möglichen Restklassen die Behauptung gezeigt! ( q.e.d.)
(4 Punkte)
b) Untersuche ob 2003 eine Primzahl ist und bestimme die Einerziffer der Zahl
Lösung:
20032003
!
Um zu untersuchen, ob 2003 eine Primzahl ist, genügt es zu zeigen, ob aus der Menge
{2,3,5,...45}ein Primteiler von 2003 existiert. (wegen 2003 < 45² = 2025). Durch ausprobieren der
Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 oder mittels „Sieb von Eratosthenes“ erkennt man
dass kein Primteiler existiert, und daher 2003 eine Primzahl ist!
2003
wird erzeugt durch Kongruenz modulo 10:
Die Einerziffer von 2003
1
es gilt z.B. 2003 ≡ 3(10) , 2003 2 ≡ 9(10) , 20033 ≡ 7(10) , 2003 4 ≡ 1(10) und 20035 ≡ 3(10) .
Damit erkennt man eine Periodizität modulo 4 beim Auftreten der 4 möglichen Einerziffern 3,9,7,1.
Da die Hochzahl 2003 ≡ 3(4) ist, muss die 3. auftretende Ziffer die gesuchte Ziffer sein:
2003
7 ist die Einerziffer von 2003
!
(4 Punkte)
2. Aufgabe:
8
1 1 1 1 1 1
a) Beweise für alle a, b, c ∈ R + die Gültigkeit der Ungleichung:  +  .  +  .  +  ≥
 b c   a c   a b  abc
In welchem Fall gilt Gleichheit?
Lösung:
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die linke Seite der Ungleichung umzuformen und dann die Anwendbarkeit
der AM-GM Mittelungleichung zu erkennen. ( weil a,b,c sicher positiv sind)
Die einfachste Art ist, die AM-GM auf jeden Term einzeln anzuwenden. Denn dann gilt:
1
1
1
1 1
 1 1
1 1
,  +  ≥ 2.
und  +  ≥ 2.
Da alle Terme positiv sind gilt somit für
 +  ≥ 2.
b.c  a c 
a.c
a.b
b c
a b
1
1
1
1
8
1 1 1 1 1 1
2.
2.
= 8. 2 2 2 =
die Multiplikation auch:  + . + . +  ≥ 2.
b.c
a.c
a.b
a.b.c
b c a c a b
a .b .c
Die Gleichheit ergibt sich damit für a = b= c, was direkt wieder aus der AM-GM-Mittelungleichung
2 2 2
8
folgt: . . = 3
a a a a
(4 Punkte)
2. Aufgabe:
x

x
b) Gegeben ist die Gleichung  + 2  = + 1 . Löse über der Menge der reellen Zahlen.
3
 2
Lösung:
Es gibt mehrere Ideen, die zur Lösung führen, weil ja leicht erkennbar ist, dass wegen der Definition der
Gausklammerfunktion [x] die rechte Seite der Gleichung eine ganze Zahl und damit x≡0(2), also x eine
gerade ganze Zahl sein muss! Somit kann bereits mit probieren feststellen, dass etwa x = 2 eine Lösung
ist!
Um allerdings alle Lösungen zu finden muss man eine Abschätzung durchführen:
Es gilt nämlich allgemein, dass x-1 < [x] ≤ x oder x < [x]+1≤ x+1 gilt :
x
x
x
x

+ 2 <  + 2 + 1 = + 1 + 1 ≤ + 2 + 1
Dies bedeutet für unsere Angaben:
3
3
2

3
x
x
x
x x x
und damit
+ 2 < + 2 ≤ + 3 bzw. nach einfacher Umformung
< ≤ + 1 bzw.
3
2
3
3 2 3
2 x < 3 x ≤ 2 x + 6 und schließlich: 0<x≤ 6 . Also lautet die Lösungsmenge: L = {2 ,4, 6} wie auch die
Probe zeigt.
(4 Punkte)
3. Aufgabe:
a) Die Seitenlänge des abgebildeten Quadrats ABCD
beträgt 12 cm. Auf den Seiten AB und CD werden die Punkte P, Q so
angenommen, dass die Länge der Strecke BP gleich der Länge DQ gleich
einem Viertel der strecke AB ist. Auf PQ ist eine Normale zu errichten, die
CD in M und AD in N schneidet, so dass CM und DN gleich lang sind.
Berechne die Strecke DN!
Lösung: Laut Angabe gilt DQ = PB = 3 cm. Man ziehe in der Zeichnung eine Normale auf DC durch Q
mit dem Schnittpunkt E auf AB. Wegen dem Normalwinkelsatz gilt ∆MDN ~ ∆QEP und außerdem
QE=12cm, EP = 6 cm. Bezeichnet man DN = x und MD = 12-x so gilt laut Strahlensatz:
EP 6
x
=
=
und nach Lösung der Gleichung x = DN = 4 cm.
q.e.d
EQ 12 12 − x
b) Bestimme in der folgenden Abbildung den Winkel α:
Lösung: Laut Angabe ist M1 der Mittelpunkt des Thaleskreises über AB mit dem
rechten Winkel ∠AM2B. Der Mittelpunkt M2 ist Mittelpunkt des
Peripheriekreises über AB durch C. Weil CM1 die Strecke AB offensichtlich
halbiert, bzw. Symmetrieachse ist, ist das Dreieck ABC gleichschenklig und
der Winkel ∠ACB = 180° -2.α. Dieser Winkel ist auch Peripheriewinkel
zum Zentriwinkel ∠AM2B = 90° und somit gilt: ∠ACB = 180° -2.α = 45°
Daraus errechnet sich leicht der Winkel α zu 67,5°.
q.e.d