Lösungen zur Aufwärmübung

Lösungen zur Aufwärmübung
5
12
4
3
− 15
= 20
(Hauptnenner
1
6
1
− 12 · −8 = 16
(Kürzen und
(1) (a)
60, dann kürzen!)
(b)
Vorzeichenbehandlung)
(c) (Doppelbruch sofort beseitigen und klarmachen, dass man die Sache leicht im Kopf ausrechnen
kann)
2
6
6
5
−1 = −5 = − 5
3
3
= 34 · a1 oder auch 4a
= 14 · a3 , natürlich auch weitere Möglichkeiten, die uninteressanter sind,
3
1
etwa 1 · 4a .
3c
4a
3
1
(e) −3c−4a
4abc = − 4abc − 4abc = − 4ab − bc .
a
(f) Der Bruch b sollte eindeutige Lösung der Gleichung xb = a sein, und die ist eindeutig lösbar
genau dann, wenn b 6= 0. Im Falle b = 0 hat man: Wenn a = 0, so ist jede reelle Zahl Lösung der
Gleichung. Wenn a 6= 0, so besitzt die Gleichung überhaupt keine Lösung. Dagegen: Ist b 6= 0, so
ist 0b = 0, da 0 die einzige Lösung von xb = 0 ist.
x − (2a − 3b + 4c) = x − 2a + 3b ¡− 4c
¢
3x2 y 2 − 12x4 y 3 − 9x3 y 5 = 3x2 y 2 1 − 4x2 y − 3xy 3
(3a − b)(2a + b) + (3a − b)(−3a − b) = (3a − b) (−a) = −3a2 + ab
(Man sollte so weit wie möglich im Kopf rechnen.)
(d)
(2)
(3)
(4)
(5)
3
4a
a3 b−2
a−3 b3 c2
1
2
√ +
√
a− 5 a+ 5
1
1
1
1−a + 1+a
=
=
=
a6 b5
,
c2 √
√
√
a + 5 + 2a − 2 5
3a − 5
= 2
,
a2 − 5
a −5
1 − a2
2
(6) 2x − 3 (x − 3) + x = 4 (−x + 1) ist gleichwertig zu 4x = −5, also zu x = −5/4. (Terme im Kopf aufsammeln!) Neben den Regeln der Klammerauflösung benötigt man vor allem das Distributivgesetz, das
gerade das Zusammenfassen von Termen mit x erlaubt. Weiter noch die Regel, dass Summieren derselben Zahl auf beiden Seiten einer Gleichung die Gleichung bestehen lässt, schließlich Assoziativgesetz
und Kommutativgesetz der Addition sowie die Tatsachen, dass
−a + a = 0 und 0 + a = a.
√ √
√
√ ¢
√
¡
6
(7) x 2 − 2x + 5 = 6 hat die eindeutige Lösung x = √5+
, völlig nach demselben Muster der
2−2
vorigen Aufgabe, aber man kann eben die Wurzeln exakt nicht weiter ausrechnen oder zusammenfassen.
(Allenfalls wäre mit Erweitern noch ein Nenner ohne Wurzel erreichbar, aber darauf wollen wir hier
verzichten.)
√
√
√ √
√
(8) 3 27 = 3, denn 33 = 27. 3 16 = 3 8 · 3 2 =√2 3 2.
(9) x2 = 5 hat die beiden Lösungen x1,2 = ± 5, x2 = −5 hat keine reelle Lösung.
(10) Man denke daran, dass die Terme nach demselben Muster wie in Aufgaben 6 und 7 zusammenzufassen
sind: Es entsteht die Gleichung 2x2 −12x+1 = 0, Division durch 2 führt auf Normalform x2 −6x+ 12 = 0,
Anwendung der Lösungsformel ergibt
r
1
1√ √
x1,2 = 3 ± 9 − = 3 ±
2 17
2
2
(11) Es ist die Gerade mit Steigung − 13 (’Steigungsdreieck’ sollte man bringen bzw. die Leute in Erinnerung
rufen lassen), welche durch den Punkt (0, −2) geht. Dann ist sie sofort zu zeichnen. Der Winkel ist der
mit dem Tangenswert − 13 , mit dem Taschenrechner erhält man etwas mehr als 18 Grad. (Wir nehmen
hier kein Bogenmaß.)
1
2
(12) Die Gleichung − 13 x − 2 = 12 x + 3 hat die eindeutige Lösung x = −6, also handelt es sich um den Punkt
(−6, 0) . Das sollte man auch grob zeichnerisch prüfen. Der Winkel zwischen den Geraden (genauer einer
der beiden Winkel) kann hier elementar überlegt werden nach der Skizze, die man zum vorigen Punkt
schon zu machen hatte:
4
-6
-4
-2
0
2 x
4
-2
Es ist die Summe der beiden Winkel, also 45 Grad. Das bekommen wir hier allerdings nicht genau hin,
sondern nur numerisch, da wir kein Skalarprodukt haben. Stattdessen sollten wir noch ein wenig überlegen, wie wir elementar das entsprechende Problem bei Vorliegen zweier Steigungen desselbe Vorzeichens
(durch Differenzbildung zweier Winkel) lösen könnten.
(13) Der Mittelwert kann beliebig im Intervall [x1 , xn ] liegen. Also x1 ≤ M ittelwert ≤ xn . Wenn nicht alle
Zahlen gleichen Wert haben, so gilt genauer x1 < M ittelwert < xn . Insbesondere ist der Mittelwert ≥ 0,
wenn alle Einzelwerte es sind. Diese Umstände sollte man ruhig intuitiv zu sehen wagen. Andererseits
können wir das auch aus den Grundtatsachen folgern, dass:
Wenn x < y, so a + x < a + y für alle Zahlen a,
Wenn x ≤ y, so a + x ≤ a + y für alle Zahlen a.
So folgt aus x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn zunächst x1 + x1 ≤ x1 + x2 , usw., schließlich nx1 ≤ x1 + ... + xn ,
woraus folgt x1 ≤ M ittelwert. Analog nxn ≤ x1 + ... + xn , also xn ≥ M ittelwert. Entsprechend folgt
die strenge Ungleichung, wenn in der Reihe wenigstens eine strenge Ungleichung steht.