Prüfungen Mathematik 2
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STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 2 Teil 1, 26. Jänner 2005 Name: Matr.Nr.: 1. Ein Natriumatom hat einen Durchmesser von ca. 410-7 m. a) Berechnen Sie näherungsweise das Volumen des Atoms unter der Annahme, dass es kugelförmig ist! Rechnen Sie mit Zehnerpotenzen und geben Sie bei jedem Rechenschritt die verwendete Potenzrechenregel allgemein an! b) Bei dichtester Packung füllen Kugeln ungefähr 74% des zur Verfügung stehenden Raumes aus. Wie viele Atome wären demnach etwa in einem Würfel mit der Kantenlänge 1mm? Wie lange würde es dauern, diese Atome zu zählen, wenn man (bzw. eine Maschine) in einer Sekunde 10 5 Atome zählen könnte? 2. 0 23,8 34,0 5,7 A , B , C , D , 0 43,6 256,6 3321 a) Berechnen Sie die kartesischen Koordinaten von B und C ! b) Berechnen Sie die Polarkoordinaten von D ! c) Berechnen Sie den Umfang des Vierecks ABCD ! 3. a) 1 3 c1 A 2 , B 2 , C c 2 0 0 4 6 sind die Eckpunkte eines Rechtecks mit AB 2 BC . Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte C und D ! b) Das Rechteck ist Grundfläche einer geraden Pyramide mit der Höhe 18. Berechnen Sie die Koordinaten der Spitze! c) Berechnen Sie (unter Verwendung entsprechender Vektoren) den Winkel. den die Seitenkante mit der Grundfläche einschließt! (Eine Spitze genügt!) 4. Beim Auflösen einer Substanz in einem Lösungsmittel ist die nach t Sekunden gelöste Menge (in g) gegeben durch: M(t ) S (1 e ct ) a) Bei Benzoesäure in Wasser beträgt S=28 g/l, nach 30 Sekunden sind (in 1 Liter Wasser) 15,5 g aufgelöst. Berechnen Sie daraus c! b) Wann sind 25 g aufgelöst? STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 2 Name: Teil 2, Matr.Nr.: 5. f(x) = x²+2x+3 a) Ermitteln Sie den Differenzenquotienten von f im Intervall [1;3] ! b) Ermitteln Sie den Differentialquotienten von f an der Stelle 1 nur mit Hilfe der Definition, also ohne Differentiationsregeln! c) Deuten Sie die beiden Begriffe anhand eines Graphen! Überprüfen Sie an diesem Graphen die in a) und b) ermittelten Werte! d) Interpretieren Sie den Differenzenquotienten und den Differentialquotienten für den Fall, dass f eine Zeit-Ort-Funktion ist! 6. Die Bahn eines geworfenen Körpers (im Vakuum) lässt sich durch folgende Funktion beschreiben: g x² f : x x tan (0 90, v v ) 2v ² cos ² a) Stellen Sie die Wurfweite w als Funktion von dar! b) Für welchen Winkel ist die Wurfweite am größten? c) Was versteht man unter einer lokalen Maximumstelle? Was ist eine Maximumstelle? Beschreiben Sie wie man mit Hilfe der Differentialrechnung (lokale) Maximumstellen ermitteln kann! 7. Ermitteln Sie das Volumen einer Kugel mit dem Radius r=8 a) mit Hilfe der Integralrechnung, b) näherungsweise mittels Ober- und Untersummen (oder mittels Zwischensummen)! (Zerlegen Sie dazu das Intervall [0;8] in 4 gleich lange Teilintervalle!) c) Leiten Sie die Formel für das Volumen einer Kugel mit dem Radius r ab! 8. Ein Autofahrer fährt mit 144 km/h und muss eine Notbremsung durchführen. Innerhalb der nächsten 8 Sekunden bringt er das Auto zum Stehen. Wir nehmen an, dass die Geschwindigkeit durch die Funktion v:[0;8] t at 2 b gegeben ist. a) Ermitteln Sie die Werte a und b und skizzieren Sie die Geschwindigkeitsfunktion! b) Berechnen Sie, welchen Weg das Auto in diesen 8 Sekunden zurücklegt, mittels Integral, c) Was versteht man unter einer Stammfunktion? Formulieren Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung! 2005 STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 2 (Teil 1) Name: 13. November 2008 Matrikelnummer: 1. a) In Yoghurt wird in einem Volumen von 10-3mm³ 80 Yoghurt-Bakterien gezählt. Wie viele solcher Bakterien sind in einem Viertelliter? Wie groß ist das Volumen der in einem Viertelliter enthaltenen Zellen, wenn man annimmt, dass sie kugelförmig sind und einen Radius von 10-6m haben? Rechnen Sie mit Zehnerpotenzen und geben Sie bei jedem Schritt die entsprechende Potenzrechenregel allgemein an! b) Lösen Sie die Gleichung ax²+(a+b)x+b=0 nach x! (a0) Warum muss diese Gleichung mindestens eine Lösung haben? 2. a) Von einem Dreieck kennt man: a=7,1; c=8,2; ß=115°. Berechnen Sie die Seite b und den Winkel ! b) Berechnen Sie die Seite b ohne Sinus- und Cosinussatz! c) Leiten Sie den Cosinussatz für ein Dreieck ab, in dem a, c, und ß>90° gegeben sind! d) Definieren Sie cos für ]0 ;90 [;, 0 ; 90 ; [0 ;360 [; R ! 3. Von einer Kugel kennt man die Punkte A=(3; 2;-5) und B=(-1; -2; 5). Der Mittelpunkt der Kugel liegt auf der Geraden 0 1 g: X = 3 + t 4 3 1 a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Kugel! b) Stellen Sie Gleichungen der Tangentialebenen in A und B auf! c) Unter welchem Winkel schneiden einander die beiden Ebenen? 4. Der Luftdruck nimmt mit der Höhe exponentiell ab: Er sinkt auf die Hälfte des Werts, wenn die Höhe um 5500m zunimmt. a) Stellen Sie eine Formel auf, die den Zusammenhang zwischen Höhe und Luftdruck angibt! b) Auf dem Gipfel eines Berges misst man einen Luftdruck von 712 hPa (=712mbar). Am Fuß des Berges herrscht ein Luftdruck von 991 hPa. Berechnen Sie die Höhe dr Bergspitze vom Fuß des Berges aus gerechnet! c) Berechnen Sie die Höhe des Berges über Meeresniveau, wenn auf Meeresniveau ein Luftdruck von 1013 hPa angenommen wird! STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 2 (Teil 2) November 2008 Matrikelnummer: Name: a 5. a) Definieren Sie: b) Für welche Zahlen x gilt: (i) x-3<1 c) Definieren Sie d) Gilt: n a (ii) x+ab (natürlich ohne Potenzen mit rationalen Exponenten) a 2 = a ?? Begründung! 6. Ein Rotationskörper entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion f: x (6 x) x , x[0;6] a) Stellen Sie den Querschnittsflächeninhalt A des Rotationskörpers als Funktion von x dar! b) Berechnen Sie auf 2 Arten (mit Hilfe von f(x) bzw. mit Hilfe von A(x)), an welcher Stelle der Körper die größte Querschnittsfläche hat! c) Begründen Sie allgemein anschaulich, wie man mit Hilfe der Differentialrechnung Extremwerte ermitteln kann! Formulieren Sie den entsprechenden Satz! (Oder auch mehrere Sätze!) Welche zusätzlichen Überlegungen sind noch nötig? (Begründung!) d) Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers! 7. a) Ermitteln Sie den Differenzenquotienten von f: x x²+2x+3 im Intervall [1;3]! b) Ermitteln Sie den Differentialquotienten von f an der Stelle 1 nur mit Hilfe der Definition, also ohne Differentiationsregeln! c) Deuten Sie die beiden Begriffe anhand eines Graphen! Überprüfen Sie an diesem Graphen die in a) und b) ermittelten Werte! d) Interpretieren Sie den Differenzenquotienten und den Differentialquotienten für den Fall, dass f eine Zeit-Ort-Funktion ist! 8. Ein Autofahrer fährt mit 144 km/h und muss eine Notbremsung durchführen. Innerhalb der nächsten 8 Sekunden bringt er das Auto zum Stehen. Wir nehmen an, dass die Geschwindigkeit durch die Funktion v:[0;8] t at 2 b gegeben ist. a) Ermitteln Sie die Werte a und b und skizzieren Sie die Geschwindigkeitsfunktion! b) Berechnen Sie, welchen Weg das Auto in diesen 8 Sekunden zurücklegt, (i) mittels Integral, (ii) näherungsweise mittels Zwischensummen! c) Was versteht man unter einer Stammfunktion? Formulieren Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung! STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 2 (Teil 1) Name: 27. April 2011 Matrikelnummer: 1. a) In Yoghurt werden in einem Volumen von 10-3mm³ 80 Yoghurt-Bakterien gezählt. Wie viele solcher Bakterien sind in einem Viertelliter? Wie groß ist das Volumen der in einem Viertelliter enthaltenen Zellen, wenn man annimmt, dass sie kugelförmig sind und einen Radius von 10 -6m haben? Rechnen Sie mit Zehnerpotenzen und geben Sie bei jedem Schritt die entsprechende Potenzrechenregel allgemein an! 2 Von einer Standlinie AB kennt man die Koordinaten der Endpunkte: A=(23,1; 16,4), B=(84,7; 11,2) a) Bestimmen Sie die Polarkoordinaten von A ! b) Von der Standlinie wird ein Punkt P vermessen: AP =77,1; die Strecken [A,B] und [A,P] schließen einen Winkel von 197,3° ein. Berechnen Sie die kartesischen Koordinaten von P! 3 A=(-2;-1), B=(4;7), C=(1;10) a) Stellen Sie Parameterdarstellungen der Geraden g=AB und h=AC auf! b) Ermitteln Sie Gleichungen der Streckensymmetralen der Strecken [A,B] und [A,C] sowie c) deren Schnittpunkt! Welche Bedeutung hat dieser Schnittpunkt? (Begründung!) d) Zeigen Sie, dass auch die dritte Streckensymmetrale durch den Schnittpunkt der beiden anderen geht! 4. Der Luftdruck nimmt mit der Höhe exponentiell ab: Er sinkt auf die Hälfte des Werts, wenn die Höhe um 5500m zunimmt. a) Stellen Sie eine Formel auf, die den Zusammenhang zwischen Höhe und Luftdruck angibt! b) Auf dem Gipfel eines Berges misst man einen Luftdruck von 712 hPa (=712mbar). Am Fuß des Berges herrscht ein Luftdruck von 991 hPa. Berechnen Sie die Höhe der Bergspitze vom Fuß des Berges aus gerechnet! c) Berechnen Sie die Höhe des Berges über Meeresniveau, wenn auf Meeresniveau ein Luftdruck von 1013 hPa angenommen wird! STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 2 (Teil 2) Name: 5 28. April 2011 Matrikelnummer: a) Differenzieren Sie die Funktion f: x x³-4x² ausschließlich mit Hilfe der Definition des Differentialquotienten (d.h. ohne Verwendung von Differentiationsregeln)! Beschreiben Sie dabei in Worten, was die Berechnung von „lim ...“ bedeutet! b) k n n Leiten Sie die Differentiationsregel für x x her! (Die Regel für x x soll dabei als bekannt vorausgesetzt werden.) 6 a) Zeigen Sie, dass für die Funktion F: t Cet gilt: F’(t)=F(t) Interpretieren Sie diese Gleichung für den Fall, dass F(t) die Anzahl der Bakterien in einer Nährlösung darstellt. b) Formulieren Sie die verwendete Differentiationsregel allgemein! 7 a) Definieren Sie den Begriff streng monoton wachsend! Beschreiben Sie, wie man mit Hilfe der Differentialrechnung eine Funktion auf ihr Monotonieverhalten untersuchen kann! b) Wo ist die Funktion x ln(1+x²) streng monoton wachsend bzw. fallend? c) Wo ist die Funktion x ln(1+x²) rechts- bzw. linksgekrümmt? d) 1 Berechnen Sie (mit Hilfe von Aufgabe b): 2x 1 x 2 dx 0 8 Bei guter Bodenhaftung und guten Bremsen verliert ein Auto bei einer Vollbremsung pro Sekunde ca. 8m/s an Geschwindigkeit. Bei einer Anfangsgeschwindigkeit von vo ist also seine Geschwindigkeit gegeben durch v(t)= vo 8t. a) Berechnen Sie den Bremsweg bei vo =144 km/h mittels Integral, b) näherungsweise mittels Zwischensummen (4 Teilintervalle)!! STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 2 Matrikelnummer: Name: 1. a) b) 7. September 2011 Bestimmen Sie die Definitionsmenge des folgenden Ausdrucks und vereinfachen Sie ihn! Geben Sie bei jedem Umformungsschritt die jeweils verwendete Regel an! 1 1 x x2 3 2 x 1 Drücken Sie aus der Formel R=M(1 - cat) (i) die Größe a (ii) die Größe t durch die jeweils übrigen Größen aus! 2. a) Für welche Zahlen a, b hat die Gleichung (a-1)x²+2bx+a+1=0 (i) keine Lösung in (ii) genau eine Lösung (iii) genau 2 Lösungen (iv) mehr als 2 Lösungen? (Begründung!) 3 19, 2 64,3 5, 7 P , Q , R 211, 6 172,9 29, 6 a) Berechnen Sie die kartesischen Koordinaten von P und Q ! b) Berechnen Sie die Polarkoordinaten von R ! 4. Wir nehmen an, dass sich die Anzahl der verkauften Lexika einer neuen Auflage 80000 durch die Formel (t in Jahren) beschreiben lässt. 2 c 1, 7 t a) Auf Grund von Vorbestellungen werde sofort mit Erscheinungsdatum 1600 Stück abgesetzt. Berechnen Sie daraus c! b) Wann würden nach diesem Modell 30000 Lexika verkauft worden sein? 5 a) 4 Von einer Kugel kennt man M 1 und r = 3. 3 Stellen Sie eine Gleichung der Kugel auf! b) 2 P 1 x 3 liegt auf der Kugel. Berechnen Sie x3! c) Ermitteln Sie die Schnittpunkte der Kugel mit der Geraden: 6 X 5 t 4 1 2 1 d) Wie weit ist der Mittelpunkt der Kugel von der Ebene x1 + 2x2 – 2x3 = 8 entfernt? 6 a) 3 Zeigen sie, dass die Vektoren 1 , 2 1 2 , 5 2 10 linear abhängig sind. 16 Definieren Sie allgemein, wann man n Vektoren linear abhängig nennt. Geben Sie eine weitere, zu dieser Definition äquivalente Formulierung an. b) Zeigen Sie, dass die Matrizen 2 3 und 2 3 zu einander invers sind. 1 2 1 2 7 a) Differenzieren Sie die Funktion f: x x³-4x² ausschließlich mit Hilfe der Definition des Differentialquotienten (d.h. ohne Verwendung von Differentiationsregeln)! Beschreiben Sie dabei in Worten, was die Berechnung von „lim ...“ bedeutet! b) Differenzieren Sie und geben Sie die verwendeten Differentiationsregeln allgemein an: (i) f :x esin x (ii) sin e x f :x 8 a) Wo ist die Funktion x ln(1+x²) streng monoton wachsend bzw. fallend? b) 1 Berechnen Sie (mit Hilfe von Aufgabe a): 2x 1 x 2 dx 0 9 Bei guter Bodenhaftung und guten Bremsen verliert ein Auto bei einer Vollbremsung pro Sekunde ca. 8m/s an Geschwindigkeit. Bei einer Anfangsgeschwindigkeit von vo ist also seine Geschwindigkeit gegeben durch v(t)= vo 8t. a) Berechnen Sie den Bremsweg bei vo =144 km/h mittels Integral, b) näherungsweise mittels Zwischensummen (4 Teilintervalle)!! MATHEMATIK FÜR DIE STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG Mathematik 2 20. September 2011 Name: Matrikel-Nummer: 1 a) Vereinfachen Sie: 1 a a und geben Sie bei jedem Schritt die verwendete a² 2 a a² 4 Bruchrechenregel allgemein an! b) Drücken Sie aus R (1 A) B die Größen A bzw. B durch die übrigen A B Größen aus! 2 a) a11,8 und b9,24 sind gerundete Werte. Berechnen Sie Fehlerschranken für a b und b ! a b) Formulieren Sie die Monotoniegesetze! 3 a) Wie kann man sin, cos und tan für Winkel > 90° definieren? b) Wie kann man sin, cos und tan im rechtwinkligen Dreieck, also für Winkel < 90° definieren? Begründen Sie dass diese Definition mit der in Aufgabe a übereinstimmt! 4 a) Stellen Sie die Normalvektorform der Ebene durch die Punkte 0 2 4 A 0 , B 1 , C 0 0 3 5 auf! b) Das Dreieck ABC ist Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide mit der Höhe 9. Berechnen Sie die Koordinaten der Spitze S unter der Voraussetzung, dass die Seitenkante BS normal auf die Grundfläche steht! 5 Von einem radioaktiven Präparat sind nach 4 Tagen Stunden noch 82% vorhanden. a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz sowohl mit einer Basis a als auch mit der Basis e dar! b) Ermitteln Sie unter Verwendung beider Formeln die Halbwertszeit! 6 Es seien a , a , a die Zeilenvektoren der 3x3-Matrix A. Wir schreiben: 1 2 3 det A = det ( a1, a2, a3 ). Begründen Sie (aber nicht mit der Regel von Sarrus, sondern entweder mit dem Entwicklungssatz oder mit den in dieser Aufgabe jeweils vorangegangenen Beziehungen): a) det ( a1, k a2, a3 ) = k det ( a1, a2, a3 ) b) det ( a1, a2, o ) = 0 c) det ( a1, a2, a3 b3 ) = det ( a1, a2, a3 ) + det ( a1, a2, b3 ) d) det ( a1, a3 , a2 ) = det ( a1, a2, a3 ) f) det ( a1, a2, a2 ) = 0 g) det ( a1, a2, a3 a1 a2 ) = det ( a1, a2, a3 ) 7 Differenzieren Sie die Funktion ln(sin²x) auf zwei Arten (einmal direkt, einmal nach vorheriger Umformung der Funktion mit Hilfe einer Rechenregel für Logarithmen)! 8 a) Gegeben ist die Funktion f : x ( 4 x) x Ermitteln Sie den Inhalt der vom Graphen von f und der ersten Achse eingeschlossenen Fläche. (Skizze!) b) Diese Fläche rotiert um die erste Achse: Berechnen Sie das Volumen dieses Rotationskörpers (i) mittels Integral, (ii) mittels Zwischensummen (4 Teilintervalle). c) Geben Sie die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers allgemein an und begründen Sie sie. STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 2 6. Dezember 2012 Name: 1 a) Matr.Nr.: Vereinfachen Sie: 1 a a a² 2 a a² 4 und geben Sie bei jedem Schritt die verwendete Bruchrechenregel allgemein an! b) Drücken Sie aus der Formel E=A (1 (i) die Größe p p t ) 100 (ii) die Größe t durch die jeweils übrigen Größen aus! 2 a) a7,8 und b6,24 sind gerundete Werte. Berechnen Sie Fehlerschranken für a b und b) 3 b ! a Formulieren Sie die Monotoniegesetze! Bei der Produktion von 40 Mengeneinheiten (ME) einer Ware erwachsen Kosten in der Höhe von 420 Geldeinheiten (GE), bei Produktion von 60 ME betragen die Kosten 580 GE. a) Ermitteln Sie die Gleichung der Kostenfunktion unter der Annahme, dass diese (annähernd) linear ist! Wie hoch sind die Fixkosten, wie hoch die variablen Kosten pro ME? b) Falls 1 ME zu 9 GE verkauft wird, ab wann arbeitet der Betrieb kostendeckend? d) Überprüfen Sie die obigen Ergebnisse anhand einer Zeichnung! 4 Wir nehmen an, dass sich die Anzahl der verkauften Blue-Ray-DVD100000 Recorder durch die Formel (t in Monaten) beschreiben lässt. 5 17 1, 2t a) Wie viele Geräte würden nach diesem Modell nach 1 Jahr verkauft worden sein? b) Wann würden nach diesem Modell 10000 Geräte verkauft worden sein? 5 a) Wie ist das Bogenmaß eines Winkels definiert? Berechnen Sie das Gradmaß eines Winkels mit dem Bogenmaß=1,3! b) Für welche , [0°, 360°[ gilt: Für welche x gilt: 6 cos = -0,4 tan = 0,8 cos x = 0,3 1 5 Von einem Quadrat ABCD kennt man: A ; B 2 1 Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte C und D! 7 a) Wie lautet die Definition des Differentialquotienten? Differenzieren Sie f: x x³ 4x² ohne Verwendung von Differentiationsregeln (also nur mit Hilfe der Definition des Differentialquotienten)! b) Zeigen Sie, dass die Ableitung der Funktion x ln(x 1 x² ) durch 1 gegeben ist, und formulieren Sie alle verwendeten x x2 1 Differentiationsregeln allgemein! c) Berechnen Sie unter Verwendung von Aufgabe 7b): 1 4 1 x² 1 dx Formulieren Sie den verwendeten Satz allgemein! 8 Ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h und führt eine Vollbremsung durch. Die Geschwindigkeit sei t Sekunden nach Beginn des Bremsvorganges gegeben durch v(t)= - t² + b. a) Stellen Sie die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion auf, d. h. ermitteln Sie b! Wie lange dauert der Bremsvorgang? (Achten Sie auf die verschiedenen Einheiten!) b) Berechnen Sie den Bremsweg - mittels Integral, - näherungsweise durch Zwischensummen (5 Teilintervalle)! c) Beschreiben Sie anschaulich, was man unter einem Integral versteht! STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 2 7. Jänner 2013 Name: 1 Matr.Nr.: a) Ein Auto fährt eine Strecke von 145 km in 87 Minuten. Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit! b) Geben Sie Schranken für die mittlere Geschwindigkeit (in km/h) an unter der Annahme, dass die obigen Werte gerundet sind. c) Formulieren Sie die in Aufgabe b) verwendete Regel zur Ermittlung der Fehlerschranken allgemein! 2. a) Drücken Sie aus der Formel I U 1 R L c 2 2 die Größe C durch die jeweils übrigen Größen aus! b) K=K0(1+z)n Drücken Sie (i) z, (ii) n durch die jeweils übrigen Variablen aus! c) Definieren Sie den Begriff "Logarithmus"! (Voraussetzungen angeben!) Wie sieht der Graph der Logarithmusfunktion mit der Basis 2 aus? 3 a) Wie viel kostet eine kWh Strom und wie hoch ist die monatliche Grundgebühr, wenn bei einem monatlichen Verbrauch von 291 kWh der Rechnungsbetrag € 41,21 und bei einem monatlichen Verbrauch von 223 kWh € 33,73 ausmacht? Ermitteln Sie eine Gleichung der linearen Funktion, die dieser Strompreisberechnung zugrunde liegt. b) Ein neuer Anbieter wirbt mit einer Grundgebühr von € 12,50 pro Monat und einer Verbrauchsgebühr von € 0,10 pro kWh. Welcher Anbieter ist günstiger? c) Überprüfern sie Ihre Rechnung grafisch durch Zeichnen der beiden Tariffunktionen. 4. Der Luftdruck nimmt mit der Höhe exponentiell ab: Er sinkt auf die Hälfte des Werts, wenn die Höhe um 5500m zunimmt. a) Stellen Sie eine Formel auf, die den Zusammenhang zwischen Höhe und Luftdruck angibt! b) Auf dem Gipfel eines Berges misst man einen Luftdruck von 712 hPa (=712mbar). Am Fuß des Berges herrscht ein Luftdruck von 991 hPa. Berechnen Sie die Höhe dr Bergspitze vom Fuß des Berges aus gerechnet! c) Berechnen Sie die Höhe des Berges über Meeresniveau, wenn auf Meeresniveau ein Luftdruck von 1013 hPa angenommen wird! 5 a) Wie ist das Bogenmaß eines Winkels definiert? Berechnen Sie das Bogenmaß eines Winkels mit dem Gradmaß 105°. Berechnen Sie das Gradmaß eines Winkels mit dem Bogenmaß 2,3. b) Für welche , [0°, 360°[ gilt: Für welche x gilt: 6 a) sin = - 0,3 cos x = 0,5 tan = 3 4 Von einer Kugel kennt man M 1 und r = 3. 3 Stellen Sie eine Gleichung der Kugel auf! b) 2 P 1 x 3 liegt auf der Kugel. Berechnen Sie x3! c) Ermitteln Sie die Schnittpunkte der Kugel mit der Geraden: 6 X 5 t 4 1 2 1 d) Wie weit ist der Mittelpunkt der Kugel von der Ebene x1 + 2x2 – 2x3 = 8 entfernt? 7 Die Lage eines gedämpft schwingenden Körpers sei durch die Zeit-Ort-Funktion s(t) = e-0,2t∙sin(3t + ) 4 gegeben. Berechnen Sie die Geschwindigkeit dieses Körpers zum Zeitpunkt t! 8 Ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h und führt eine Vollbremsung durch. Die Geschwindigkeit sei t Sekunden nach Beginn des Bremsvorganges gegeben durch v(t)= - t² + b. a) Stellen Sie die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion auf, d. h. berechnen Sie b. Wie lange dauert der Bremsvorgang? (Achten Sie auf die verschiedenen Einheiten.) b) Berechnen Sie den Bremsweg - mittels Integral, - näherungsweise durch Zwischensummen (5 Teilintervalle). c) Beschreiben Sie anschaulich, was man unter einem Integral versteht. STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 2 22. Mai 2013 Name: Matr.Nr.: 1. Ein Natriumatom hat einen Durchmesser von ca. 410-7 m. a) Berechnen Sie näherungsweise das Volumen des Atoms unter der Annahme, dass es kugelförmig ist. Rechnen Sie mit Zehnerpotenzen und geben Sie bei jedem Rechenschritt die verwendete Potenzrechenregel allgemein an. b) Bei dichtester Packung füllen Kugeln ungefähr 74% des zur Verfügung stehenden Raumes aus. Wie viele Atome wären demnach etwa in einem Würfel mit der Kantenlänge 1mm? Wie lange würde es dauern, diese Atome zu zählen, wenn man (bzw. eine Maschine) in einer Sekunde 105 Atome zählen könnte? 2. a) Drücken Sie aus der Zinseszinsformel E=A (1 (i) die Größe p, p t ) 100 (E=Endwert, A=Anfangswert des Kapitals) (ii) die Größe t durch die jeweils übrigen Größen aus. (iii) Drücken Sie durch E, A und p aus, wann das Endkapital doppelt sao groß wie das Anfangskapital ist. 3 b) Formulieren Sie die Regeln für das Rechnen mit Brüchen. c) Formulieren Sie die Regeln für das Lösen von Ungleichungen (d.h. die Monotoniegesetze). Stellen Sie eine Gleichung einer linearen Funktion auf, deren Graph durch die Punkte (4; 4 ) und (9; 9 ) geht. Ermitteln Sie damit einen Näherungswert für 5. 4. Beim Auflösen einer Substanz in einem Lösungsmittel ist die nach t Sekunden gelöste Menge (in g) gegeben durch: M(t ) S (1 e ct ) a) Bei Benzoesäure in Wasser beträgt S=28 g/l, nach 30 Sekunden sind (in 1 Liter Wasser) 15,5 g aufgelöst. Berechnen Sie daraus c. b) Wann sind 25 g aufgelöst? STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 2 Teil 2, 29. Mai 2013 Name: 5 a) Matr.Nr.: 1 3 c1 A 2 , B 2 , C c 2 0 0 4 6 sind die Eckpunkte eines Rechtecks mit AB 2 BC . Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte C und D . 6 7 b) Das Rechteck ist Grundfläche einer geraden Pyramide mit der Höhe 18. Berechnen Sie die Koordinaten der Spitze. c) Berechnen Sie (unter Verwendung entsprechender Vektoren) den Winkel. den die Seitenkante mit der Grundfläche einschließt. (Eine Spitze genügt.) f(x) = x²+2x+3 a) Ermitteln Sie den Differenzenquotienten von f im Intervall [1;3] . b) Ermitteln Sie den Differentialquotienten von f an der Stelle 1 nur mit Hilfe der Definition, also ohne Differentiationsregeln. c) Deuten Sie die beiden Begriffe anhand eines Graphen. Überprüfen Sie an diesem Graphen die in a) und b) ermittelten Werte. Die Bewegung eines gedämpft schwingenden Körpers wird durch folgende ZeitOrt-Funktion beschrieben: s(t) 3 e2t sin(3t ) . Ermitteln Sie die 6 Geschwindigkeitsfunktion. 8 9 a) Ermitteln Sie das Volumen einer Kugel mit dem Radius r=8mit Hilfe der Integralrechnung, b) Leiten Sie die Formel für das Volumen einer Kugel mit dem Radius r ab. Ein Autofahrer fährt mit 144 km/h und muss eine Notbremsung durchführen. Innerhalb der nächsten 8 Sekunden bringt er das Auto zum Stehen. Wir nehmen an, dass die Geschwindigkeit durch die Funktion v:[0;8] t at 2 b gegeben ist. a) Ermitteln Sie die Werte a und b und skizzieren Sie die Geschwindigkeitsfunktion. b) Berechnen Sie, welchen Weg das Auto in diesen 8 Sekunden zurücklegt, mittels Integral, c) Was versteht man unter einer Stammfunktion? Formulieren Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
