5.1 Abriss der Geschichte der Geometrie

Didaktik der Geometrie und Stochastik WS 2010/11
5.1 Abriss der Geschichte der Geometrie
5.1.1 Entwicklung einer an praktischen Fragen sich
entwickelnden Mathematik in den frühen Hochkulturen
Ägyptens, des Zweistromlands, des Indus und in China.
Hochkulturen um 3000 v. Chr.
5.1.2 Ägypten: Flächen- und Rauminhaltsberechnungen im
Zusammenhang mit dem Bau der Pyramiden. Schriftliche
Zeugnisse:
1. Papyrus Rhind (2000 – 1700 v. Chr.), eine Art
mathematisches Handbuch
bekannt unter dem Namen „Rechenbuch des Ahmes“.
Beispiel:
Volumen des Pyramidenstumfes
2. Die jährlichen Nilüberschwemmungen zwangen zur
genauen Vermessung der Felder (Rechte Winkel, Satz des
Pythagoras), erwähnt bei griechischen Schriftstellern
5.1.3 Zweistromland: Entwicklung der Astronomie, dadurch
Entwicklung der Winkelmessung und der Geometrie (ca 2500 v.
Chr.). Einteilung des Vollwinkels in 360°.
5.1.4 China: Figur zum Satz des Pythagoras (400-600 v. Chr.)
5.1.5 Griechische Mathematik:
1.Neuer Ansatz im griechisch-antiken Denken: Nicht mehr nur zur
Befriedigung praktischer Bedürfnisse wird Mathematik
entwickelt, sondern aus philosophischem Interesse: Die Folge
Definition – Satz – Beweis ist eine griechische Errungenschaft.
Das Wort „Geometrie“ kommt aus dem Griechischen und
bedeutet „Erdmessung“.
In der so genannten „griechisch-antiken“ Schule
unterscheidet man die ionische, die athenische, die
alexandrinische Periode und die Spätzeit (nach Kaiser-Nöbauer,
Geschichte der Mathematik).
1. Ionische Periode:
1. Thales von Milet (um 600 v. Chr.) :
Er ist der erste Mathematiker, nach dem Sätze benannt
worden sind (v. a. Sätze über das gleichschenklige
Dreieck), war außerdem Kaufmann, Astronom, hat die
eine Sonnenfinsternis richtig vorhergesagt.
2. Pythagoras von Samos (um 550 v. Chr.) : Begründer
einer Philosophenschule in Süditalien.
Gott hat die Welt nach Zahlen und Zahlenverhältnissen
geordnet.
Man weiß nicht genau, was Pythagoras in der
Mathematik selbst entdeckt und was seine Schüler
entdeckt haben. Wahrscheinlich haben die Pythagoreer
den ersten Beweis des nach Pythagoras benannten
Flächensatzes angegeben.
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Entdeckung irrationaler Zahlen durch Anhänger dieser
Schule (vermutlich Hippasos), dadurch Grundlagenkrise
ausgelöst.
In der Astronomie vertraten die Pythagoreer die
Auffassung, dass sich die Gestirne auf ewig gleichen
Kreisbahnen bewegen.
2. Die athenische Periode (450-400 v. Chr.)
Blütezeit der Sophisten (Weisheitslehrer), z. B. Zenon
Philosophenschule in Athen: Platon, Begründer der
gleichnamigen Akademie: „Niemand trete ein, der
nichts von Geometrie versteht“.
Beschränkung der Konstruktionshilfsmittel auf Zirkel
und Lineal.
Platon ist vor allem bekannt durch seine Ideenlehre.
Aristoteles, Begründer der formalen Logik
Platon und Aristoteles haben über die Kirchenlehrer des
rühchristentums und über den Humanismus die weitere
Entwicklung der abenländischen Wissenschaft
wesentlich beeinflusst.
Beide, Platon und Aristoteles haben der Geometrie
einen hohen Rang eingeräumt und andere
Wissenschaftszweige nach deren Vorbild streng
geordnet nach dem Schema „Definition, Satz, Beweis“.
3. Die alexandrinische Periode (ca. 400 - 200 v. Chr.):
Euklid steht am Übergang von der athenischen zur
alexandrinischen Periode. Er war zwischen 330 v. Chr.
und 300 v. Chr. Vorsteher der Bibliothek von Alexandria.
Er verfasst um 320 v. Chr. nach einigen Vorläufern und
Vorarbeiten von Elementenschreibern wie Hippokrates,
Theaitet, Leon unter dem Einfluss von Platon seine
„Elemente“ (ca 320 v. Chr.). Es ist eine
Gesamtdarstellung des mathematischen Wissens seiner
Zeit. Es wird zum Standard-Lehrbuch der Mathematik
und zum einflussreichsten Buch der
Mathematikgeschichte. Noch bis zum 19. Jahrhundert
dienten „die Elemente“ vielerorts als Grundlage des
Mathematikunterrichts. Nach der Bibel waren „die
Elemente“ das meistgedruckte Buch der Weltliteratur.
Euklids streng axiomatische Vorgehensweise nach dem
Schema „Axiom – Definition – Satz – Beweis wurde zum
Vorbild für jede wissenschaftliche Denkweise. In der
Renaissance spricht man von „more geometrico“.
Archimedes ist der wohl bedeutendste Mathematiker
und Physiker der Antike.
Er wirkte die meiste Zeit in seiner Heimatstadt Syrakus.
Dort starb er bei der Einnahme der Stadt 212 v. Chr.
durch die Römer.
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Er hat das erste systematische Verfahren zur
Eingrenzung der Zahl Pi angegeben (Ein- und
Umbeschreiben des Kreises durch Vielecke).
Berechnung von Flächeninhalten und Oberflächen- und
Rauminhalten von Körpern (Parabelsegment, Kugel,
Rotationskörper) mit Hilfe der Exhaustionsmethode.
Entdeckung wichtiger physikalischer Gesetzmäßigkeiten
(Hebelgesetz, Gesetz vom Auftrieb). Archimedes kann
als Vater der „mathematischen Physik“ bezeichnet
werden.
Bestimmung der halbregulären Körper.
Eratosthenes: Spitzname „beta“ (der zweite nach
Archimedes) war Mathematiker, Geograph, Historiker,
Philologe und Dichter. Eratosthenes war Direktor der
Bibliothek von Alexandria. Bekannt durch eine recht
genaue Bestimmung des Erdumfangs.
Apollonius: Hauptwerk „Konika“ (Kegelschnitte),
das nach Euklids Elementen bedeutendste Werk der
Antike.
4. Die Spätzeit (nach ca. 150 v. Chr.)
Entwicklung der Trigonometrie (Sehnentafeln), vor
allem durch Hipparch von Nikäa
Entwicklung der Astronomie, vor allem durch
Ptolemäus: Sein Hauptwerk „Syntaxis“ (Almagest) wird
die für anderthalb Jahrtausende gültige Darstellung des
geozentrischen Weltbilds
Heron: Enzyklopädie der angewandten Mathematik
Niedergang der griechischen Mathematik
Mögliche Gründe für den Niedergang:
Bei der Einnahme von Alexandria durch Cäsar wurde die
Bibliothek stark beschädigt.
Kaum Interesse der Römer an der Weiterentwicklung
der griechischen Mathematik
aber auch: Unhandlichkeit der (geometrisch
formulierten) griechischen Algebra
5.1.6 Geometrie des Mittelalters und der Neuzeit: Bewahrung
des Erbes durch Araber, auch Weiterentwicklung der
Wissenschaften
Keine wesentlichen Fortschritte bis zur Renaissance (ab 15.
Jahrhundert)
Renaissance = Wiedergeburt der Antike und des antiken
Denkens
Dürer:
Entwicklung perspektivischen Zeichnens
Cavalieri, Kepler:
Weiterentwicklung der Volumenformeln
Kepler, Galilei: Weiterentwicklung der Physik, Astronomie und
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damit verbunden der Mathematik.
Analytische Geometrie: Begründer vor allem Descartes,
Verknüpfung von Algebra und Geometrie durch Verwendung von
Koordinaten.
5.1.7 Weiterentwicklung der Euklidischen Geometrie zur
Nichteuklidischen Geometrie erst nach 1800 durch Gauss, Bolyai
und Lobatschewsky: Euklids Parallelenpostulat wird als
unabhängig erkannt, nachdem Jahrhunderte hindurch versucht
worden ist, dieses Postulat durch die anderen Axiome der
euklidischen Geometrie zu beweisen.
Zitat von Gauss 1817:
„Bei der Theorie der Parallelen sind wir jetzt noch nicht weiter
als Euklid. Das ist ein beschämender Teil der Mathematik...“
GBL haben eine Geometrie entwickelt ohne das
Parallelenpostulat.
Beispiel: Poincare – Modell
5.2 Historische Bemerkungen und klassische Probleme
Klassische Probleme:
Konstruierbare Zahlen (konstruierbar = mit Z&L konstruierbar):
1.
2.
Welche Zahlen sind konstruierbar?
ℤ ist aus 1 konstruierbar durch bloßes Vervielfachen konstruierbar.
Wenn a,b konstruierbar (b e N\{0}) ist, dann ist auch a/b konstruierbar, denn mit Hilfe des
Strahlensatzes kann eine Strecke der Länge a in b gleich lange Teile geteilt werden.
Somit: ℚ ist konstruierbar.
Wenn a konstruierbar ist, dann auch  a (Konstruktion mit Höhensatz).
Dies kann fortgesetzt werden: Z. B. 4-te Wurzel aus a, 8-te Wurzel aus a usw.
Denn die Schnittpunkte von Geraden/Geraden, Kreise/Kreise und Geraden/Kreise
führen auf quadratische Gleichungen. Somit sind konstruierbare Zahlen nur Zahlen, die aus
fortgesetzter Erweiterung des Körpers ℚ mit Quadratwurzeln entstehen.
Berühmte Probleme:
1. Würfelverdopplung :
Historisch: Als die Delier sich wegen der herrschenden Pest an das Orakel zu Delphi
wandten, wurden sie aufgefordert, den würfelförmigen Altar des Gottes Apollon in ihrem
Tempel zu einem wieder würfelförmigen Altar mit doppeltem Volumen zu vergrößern.
Dies führt auf die Gleichung x³ – 2 = 0 . Eine Strecke mit der Länge x ist aber nicht
konstruierbar. Wäre sie nämlich konstruierbar, dann würde x Lösung einer Gleichung von
Zweierpotenzgrad sein. x ist aber Lösung einer irreduziblen Gleichung 3. Grades.
Andere Begründung: Wenn sie konstruierbar wäre, dann hätte die Gleichung x³ – 2 = 0
auch eine ganzzahlige Lösung z mit der Eigenschaft, dass z das konstante Glied, also -2 teilt
(Hilfssatz 1.76 und Zusatz in Benno Klotzek „Euklidische und nichteuklidische
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Elementargeometrien, Harri-Deutsch-Verlag) .
2.
Dreiteilung eines Winkels, z. B. von α = 120°:
Dies führt auf eine Gleichung dritten Grades.

3
cos
− 3cos c = 0
3
3

Setzt man x = cos
, erhält man x³
− 3x
+ c = 0
3
Daher ist keine Konstruktion mit Z&L möglich.
2.1 Lösung nach Archimedes mit Einschublineal (Quasikonstruktion).
2.2 Lösung durch Falten
Begründung?
3. Quadratur des Kreises, resp. Rektifikation der Kreislinie.
Die Zahl  ist transzendent (Lindemann 1882 in Freiburg!), daher ist die Quadratur des Kreises
nicht möglich. Denn wäre die Quadratur möglich, dann wäre  eine algebraische Zahl.
5.3 Zur Analytischen Geometrie
5.2.1 Vektorbegriff:
Im Unterschied zum Vektorbegriff in der Physik, wo Vektoren im Zusammenhang mit konkreten
Problemen als „linienflüchtig“ bezeichnet werden und diese Eigenschaft ausgenutzt wird,
bestimmt man in der Mathematik einen Vektor als eine Translation der Ebene / des Raumes in
sich. Das bedeutet: Jeder Punkt der Ebene wird in Richtung der Translation und um deren Betrag
verschoben. Translation im Sinne einer Kongruenzabbildung. Mit einem Pfeil ist ein Vektor
eindeutig festgelegt. Ein Pfeil ist aber nur ein „Vertreter“ des Vektors, nicht der Vektor an sich.
Mit den Translationen kann man ähnlich rechnen wie mit Zahlen:
Es gilt die Kommutativität der Hintereinanderausführung
von Translationen, ebenso die Assoziativität, die Smultiplikation und deren Eigenschaften.
Letztlich kann man Vektoren als Elemente eines Vektorraums auffassen mit den
Vektorraumeigenschaften, losgelöst von deren anschaulich-geometrischer Bedeutung. Diese
Grundvorstellung ist auch im Zuge der NewMath-Bewegung um 1970 herum in die Schulen
eingedrungen, hat sich aber nicht durchsetzen können, weil die Anschaulichkeit sträflich
vernachlässigt worden ist. Eine geeignete Balance zwischen Abstraktion und Anschauung ist für die
Schule unerlässlich!
Inzwischen beschränkt man sich meistens auf die anschauliche Deutung, aber dennoch
sollten die „Recheneigenschaften“ besprochen werden. Eine Eigenschaft, die man dabei fordert
und die SuS seltsam finden, ist
1⋅a = a : Diese Forderung ist sinnvoll, weil man sonst s⋅a = 0 festlegen könnte für alle
s ∈ ℝ und a ∈ V. Ein solche Menge von Vektoren soll aber kein Vektorraum sein.
Wichtig: Sehr viele Begriffe anschaulich machen mit Stangen und Quadern!
Heikle Begriffe:
5.2.2 Der Begriff des Ortsvektors:
Unterscheiden Sie den Begriff „Punkt P“ mit den Koordinaten (4|3) vom
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4

.
OP = 
3
Der Ortsvektor des Punktes P 4|3 ist der Vektor, d. h. ist die Translation, die jeden Punkt der
4
Ebene um den Vektor verschiebt 
 , insbesondere O auf P abbildet.
3
Ortsvektor
5.2.3 Der Begriff der linearen Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit:
Man kann z. B. vom Begriff der linearen Abhängigkeit ausgehen:
Man nennt zwei Vektoren mit der Eigenschaft b = r⋅a oder gleichwertig a = s⋅b linear
abhängig. Anschaulich bedeutet dies:
Die Vektoren a und b sind parallel oder antiparallel.
Beide Gleichungen kann man als eine Gleichung schreiben und dazu sagen:
Die Gleichung r⋅a  s⋅b = 0 ist erfüllt, wobei mindestens einer der beiden Koeffizienten
ungleich 0 ist. Dementsprechend sagt man: die Vektoren a und b sind linear unabhängig, wenn
die Gleichung r⋅a  s⋅b = 0 nur dann erfüllt ist, wenn r und s beide gleich 0 sind.