Übungsbeispiele

ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE
FÜR LAK
2 VU
Günter Lettl
WS 2015/16
Übungsbeispiele zum 2. Kapitel
Tr.12) Überlegen Sie sich, was ,,kongruent sein modulo m” für m = 1, 2, 7 bedeutet!
Geben Sie alle Restklassen modulo m für obige Werte von m an!
Tr.13) Überprüfen Sie, welche der folgenden Aussagen richtig bzw. falsch sind:
−47 ≡ 52
17500 ≡ 6
mod (11),
mod (2),
13 ≡ 95
mod (4),
712 ≡ (−3)25
mod (7),
−31 ≡ 31
1012 ≡ 1
mod (100),
mod (12).
Tr.14) Es sei m ∈ N+ . Beweisen Sie, dass für beliebige Zahlen a, b, c ∈ Z gilt:
i) a ≡ a mod (m).
ii) a ≡ b mod (m) ⇒ b ≡ a mod (m)
iii) a ≡ b mod (m) ∧ b ≡ c mod (m) ⇒ a ≡ c mod (m)
Tr.15) Geben Sie eine Teilmenge der Zahlen {7, 11, 13, 17, 19, −4, −8, −16, 48, 33} an, die
ein vollständiges Repräsentatensystem modulo 6 bildet!
19. Es sei m ∈ N+ und R = {0, 1, 2, . . . , m − 1} das Repräsentantensystem der kleinsten nicht negativen Reste modulo m.
Es sei a ∈ Z und a0 ∈ R der Repräsentant für die Restklasse a. Geben Sie den
Repräsentanten aus R für die Restklasse −a an!
20. Bestimmen Sie die jeweils kleinste natürliche Zahl r ≥ 0, welche die gegebene
Kongruenz erfüllt:
r ≡ 17 · 11 − 25 · 9 + 192 mod (6)
r ≡ 134 − 131 · 30 + 52 mod (12)
r ≡ 25 · 27 + 1627 − 15 · 371 mod (15).
Tr.16) Berechnen Sie x3 − x + 3 modulo 12 für x = 0, 1, . . . , 11.
In wie vielen verschiedenen Restklassen modulo 12 liegen die erhaltenen Werte?
21. Bestimmen Sie alle n ∈ Z, für welche 4n2 + 3 durch 7 teilbar ist!
1
2
22. Bestimmen Sie alle x ∈ Z, welche folgende Kongruenz erfüllen:
i) 123x − 425 ≡ 7011 − 322x mod (6)
ii) 21x + 56 ≡ −70 mod (49)
iii) 168x + 71 ≡ −89 mod (16).
Tr.17) Überprüfen Sie die 10-stelligen ISBN-Nummern einiger (älterer) Bücher Ihrer
Wahl!
23. EAN = European Article Number:
Eine EAN-13 Zahl ist eine 13-stellige Dezimalzahl der Form z1 z2 z3 . . . z12 p mit
z1 , . . . , z12 , p ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}, wobei zur 12-stelligen Artikelnummer z1 z2 z3 . . . z12
die Prüfziffer p so bestimmt wird, dass die Kongruenz
z1 + 3z2 + z3 + 3z4 + z5 + 3z6 + · · · + 3z12 + p ≡ 0
mod (10)
erfüllt ist.
Beweisen Sie: wird bei einer EAN-13 Zahl eine Ziffer abgeändert oder werden
zwei benachbarte Ziffern (deren Differenz nicht ±5 ist) vertauscht, so entsteht eine
,,falsche” EAN-13 Zahl.
24. Stellen Sie mit Hilfe der ,,9-er” bzw. ,,11-er” Probe fest, ob folgende Rechnung
richtig sein könnte:
123456789 · 987654321 − 31110424253 = 121932600002211016 .
25. Suchen Sie (im Internet, in der Literatur) eine Teilbarkeitsregel, die nicht in der
Vorlesung besprochen wurde. Erklären Sie diese genau und versuchen Sie, einen
mathematischen Beweis dafür zu geben (meistens mit Kongruenzen!).
Andernfalls versuchen Sie ein zu Satz 16.e) analoges Ergebnis für die Moduln
101 oder 37 zu finden!
26. Lösungsmethode für eine lineare Kongruenz:
Es seien m, k ∈ N+ und a1 , a2 , . . . , ak , c ∈ Z. Um die Kongruenz
a1 X1 + a2 X2 + · · · + ak Xk ≡ c mod (m)
zu lösen, geht man folgendermaßen vor:
1. Schritt: Setze dk := ggT(m) = m, sowie für j = k − 1, k − 2, . . . , 2, 1, 0
dj = ggT(aj+1 , aj+2 , . . . , ak , m) = ggT(aj+1 , dj+1 ).
Welche Bedeutung hat die Zahl d0 für die obige Kongruenz?
2. Schritt: Für j = 1, 2, . . . , k bestimme eine Zahl xj ∈ Z, welche die Kongruenz
j−1
X
aj X j ≡ c −
ai xi mod (dj )
i=1
löst. (x1 , x2 , . . . , xk ) ist dann eine Lösung der gegebenen Kongruenz.
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27. Verwenden Sie Beispiel 26. um eine (bzw. alle) Lösungen der folgenden Kongruenzen zu bestimmen:
18X1 − 9X2 ≡ 42 mod (15)
22X1 + 42X2 − 12X3 ≡ −16 mod (24)
28X1 − 68X2 + 16X3 ≡ −30 mod (48)
28. Beweisen Sie, dass die in Beispiel 26. beschriebene Methode tatsächlich eine
Lösung der Kongruenz liefert!
29. Bestimmen Sie ein x ∈ Z, welches die Kongruenz 231 · x ≡ 1 mod (950) löst!
Tip: Lösen Sie die Diophantische Gleichung 231X + 950Y = 1.
Tr.18) Geben Sie für die Moduln m = 7, 15, 24 die Menge der primen Restklassen Z/(m)×
an (und eventuell auch deren Multiplikationstafel).
Bestimmen Sie ϕ(7), ϕ(15) und ϕ(24).
Tr.19) Geben Sie für die Moduln m = 7, 15, 24 einige Restklassen a ∈ Z/(m) an, welche
keine primen Restklassen sind, und bestimmen Sie dazu Restklassen a0 6= 0 mit
a · a0 = 0.
Tr.20) Bestimmen Sie ϕ(1), ϕ(10), ϕ(11), ϕ(210 ), ϕ(81).
30. Es sei p ∈ P und k ∈ N+ . Beweisen Sie:
ϕ(p) = p − 1
und
ϕ(pk ) = pk−1 (p − 1) .
Tr.21) Verwenden Sie Korollar 5, um ϕ(a), ϕ(b) und ϕ(c) für die Zahlen a, b, c aus
Beispiel 11 zu bestimmen.
31. Bestimmen Sie alle Lösungen x ∈ Z der folgenden Kongruenzsysteme:


x≡4
mod (35)


mod (35)

x ≡ 1
x≡4
mod (100)
mod (8)
b)
a) x ≡ 4
x
≡
0
mod (18)

x ≡ 5

mod (11)
x ≡ 4
mod (24)
Anleitung: Bestimmen Sie zunächst alle Lösungen der ersten Kongruenz (z.B. in
a): x = 1 + 35t mit t ∈ Z) und setzen Sie diese ,,allgemeine” Lösung in die nächste
Kongruenz ein etc.
32. Der chinesische Restsatz beim Frisör:
Hans geht alle 32 Tage, Sepp alle 33 und Andreas alle 37 Tage zum Frisör, der
auch samstags, sonntags und montags geöffnet hat. Hans lässt sich diese Woche
die Haare am Montag, Sepp am Dienstag und Andreas ließ sich den Bart am
Freitag der vergangenen Woche schneiden. Wie lange wird es dauern, bis sich alle
drei am selben Tag beim Frisör treffen? Was für ein Wochentag wird das sein?
Werden Sie weitere gemeinsame Gespräche beim Frisör erleben?
Lösung: Am Donnerstag in 1051 Wochen (in etwas mehr als 20 Jahren)
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Tr.22) Es sei f : Z/(1800) → Z/(8) × Z(9) × Z/(25) gegeben wie in Satz 19.
i) Geben Sie f (1349) an! Bestimmen Sie x ∈ Z/(1800) mit f (x) = (1, 0, 3).
ii) Stellen Sie (ohne Taschenrechner!) fest, welche der Zahlen 3719563, 303397063,
11590723, 10600963, 47584663 zueinander kongruent modulo (1800) sind, indem
Sie obigen Isomorphismus f und Korollar 4 verwenden!
33. Für Studierende mit Algebra-Kenntnissen:
Es sei f : Z/(140) → Z/(4) × Z/(5) × Z/(7) wie in Satz 19.
Geben Sie f (11), f (11 11) und f (11 11 11) an! Wie zeigt sich hier, dass f
ein Isomorphismus ist?
Berechnen Sie die zu 11 inverse Restklasse x in Z/(140) (d.h: 11 x = 1), indem
Sie die inverse Restklasse zu jeder Komponente von f (11) berechnen und dann x
als Urbild davon bestimmen.
Tr.23) Berechnen Sie ϕ(36), ϕ(720), ϕ(1800), ϕ(10k ) mit k ≥ 1.
Tr.24) In welchen Restklassen modulo 51 liegen die Potenzen von 2? Bestimmen Sie 250
mod (51)! Wieso ist daher 51 keine Primzahl?
Tr.25) Bestimmen Sie ord7 (2), ord7 (8), ord15 (−13), ord37 (10).
34. Bestimmen Sie ord24 (a) für alle a ∈ Z mit ggT(a, 24) = 1.
Können Sie eine Erklärung für dieses Ergebnis finden (vielleicht hilft Ihnen Beispiel 33
oder Satz 19 weiter)?
Tr.26) Geben Sie alle Primitivwurzeln zu den folgenden Moduln m an: m = 6, 7, 8, 9, 10.
Tr.27) Zeigen Sie, dass 2 eine Primitivwurzel modulo 11 und 13, nicht aber modulo 17
ist.
Tr.28) In wie vielen verschiedenen Restklassen modulo 4, 8, 16 bzw. 32 liegen die Potenzen 50 , 51 , 52 , 53 , . . . ?
35. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle k ≥ 2 gilt:
k−2
5(2 ) ≡ 2k + 1 mod (2k+1 ), und somit ord2k (5) = 2k−2 .