Sommersemester 2008 Aufgabe 1 Aufgabe 2

Mathematik 2 für TM– Aufgabensammlung – Sommersemester 2008
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Ravensburg-Weingarten
Aufgabe 1
Ein Einzelhändler registriert für einen Exklusivartikel im Verlauf von 30 Verkaufstagen folgende Verkaufszahlen:
Tag
Anzahl
1
5
2
2
3
3
4
0
5
0
6
1
7
3
8
6
9
0
10
2
Tag
Anzahl
11 12 13 14
1
0 1 0
15 16 17 18
2
3 5 1
19 20
0
0
Tag
Anzahl
21 22 23 24
3
5 3 1
25 26 27 28
0
0 0 6
29 30
3
1
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Weingarten – Mathematik 2 für TM – Sommersemester 2008 – Aufgabensammlung (Seite 1)
a) Berechnen Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten der Ausprägungen sowie die absolute kumulierte Häufigkeit für x D 4.
b) Erstellen Sie das zugehörige Stabdiagramm und das Kreissektorendiagramm mithilfe der
absoluten Häufigkeiten.
Aufgabe 2
Eine Umfrage über den Bierkonsum Weingartener Bürger ergibt bei 10 Personen folgende
Zahlenreihe (Liter pro Woche):
3 10
1 2
3 0 2
1 0
3
Berechnen Sie den Modalwert, den Median, das arithmetische Mittel, die Spannweite, die
mittlere quadratische Abweichung, die Standardabweichung und den
Variationskoeffizienten.
Aufgabe 3
Ein bestimmtes Gut wird von genau 7 Firmen produziert. Folgende Tabelle gibt an, wie viele
tausend Stück jede Firma herstellt:
Firma:
A
prod. Stückzahl: 3
B C D E
2 3 5 6
F G
15 6
(tausend Stück)
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Weingarten – Mathematik 2 für TM – Sommersemester 2008 – Aufgabensammlung (Seite 2)
a) Bestimmen Sie den Medianwert der produzierten Stückzahlen.
b) Skizzieren Sie für x Werte aus dem Intervall [0;20] den Verlauf der Funktion F.x/ D
Anteil der Firmen, die höchstens 1000 x Stück produzieren.
c) Errechnen Sie die Knickpunkte der zugehörigen Lorenzkurve.
d) Errechnen Sie den normierten Gini–Koeffizienten.
e) Bestimmen Sie den Konzentrationskoeffizienten CR2 .
2
Aufgabe 4
Bei einer Untersuchung von 1000 US-Bürgern ohne High-School Abschluss ergaben sich
bezüglich Einkommen und Hautfarbe folgende Daten:
265 Weiße und 71 Nichtweiße hatten ein Einkommen unter $ 4000. Zwischen $ 4000 und
$ 7999 fielen 249 Weiße und 30 Nichtweiße. 106 Weiße und 8 Nichtweiße hatten ein
Einkommen von $ 12500 und mehr. 187 Weiße und 30 Nichtweiße lagen in der
verbleibenden Zwischengruppe. Bei 54 Personen ließ sich das Einkommen oder die
Hautfarbe nicht feststellen.
a)
b)
c)
d)
Stellen Sie die zugehörige Kontingenztabelle auf.
Errechnen Sie die Randhäufigkeiten.
Berechnen Sie die bedingte Verteilung des Einkommens für Nichtweiße.
Sind Einkommen und Hautfarbe unabhängig?
Aufgabe 5
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Weingarten – Mathematik 2 für TM – Sommersemester 2008 – Aufgabensammlung (Seite 3)
Für den Aktienkurs und den Optionspreis einer deutschen Aktie ergaben sich folgende
Daten:
Kurs
240,3
252,5
238
228
223
238
Optionspreis Kurs
16,00
15,40
17,40
12,60
11,80
11,00
226
202
208
177
190
180,5
Optionspreis
11,20
10,50
13,10
14,50
14,80
13,70
Zeichnen Sie für diesen Datensatz das Streuungsdiagramm und berechnen Sie den BravaisPearson-Korrelationskoeffizienten.
3
Aufgabe 6
Zwei Personen sollen fünf verschiedene Produkte A bis E durch Angabe einer Reihenfolge
beurteilen. Die Befragung ergab folgende Ergebnisse:
Produkt Person I
A
B
C
D
E
5
2
3
4
1
Person II
3
1
4
2
5
Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten von Spearman.
Aufgabe 7
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Weingarten – Mathematik 2 für TM – Sommersemester 2008 – Aufgabensammlung (Seite 4)
Die Aufgliederung einer Population nach Arbeitslosigkeit und Schulbildung liefere folgende
Kontingenztabelle:
arbeitslos
Bildung
Volksschule
mittlere Reife
Abitur
ja
nein
770.000 13.375.000
140.000 4.000.000
90.000 1.625.000
Berechnen Sie den Kontingenzkoeffizienten und den normierten Kontingenzkoeffizienten.
Interpretieren Sie das Ergebnis.
4
Aufgabe 8
In einem Unternehmen fragt man sich, ob zwischen Umsatz und Marketingkosten ein
Zusammenhang besteht. Folgende betrieblichen Daten (in 1000 €) liegen vor:
Marketingkosten/Kunde Umsatz/Kunde
1,4
1,8
1,9
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
210
220
240
241
320
400
410
480
a) Erstellen Sie ein Streuungsdiagramm (y D Umsatz, x D Marketingkosten) und
berechnen Sie den Bravais-Pearson- und den Rangkorrelationskoeffizienten.
b) Stellen Sie die Regressionsgerade yO D aO C bO x auf und berechnen Sie den
Determinationskoeffizienten.
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Weingarten – Mathematik 2 für TM – Sommersemester 2008 – Aufgabensammlung (Seite 5)
Aufgabe 9
An 5 aufeinander folgenden Zeitpunkten wurden Preise p und Mengen q eines Gutes
festgestellt:
Zeitpunkt 1
p
q
2
3
4
5
2,5 3
5
4
2
6
3,5 4
3
2
a) Berechnen Sie den Rangkorrelationskoeffizienten von Spearman. Welche Vermutung wird
durch das Ergebnis nahe gelegt?
b) Bestimmen Sie die Regressionsgerade qO D aO C bO p.
c) Wie groß ist der Korrelationskoeffizient von Bravais-Pearson?
(Beachten Sie Ihr Ergebnis aus Teil b)!).
5
Aufgabe 10
Das Ergebnis der Untersuchung eines kardinalskalierten Merkmals X sei in folgender
Tabelle wiedergegeben:
Ausprägung 1 2
Anzahl
4 4
3 4
6 4
7
2
a) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, den Modus und den Median.
b) Berechnen Sie die mittlere quadratische Abweichung.
c) Obige Daten werden nun mittels der Intervalle Œ0I 3/; Œ3I 4/ und Œ4I 7 klassiert.
Bestimmen Sie die Rechteckhöhen des Histogramms.
Aufgabe 11
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Weingarten – Mathematik 2 für TM – Sommersemester 2008 – Aufgabensammlung (Seite 6)
Ein Betrieb hat im Kalenderjahr 2004 zwölf neue Mitarbeiter eingestellt. Von diesen sind
unter anderem folgende Daten bekannt:
Mitarbeiter
Nr.
Geschlecht
Ausbildungsdauer
(in Jahren)
Abschlussnote
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
männlich
weiblich
weiblich
männlich
weiblich
weiblich
weiblich
männlich
männlich
männlich
weiblich
männlich
9
10
10
11
12
13
14
15
16
17
19
22
4
2
4
4
2
2
1
3
2
3
3
2
a) Geben Sie die Skalierung der drei Merkmale Geschlecht, Ausbildungsdauer und
Abschlussnote an.
b) Ermitteln Sie für jedes der drei Merkmale die folgenden Größen, soweit diese aufgrund
des jeweiligen Skalenniveaus sinnvollerweise berechnet werden können:
Modus
Median
Arithmetisches Mittel
Mittlere quadratische Abweichung
Variationskoeffizient
c) Geben Sie für jedes der zwei Merkmalspaare
i) Geschlecht – Abschlussnote
ii) Ausbildungsdauer – Abschlussnote
einen statistisch sinnvollen Korrelationskoeffizienten an.
(Die Korrelationskoeffizienten müssen nicht berechnet werden.)
6
Aufgabe 12
Von einer Firma sind über mehrere Jahre hinweg die Umsätze und die Beschäftigtenzahlen
bekannt:
Jahr t:
1
2
3
4
5
6
Umsatz x t (in Millionen €):
60
55
57 61 65 62
Anzahl y t der Beschäftigten: 1000 1100 960 840 800 700
a) Berechnen Sie den Variationskoeffizienten des Umsatzes.
b) Berechnen Sie den Rangkorrelationskoeffizienten von Spearman zwischen den beiden
Merkmalen Umsatz und Beschäftigtenzahl.
O der Beschäftigtenzahl in Abhängigkeit
c) Berechnen Sie die Regressionsgerade yO D aO C bt
von der Zeit. Mit welcher Anzahl der Beschäftigten ist im Jahr 8 zu rechnen?
Aufgabe 13
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Weingarten – Mathematik 2 für TM – Sommersemester 2008 – Aufgabensammlung (Seite 7)
Zwischen der Anzahl der Besucher eines Freibades und der Tageshöchsttemperatur wird ein
Zusammenhang vermutet. Es wurden folgende Daten erhoben:
Tag
Besucheranzahl
Höchsttemperatur
(in Grad Celsius)
1
2
3
4
5
6
340
150
250
300
240
220
35
25
28
32
26
28
a) Berechnen Sie ein geeignetes Zusammenhangsmaß zwischen der Besucheranzahl und der
Höchsttemperatur.
b) Berechnen Sie die Regressionskoeffizienten der linearen Regression, wenn die
Höchsttemperatur als einzige Einflussgröße für die Besucheranzahl erachtet wird.
c) Mit welcher Besucheranzahl ist bei einer Höchsttemperatur von 30ı zu rechnen?
7
Aufgabe 14
Zu verschiedenen Zeitpunkten wird der Wasserstand x t der Isar gemessen.
t
Wasserstand in cm
1
2
100 110
3
?
4
?
5
6
125 120
Die Messwerte zum Zeitpunkt 3 und 4 sind leider verloren gegangen. Es ist jedoch Folgendes
bekannt:
6
6
X
X
x t D 705
und
x t2 D 83425
t D1
t D1
Außerdem ist bekannt, dass der Messwert zum Zeitpunkt 4 größer ist als der Messwert zum
Zeitpunkt 3.
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Weingarten – Mathematik 2 für TM – Sommersemester 2008 – Aufgabensammlung (Seite 8)
a) Ermitteln Sie die fehlenden Messwerte zum Zeitpunkt 3 und 4.
b) Prognostizieren Sie den Wasserstand zum Zeitpunkt t D 7 mittels einer linearen
Regression.
c) Ermitteln Sie den Determinationskoeffizienten der Regression.
d) Begründen Sie kurz, ob Sie das Vorgehen aus Teilaufgabe b) für sinnvoll erachten.
Aufgabe 15
An 5 aufeinanderfolgenden Zeitpunkten wurden Preise p und Mengen q zweier Güter G1
und G2 festgestellt:
Gut
Zeit
p1
1
q1
p2
2
q2
p3
3
q3
p4
4
q4
5
p5 q5
G1
G2
2;5
3
5
6
3
2
4
10
2
4
6
5
3;5
4
3
4
4
3
Berechnen Sie den Laspeyres-Preisindex zur Berichtszeit 3 und Basiszeit 2.
8
2
10
Aufgabe 16
An der Mensa wird über 4 Wochen, jeweils montags bis freitags, die Anzahl y (in 100
Portionen) der ausgegebenen Essen gezählt. Man erhält folgende Zeitreihe:
t
1
2
3
4
5
t
Tag
yt
Mo
8
Di
10
Mi
10
Do
11
Fr
6
t
11
12
13
14
Tag
yt
Mo
10
Di
11
Mi
12
Do
12
6
7
8
9
10
Tag
yt
Mo
8
Di
10
Mi
11
Do
11
Fr
6
15
t
16
17
18
19
20
Fr
7
Tag
yt
Mo
10
Di
12
Mi
13
Do
13
Fr
7
Es wird das additive Zeitreihenmodell unterstellt.
a) Bilden Sie geeignete gleitende Durchschnitte und berechnen Sie die
Saisonveränderungszahlen auf eine Nachkommastelle genau.
b) Ermitteln Sie die saisonbereinigte Zeitreihe.
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Weingarten – Mathematik 2 für TM – Sommersemester 2008 – Aufgabensammlung (Seite 9)
Aufgabe 17
Der monatliche Wasserverbrauch y t einer Großstadt werde als Zeitreihe mit konstanter
Saisonfigur aufgefasst. Die folgende Tabelle enthält die Verbrauchsdaten y t (in 105 m3 ) für
das Jahr 2004 sowie die verfügbaren um die glatte Komponente bereinigten Werte:
y t für 2004
um die glatte
Komponente
bereinigte Werte
J
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
17,5
-2,0
-2,2
-1,8
18,2
-1,7
-1,9
-2,4
18,7
-1,7
-1,8
-1,6
19,3
-1,6
-1,4
-1,5
20,1
-1
-0,8
-1,2
20,9
0
1,3
1,7
23
2,0
2,0
22
2,3
1,7
22
1,8
2,2
21
1,2
0,8
20
-0,1
0,1
20
-0,9
-1,1
1. Bestimmen Sie für 2004 alle saisonbereinigten Werte,
2. Bestimmen Sie für September 2004 den gleitenden Durchschnitt der Ordnung 5,
3. Bestimmen Sie für Oktober 2004 den gleitenden Durchschnitt der Ordnung 4.
Aufgabe 18
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit viermaligem Werfen eines Würfels
a)
b)
c)
d)
viermal 6
keine 6
mindestens eine 6
der Reihe nach 6; 6; 6; 5
zu erhalten?
e) dreimal 6 und einmal 5
f) genau die Augensumme 7
g) mindestens zweimal die gleiche Zahl
Aufgabe 19
Ein Kraftfahrzeughändler weiß aus langjähriger Erfahrung, dass bei den in Zahlung
genommenen Wagen 50% Mängel am Motor, 70% an der Karosserie und 30% an Motor und
Karosserie aufweisen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein in Zahlung
genommener Wagen
a) ohne Mängel an Motor und Karosserie ist,
b) auch einen Mangel am Motor besitzt, wenn bekannt ist, dass die Karosserie schadhaft ist?
Aufgabe 20
Ein Schießbudenbesitzer hat festgestellt, dass die Trefferwahrscheinlichkeit in den späten
Abendstunden 0;1 pro Schuss beträgt.
a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei 5 Schüssen mindestens 2 Treffer zu erzielen?
b) Wie viele Schüsse sind notwendig, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0;9
mindestens einen Treffer zu erzielen?
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Weingarten – Mathematik 2 für TM – Sommersemester 2008 – Aufgabensammlung (Seite 10)
Aufgabe 21
Unter den 20 Passagieren eines Charterfluges befinden sich zwei Bewaffnete, die das
Flugzeug entführen wollen. Zehn Passagiere werden zufällig ausgewählt und genau
untersucht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Bewaffneten
unentdeckt bleiben?
Aufgabe 22
Im Laufe eines Jahres werden von 52 aufeinanderfolgenden Ausgaben einer
Wochenzeitschrift 11 beliebige Ausgaben mit einer bestimmten Annonce versehen. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Leser von 20 beliebigen (aber verschiedenen)
Ausgaben
a)
b)
c)
d)
e)
zwei Ausgaben
keine Ausgabe
20 Ausgaben
sämtliche 11 Ausgaben
mindestens eine Ausgabe
mit einer Annonce erhält?
10
Aufgabe 20
Ein Schießbudenbesitzer hat festgestellt, dass die Trefferwahrscheinlichkeit in den späten
Abendstunden 0;1 pro Schuss beträgt.
a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei 5 Schüssen mindestens 2 Treffer zu erzielen?
b) Wie viele Schüsse sind notwendig, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0;9
mindestens einen Treffer zu erzielen?
Aufgabe 22
Im Laufe eines Jahres werden von 52 aufeinanderfolgenden Ausgaben einer
Wochenzeitschrift 11 beliebige Ausgaben mit einer bestimmten Annonce versehen. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Leser von 20 beliebigen (aber verschiedenen)
Ausgaben
a)
b)
c)
d)
e)
zwei Ausgaben
keine Ausgabe
20 Ausgaben
sämtliche 11 Ausgaben
mindestens eine Ausgabe
mit einer Annonce erhält?
Aufgabe 23
Das Rechenzentrum der Hochschule habe festgestellt, dass während einer Betriebszeit von
einem Tag mit der Wahrscheinlichkeit 0;905 kein Ausfall des Systems zu verzeichnen ist. Die
Anzahl der Systemausfälle sei Poisson-verteilt.
a) Bestimmen Sie den Parameter der Poisson-Verteilung.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag genau zwei Systemausfälle zu
verzeichnen sind?
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es bei 5 gleichartigen Systemen, die
unabhängig voneinander laufen, zu mindestens einem Ausfall am Tage kommt.
Aufgabe 24
Die Gesamtdauer X eines Projektes wird als normalverteilt mit dem Parameter D 10
(Wochen) angenommen. Ferner wird für die Wahrscheinlichkeit P .8 X 12/ der Wert
0;8 geschätzt. Man bestimme den Parameter .
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Weingarten – Mathematik 2 für TM – Sommersemester 2008 – Aufgabensammlung (Seite 11)
Aufgabe 25
Das Körpergewicht X (in kg) zufällig ausgewählter Personen aus einer Grundgesamtheit sei
normalverteilt mit den Parametern und . Es gilt:
P .X 80/ D
1
2
und
P .X 70/ D
1
4
:
a) Geben Sie und an.
b) Berechnen Sie P .X 100/.
c) Wieviel Prozent der Personen der Grundgesamtheit, die mindestens 100 kg wiegen,
wiegen über 110 kg?
Aufgabe 26
Die Lebensdauer einer Maschine sei eine über dem Zeitintervall Œ0;65 gleichverteilte
Zufallsvariable. Berechnen Sie
a) den Erwartungswert der Lebensdauer
b) die Varianz der Lebensdauer
c) die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer zwischen 13 und 39 liegt.
11
Aufgabe 23
Das Rechenzentrum der Hochschule habe festgestellt, dass während einer Betriebszeit von
einem Tag mit der Wahrscheinlichkeit 0;905 kein Ausfall des Systems zu verzeichnen ist. Die
Anzahl der Systemausfälle sei Poisson-verteilt.
a) Bestimmen Sie den Parameter der Poisson-Verteilung.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag genau zwei Systemausfälle zu
verzeichnen sind?
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es bei 5 gleichartigen Systemen, die
unabhängig voneinander laufen, zu mindestens einem Ausfall am Tage kommt.
Aufgabe 27
Eine Unternehmung sieht sich auf dem Absatzmarkt zufällig schwankender Nachfrage
gegenübergestellt. Die Höhe der Nachfrage X sei folgendermaßen verteilt:
1
; für 0 x 12
f .x/ D 12
0; sonst
Die Produktion der Unternehmung wird unmittelbar abgesetzt, d.h. es existieren keine
Absatzlager. Die Kostenfunktion der Unternehmung lautet Y D 2X C 10. Man gebe den
Erwartungswert und die Varianz der Kosten an.
Aufgabe 28
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Weingarten – Mathematik 2 für TM – Sommersemester 2008 – Aufgabensammlung (Seite 12)
Ein Röhrenwerk produziert Stahlröhren, deren Durchmesser produktionsbedingten
Schwankungen unterliegen. Für den Innendurchmesser X1 hat man E.X1 / D 800 und
Var.X1 / D 0;01 und für den Außendurchmesser X2 hat man E.X2 / D 810 und
Var.X2 / D 0;02. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz für die Wandstärke der
Röhren, wenn angenommen werden kann, dass Innen- und Außendurchmesser voneinander
unabhängig schwanken.
Aufgabe 29
Der Besitzer eines Zeitschriftenladens hat für einen längeren Zeitraum in der Vergangenheit
folgende tägliche Nachfrageverteilung nach einer bestimmten Tageszeitung beobachtet:
pro Tag nachgefragte Exemplare
Nachfragewahrscheinlichkeit
0
0,20
1
0,30
2
0,20
3
0,20
4
0,10
>4
0
Er rechnet für die Zukunft mit keiner Änderung der Nachfrageverteilung. Der Einkaufspreis
eines Exemplars beträgt 0;50 €, der Verkaufspreis 1;50 €. Unverkaufte Exemplare können
nicht zurückgegeben werden. Für einen längeren Zeitraum muss er eine feste Zahl von
Zeitungen pro Tag bestellen. Wie viele Zeitungen pro Tag sollte er bestellen, um seinen
erwarteten Gewinn zu maximieren?
12
Aufgabe 30
y
Die Zufallsvariablen X und Y haben die
nebenstehende gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion:
0
1
2
0,1
0,2
0,2
0
0,3
0,2
x
1
2
Man berechne
a) die Randverteilungen, Erwartungswerte und Varianzen für X und Y ,
b) die Kovarianz und Korrelation zwischen X und Y .
Aufgabe 31
Der Erwartungswert in der Grundgesamtheit soll durch die Stichprobenfunktion
1
O D .X1 C C Xn /
n
n
X
2
0
O D 2
i Xi
n
iD1
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Weingarten – Mathematik 2 für TM – Sommersemester 2008 – Aufgabensammlung (Seite 13)
O 00 D
2
.X1 C 2X2 C C nXn /
n.n C 1/
geschätzt werden. Prüfen Sie die Erwartungstreue der Schätzfunktionen und ermitteln Sie die
wirksamste unter diesen.
n
X
Hinweise: Es gilt
iD
1
2
n.n C 1/
und
iD1
n
X
i2 D
1
3
n.n C 1/.n C 12 /
iD1
Aufgabe 32
Bei der Prüfung der Füllmenge von Fruchtsaftflaschen ergaben sich folgende Werte:
ccm
Anzahl
197
2
198
1
199
3
200
1
201
3
202
1
203
2
204
1
205
1
206
0
207
1
Nach Angaben des Abfüllers ist die Füllmenge normalverteilt mit einer Varianz von
2 D 2;25.
a) Man gebe ein Schätzintervall für den Erwartungswert zum Niveau 1 ˛ D 0;94.
b) Welcher Stichprobenumfang n garantiert eine Länge von 1 für das Schätzintervall?
13
1
O D .X1 C C Xn /
n
n
2 X
0
O
D 2
i Xi
n
iD1
O 00 D
2
.X1 C 2X2 C C nXn /
n.n C 1/
y
0
1
2
0,1
0,2
0,2
0
0,3
0,2
x
1
2
Aufgabe 33
In einem Spielkasino werden Zweifel geäußert, dass ein bestimmter Würfel fair ist, d.h. alle
Zahlen gleich häufig auftreten. Der Spielleiter fordert einen Zweifler auf, ein
Signifikanzniveau ˛ zwischen 0;01 und 0;40 anzugeben, zu dem die Hypothese H0 , dass der
Würfel fair ist, getestet werden soll. Welches ˛ wird der Zweifler wählen, wenn er möchte,
dass der Würfel aus dem Spiel genommen wird?
Aufgabe 34
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Weingarten – Mathematik 2 für TM – Sommersemester 2008 – Aufgabensammlung (Seite 14)
Ein Arbeiter braucht für die Bearbeitung eines Werkstücks im Durchschnitt 7 Minuten (420
sec. D 0 ). Ein Fachmann schlägt, um eine Zeitersparnis zu erreichen . < 0 /, eine andere
Bearbeitungsart vor und will die Effektivität seines Vorschlags mithilfe einer Stichprobe vom
Umfang n D 16 testen. Führen Sie diesen Test (Hypothese H0 W D 0 gegen
H1 W < 0 ) zum Signifikanzniveau ˛ D 0;05 bzw. 0;01 durch. Dabei sei ferner
vorausgesetzt, dass die Grundgesamtheit normalverteilt ist. Die Stichprobe ergab folgende
Werte:xN D 408 und s D 25;7 .
14
Aufgabe 35
HA 2.6.08
Eine Rechnung über 3.250 € wird nicht sofort bezahlt. Daher sind Verzugszinsen in Höhe
von 144,45 € zu bezahlen. Für welche Zeitspanne wurden Verzugszinsen berechnet falls der
Zinsfuß 8% beträgt.
Aufgabe 36
HA 2.6.08
Ein Girokonto weist am Jahresanfang ein Guthaben von 2.400 € auf. Am 6. März werden auf
das Konto 10.000 € überwiesen; am 21. Januar und am 16. Februar werden jeweils 4.000 €
abgebucht. Die Bank berechnet 12% Sollzins und 0,5% Habenzins. Stellen Sie die
Zinsabrechnung zum 1. April auf.
Aufgabe 37
HA 2.6.08
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Weingarten – Mathematik 2 für TM – Sommersemester 2008 – Aufgabensammlung (Seite 15)
Jemand zahlt am 2. Juli 1999 auf sein Sparkonto 1000 € ein. Wie hoch ist der Kontostand am
2. April 2008 bei 3% Zins, falls das Konto zu diesem Zeitpunkt abgerechnet wird.
Aufgabe 38
Jemand legt 20.000 € zu 6% zinseszinslich an. Auf welche Summe wächst das Kapital in 5
Jahren an bei
a)
b)
c)
d)
e)
jährlicher,
halbjährlicher,
monatlicher,
täglicher oder
stetiger Verzinsung?
Aufgabe 39
HA 2.6.08
Eine Kapitalanlage hat sich in 10 Jahren verdoppelt. In der ersten Hälfte der Laufzeit betrug
der Zinssatz 4%. Wie hoch war er in der zweiten Hälfte?
15
Aufgabe 35
Aufgabe 36
Aufgabe 37
Aufgabe 38
Aufgabe 39
Aufgabe 40
HA 2.6.08
a) In welcher Zeit verdoppelt sich bei Zinseszinsrechnung jedes beliebige Anfangskapital K
bei einem jährlichen Zinssatz von p D 5%?
b) Wie muss der jährliche Zinssatz bei Zinseszinsrechnung aussehen, wenn sich das
Anfangskapital in 10 Jahren verdoppeln soll?
Aufgabe 41
HA 2.6.08
Wie lange müssen 10.000 € angelegt werden, damit sie bei einer jährlichen Verzinsung von
7% ein Endkapital von 25.000 € erbringen?
Aufgabe 42
Ein Waldbestand hat einen Tageswert von 1 Mio. €. Aufgrund von Abholzung und
Umwelt-schäden, nimmt der mengenmäßige Bestand jährlich um 10% stetig ab; der Preis des
Holzes steigt halbjährlich um 4%.
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Weingarten – Mathematik 2 für TM – Sommersemester 2008 – Aufgabensammlung (Seite 16)
a) Welchen Tageswert hat der Wald in 10 Jahren?
b) Nach wie viel Jahren hat sich der Wert des Waldes halbiert?
Aufgabe 43
Die Effektivverzinsung einer Anlage, die vierteljährlich verzinst wird, ist 6,14%. Wie hoch
ist der (nominale) Jahreszinsfuß?
Aufgabe 44
Jemand zahlt am Ende eines jeden Jahres 1000 € auf sein Sparkonto ein, welches zu 3%
verzinst wird. Wie hoch ist der gesparte Betrag einschließlich Zinseszins am Ende des 10.
Jahres?
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Aufgabe 40
Aufgabe 41
Aufgabe 42
Aufgabe 43
Aufgabe 44
Aufgabe 45
Für den Kauf einer Maschine stehen folgende Zahlungsalternativen zur Auswahl:
(1) 8.000 € sofort, 4 jährliche Raten zu je 2.000 €, zahlbar am Ende eines jeden Jahres
(2) vier jährliche Raten zu je 4.000 €, zahlbar am Ende eines jeden Jahres
(3) 5.000 € sofort, je 3.000 € am Ende des 2. und 3. Jahres und 5.000 € am Ende des 4.
Jahres.
Für welche Zahlungsalternative (Barwertvergleich) soll man sich bei einem Zinssatz von
10% entscheiden?
Aufgabe 46
Ein heute 55-jähriger Arbeitnehmer hat in 10 Jahren einen Anspruch auf eine monatliche
Be-triebsrente von 500 €, die vorschüssig bezahlt wird. Durch welche Gegenleistung kann
sie heute bei einem Zinssatz von 6% abgelöst werden, wenn die Lebenserwartung von 77
Jahren angenommen wird.
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Weingarten – Mathematik 2 für TM – Sommersemester 2008 – Aufgabensammlung (Seite 17)
Aufgabe 47
Ein Bausparer hat einen Bausparvertrag über 50.000 € Bausparsumme abgeschlossen. Der
Habenzins beträgt 3%. Der Bausparvertrag ist zuteilungsreif, wenn 40% der Bausparsumme
eingezahlt sind.
a) Nach wieviel Jahren ist der Bausparvertrag zuteilungsreif, wenn
3.000 € jährlich nachschüssig
3.000 € jährlich vorschüssig
300 € monatlich nachschüssig
einbezahlt werden?
b) Welche Sparrate muß der Bausparer
jährlich nachschüssig
jährlich vorschüssig
monatlich nachschüssig
leisten, damit der Vertrag in vier Jahren zuteilungsreif ist?
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Aufgabe 45
Aufgabe 46
Aufgabe 47
Aufgabe 48
Das Vermögen von A ist mit 100.000 € doppelt so hoch wie das Vermögen von B. A spart
jährlich 4.000 € nachschüssig, während B 8.000 € spart. Die jährliche Verzinsung ist 6%.
a) Nach wie vielen Jahren sind die Vermögen von A und B gleich hoch?
b) Wie hoch muss die jährliche Sparleistung von B sein, damit er in 10 Jahren das gleiche
Vermögen wie A hat?
Aufgabe 49
Jemand möchte von seinem 63. Geburtstag an 20 Jahre lang eine jährliche nachschüssige
Rente in Höhe von 20.000 € ausbezahlt bekommen. Welchen Betrag muß er dafür 30 Jahre
lang bis zu seinem 63. Geburtstag monatlich vorschüssig einbezahlen? Der Zinsfuß betrage
5,5% jährlich.
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Weingarten – Mathematik 2 für TM – Sommersemester 2008 – Aufgabensammlung (Seite 18)
Aufgabe 50
Als Kaufpreis für ein Haus hat der Erwerber 5 Raten von je 100.000 € zu leisten. Die erste
Rate muss sofort bezahlt werden, die übrigen in jährlichen Abständen. Mit welchem Betrag
könnte bei 5% Zins die ganze Schuld sofort beglichen werden?
Aufgabe 51
Welches Kapital benötig man heute, wenn daraus 5 Jahre lang zu jedem Quartalsbeginn eine
Spende von 1000 € überwiesen werden soll? Die vierteljährliche Verzinsung ist 1%.
Aufgabe 52
In einer Pensionszusage wird eine Rente über 5000 € zu Beginn eines Quartals 10 Jahre lang
bezahlt. Welchen Betrag muss die Firma bei einem Jahreszinssatz von 5% am Anfang der
Rentenzahlungen für die Pensionsrückstellung (Barwert) einsetzen?
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Aufgabe 48
Aufgabe 49
Aufgabe 50
Aufgabe 51
Aufgabe 52
Aufgabe 53
Ein Unternehmen nimmt einen Kredit über 500.000 € zu 7% Zins auf. Der Kredit ist in fünf
Jahren mit gleichbleibenden Tilgungsraten zu tilgen. Erstellen Sie den Tilgungsplan.
Aufgabe 54
Ein Auto, das 57.000 € kostet, soll durch einen Kredit finanziert werden. Die Hausbank
bietet einen Kredit, der in zwei gleich hohen jährlichen Tilgungsraten zurückzuzahlen ist, mit
fol-genden Konditionen an: Zins p.a. 8%, Auszahlung 90%. Wie hoch ist der Effektivzinsfuß
für den Kredit?
Aufgabe 55
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Weingarten – Mathematik 2 für TM – Sommersemester 2008 – Aufgabensammlung (Seite 19)
Eine GmbH nimmt einen Kredit über 2.000.000 € zu 10% Zins auf, der mit gleichbleibenden
Tilgungsraten in 20 Jahren zu tilgen ist. Berechnen Sie
a)
b)
c)
d)
die Restschuld am Anfang des 10. Jahres,
die Restschuld nach 15 Jahren,
den Zinsbetrag im 12. Jahr und
die Aufwendungen im 18. Jahr.
Aufgabe 56
Eine Anleihe von 1.000.000 € soll mittels gleichbleibender Annuität zu 7% verzinst und
innerhalb der nächsten 5 Jahre getilgt werden. Wie gestaltet sich der Tilgungsplan?
Aufgabe 57
Nach 20 Jahren beträgt die Restschuld eines Annuitätenkredits, der zu 8% verzinst wird, eine
Gesamtlaufzeit von 25 Jahren hat und mit gleich hohen Annuitäten getilgt wird, noch
37.403,27 €. Erstellen Sie den Tilgungsplan der letzten 5 Jahre.
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Aufgabe 53
Aufgabe 54
Aufgabe 55
Aufgabe 56
Aufgabe 57