I. Bruchrechnung II. Rationale Zahlen

S. Krauter
1
Fachdidaktische Beiträge
zum Thema
I. Bruchrechnung
und
II. Rationale Zahlen
Prof. Siegfried Krauter
Version 01/2008
2
Bruchrechnen
Vorwort des Autors
Warum und wozu denn noch ein fachdidaktischer Beitrag zum Thema Bruchrechnung,
wo sich doch die Bemühungen gerade um die Bruchrechnung seit Jahrzehnten im Unterricht als erstaunlich wenig erfolgreich erwiesen haben?
„Gerade deshalb“ möchte ich darauf antworten.
Mein Anliegen ist bescheiden. Auf keinen Fall möchte ich Werken wie etwa der grundlegenden und wissenschaftlich fundierten „Didaktik der Bruchrechnung“ von Friedhelm
Padberg Konkurrenz machen. Im Gegenteil, ich halte das Studium gerade dieses hervorragenden Werkes für jemandem, der sich kundig machen will, für unverzichtbar. Der
hier vorgelegte Beitrag ist nicht wissenschaftlich begründet, sondern orientiert sich viel
mehr am Ziel der konkreten Arbeit im Unterricht. Daher werden vor allem nützliche und
brauchbare Hinweise und Arbeitshilfen für die Praxis, die sich vielfach bewährt haben,
dargestellt und angeboten. Auch erlaube ich mir den Verzicht auf Vollständigkeit und
gebe für die Behandlung eines bestimmten Sachverhalts meist nur einen Weg an, den
ich aus langjähriger Erfahrung für gangbar und erfolgversprechend halte. Damit will ich
auf keinen Fall aussagen, dass dies der beste oder gar der einzige sei. Mein Beitrag
richtet sich daher vor allem an Studierende und Anfänger des Lehramts, um ihnen eine
gewisse Hilfe und etwas Sicherheit beim Start zu vermitteln.
Drei besondere Anliegen möchte ich jedoch betonen, die den Tenor meines Beitrags
ausmachen:
Man muss die unterrichtlichen Ziele in der Bruchrechnung heruntersetzen.
Wir benötigen eigentlich gar keine Bruchrechnung! Es genügt ein grundlegendes
Verständnis für den Bruchbegriff. Wer benötigt - außer in der Schule - im täglichen
Leben wirkliches Bruchrechnen?
Ohne fundierte sach- und handlungsbezogene Grundlagen ist der Misserfolg
beim Unterricht im Bruchrechnen garantiert! Ich will zur Begründung dieser These nur eine einzige langjährige Erfahrung anführen: Wenn ich in einer Klasse nach
Behandlung der Bruchrechnung die Aufgabe „30 : ½“ stelle, ist die Fehlerhäufigkeit
außerordentlich hoch. Wenn ich jedoch die Frage stelle, wie viele „Halbe“ man aus
einem 30-Liter-Bierfass ausschenken kann, dann ist die Erfolgsquote sogar schon
vor Behandlung des Bruchrechnens außerordentlich hoch. Wie kann das zusammenpassen? Das darf uns nicht gleichgültig sein, sofern wir Mathematik nicht esoterisch und abgehoben - und damit „sinnlos“ - unterrichten wollen.
Bruchrechnen ist eine Aufgabe der ganzen Schulzeit und kein einmaliger
isolierter Block in Klasse 6. Spätestens in Klasse 5 müssen bei der Behandlung
der Größenarten konkrete Brüche in Form einfacher Maßzahlen auftreten: ½ m, ¾ h,
1/8 Liter, … Ebenso darf nach Klasse 6 der Bruchbegriff nicht vollständig aus dem
Blick verschwinden. So ist es nicht sinnvoll nur noch den Dreisatz zu verwenden, die
Methode schlechthin, um das Bruchrechnen zu vermeiden. Ebenfalls ist eine
vollständige Beschränkung nur noch auf Dezimalform z. B. in Form der
Prozentrechnung zu vermeiden. Einfache Brüche müssen auch nach Klasse 6 im
Unterricht vorkommen.
Ich wünsche allen Lesern Freude und Erfolg beim Unterricht.
S. Krauter
3
Inhaltsverzeichnis
I. Bruchrechnen
1.
Grundvorstellungen und Modelle
4
2.
Aktivitäten zur grundlegenden Begriffsbildung
5
3.
Informeller regelfreier Vorkurs. Grunderfahrungen
6
4.
Vergleich von Brüchen. Ordnung. Formänderungen
8
5.
Addieren und Subtrahieren von Brüchen
10
6.
Vorbereitungen zu einem Unterrichtsentwurf
Addieren und Subtrahieren von Brüchen
11
7.
Multiplikation von Brüchen
18
8.
Division von Brüchen
20
9.
Bruchrechnen - Eine Aufgabe für die ganze Schulzeit
22
Anhang 1. Aufgaben zum Bruchrechnen
26
Anhang 2. Darstellungshilfen: Bruchstreifen (Vorlagen)
33
Anhang 3. Bruchquadrate. Bruchkreise (Vorlagen)
33
II. Positive und negative rationale Zahlen
1.
Symmetrische Skalenbereiche
43
2.
Verschiebungen auf Skalenbereichen
44
3.
Addition und Subtraktion rationaler Zahlen
45
4.
Multiplikation und Division rationaler Zahlen
49
5.
Abschließende Bemerkungen
50
6.
Aufgaben
51
6
Bruchrechnen
3. Informeller regelfreier Vorkurs. Grunderfahrungen.
Für einen solchen Vorkurs bietet sich ganz besonders die Arbeit mit Bruchstreifen
bzw. am Kreismodell an. Die Bruchstreifen können durchaus auch einmal vertikal angeordnet sein und z. B. die Form eines Litermaßes annehmen (siehe z. B. in 6.4)
1. Zunächst halte ich es für wesentlich, dass jeder Schüler diese Streifen bzw. entsprechende Kreisteilungen selbst herstellt. Der Herstellungsakt selbst ist wesentlicher Bestandteil des Lernprozesses – auch wenn das Ergebnis nicht die Perfektion
der computererzeugten Streifen hat. Notfalls kann man eine verbesserte zweite Version machen lassen oder die Ausführung schrittweise von Bruchfamilie zu Bruchfamilie verbessern.
2. Geeignet ist eine Länge von 240 mm (notfalls auch 120 mm) für die Einheit. Festes
weißes Papier, Karton oder Pappstreifen sind besser als normales Papier. Jeder
Streifen sollte mittig längs geteilt werden, damit man zwei Exemplare hat: eines zum
gegenseitigen Anlegen von unten und eines zum Anlegen von oben her.
3. So etwa könnte ich mir den Einsatz vorstellen:
Zunächst lässt man die Schüler die Streifen für Halbe, Viertel, Achtel [evtl. auch
noch Sechzehntel] herstellen. Als Zielvorstellung wird ein fertiges Modell vorab gezeigt (siehe Anhang 1 Hilfsmittel).
Dann werden dazu Reflexionen und Fragen überlegt und notiert: Was haben wir
denn bei der Herstellung z. B. des Halbe-Streifens gemacht?
Die Einheitsstrecke 1 wurde in zwei gleiche Teile geteilt:
1
1
1
1
Wir notieren:
1:2= .
Umgekehrt:
2*
=
+
=1
2
2
2
2
Man kann ruhig weitermachen: 3*
1
1
1
1
3
1
1
=
+
+
=
= 1+
= 1 = 1,5
2
2
2
2
2
2
2
usf.
Nun vergleicht man die Halbe-Strecke mit der Einheitsstrecke: Wie oft passt diese
1
1
1
rein? Man sieht unmittelbar und überprüft: 1:
= 2.
2:
=4
3:
= 6 ; ....
2
2
2
Es empfiehlt sich, jede dieser Gleichungen auch inhaltlich in Wortform zu notieren
1
wie z. B. zu 3 :
= 6: „Teilt man 3 E in Stücke von je ½ E auf, so erhält man 6 Stü2
cke“ bzw. „misst man 3 E mit ½ E aus, so geht es 6 Mal“.
Besonders empfehlenswert ist dies bei der Verwendung von Maßeinheiten für E wie
z. B. h, kg, cm, l, …
1
1
1
1
1
=
+
+
+
=1;
4
4
4
4
4
1
1
1
1
3
1
+
+
=3*
= ; usf.
1:
= 4; usf.;
4
4
4
4
4
4
4. Danach kommen die Viertel dran:
1
1
1
2
+
=2*
= ;
4
4
4
4
1:4=
1
;
4
4*
5. Man wird den Viertel-Streifen und den Halbe-Streifen vergleichen und feststellen:
1
2
1
1
4
2
1
1
1 1
2*
=
= ;4*
=
=
= 1; usf.
+
= ?;
:
= ? u.v.a.m.
4
4
2
4
4
2
4
2
2 4
S. Krauter
7
Es geht nicht darum, Regeln für die Rechenoperationen zu gewinnen, sondern Rechenoperationen mit Handlungen und damit mit Vorstellungen (= verinnerlichte
Handlungen) zu verbinden: Addieren heißt, die Streifen aneinandersetzen; Subtrahieren heißt die Streifen voneinander abziehen; Vervielfachen heißt die Streifen
mehrfach addieren; Dividieren heißt (hier) „Ausmessen mit“, also die Enthaltenseinsaufgabe etc.
6. Danach kann evtl. das Spiel in derselben Weise auf die Achtel und ggf. Sechzehntel
ausgedehnt werden, also die ganze Bruchfamilie Halbe, Viertel, Achtel und Sechzehntel. Sie bietet schon reichhaltiges Material zu allen Rechenoperationen.
7. Nun können die anderen Familien (Drittel, Sechstel, Zwölftel bzw. Fünftel, Zehntel,
Zwanzigstel) in gleicher anschaulicher und konkreter Weise behandelt werden.
8. Es empfiehlt sich, die Halbe- und Drittel-Familie auch am Kreismodell (Std., Min.)
durchzuspielen und die Fünftel-Familie an Dezimalmodellen (Liter, kg, Euro, m).
9. Grundsätzlich empfehlen wir, die Erfahrungen nicht formal sondern ausschließlich
inhaltlich zu begründen und zu formulieren. Es soll das Ganze ein informeller Vorkurs zum Bruchrechnen werden, bei dem Erfahrungen zu allen Operationen gemacht werden, diese jedoch nicht in Regeln formuliert sondern an konkreten Handlungen festgemacht werden. Wir hallten die Erzeugnung einer solchen Erfahrungsbasis für das Verständnis des Bruchrechnens für unverzichtbar.
10. Einige konkrete Anregungen mit dem Kreismodell:
+
1
2
+
=
1
2
=
1
=
2
*
1
2
„Ein halbes und ein halbes ist ein Ganzes“. „Ein Ganzes ist zwei mal ein Halbes“
Diese Gleichung hat nun zwei Umkehrungen (wie jede Multiplikation sie hat):
1:2=
1:
1
2
„Teilt man ein Ganzes in zwei gleiche Teile, so erhält man ein Halbes“
1
= 2 „Teilt man ein Ganzes in Halbe auf, so erhält man zwei Stück.“
2
+
1
4
+
+
1
4
+
=
1
4
=
3
4
=3*
1
4
Diese letzte Gleichung hat nun wieder zwei interessante Umkehrungen:
3
1
:3=
4
4
„Teilt man drei Viertel in drei gleiche Teile, so erhält man ein Viertel.“
8
Bruchrechnen
3 1
:
=3
4 4
„Teilt man drei Viertel in Viertel auf, so erhält man drei Stück“ bzw.
„ein Viertel passt drei Mal in drei Viertel“.
Auf diese Weise fortfahrend kann man vielerlei grundlegende Erfahrungen zum Bruchrechnen in konkreter und Sinn gebender Weise gewinnen. Diese Erfahrungen können
Schüler in die Lage versetzen, die formalen Regeln zum Bruchrechnen inhaltlich zu
verstehen und einen Sinn dahinter zu finden. Wir plädieren im Sinne nachhaltigen Lernens sehr dafür, einen solchen informellen regelfreien Vorkurs zum Bruchrechnen
durchzuführen. Das kann schon in Klasse 5 bei der Einführung von Größen erfolgen.
Man kann dieselben Erfahrungen zu diesen einfachen Bruchfamilien auch (bzw. auch
nochmals) mit den Bruchstreifen (z. B. auch in Form eines Litergefäßes und Umfüllen
mit Sand) bzw. am Kreismodell (z. B. für die Größe Zeit am Zifferblatt mit Zwölferteilung oder dem Tag mit Vierundzwanzigerteilung oder der Stunde mit Sechzigerteilung
oder der Winkelgröße mit 360-Kreisteilung) für die Drittelfamilie kombiniert mit der Halbe-Familie bzw. mit Gewichten o. dgl. machen lassen. Erst danach darf dann zum formalen Bruchrechnen übergegangen werden.
Bei dieser inhaltlich geleiteten Arbeit muss man nicht systematisch vorgehen, sondern
kann in natürlicher Weise alle bei Brüchen vorkommenden Operationen anschaulich
und konkret deuten: Erweitern, Kürzen, Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren (zumindest Vervielfachen mit natürlichen Zahlen), Dividieren (zumindest in der Form des Messens oder Aufteilens mit ganzzahligen Quotienten).
Ganz von selbst gewinnt man bei dieser inhaltlich gebundenen Arbeit Größenvorstellungen von Brüchen und deren Anordnung auf dem Zahlenstrahl. Das ist ein ganz entscheidender Vorteil gerade des Modells der Bruchstreifen. Sie bieten die beste Gewähr
dafür, dass Schüler die Brüche größenrichtig am Zahlenstrahl (bzw. der Zahlengerade)
einordnen können - ein nicht zu unterschätzender Vorteil dieses „linearen“ Modells der
Bruchsreifen.
4. Vergleich von Brüchen. Ordnung. Formänderungen.
Eine der fatalsten Ausfallerscheinungen bei Schülern ist das weitgehende Fehlen von
Größenvorstellungen über Bruchzahlen. Dies sollte von Anfang an beachtet werden:
So sollte für jeden unechten Bruch angegeben werden, zwischen welchen ganzen
Zahlen er liegt und bei welcher näher (grobes Nähern).
Für jeden echten Bruch wird als Näherung ein Stammbruch (1/n) oder der Wert ¾
angegeben.
Beispiele: Man gebe Näherungen an für
13 7 5 82 9
; ; ; ;
etc.
77 30 3 17 23
Die Formänderungen können am besten im Größenmodell (Übergang zu größeren
bzw. kleineren Einheiten) erklärt und veranschaulicht werden.
10
Bruchrechnen
5. Addieren und Subtrahieren von Brüchen
Zunächst werden Erfahrungen mit konkreten Brüchen gesammelt und ohne Regeln internalisiert. Vor jeder Rechnung wird eine Größenabschätzung für das Ergebnis geliefert. Dann wird mit Hilfsmitteln (Rechenstreifen oder Rechenquadrate) operiert.
(Im Einzelnen siehe hierzu den nachfolgenden Teil 5. Vorbereitungen zu einem Unterrichtsentwurf Addieren und Subtrahieren von Brüchen.)
Die wohl wichtigsten Vorbereitungen sind Vorerfahrungen mit den Bruchstreifen:
Addieren geschieht sehr einfach durch Aneinanderlegen der entsprechenden Strecken.
Zum genauen Ablesen des Ergebnisses muss man ggf. eine feinere gemeinsame Unterteilung suchen. Dies ist eine für das Verständnis unerlässliche Grunderfahrung.
Sehr geeignete Veranschaulichungsmittel beim systematischen Zugang sind auch die
Bruchquadrate oder entsprechende Rechtecke auf Karopapier. Beispiel: 3/8 + 2/5. Man
geht aus von Rechtecken mit den Seitenlängen 5 und 8 (also den beiden Nennern),
dann kann man die gegebenen Brüche leicht darstellen:
+
15
40
+
=
16
40
=
31
40
Hinweis:
Diese Methode legt es nahe, als gemeinsamen Nenner grundsätzlich das Produkt
der beiden Nenner zu nehmen und nicht unbedingt den Hauptnenner zu bestimmen (Vergleiche hierzu die Bemerkungen am Ende des folgenden Kapitels).
S. Krauter
13
Brüche
Kürzen
Teilbarkeitsregeln, Primzahlen
[Größter gemeinsamer Teiler]
Erweitern
Hauptnenner
[Kleinstes gemeinsames Vielfaches]
Darstellung am Zahlenstrahl, Anordnung
Rechnen mit Brüchen
Konkrete und bildliche Veranschaulichung
Brüche bei Größen
Brüche als Operatoren (1/4 von ...)
Summenregel
Regeln für: 2, 3, 5, 9, 10
aus Vielfachenreihen gewinnen
Rechenregeln, Formulierung auch mit Platzhaltern
Auch Verbindung der Grundrechenarten
6.4 Vorerfahrungen der Schüler. Mögliche Zugänge und Anknüpfungspunkte
Die Schüler haben die Bruchzahlen kennen gelernt als Maßzahlen von Größen und als
Operatoren (Vervielfacher und Teiler). Welcher Aspekt taugt für einen Ansatz zum Addieren? Wie lässt sich die Addition/Subtraktion im Operatormodell deuten, wie im Modell der Maßzahlen (Größenmodell)? Welcher Zugang ist geeignet?
Operatoren sind Abbildungen, Funktionen. Was versteht man unter der „Summe zweier
Operatoren“ und wie könnte diese modellhaft realisiert werden?
Was ist die „Summe zweier Größen“ (aus demselben Größenbereich) und wie kann sie
im Modell realisiert werden?
Das Ergebnis dieser Analyse ist klar:
Für die Veranschaulichung der Addition und /Subtraktion kommt nur das Größenmodell in Frage.
Einführende Beispiele:
a) 19 dm + 230 cm = 190 cm + 230 cm = 420 cm = 42 dm = 4m 20 cm
Warum konnte man nicht sofort addieren?
Warum musste man zuvor „Einrichten“? Was tut man bei dieser Prozedur?
Vor dem Addieren muss man in eine gemeinsame Einheit („Benennung“; ob das
wohl etwas mit „Nenner“ zu tun hat?!) umwandeln.
Zum Schluss kann man wieder in eine andere (größere) Einheit verwandeln.
b)
1
1
h+ h
4
3
= 15 min
+ 20 min
= 35 min
15
20
35
h
+
h
=
h
60
60
60
= 3 * (5 min) + 4 * (5 min) = 7 * (5 min)
3
4
7
=
h
+
h
=
h
(„Zwölftelstunden“).
12
12
12
=
18
Bruchrechnen
B) Für die Nenner bestehen „natürliche“ gemeinsame Nenner:
3
5
km km =
4
8
Erweiterung:
5
3
h+
h=
6
4
3
7
DM +
DM =
5
20
4 m 13 cm + 7 m 8 dm =
C) Beispielreihe ohne „natürliche“ gemeinsame Unterteilungen (Bruchquadrate zur
Veranschaulichung verwenden):
2
5
m+
m=
5
7
3
1
l- l=
7
8
2
2
kg +
kg =
3
5
D) Übergang von den Größen zu den reinen Bruchzahlen:
a) Umwandeln in Einheiten mit natürlichen Maßzahlen
b) Bruchmaßzahlen; Einheit bleibt (vgl. Zwölftelstunden; Viertele; Halbe; etc. quasikardinale Auffassung).
7. Multiplikation von Brüchen
In der ersten Stufe werden Brüche „vervielfacht“, also mit natürlichen Zahlen multipliziert. Dies kann auf die Addition zurückgeführt werden und müsste daher relativ problemlos gehen, aber Vorsicht: Verwechslung mit Erweitern liegt nahe – wenn man formal
nach Regeln statt inhaltlich nach Überlegung vorgeht!
In einem zweiten Schritt werden Brüche mit Stammbrüchen multipliziert bzw. – was
dasselbe ist – durch natürliche Zahlen dividiert. Dies muss bereits in Klasse 5 gründlich
vorbereitet sein:
1
*
n
=
n-ter Teil von
=
: n.
In einem dritten Schritt werden dann diese beiden Operationen verkettet: Multiplikation
z
1
mit
bedeutet zuerst Multiplikation mit z dann Multiplikation mit
oder umgekehrt.
n
n
20
Bruchrechnen
Es sei nur angemerkt, dass das Multiplizieren von Brüchen vom Erweitern sorgfältig
unterschieden werden muss:
Erweitern ist eine Formänderung eines Bruchs, die Bruchzahl ist vor und nach dem Erweitern dieselbe, nur mit einem anderen Namen (Benennung).
Anders dagegen beim Multiplizieren. Der Wert einer Zahl wird durch die Multiplikation
mit einem Bruch verändert, und zwar vergrößert, falls der Bruch > 1 ist und verkleinert
(das ist deutlich zu machen, s. o.), falls der Bruch < 1 ist.
8. Division von Brüchen
In erster Linie geht es darum, den Schülern eine Vorstellung vom Dividieren zu vermitteln. Die Rechentechnik selbst ist sekundär – notfalls hat man dafür ja auch eine Maschine zur Verfügung, die dieses leistet.
Der erste Schritt wird sein, dass man Brüche durch ganze Zahlen dividiert:
15
kg : 5 = ?
4
Man wird inhaltlich argumentieren: Entweder ich nehme nur den fünften Teil der 15
Viertel, also ¾ kg oder ich belasse es bei 15 Teilen, die ich aber jeweils fünfteile, also
15
aus den Vierteln Zwanzigstel mache, dann erhalte ich
kg.
20
Man muss zeigen – Bruchstreifen verwenden! – dass die Ergebnisse gleich sind. Der
erste Fall funktioniert nur in besonderen Fällen, der zweite jedoch immer. Daher muss
1
er eingeübt werden: 2/5 : 3 = ? usf. Man erhält:
:n =
*
n
Solange also der Divisor ganzzahlig ist, kann man das Dividieren als Teilen oder Verteilen auffassen. Das geht nicht mehr, wenn der Divisor ein Bruch ist:
Wie soll man z. B. 3,5 kg auf ¾ aufteilen? Was heißt das überhaupt, z. B. einen
Geldbetrag auf 5/2 Personen aufteilen? Macht man nun 5 Päckchen oder 2,5 und
was heißt das? Dies geht nur mit ganzzahligem Divisor.
Im Gegensatz dazu macht das Aufteilen oder Messen durch einen Bruch durchaus
Sinn: Wie oft passt die Strecke der Länge 2/5 m in eine Strecke der Länge 3/4 m?
Man nehme die Bruchstreifen zu Hilfe und halte 2/5 an ¾ dran und frage, wie oft dies
reinpasst (Aufteilen oder Messen!). Die Antwort folgt durch einfaches Hinsehen und Abschätzen: ¾ m : 2/5 m = ¾ : 2/5 „das geht etwa 2-mal“, man sieht es ja einfach. In
einer ersten Stufe wird man dies so belassen und nicht genauer ermitteln wollen. Es
geht ja nur um das Verständnis der Division – nicht um eine Technik oder Regel, zumindest noch nicht.
Auch andere Beispiele können auf diese Weise gelöst werden:
Wie oft passt ¾ in 1/3, was ergibt also 1/3 : ¾?
S. Krauter
21
Man benützt die Bruchstreifen und hält sie aneinander: Man sieht sofort, dass das nur
etwa ½-mal reinpasst. Also ist 1/3 : ¾ ungefähr ½.
Mit solchen Übungen – insbesondere wenn es ganzzahlig oder mit einem Stammbruch
geht – wird man in dieser Stufe arbeiten. Vor allem der folgende Sonderfall spielt eine
wichtige Rolle beim Verständnis der Division durch Brüche:
Ganze Zahl durch Stammbruch:
30 :
1
=?
2
5:
1
4
7:
1
=?
3
15 :
=?
1
=?
5
Man schenke aus einem 30-Liter-Fass „Halbe“ aus.
Man fülle Literflaschen in „Viertele“ ab.
Man fülle Literflaschen in Colagläser zu je 1/3 l ab.
Man fülle Literflaschen in Fünftelgläser zu je 0,2 l ab.
...usf. Selbstverständlich auch in anderen Größenbereichen!
In einem weiteren Schritt kann man nun auch nicht ganze Ausgangswerte benutzen.
Danach kann man in andere Gläser abfüllen, also den Divisor nicht mehr als Stammbruch sondern als beliebigen Bruch nehmen wie z. B. Flaschen zu je 2/5 Liter, bzw. zu
je ¾ Liter, bzw. 3/10 Liter etc. Durchaus können – nein sollten! – auch mal Flaschen zu
3/2 Liter, 5/2 Liter etc. vorkommen. Unproblematisch bleibt dies, solange es ganzzahlig
aufgeht.
Eine wichtige Erfahrung hierbei ist, dass etwas beim Dividieren durch einen Bruch mehr
werden kann! Vergleiche dazu die entsprechende Erfahrung beim Multiplizieren.
Es wird hilfreich und wichtig sein, diese Enthaltenseins-Aufgaben (Aufteilen, Messen) in
vielen einfachen Beispielen und vielen Größenbereichen durchzuspielen (Bruchstreifen,
Volumina, Gewichte, Zeitspannen, Flächenstücke, Geldbeträge etc.): Wie oft passt eine
Drittelstunde in eine Dreiviertelstunde (3/4 : 1/3 ist etwa 2; s.o.)?
Als ersten systematischen Zugang wird man Folgendes überlegen:
Wie wird durch einen Stammbruch dividiert?
Beispiel:
x kg : 1/5 kg = ?
Da 1/5 kg in 1 kg 5 mal reinpasst, passt es in x kg x * 5-mal rein.
Mit dieser inhaltlichen Argumentation (lange beibehalten!) kann man schließlich(!) eine
Regel gewinnen – die ständig inhaltlich hinterfragbar sein sollte:
Man dividiert durch einen Stammbruch, indem man mit dem Kehrwert (also des1
sen Nenner) multipliziert:
x :
= x * n
n
24
Bruchrechnen
Wir verzichten in dieser Schrift auf eine eingehende Darstellung des Rechnens mit Brüchen in Dezimalform. Stattdessen erlauben wir uns die Empfehlung, diese jeweils parallel als andere Schreibweise für Brüche mit den Nennern 10, 100, 1000, … zu behandeln. Insbesondere sollten die Schüler sehr früh bemerken, wann welche Form eines
Bruches vorteilhafter ist und zwischen den verschiedenen Formen wechseln können.
So ist z. B. Addieren und Subtrahieren in der Dezimalform leichter, dagegen Multiplizieren und Dividieren in der gewöhnlichen Bruchform.
Folgende Gegenüberstellung mag Anregungen geben:
Vorteile der gewöhnlichen Brüche: (nach F. Padberg, Didaktik der Bruchrechnung)
1. Bei kleinen Nennern leicht handelnd herstellbar und zu veranschaulichen.
2. Rechenregeln für die gewöhnlichen Brüche (gB) begründen die Rechenregeln für
die Dezimalbrüche (DB) einsichtig.
3. Mit gB steht ganz Q + zur Verfügung, mit den endlichen Dezimalbrüchen jedoch nur
eine Teilmenge der positiven rationalen Zahlen.
4. Man arbeitet mit gB rational mit exakten Werten (Gleichungslehre, Algebra).
5. Rechenaufwand bei Multiplikation und Division geringer als bei Dezimalbrüchen; es
gibt keine Periodizität.
Vorteile der Dezimalbrüche:
6. Verbreitung und Vorkommen im täglichen Leben. Schülererfahrungen vorhanden.
7. DB sind eine natürliche Erweiterung der bekannten Stellenwertdarstellung von natürlichen Zahlen.
8. Gemischte Zahlen fügen sich problemlos in die Schreibweise ein.
9. Die Zahlnamen sind i. W. eindeutig.
10. Rechenverfahren sind von den nat. Zahlen her übernehmbar; bis auf die Kommasetzung gelten die gleichen Regeln.
11. DB erlauben einfacheren Größenvergleich und damit Größenvorstellungen.
12. Rechenaufwand bei + und - ist bei DB erheblich geringer als bei gB.
Welche Fehler machen Schüler beim Umgang mit Dezimalbrüchen?
Lehrer sollten die wichtigsten Fehlleistungen genau kennen.
Literaturhinweise:
K. Daubert in Mathematik Lehren 5/1984 S. 20.
S. Krauter u.a. Mathematik 6B, S.67 und S.83.
K. Günther in MUP 1/1987 S. 25 ff bzw. in BzMU 1986 S. 100-103.
F. Padberg in Didaktik der Bruchrechnung, 1989.
26
Bruchrechnen
Anhang 1.
Aufgaben zum Bruchrechnen
1. Zahlen begegnen uns unter sehr verschiedenen Aspekten:
Funktion
Aspekt
Beispiel
Anzahlen
Nummerierung
Rechenzahlen
Abbildungen
Nummern (als Namen)
Maßzahlen
Kardinaler Aspekt
Ordinaler Aspekt
Algebraischer Aspekt
Operatoraspekt, Zuordner
Kodierungsaspekt
Metrischer Aspekt
6 Häuser
Hausnummer 6
6 + 5 = 11
„das Dreifache“
PLZ 71634; Tel. 654321
15 kg = 15 * 1 kg
Welcher Aspekt lässt einen Ansatz zum Übergang von den natürlichen Zahlen zu
den Bruchzahlen zu, welcher nicht?
Skizzieren Sie damit die möglichen Zugänge zur Bruchrechnung beispielhaft.
2. Nennen Sie Situationen des täglichen Lebens, in denen Brüche vorkommen.
Welcher Zahlaspekt steht im Vordergrund? Welche Rechenoperationen treten auf?
Kommt man mit konkreten Vorstellungen (insbesondere Größenvorstellungen) aus
oder werden algorithmische Kenntnisse verlangt?
3. Welche Konsequenzen hätte der „weitgehende“ Verzicht auf die gewöhnliche Bruchrechnung zugunsten verstärkter Behandlung des Rechnens mit Dezimalbrüchen
(Vorteile, Nachteile, Konsequenzen im Zahlaufbau der rationalen Zahlen, Sachrechnen etc.)?
4. Welches sind die Hauptschwierigkeiten der Schüler beim Umgang mit Bruchzahlen
und beim Bruchrechnen?
5. Durch Teilen („Verteilen“) von Größen kann man leicht zu Stammbrüchen (in konkreter Form) kommen:
1
von
3
=
1
*
3
=
:3
bzw.
1
1
kg = * 1 kg = 1 kg : 5 = 1 000 g : 5 = 200 g
5
5
Welcher fundamentale Zusammenhang besteht zwischen Größen- und Operatoraspekt?
Kann man auch durch „Aufteilen“ („Messen“) von Größen Stammbrüche erhalten?
6. Diskutieren Sie Vor- und Nachteile verschiedener Darstellungsformen für Brüche:
Streifenmodell, Kreismodell, Rechtecksmodell, und ggf. andere.
7. Stellen Sie die Grundmodelle zur „Gleichheit von Brüchen“ bzw. zum Kürzen und
Erweitern im Operatorkonzept und im Größenkonzept an Beispielen dar.
Welche Notationsform würden Sie für das Kürzen bzw. Erweitern bevorzugen?
Welche Gefahr birgt folgende Formulierung:
„Kürzen heißt, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren“.
8. Nennen Sie die Hauptschwierigkeiten und Hauptfehlerquellen beim Addieren bzw.
Subtrahieren gewöhnlicher Brüche.
Wie kann man diesen Fehlern vorbeugen?
S. Krauter
27
Ordnen Sie die Schwierigkeiten den Schritten im Verfahren zu.
Vergleichen Sie damit die entsprechenden Operationen in der Dezimalform.
9. a) Nennen Sie Modellvorstellungen für das Vervielfachen und Teilen von Brüchen
(mit natürlichen Zahlen). Beispiele. Notationsformen.
b) Diskutieren Sie folgende Fehler: 7 *
2
14
=
5
35
15
5
:3=
27
9
c) Wie kann man mit Hilfe von a) und der Deutung „
p
p
von ...“ für „ * …“ Regeln
q
q
für das Multiplizieren von Brüchen gewinnen?
Zeigen Sie dies an einfachen Beispielen.
d) Beurteilen Sie folgenden Weg zur Herleitung der Regel für die Division von Brüchen:
2
5
:
3
4
=(
2
2*4
2*4
1
2*4
3
* 4) : ( * 4) =
:3=
*
=
5
4
5
5
3
5*3
=
2
5
*
10. a) Welche reale Situation oder Handlung kann man der Aufgabe
4
3
2
5
:
3
4
als Deu-
tung (Sinngebung) unterlegen? Nennen Sie Beispiele.
Diskutieren Sie den Wert der Deutung für die Bewältigung der Aufgabe.
b) Welche Kenntnisse und Vorstellungen sollten Schüler mit dem Begriff „Kehrwert
einer Zahl“ verbinden?
11. Welche wichtigen Aspekte des Bruchrechnens werden mit folgenden Gleichungsaufgaben thematisiert?
a)
2
*x=0
3
b)
2
*x=1
3
c)
2
2
*x=
3
3
d)
2
2
*x <
3
3
e)
2
2
*x>
3
3
12. Welche Fehler werden bei folgenden Aufgaben häufig gemacht, wie kann man ihnen
entgegenwirken (Prophylaxe und Therapie)?
a)
1
1
+
2
3
b) 2
1
4
+3
3
5
c) 2
1
2
*6
3
5
d) 8
4
1
:6
2
5
e) 0,74 – 0,3
f) 72,3 : 0,01
13. a) Was kann man tun, um den Schülern grobe „Größenvorstellungen“ vom Wert gewöhnlicher Brüche zu vermitteln?
b) Gibt es im Bruchrechnen geeignete Methoden der Überschlagsrechnung?
Wie werden Brüche dabei genähert?
c) Welcher Überschlag ist jeweils angebracht?
14. Geben Sie drei Brüche an, die zwischen
17
69
+
61
5
17
13
19
*
58
88
31
32
und
liegen. Ist das eine für Schü101
101
ler einfache Aufgabe?
Wo liegen ggf. die Schwierigkeiten und wie kann man abhelfen?
15. Welche Schwierigkeiten und Fehler treten beim Multiplizieren und Dividieren von
Dezimalbrüchen auf? Vergleichen Sie diese Operationen mit denen bei gewöhnlichen Brüchen. Welche Empfehlung sollte man Schülern geben?
17. Zum Spaß: Welche „Brüche“ sind dargestellt?
a)
Wil
helm
b)
w
8
S. Krauter
29
26. Ein Ehepaar vererbt seinen Kindern sein Geldvermögen: Das erste Kind erhält
1 000 DM plus ein Siebtel vom Rest. Das zweite Kind erhält 2 000 DM plus ein
Siebtel des Restes. Das dritte Kind erhält 3 000 DM plus ein Siebtel vom Rest usf.
Wie viel Geld hat das Ehepaar hinterlassen und wie viele Kinder hatte es?
27. Der Gregorianische Kalender (seit 1582) hat folgende Schaltjahresregelung:
Ein Normaljahr hat 365 Tage. In jedem vierten Jahr wird ein Schalttag zusätzlich
eingelegt. In jedem 100. Jahr entfällt der Schalttag. In jedem vierhundertsten Jahr
wird der Schalttag erhalten. Wie lang ist die durchschnittliche Jahreslänge des Gregorianischen Kalenders?
Vergleichen Sie mit der wahren Jahreslänge von 365,2422 Tagen.
Welche Konsequenz ist aus dem verbleibenden Unterschied zu ziehen?
28. Warum sind die folgenden Rechnungen richtig?
n
a) n +
n 1
=n*
n
b) n -
n 1
n
n 1
=n*
n
n 1
29. Lösen Sie die folgenden beiden Aufgaben. Geben Sie einen Kommentar zur Aufgabe und zur Lösung.
a) In einer Klasse sind die Hälfte der Schüler Mädchen und ein Drittel der Schüler
ist katholisch. Wie viele katholische Mädchen gibt es in der Klasse?
b) Jedes vierte Auto in Deutschland ist ein VW. Zwei Fünftel der Autos von VW sind
vom Typ „Golf“. Wie viele der Autos in Deutschland sind vom Typ „Golf“?
30. Aufgaben zum Erkennen von Bruchteilen:
a) Welche Fehler bzw. Schwierigkeiten der Schüler sind zu erwarten?
b) Welche Aspekte des Bruchbegriffs werden mit diesen Aufgaben betont?
Aufgabe 1:
B
B
A
B
C
C
A
A
C
(I)
a) Zeichne die Figuren in dein Heft.
(II)
(III)
30
Bruchrechnen
b) Welchen Bruchteil der gesamten grauen Fläche bedecken jeweils die Flächenstücke A, B bzw. C ?
c) Welcher Bruchteil von A ist B, welcher C?
Aufgabe 2:
(I)
(II)
(III)
(IV)
(V)
(VI)
a) Zeichne die Figuren in dein Heft.
b) Welchen Bruchteil der gesamten Kreisfläche machen jeweils die einzelnen Teilstücke aus?
c) Wie verhalten sich die Teilstücke untereinander?
Aufgabe 3:
A
B
C
a) Welchen Bruchteil der gesamten grauen Fläche betragen jeweils die Teile A, B
und C?
b) In welchem Verhältnis stehen die Flächengrößen von A, B und C zueinander?
S. Krauter
31
Aufgaben zum Bruchrechnen in dezimaler Form:
1. a) Wie sieht der Nenner eines abbrechenden Dezimalbruchs aus, wenn man ihn in
gewöhnlicher Bruchform darstellt? Wie nach etwaigem weiterem Kürzen?
b) Warum kann man einen vollständig gekürzten gewöhnlichen Bruch, in dessen
Nenner nur die Primfaktoren 2 oder 5 vorkommen, auf eine Zehnerpotenz als
Nenner erweitern? Welche Form hat dieser Bruch als Dezimalbruch? Beispiele!
2. a) Mit folgender Methode kann man jeden periodischen Dezimalbruch in gewöhnliche
Bruchform bringen:
Beispiel:
x = 0,23 456
1000 * x =
999 * x =
x=
=
0, 2 3 4 5 6 4 5 6....
234, 5 6 4 5 6 4 5 6....
234, 3 3
234 ,33 23433
=
999
99900
Führen Sie die Methode an mehreren Beispielen durch.
b) Welche Nenner erhält man bei reinperiodischen Dezimalbrüchen? Warum sind
diese Nenner stets teilerfremd zur Basis 10? Beispiele durchführen!
c) Zeigen Sie an Beispielen: Wenn der Nenner eines gekürzten Bruches zur Basis
10 teilerfremd ist, dann wird die Dezimalentwicklung stets reinperiodisch.
3. Zeigen Sie an Beispielen in beiden Richtungen:
Die Dezimaldarstellung eines gekürzten Bruchs ist genau dann gemischtperiodisch,
wenn der Nenner neben 2 oder 5 noch mindestens einen weiteren Primfaktor enthält.
4. Zeigen Sie an Beispielen: Wenn Schüler das Stellenwertsystem verstanden haben
und konsequent die Stellenwerttafel benützen, dann ist schriftliches Addieren und
Subtrahieren bei Dezimalbrüchen genau dasselbe wie bei natürlichen Zahlen.
Welche Fehler sind bei folgenden Aufgaben nahe liegend („Komma-trennt-Fehler“)?
0,8 + 0,5 =
0,2 * 0,7 =
7,8 + 5,6 =
27,30 + 6,3 =
4,2 * 2,4 =
5. Multiplizieren in Dezimalform:
a) Man kann Dezimalzahlen genau so schriftlich multiplizieren, wie natürliche Zahlen. Es bleibt nur am Ende zu entscheiden, in welcher Spalte die Einer stehen,
wo also das Komma gesetzt werden muss. Führen Sie dies an einem Beispiel
durch. Multiplizieren Sie zunächst völlig ohne Berücksichtigung des Kommas. Identifizieren Sie dann die Spalte, in der die Einer stehen und setzen das Komma
richtig.
32
Bruchrechnen
b) Wie kann man die übliche Regel – „Kommastellen der beteiligten Faktoren abzählen und so viele Nachkommastellen im Produkt setzen, wie die Summe angibt“ – anschaulich klarmachen?
6. Dividieren in Dezimalform:
Warum kann man jede Division durch eine Dezimalzahl zurückführen auf eine dazu
äquivalente Division mit ganzzahligem Divisor? (Beispiel: 27,359 : 4,8 = 237,59 : 48)
Führen Sie einige Divisionsaufgaben unter Benutzung der schwedischen Darstellungsform durch.
46
Rationale Zahlen
Vom Typ der Z-O-Z-Aufgaben sind alle drei Grundaufgaben (Endzustand gesucht;
Anfangszustand gesucht; Operator gesucht) bis zur Sicherheit einzuüben. Dabei kann
allmählich von der inhaltlichen Einkleidung bis zur rein algebraischen Endform der Notation fortgeschritten werden:
bzw.
(– 26) + 15 = – 11
13 – 17 = (– 4)
Alle weiteren Additions- und Subtraktionsaufgaben werden im Folgenden auf dieses Grundmodell zurückgeführt, dies ist also entscheidendes Fundament.
Zum Ausführen der Rechnungen im Grundmodell (Zuaddieren bzw. Subtrahieren einer
positiven Zahl) kann man auch ein einfaches Rechenstabmodell einsetzen:
Dazu benötigt man zwei einander gegenüberstehende beschriftete Zahlengeraden. Am
besten schneidet man eine solche Zahlengerade, die oben und unten beschriftet ist
längs durch, dann hat man beide Streifen. Wir zeigen dazu zwei Beispiele:
(- 4) + 3 = -1.
(Bei dieser Einstellung kann man alle – 4 - Aufgaben ablesen)
+3
0
3
-4
–4
–1
Einstellen
(- 4) – 3 = -7.
0
Ablesen
(Bei dieser Einstellung kann man alle – 4 - Aufgaben ablesen)
–3
–3
0
-4
–7
Ablesen
–4
0
Einstellen
3. Addition und Subtraktion rationaler Zahlen
Voraussetzung für das Folgende ist die rechnerische Beherrschung des Zuaddierens
(Addieren) und Wegnehmens (Subtrahieren) positiver rationaler Zahlen zu beliebigen rationalen Zahlen auch mit Nullübergang entsprechend Abschnitt 2:
+ 27
– 27
S. Krauter
47
Alle Additionen und Subtraktionen beliebiger rationaler Zahlen werden auf den Fall
des Zuaddierens bzw. Subtrahierens von positiven rationalen Zahlen zurückgeführt!
Der einfachste und überzeugendste Weg – für Schüler ggf. auch nachvollziehbar
– ist der Weg über Permanenzreihen.
Fragestellung: Was ist das Ergebnis der Operation (Aufgabe) 5 + (- 3) = ?
Man setzt folgende Permanenzreihen an:
5+ 4
= 9
(- 7) + 4 =
9 – 4 =
(-17) - 4 =
5+ 3
= 8
(- 7) + 3 =
9 – 3 =
(-17) - 3 =
5+ 2
= 7
(- 7) + 2 =
9 – 2 =
(-17) - 2 =
5+ 1
= 6
(- 7) + 1 =
9 – 1 =
(-17) - 1 =
5+ 0
= 5
(- 7) + 0 =
9 – 0 =
(-17) - 0 =
5 + (-1)
= 4
=5–1
(- 7) + (-1) =
9 – (– 1) =
(-17) – (– 1) =
5 + (-2)
= 3
=5–2
(- 7) + (-2) =
9 – (– 2) =
(-17) – (– 2) =
5 + (- 3) = 2
=5–3
(- 7) + (-3) =
9 – (– 3) =
(-17) – (– 3) =
5 + (- 4) = 1
=5–4
(- 7) + (-4) =
9 – (– 4) =
(-17) – (– 4) =
....
Eine sinnvolle Fortsetzung der Permanenzreihen drängt sich geradezu auf und man
kommt zu folgender Regel:
Addition einer negativen Zahl (- a) ist Subtraktion der positiven Zahl a:
+ (– a ) =
– a
Subtraktion einer negativen Zahl (- a) ist Addition der positiven Zahl a:
– (– a ) =
+ a
Man kann die beiden Regeln zu einer einzigen zusammenfassen, aber das muss nicht
unbedingt sein: Subtraktion einer Zahl ist Addition der Gegenzahl.
Mit diesen beiden Regeln kann man – wie angekündigt – alle Fälle von Additionen und
Subtraktionen im Bereich der rationalen Zahlen zurückführen auf das Zuaddieren bzw.
Subtrahieren von positiven rationalen Zahlen. Wenn man also letzteres beherrscht, ist
das Addieren und Subtrahieren damit – prinzipiell – geschafft und es bleiben nur noch
die rechnerischen Schwierigkeiten.
Beispiele sollen dies verdeutlichen:
17 + (- 13 ) = 17 – 13 = 4
(- 5)
+ (-7 )
2,8 + (- 4,6) = 2,8 – 4,6 = (-1,8)
(- 3,7) + (- 2,9) = (-3,7) – 2,9 = (- 6,6)
17 – (- 13 ) = 17 + 13 = 30
(- 5)
2,8 – (- 4,6) = 2,8 + 4,6 = (-1,8)
(- 3,7) – (- 2,9) = (-3,7) + 2,9 = (-0,8)
– (-7 )
= (-5 ) – 7
= (-5 )
+7
= (-12 )
=2
S. Krauter
Ein ungewöhnliches Modell zur Addition und Subtraktion negativer Zahlen
49
50
Rationale Zahlen
4. Multiplikation und Division rationaler Zahlen
Zunächst einmal ist zu sagen, dass mit der Einführung der Bruchzahlen und damit der
Kehrzahl zu jeder Zahl jede Division durch eine Multiplikation mit der Kehrzahl ersetzt
werden kann. Daher ist es nicht notwendig, Regeln für Multiplikation und Division zu
entwickeln, es genügen solche allein für die Multiplikation.
So wie das Bruchrechnen die Division erübrigt hat (Division = Multiplikation mit der
Kehrzahl) so hat das Rechnen mit negativen Zahlen die Subtraktion erübrigt, denn Subtraktion einer Zahl ist nichts anderes als Addition der Gegenzahl.
Diese grobe Betrachtung wirft auch ein strukturelles Licht auf die Natur der Zahlbereichserweiterungen bis hin zum Körper Q der rationalen Zahlen.
Da es keine nahe liegenden Umweltbezüge für das Multiplizieren mit negativen Zahlen
gibt, erfolgt die Herleitung der entsprechenden Regeln vor allem im Zusammenhang
und im Hinblick auf Verwendung in der Algebra, also ziemlich abstrakt.
Das Multiplizieren von negativen Zahlen kann in mehreren Schritten geklärt werden:
a) Vervielfachen einer negativen Zahl:
Unter dem Produkt 4 * (-3) versteht man das wiederholte Addieren der Zahl (-3):
4 * (- 3) = (- 3) + (- 3) + (- 3) + (- 3) = - 12 = - (4 * 3). Damit ist dieser Fall geklärt.
b) Negative Zahl mal positive Zahl:
Das Produkt (-4) * 3 kann nicht auf diese Weise erklärt werden. Die naheliegendste
Forderung ist die nach weiterer Gültigkeit des Kommutativgesetzes, also
(-4) * 3 = 3 * (-4) und dieses Produkt kann gemäß a) erklärt werden:
(- 4) * 3 = 3 * (- 4) = - (3 * 4)
Hinweis:
Selbstverständlich kann und sollte man die so geklärten Fälle auch noch durch entsprechende Permanenzreihen als sinnvoll erscheinen lassen und unterstützen.
c) Negative Zahl mal negative Zahl:
Die bekannte Regel „minus mal minus gibt plus“ kann auf sehr verschiedene Weisen
motiviert, erarbeitet, veranschaulicht oder abgeleitet werden:
Permanenzreihen: 3 * (-3) = - 9
2 * (-3) = - 6
1 * (-3) = - 3
0 * (-3) = 0
(-1) * (-3) = - 3
..................
Fortsetzung der Wertetabelle für eine Geradengleichung:
Man stelle eine Wertetabelle für die Gleichung y = (-3) * x + 12 auf und setze
sie für negative x-Werte fort (Permanenzprinzip).
Deduktion:
(-a)* (-b) = - ((-a) * b)
= - (- (a * b))
= a*b
entsprechend dem Ergebnis von a)
entsprechend dem Ergebnis von b)
52
Rationale Zahlen
6. Aufgaben
1. a) Nennen Sie mindestens vier Sachbereiche aus der Umwelt, in denen symmetrische Skalenbereiche als Modell für die ganzen Zahlen auftreten. Geben Sie jeweils Vor- und Nachteile an.
b) Welche Fehler sind beim Eintrag der negativen Werte zu erwarten?
Was könnte man dagegen tun?
c) Wie kann man die Begriffe „Vorzeichen“ und „Betrag“ anschaulich darstellen und
welche Übungen sind geeignet, diese Begriffe zu thematisieren?
d) Warum ist –3 größer als –5, wo es doch „bei –5°C kälter ist als bei –3°C“?
Wie muss man die Kleiner-Relation in sinnvoller Weise definieren, um solche Fehler zu bekämpfen?
e) Kann man „Addition bzw. Subtraktion von Skalenwerten“ an den vorgenannten
Modellen sinnvoll erklären? Was geschieht bei der Berechnung von Differenzen
bzw. von Mittelwerten von Temperaturangaben?
2. Welches ist die kleinste vierstellige ganze Zahl?
Vorsicht, die Antwort 1000 ist falsch.
3. Mit den vier Kärtchen des nebenstehenden Beispiels können mehrere dreistellige
negative Zahlen gelegt werden.
a) Wie heißt die kleinste Zahl, die sich damit legen lässt?
–
4
7
b) Schreibe alle der Größe nach auf, beginne mit der kleinsten.
4. Wie viele ganze Zahlen liegen zwischen
+8 und +12
–8 und –12
–435 und –210
–100 und – 1000
–70 und 0
0 und 52
–70 und + 52
–405 und 280
5. Anstelle des Modells Z-O-Z für Addition und Subtraktion könnte man auch ganz auf
der Operatorebene O-O-O arbeiten.
a) Geben Sie Beispiele von Aufgabentypen zu diesem Modell an.
b) Wie kann man in diesem Modell die „Kleiner-Relation“ erklären?
Welche Schwierigkeiten ergeben sich dabei?
c) Wie könnten die Rechenregeln für das Addieren und Subtrahieren hiermit erklärt
werden?
Zeigen Sie dies an geeigneten Beispielen.
6. Sie sollen eine Serie von rationalen Zahlen (positive und negative) Addieren bzw.
Subtrahieren. Welche möglichen Strategien bieten sich an? Geben Sie mindestens
zwei verschiedene Strategien an. Erläutern Sie Vorgehen am folgenden Beispiel:
(–67) + 83 + (–142) – (+276) – (– 413) + (+49) – (–87) + (+164) + 73 – 39 =
5