Mathematik-Wettbewerb Känguru 2006

Hochschule Bremen
Fachbereich E-Technik & Informatik
Mathematikwettbewerb Känguru e.V.
XII. Mathematik-Wettstreit 2006
für Schüler und Studenten
Prof. Dr. Th. Risse
Sinn & Zweck: In Rahmen unserer Bemühungen um
die Mathematik-Ausbildung sind Schüler und Studierende
(nicht nur) an der Hochschule Bremen aufgefordert, sich
am Mathematik-Wettbewerb Känguru des Känguru Vereins e.V. zu beteiligen. Dieses Dokument soll – wie andere
in www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs – Spaß
machen und so der Vorbereitung und dem Training dienen.
c 2006 [email protected]
Letzte Änderung: 26. August 2009
Version 0.1
Abschnitt 1: Einführung
2
1. Einführung
Bei Kangourou 2006 handelt es sich um einen jährlichen MathematikWettbewerb des Känguru Vereins e.V., Berlin, den es für unterschiedliche Altergruppen gibt. Die vorliegenden Aufgaben sind für Schüler der
11.–13. Klassen und für Studierende gedacht. Dieses Dokument mit
meinen Lösungen (ohne Gewähr ) ist Bestandteil meiner Bemühungen, Studierende (in spe) für Mathematik zu begeistern.
Wenn Ihnen dieses Dokument Spaß gemacht hat, probieren Sie doch
mal die Dokumente zum Vorkurs, zur Numerik, Zahlentheorie, Kryptographie, Codierung und Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. aus, alle
http://www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs.
unter
Viel Erfolg!
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
3
2. Aufgaben mit Lösungen
Der Quizz besteht aus 10 leichteren, 10 mittelleichten/mittelschweren
und 10 schwereren Aufgaben. Beim Wettbewerb wird selbstverständlich nicht erwartet, daß Sie alle 30 gestellten Probleme in anderthalb
Stunden lösen.
Alle Aufgaben sind ohne weitere Hilfsmittel zu bearbeiten.
Selbstverständlich sind alle Lösungsstrategien erlaubt: Natürlich dürfen Sie Fragestellungen in einem multiple choice test durch Ausschluß
beantworten. Im ersten Test einfach auf die richtige Antwort clicken!
Aufgabe
1. Mathematik ist
(a) fun
(b) cool
(c) out
(d) in
Auf die Plätze – fertig – los!
(e) voll krass
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
4
Aufgabe
1. Welche der folgenden Produkte ist am größsten?
(a) 2006 · 2006(b) 2005 · 2007(c) 2004 · 2008(d) 2003 · 2009(e) 2002 · 2010
Q2006
2. In wievielen Nullen endet das Produkt p = i=1 pi der ersten
2006 Primzahlen, dargestellt als Dezimal-Zahl?
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 9
(e) 26
3. Betrachte Umfang und Flächeninhalt der grau geschummerten
Fläche. Wieviele Quadrate können
zusätzlich grau geschummert werden, so daß bei gleichem Umfang der
Flächeninhalt maximiert wird?
(a) 0
(b) 7
(c) 18
(d) 12
(e) 16
4. Auf dem Tisch liegen vier Karten E , K , 4 und 7 . Jede Karte
hat auf einer Seite einen Buchstaben und auf der anderen Seite
eine Ziffer. Peter behauptet: Für jede Karte auf dem Tisch gilt:
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
5
Wenn auf einer Seite ein Vokal steht, dann ist die Zahl auf der
”
anderen Seite gerade.“. Wieviele Karten muß man minimal umdrehen, um zu überprüfen, ob Peter die Wahrheit gesagt hat?
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4
6 cm
5. Zwei Züge mit derselben Länge verkehren auf derselben Strecke
in entgegengesetzter Richtung, der erste mit 100km/h, der zweite
mit 120km/h. Ein Passagier im zweiten Zug beobachtet, daß der
erste Zug in genau 6 Sekunden vollständig an ihm vorüberfährt.
Wie lange braucht der zweite Zug, um vollständig an einem Passagier im ersten Zug vorbeizufahren?
(a) 5sec
(b) 6sec
(c) >6sec, (d) 7sec
(e) >7sec
<7sec
6. Susan hat zwei Ohr-Anhänger – beide
gleich dick und gleich schwer. Einer hat
die Form eines Kreis-Ringes mit Innenradius 4cm und Außenradius 6cm. Der andere
4 cm
Ohr-Anhänger ist eine Kreis-Scheibe. Welchen Radius hat dieser Ohr-Anhänger?
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
6
√
√
√
(a) 4cm
(b) 2 6cm (c) 5cm
(d) 2 5cm (e) 10cm
7. Die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgende Zahlen in der
Liste a, b, c, d, e ist identisch. Sei b = 5.5 und e = 10. Was ist a ?
(a) 0.5
(b) 3
(c) 4
(d) 4.5
(e) 5
8. Wenn 4x = 9 und 9y = 256, welchen Wert hat dann xy ?
(a) 2006
(b) 48
(c) 36
(d) 10
(e) 4
9. Betrachte alle 9-stelligen natürlichen Dezimal-Zahlen, von denen
jede die Ziffern 1, 2, . . . , 9 genau einmal enthält. Jede dieser Zahlen
wird auf einen eigenen Zettel geschrieben. Alle Zettel wandern in
eine Urne. Wieviele Zettel muß man minimal aus der Urne ziehen,
um sicher zu sein, daß sich mindestens zwei Zettel in der Urne
befinden, deren Zahlen in der ersten Ziffer übereinstimmen?
(a) 9!
(b) 8!
(c) 72
(d) 10
(e) 9
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
7
10. In der Zeichnung sei AB = 1,
∠ABC = ∠ACD = 90o und
∠CAB = θ = ∠DAC. Wie
lang ist die Strecke AD ?
D
C
A
(a) cos θ + tan θ(b)
1
cos(2θ)
(c) cos2 θ
B
(d) cos(2θ) (e)
1
cos2 θ
11. Welche der folgenden Funktionen hat einen zur y-Achse symmetrischen Graphen?
(a) y(x) = (b) y(x) = (c) y(x) = (d) y(x) = (e) y(x) =
x2 + x
x2 sin x
x cos x
x sin x
x3
12. Beim Roulette gibt es die 37 Ziehungen 0, 1, . . . , 36. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit ergibt sich eine Primzahl, wenn alle Ziehungen
gleichwahrscheinlich sind?
(a) 5/18
(b) 11/37
(c) 11/36 (d) 12/37
(e) 1/3
13. Der Rest bei Division von 1001 durch ein ein-stelliges m sei 5.
Was ist der Rest bei Division von 2006 durch eben dieses m ?
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
(e) 6
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
8
14. Der Radius des Halteverbot-Zeichens
sei 20cm. Jedes dunkle Feld sei durch
denselben Viertelkreis beschrieben. Die
Fläche dieser vier Viertelkreise stimme
mit der grauen Fläche überein. Welchen
Radius (in cm) hat jeder der vier Viertelkreise?
√
√
(a) 10 2
(b) 8 5
(c) 40/3
(d) 24.5
(e) 20
15. Gegeben die Primzahlen a, b und c mit a > b > c. Sei a+b+c = 78
und a − b − c = 40. Welchen Wert hat dann abc ?
(a) 438
(b) 590
(c) 1062
(d) 1239
(e) 2006
16. Der Radius des Sektors verhalte sich
zum Radius des einbeschriebenen Kreises wie 3:1. In welchem Verhältnis
stehen dann Sektor-Fläche und KreisFläche?
(a) 3:2
(b) 4:3
(c) 5:3
(d) 6:5
(e) 5:4
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
9
17. Sechzehn Teams spielen in einer Volley-Ball-League. Jedes Team
spielt ein Spiel gegen jedes andere Team. Für jedes Spiel bekommt der Sieger einen Punkt, der Verlierer 0 Punkte. Es gibt
kein Unentschieden. Nachdem alle Spiele gespielt wurden, bilden
die Punkte aller Teams eine arithmetische Folge. Wieviele Punkte
hat das letztplatzierte Team erzielt?
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) nicht
(e) andere
möglich
Zahl
18. Im letzten Jahr hatte der Schulchor 30 Jungen mehr als Mädchen.
In diesem Jahr ist der Chor insgesamt um 10% gewachsen: die
Anzahl der Jungen um 5%, die der Mädchen um 20%. Wieviele
Mitglieder hat der Chor in diesem Jahr?
(a) 88
(b) 99
(c) 110
(d) 121
(e) 132
19. Ein 4 × 4-Tableaux hat weisse und schwarze Felder. In einem
Zug können zwei Felder in derselben Reihe oder derselben Spalte
ausgetauscht werden. In minimal wievielen Zügen kann das rechte
in das linke Tableaux überführt werden?
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
(a)
unmöglich (b)
2
(c) 3
20. Ein Kirchenfenster besteht aus
rotem (R), grünem (G) und blauem (B) Glas. Es wurden 400cm2
grünes Glas gebraucht. Wieviel
cm2 blaues Glas werden dann gebraucht?
10
(d) 4
(e) 5
B
B
R
G
G
G
G
R
B
R
R
B
√
(a) 396
(b) 400
(c) 120π
(d) 90 2π (e) 382
21. Gegeben seien beliebige Zahlen a > 1 und b > 1. Welches ist der
größte Bruch?
a
a
2a
2a
3a
(a) b−1
(b) b+1
(c) 2b+1
(d) 2b−1
(e) 3b+1
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
11
22. Die Längen der Seiten des Dreiecks
√
∆(XY Z) seien 8cm, 9cm und 55cm.
Wie lang ist die Raumdiagonale XA im
Quader in cm?
X
Y
Z
√A
(a) 90
(b) 10
(c) 120
(d) 11
(e) 200
23. Für wieviele Werte des reellen Parameters b hat x2 − b x + 80 = 0
genau zwei positive, gerade ganzzahlige Lösungen?
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) ∞
√
√
24. Wieviele nicht-leere Teilmengen von {1, 2, . . . , 12} gibt es, so daß
die Summe des größten und des kleinsten Elementes gerade 13
ausmacht?
(a) 1024
(b) 1175
(c) 1365
(d) 1785
(e) 4095
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
25. ABCD ist ein Rechteck. Die Punkte D
M auf AB und N auf BC werden mit
den gegenüberliegenden Ecken geradlinig verbunden. So wird das Rechteck in
Dreiecke und Vierecke mit den angegebenen Flächeninhalten unterteilt. Wie
A
groß ist das mit ? bezeichnete Viereck?
(a) 20
(b) 21
(c) 25
(d) 26
12
C
2
N
?
20
3
B
M
(e)
zu wenig
Angaben
26. Ein Test bestehe aus zehn Fragen. Jeder dieser Fragen kann mit
’ja’ oder ’nein’ beantwortet werden. Wenn man fünf beliebige Fragen mit ’ja’ beantwortet und die restlichen fünf Fragen mit ’nein’,
so sind mindestens vier richtige Antworten garantiert. Wieviele
Teste mit dieser Eigenschaft gibt es?
(a) 55
(b) 252
(c) 2
(d) 10
(e) 22
27. Paul entfernt eine Zahl aus einer Reihe von zehn aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen. Die Summe der verbleibenden Zahlen
ist 2006. Welche Zahl wurde entfernt?
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
(a) 218
(b) 219
(c) 220
13
(d) 225
28. Auf wieviele Weisen kann man die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 in die Quadrate schreiben, so daß der Betrag der
Differenz der Zahlen zweier benachbarter Quadrate nie 3 ergibt? (Quadrate
mit nur einem gemeinsamen Punkt sind
nicht benachbart!)
(a) 3 · 25
(b) 36
(c) 63
(d) 2 · 35
29. Der Würfel wird entlang des Pfades mit
den zwölf Quadraten gerollt. Wie oft
muß der Würfel so den Pfad durchlaufen, bis er im Ausgangspunkt genau dieselben Augenzahlen zeigt wie zu Anfang?
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 227
(e) 3 · 52
(e) nicht
möglich
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
14
30. Die Seitenlänge √des regelmäßigen
Sechseckes sei
3. Die Vierecke
XABC und XP QR seien Quadrate.
Wie groß ist die geschummerte Fläche?
A
B
X
C
R
O
P
Q
(a)
√
5− 3
4
√
(b)
3+1
2
√
(c)
3
4
(d)
√
2− 3
4
(e)
√
2+ 3
4
Lösungen der Aufgaben
15
Lösungen der Aufgaben
Lösung zu Aufgabe: Wegen eigener Befangenheit hier nur ein paar
Hinweise auf Literatur, die die Bibliothek und/oder ich gern leihweise
zur Verfügung stellen:
• Albrecht Beutelspacher: Mathematik für die Westentasche; Piper Verlag 2001 120 S. 9.90 e
und viele weitere Titel
• P.J. Davis, Reuben Hersh: Erfahrung Mathematik; Birkhäuser 1985
ISBN 3-7643-1359-5
• Udo Hebisch: Bücher über Mathematik – umfangreiche (link) list;
www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/cafebuecher.html
• John A. Paulos: Innumeracy – Mathematical Illiteracy and its Consequences; Penguin 1988 ISBN 0-14-012255-9
• Wilhelm Sternemann: Neue Fraktale aus platonischen Körpern; Spektrum der Wissenschaft 11/2000, www.wissenschaft-online.de/abo/spektrum/archi
Weitere Literatur-Hinweise finden sich in den oben genannten Dokumenten, s. http://www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
16
Lösung zu Aufgabe: Wegen (2006 − n)(2006 + n) = 20062 − n2 ist
max{(2006 − n)(2006 + n) : n ∈ IN} = 20062 , also Antwort a.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
17
Lösung zu Aufgabe: Die Anzahl der Nullen am Ende, d.h. als ganzzahliges Produkt welcher Zehner-Potenz sich p darstellen läßt, hängt
davon ab, wie oft 2 und 5 in der Darstellung von p als Produkt von
Primzahlen vorkommt: 2 kommt genau einmal vor.
Damit ist p = p0 · 10 mit p0 ∈ IN, also Antwort b.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
18
Lösung zu Aufgabe: Sei A die geschummerte Fläche. Dann gilt für
den Flächeninhalt |A| = 9 und für den Umfang |∂A| = 20. Das 5 × 5
Rechteck Amax hat den Flächeninhalt |Amax | = 25 und den Umfang
|∂Amax | = 20. Es können somit sukzessive zusätzlich 16 Quadrate
geschummert werden, also Antwort e.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
19
Lösung zu Aufgabe: Für E ist zu prüfen, ob die Zahl auf der
Umseite gerade ist. Für 4 ist zu prüfen, ob der Buchstabe auf der
Umseite ein Vokal ist.
Ende Aufgabe
also Antwort c.
Lösungen der Aufgaben
20
Lösung zu Aufgabe: Nur die relative Geschwindigkeit spielt eine
Rolle: diese ist für Beobachter in beiden Zügen identisch, also Antwort
Ende Aufgabe
b.
Lösungen der Aufgaben
21
Lösung zu Aufgabe: Der erste Anhänger (Kreisring A mit Außenradius 6cm und Innenradius 4cm) hat die Fläche
|A| = πR2 − πr2 = 36π − 16π = 20π = πρ2
wenn√ρ der Radius
der Flächen-gleichen Kreis-Scheibe ist. Daher gilt
√
Ende Aufgabe
ρ = 20 = 2 5, also Antwort d.
Lösungen der Aufgaben
22
Lösung zu Aufgabe: Sei ∆ der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgende Zahlen:
a, b = a + ∆; c = a + 2∆, d = a + 3∆, e = a + 4∆
e = 10 = a + 4∆
Subtraktion b = 5.5 = b + ∆ folgt ∆ = 1.5 und a = 4, also Antwort
4.5 = 3∆
Ende Aufgabe
c.
Lösungen der Aufgaben
23
Lösung zu Aufgabe: Aus 4x = 9 folgt (4x )y = 4xy = 9y = 256 und
damit xy = log4 256 = 4, also Antwort e.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
24
Lösung zu Aufgabe: Es gibt 8! Zahlen mit identischer ersten Dezimalziffer. Das ist der uninteressante ’best case’. Im interessanten
’worst case’ kann man nacheinander neun-mal Zettel mit Zahlen mit
jeweils verschiedener erster Dezimalziffer ziehen. Danach sind sozusagen die möglichen ersten Dezimalziffern verbraucht, so daß spätestens
der zehnte Zettel eine Zahl trägt, deren erste Dezimalziffer unter den
ersten neun Zetteln schon einmal vorgekommen ist, also Antwort d.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
25
Lösung zu Aufgabe: Im rechtwinkligen Dreieck ∆(ABC) ist die
Hypothenuse AC = 1/ cos θ.
D
C
A
B
Daher ist die Hypothenuse AD im rechtwinkligen Dreieck ∆(ACD)
gerade AD = 1/ cos2 θ, also Antwort e.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
26
Lösung zu Aufgabe: Nur y = x sin x ist (als Produkt ungerader
Funktionen) eine gerade Funktion, also Antwort d.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
27
Lösung zu Aufgabe: Es gilt
P ({2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31}) = 11/37
also Anwort b.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
28
Lösung zu Aufgabe: Notwendigerweise ist m > 5. Wegen
1001 = 5 mod 6, 1001 = 0 mod 7, 1001 = 1 mod 8, 1001 = 2 mod 9
ist m = 6 und 2006 = 2 mod 6, also Antwort a.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
29
Lösung zu Aufgabe: Mit R = 20cm machen die vier Viertelkreise
zusammen die Hälfte der Fläche des großen Kreises, also πR2 /2 =
π202 /2√= 200π aus. Also gilt πr2 = 200π oder r2 = 200 und damit
Ende Aufgabe
r = 10 2, also Antwort a.
Lösungen der Aufgaben
30
Lösung zu Aufgabe: Addition liefert
a + b + c = 78
a − b − c = 40
2a = 118
und damit a = 59 sowie b + c = 19, so daß für prime b und c mit b > c
nur b = 17 und c = 2 in Frage kommen, also Antwort e.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
31
Lösung zu Aufgabe: Die Ecke des Sektors liege im Ursprung O,
der untere Sektor-Radius liege auf der x-Achse. Sei M = (x, r) der
Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises und B der Berührpunkt mit
der x-Achse. Im rechtwinkligen Dreieck ∆(OBM ) ist die Hypothenuse
r
2r lang und es gilt sin φ = 2r
= 12 , also φ = 30o .
60
Sei S der Sektor mit Flächeninhalt |S| = 360
πR2 = π6 R2 und K der
einbeschriebene Kreis mit Flächeninhalt |K| = πr2 . Dann folgt
2
|S|
πR2
1
3
1 R
=
= 9=
=
|K|
6πr2
6 r
6
2
also Antwort a.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
32
Lösung zu Aufgabe: Sei pi der Punkte-Stand des i-ten Teams. Nach
Voraussetzung gilt nach geeigneter Umnummerierung pi = x+i y. Aus
0 ≤ pi ∈ ZZ folgt y ∈ IN und x ∈ ZZ.
Es werden insgesamt 21 16 · 15 = 120 Spiele gespielt. Jedes Spiel erhöht
P16
den Punkte-Stand genau eines Teams um 1, also i=1 pi = 120. Mit
pi = x + i y folgt also
16
X
pi = 120 = 16 x + y
i=1
16
X
i = 16 x + 136 y
i=1
Die Lösung der Diophantischen Gleichung 16 x + 136 y = 120 oder
gleichermaßen 2 x + 17 y = 15 gewinnt man aus
x = 12 (15 − 17 y) = 7 − 8 y +
1−y
2
= 7 − 8y + g
1
2 (15
für
g ∈ ZZ.
0 < y = 1 − 2 g liefert eingesetzt x =
− 17 + 34 g) = 17 g − 1 für
0 ≥ g ∈ ZZ. Damit gilt 0 ≤ p1 = x+y = 17 g −1+1−2 g = 15 g und so
x = 0 und y = 1 sowie eben p1 = 0, also Antwort e.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
33
Lösung zu Aufgabe: Sei j die Anzahl der Jungen und m diejenige
der Mädchen im Vorjahr. Wenn man j = m + 30 in die Zuwächse
1.05 j + 1.2 m = 1.1(j + m) einsetzt, ergibt sich
1.05(m + 30) + 1.2 m = 1.1(2 m + 30)
und damit m = 30 sowie j = 60 im Vorjahr. Also hat der Chor
Ende Aufgabe
diesjährig 1.1 · 90 = 99 Mitglieder, also Antwort b.
Lösungen der Aufgaben
34
Lösung zu Aufgabe: Die drei schwarzen Felder der Hauptdiagonalen müssen vertauscht werden. In drei Zügen ist dies nicht möglich.
Eine Möglichkeit mit vier Zügen ist im folgenden dargestellt (durch
Vertauschen in 1. Zeile, 2. Zeile, 3. Zeile und 4. Spalte):
also Antwort d.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
35
Lösung zu Aufgabe: Wenn die Farbbuchstaben zugleich für die
Flächeninhalte stehen, ı̂st G = B zu zeigen. Wegen der Symmetrie
des Fensters reicht es, einen Viertelkreis zu betrachten:
1
2B
C
1
2G
Zunächst ist
G=2
Quadrat
Viertelkreis
−
mit Radius r
mit Seite r
= 2 14 πr2 − r2 = (π/2 − 1)r2
Weiterhin ist
C=
Achtelkreis
− G/2 =
mit Radius 2r
2
1
2 πr
− G/2 = (π/4 − 1/2)r2
Lösungen der Aufgaben
36
und daher
B/2 =
Viertelkreis
Halbkreis
−
−C
mit Radius 2r
mit Radius r
= πr2 − 12 πr2 − C = (π/4 − 1/2)r2
also Antwort b).
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
37
Lösung zu Aufgabe: Offensichtlich gilt
b−1<b−
1
2
<b+
1
3
<b+
1
2
<b+1
und daher
1
b−1
>
1
b− 12
=
2
2b−1
>
1
b+ 13
=
3
3b+1
>
1
b+ 12
=
2
2b+1
>
1
b+1
=
2a
2b−1
>
a
b+ 13
=
3a
3b+1
>
a
b+ 12
=
2a
2b+1
>
a
b+1
bzw. da a positiv
a
b−1
>
a
b− 12
also Antwort a.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
38
Lösung zu Aufgabe: Wenn die Seiten des Quaders mit a, b und
c bezeichnet werden, gilt für die Raumdiagonale d mit Pythagoras
d2 = a2 + b2 + c2 .
X
Y
Z
A
Für die Seitenlängen des Dreiecks gilt wieder mit Pythagoras in irgendeiner Anordnung und Addition
a2 + b2 = 82
b2 + c2 = 92
√ 2
a2 + c2 = 55
2a2 + 2b2 + 2c2
so daß d = 10 folgt, also Antwort b.
=
=
=
=
64
81
55
200
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
39
√
1
Lösung zu Aufgabe: Falls die Lösungen x1,2 = 2b ± 2 b2 − 320 6= 0
beide positiv und geradzahlig sind, so gilt x1 = 2m und x2 = 2m für
m, n ∈ IN. Aus
x1 · x2 = 4 n · m = 80
und
x1 + x2 = 2(m + n) = b
folgt dann
(m, n) ∈ {(1, 20), (2, 10), (4, 5), (5, 4), (10, 2), 20, 1}
und damit für b ∈ 2{21, 12, 9} = {18, 24, 42}, also Antwort d.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
40
Lösung zu Aufgabe: Sei M = {1, 2, . . . , 12}. Gesucht
|{T ⊂ M : T = {n1 < n2 < . . . < n|T | } und n1 + n|T | = 13}|
Die Zahl 13 kann auf sechs Weisen als Summe zweier natürlicher Zahlen geschrieben werden.
n1 + n|T | = 13
1 + 12 = 13
2 + 11 = 13
3 + 10 = 13
4 + 9 = 13
5 + 8 = 13
6 + 7 = 13
, also Antwort c.
S = {n2 , . . . , n|T |−1 }
{2, . . . , 11}
{3, . . . , 10}
{4, . . . , 9}
{5, . . . , 8}
{6, . . . , 7}
∅
|S|
10
8
6
4
2
0 P
2|S|
1024
256
64
16
4
1
= 1365
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
41
Lösung zu Aufgabe: Die Flächenstücke seien wie folgt bezeichnet.
D
C
s
2
t
q
N
r
p
20
3
A
B
M
Dann gilt
|∆(AN D)| = r+t+q =
1
ab
2
und
|∆(CDM )| = s+t+p =
1
ab
2
und daher
|∆(AN D)| + |∆(CDM )| = p + q + r + s + 2t = ab
sowie
|2(ABCD)| = p + q + r + s + t + 2 + 3 + 20 = p + q + r + s + t + 25 = ab
Subtraktion liefert t =? = 25, also Antwort c.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
42
Lösung zu Aufgabe: Sei ’ja’ mit 1 und ’nein’ mit 0 kodiert. Jeder
Test besteht dann aus einer zehn-stelligen bit-Kette ~t = (t1 , . . . , t10 ) ∈
{0, 1}10 . Bezeichne #0 die Anzahl der Nullen, #1 die Anzahl der Einsen in t. Es ist zu überprüfen, ob immer mindestens vier Antworten
zutreffen, wenn beliebig fünfmal mit ’ja’ und fünfmal mit ’nein’ geantwortet wird.
Anzahl
im Test korrekte Antworten
P
Tests
#0 #1 #0 #1
0
10
0
5
5
1
1
9 ≥0 ≥4
≥4
10
2
8 ≥0 ≥3
≥3
0
..
..
..
..
.
.
.
.
8
9
10
2
1
0
≥3 ≥0
≥4 ≥0
5
0
≥3
≥4
5
0
10
1
Es gibt somit insgesamt 22 derartige Tests, also Antwort e.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
43
Lösung zu Aufgabe: Die 10 Zahlen seien n + 1, n + 2, . . . , n + 10.
Entfernt wurde n + j. Dann ist die Summe der verbleibenden Zahlen
10
X
(n + i) − (n + j) = 10 n + 55 − (n + j) = 9 n + 55 − j = 2006
i=1
⇐⇒ 9 n − j = 1951
Aus 1951 = 9 · 217 − 2 folgt n = 217 und j = 2. Die Zahl 219 wurde
Ende Aufgabe
entfernt, also Antwort b.
Lösungen der Aufgaben
44
Lösung zu Aufgabe: Verboten sind die drei Zahlen-Paare (1, 4),
(2, 5) und (3, 6). Sei Q das große Quadrat und q das kleine Quadrat
rechts oben (Q und q sind die Quadrate auf der Hauptdiagonalen).
Angenommen, in Q = n und q = m steht kein verbotenes ZahlenPaar. Dann gäbe es ein kleines Quadrat auf dem Rand ungleich q,
das mit n0 beschriftet wäre, wo (n, n0 ) verboten ist. Also müssen Q
und q mit verbotenen Paaren beschriftet sein. Dafür gibt es sechs
Möglichkeiten.
Es gibt weiter 4! = 24 Möglichkeiten, die restlichen vier Zahlen in die
verbleibenden vier Quadrate am Rand zu schreiben. Dabei können
waagerecht und senkrecht jeweils vier verbotene Beschriftungen entstehen. Es verbleiben 24 − 8 = 16 zugelassene Möglichkeiten.
Insgesamt gibt es damit 6 · 16 = 3 · 25 , also Antwort a.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
45
Lösung zu Aufgabe: Man kann das Experiment natürlich mit einem
Würfel ausprobieren (die Graphik zeigt, mit
welcher Seite der Würfel auf der Bahn aufliegt) . . . Man kann aber auch feststellen,
1
2
6
3
daß der Würfel dieselbe Orientierung be1
kommt, wenn man – statt ihn dreimal nach
4
rechts/links/oben/unten zu rollen – ihn eben
nur einmal nach links/rechts/unten/oben rollt.
2
3
1
1
3
3
3
5
1
3
3
2
3
4
2
2
1
3
1
→=←
also Antwort c.
3
1
6
4
3
3 ↓=↑ 1
1
3
5
3
1
←=→
2
3 ↑=↓ 1
1
4
3
3
2
←=→
5
2
3 ↑=↓ 1
1
1
4
1
3
←=→
3 ↓=↑ 1
→=←
1
6
3
6
1
3
2
5
3 ↓=↑ 1
1
→=←
2
6
2
1
3
1
3 ↑=↓ 1
Alternativ sind Matrix-Transformationen hilfreich:
Lösungen der Aufgaben
46
Die vier Schritte einer Runde lassen sich als Rotationen des Würfels
(mit Schwerpunkt im Ursprung) um die x-Achse (von oben nach unten) bzw. um die y-Achse (von links nach rechts) auffassen. Eine Runde R ist dann die Hintereinanderausführung von Rotationen




1
0
0
cos α 0 sin α
x
1
0 
Rα
= 0 cos α − sin α und Rβy =  0
0 sin α cos α
− sin α 0 cos α
um die x-Achse und mit Rotationswinkel α bzw. um die y-Achse und
mit Rotationswinkel β. Dann gilt


0 0 1
y
y
x
x
1 0 0
R = R90
o R−90o R−90o R90o =
0 1 0
und

0 1
R2 = 0 0
1 0
als erneut Antwort c.

0
1
0

sowie
1
R 3 = 0
0
0
1
0

0
0
1
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
47
Lösung zu Aufgabe: Aus Symmetriegründen haben die beiden Quadrate dieselbe Seitenlänge a. Aus ∠(XAR) = 30o folgt a = 1.
A
B
X
C
R
O
P
Q
√
Das Dreieck ∆(CXP ) ist gleichseitig mit Höhe h1 = hX,CP = 12 3.
Das Dreieck ∆(AXR) hat die Höhe h2 = hX,AR = sin 30o = 12 . Jedes
der sechs Dreiecke des regulären Sechseckes hat die Höhe ho = 32 . Für
den Abstand
von CP gilt d = ho − h2 − h1 =
√ d des Sechseck-Zentrums
√
3
1
1
1
−
−
3
=
1
−
3.
Damit
hat
das
Dreieck ∆(CP O) die Höhe
2
2
2
2
√
√
3
1
h3 = hO,CP = ho + d = 2 + 1 − 2 3 = 52 − 21 3 und daher den
√
Flächeninhalt |∆(CP O)| = 12 h3 = (5 − 3)/4, also Antwort a.
Ende Aufgabe