die Menge der reellen Zahlen - Mathematisches Institut
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die Menge der reellen Zahlen Steffen Hintze Mathematisches Institut der Universität Leipzig - Abteilung Didaktik 09.06.2016 Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen 09.06.2016 1/6 Übungs- und Erarbeitungsspiele Übungsspiel: das Spiel SALDIX Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen 09.06.2016 2/6 Übungs- und Erarbeitungsspiele Erarbeitungsspiel: das Gutscheine-Schuldenscheine-Spiel Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen 09.06.2016 2/6 Übungs- und Erarbeitungsspiele Erarbeitungsspiel: das Gutscheine-Schuldenscheine-Spiel weitergehende Fragen: 1 Kurt hat ein Guthaben von +5. Gib an, wie viele Gutscheine und Schuldenscheine er hat. Finde verschiedene Möglichkeiten. 2 Kurt hat ein Guthaben von +5. Nachdem er das Glücksrad gedreht hat, gibt er zwei Schuldenscheine ab. Gib an, welches Guthaben Kurt nun hat. 3 Kurt hat ein Guthaben von +5. Nachdem er das Glücksrad gedreht hat, gibt er zwei Gutscheine ab. Gib an, welches Guthaben Kurt nun hat. 4 Kurt hat ein Guthaben von +5. Nachdem er an der Reihe war, hat er ein Guthaben von +1. Gib an, welches Ergebnis Kurt gedreht haben könnte. Finde alle Möglichkeiten. Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen 09.06.2016 2/6 die Menge der reellen Zahlen im sächsischen Lehrplan Klasse 9: Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen 09.06.2016 3/6 Einführung der Menge der reellen Zahlen Um die Unvollständigkeit von Q bewusst zu machen, kann zunächst das √ Einheitsquadrat verdoppelt werden, um die Existenz der Streckenlänge 2 zu zeigen. Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen 09.06.2016 4/6 Einführung der Menge der reellen Zahlen Um die Unvollständigkeit von Q bewusst zu machen, kann zunächst das √ Einheitsquadrat verdoppelt werden, um die Existenz der Streckenlänge 2 zu zeigen. Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen 09.06.2016 4/6 Einführung der Menge der reellen Zahlen Die Idee der Intervallschachtelung liefert Näherungswerte für die gesuchte Zahl. √ 1 < 2 < 2 da 12 = 1 < 2 < 4 = 22 √ 1 < 2 < 1,5 da 12 = 1 < 2 < 2,25 = 1,52 √ 1,25 < 2 < 1,5 da 1,252 = 1,5625 < 2 < 2,25 = 1,52 √ 1,375 < 2 < 1,5 da 1,3752 = 1,890625 < 2 < 2,25 = 1,52 √ 1,375 < 2 < 1,4375 da 1,3752 = 1,890625 < 2 < 2,06640625 = 1,43752 ... Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen 09.06.2016 4/6 Einführung der Menge der reellen Zahlen Das Heron-Verfahren liefert Näherungswerte für die gesuchte Zahl. Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen 09.06.2016 4/6 Einführung der Menge der reellen Zahlen Das Heron-Verfahren liefert Näherungswerte für die gesuchte Zahl. Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen 09.06.2016 4/6 Einführung der Menge der reellen Zahlen Das Heron-Verfahren liefert Näherungswerte für die gesuchte Zahl. Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen 09.06.2016 4/6 Einführung der Menge der reellen Zahlen Nun wird untersucht, ob die Zahl √ 2 rational ist. Beweis 1 (Beweis durch Widerspruch) √ (1) √ Angenommen, 2 ist rational, d.h. es existieren m, n ∈ N mit 2= m n. m2 . n2 2 2 2n = m , (2) Somit gilt 2 = (3) Also gilt d.h. in der Primfaktorzerlegung von m2 kommt die Zahl 2 ungeradzahlig oft vor. (4) Dies ist ein Widerspruch, da die Primfaktorzerlegung von m2 die Zahl 2 geradzahlig oft enthält. √ Somit ist 2 nicht rational. Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen 09.06.2016 4/6 Einführung der Menge der reellen Zahlen Nun wird untersucht, ob die Zahl √ 2 rational ist. Beweis 2 (Beweis durch Widerspruch) √ (1) √ Angenommen, 2 ist rational, d.h. es existieren m, n ∈ N mit 2= m n . Dabei seien m und n teilerfremd. m2 . n2 2 2 2n = m , (2) Somit gilt 2 = (3) Also gilt teilbar. d.h. m2 ist eine gerade Zahl und somit durch 2 (4) Somit ist auch m gerade Zahl und es muss eine Zahl r ∈ N mit m = 2r geben. (5) Also ist 2n2 = (2r )2 = 4r 2 und somit gilt n2 = 2r 2 . (6) Also ist auch n gerade. Dies ist ein Widerspruch zur Teilerfremdheit von n und m. √ Somit ist 2 nicht rational. Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen 09.06.2016 4/6 Einführung der Menge der reellen Zahlen Nun wird untersucht, ob die Zahl √ 2 rational ist. Beweis 3 (Beweis √ √ durch Widerspruch) Angenommen, 2 ist rational, d.h. es existieren m, n ∈ N mit 2 = mit 2n2 = m2 . Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen m n 09.06.2016 bzw. 4/6 Einführung der Menge der reellen Zahlen Exkurs: die Kommensurabilität Definition: Zwei reelle Zahlen a und b heißen kommensurabel (lat. zusammen messbar), wenn sie ganzzahlige Vielfache einer geeigneten dritten reellen Zahl e sind. Hinweis: zur Verhältnisbestimmung von Strecken kann das Prinzip der Wechselwegnahme genutzt werden, welches dem euklidischen Algorithmus entspricht. Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen 09.06.2016 4/6 Einführung der Menge der reellen Zahlen Exkurs: die Inkommensurabilität Satz: Die Seite a eines Quadrats und seine Diagonale d sind inkommensurabel. Hinweis: Dies bedeutet, dass das Verfahren der Wechselwegnahme niemals abbricht. Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen 09.06.2016 4/6 Schwierigkeiten beim Umgang mit reellen Zahlen Zahl oder Rechenvorschrift? √ 3+2· 5 √ 4 − 2 · 25 0 = (x − 3)2 − 4 hat als Lösungen x1 = √ 1 und x2 = 5 √ 0 = (x − 3)2 − 5 hat als Lösungen x1 = 5 + 3 und x2 = − 5 + 3 Rechenregeln √ √ √ 5 + 5 = 20 √ √ √ 5 · 6 = 30 √ √ ( 2 − 1) · ( 2 + 1) = 1 Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen 09.06.2016 5/6 mögliche Aufgaben Die Nachkommastellen dieser Dezimalzahlen werden mit Hilfe einer Regel ergänzt. Geben Sie die nächsten vier Nachkommastellen an und entscheiden Sie, ob die Zahl rational oder irrational ist. 1 0,1212121212. . . 2 0,101001000100001000001. . . 3 4,5678787878. . . 4 7,123456789101112131415. . . Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen 09.06.2016 6/6 mögliche Aufgaben Erklären Sie mit Hilfe der Abbildung, dass Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen √ 5+ √ 5= √ 20 gilt. 09.06.2016 6/6 mögliche Aufgaben aus dem Bereich der Kästchenmathematik Zeichnen Sie auf kariertem Papier eine Strecke, deren Länge exakt Kästchenkanten beträgt. Hintze (Uni Leipzig) reelle Zahlen 09.06.2016 √ 29 6/6
