Lösungen-13-2010-2011-Blatt 10

Wiederholen Vertiefen Vernetzen
Klasse 13
Blatt 10
Aufgabe 1: Die Höhe einer schnell wachsenden Panze (in Metern) zur Zeit t (in Wochen)
soll zunächst modellhaft beschrieben werden durch eine Funktion h1 mit h1 (t) = 0, 08 · ekt ; k ∈ R
a) Bestimmen Sie die Wachstumskonstante k, wenn die Panze in den ersten 5 Wochen der Beobachtung
um 0, 52 m gewachsen ist! Berechnen Sie auch, wie hoch die Panze dann 8 Wochen nach Beginn der
Beobachtung ist!
Nach 5 Wochen ist die Panze 0,6 m hoch. Es gilt also
ln 0,6
0, 6 = 0, 08 · ek·5 und damit k = 0,08
≈ 0, 4030
5
0,4030·8
Damit ist h1 (8) = 0, 08 · e
≈ 2, 01, die Höhe der Panze nach 8 Wochen also 2,01 m.
b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wachstumsgeschwindigkeit 3 cm pro Woche beträgt!
Es ist h01 (t) = 0, 4030 · 0, 08 · e0,4030·t .
ln
0,03
0,9305
Aus 0, 03 = 0, 4030 · 0, 08 · e0,4030·t folgt t = 0,4030·0,08
≈ ln0,4030
≈ −1, 8.
0,4030
Die Panze ist also bereits 1,8 Wochen vor Beobachtungsbeginn 3 cm pro Woche gewachsen.
c) Die Panze ist nach 8 Wochen tatsächlich nur 1, 20 m hoch. Die Höhe wird in einem zweiten Modell für
t ≥ 5 beschrieben durch die Funktion h2 mit h2 (t) = a − be−0,5·t ; a, b ∈ R.
Bestimmen Sie a und b aus den beobachteten Höhen nach 5 und 8 Wochen!
Untersuchen Sie, welche Höhe die Panze nach diesem Modell erreichen wird!
Mit den obigen Angaben gelten die folgenden beiden Gleichungen:
0, 60 = a − be−0,5·5
1, 20 = a − be−0,5·8
Die Dierenz der beiden Gleichungen ist
−0, 60 = b · −e−0,5·5 + e−0,5·8 .
−0,6
Also ist b = −e−0,5·5
≈ 9, 41.
+e−0,5·8
−0,5·5
Also ist 0, 6 = a − 9, 41e
bzw. a = −0, 6 + 9, 41e−0,5·5 ≈ 1, 37.
Damit ist h2 (t) = 1, 37 − 9, 41e−0,5·t ; t ≥ 5.
Es ergibt sich für den Grenzwert
lim h2 (t) = lim 1, 37 − 9, 41e−0,5·t = 1, 37, da lim e−t = 0 ist.
t→∞
t→∞
t→∞
t→∞
Die Panze wird in diesem Modell also langfristig eine Höhe von 1,37 m nicht überschreiten.
d) Modellieren Sie das Wachstum der Panze mit einem weiteren Ihnen bekannten geeigneten Modell!
In der Regel nimmt man an, dass sich das Wachstum einer Panze mit Hilfe des logistischen Wachstums
beschreiben lässt. Nun existiert in der gegebenen Situation aber das Problem, dass die Sättigungsgrenze G
nicht gegeben ist, sondern nur drei Punkte auf der
Kurve. 1
1
1
Man kann sich überlegen, dass die drei Punkte 0| 0,08
− G1 , 5| 0,6
− G1 und 8| 1,2
− G1 auf einer
Geraden liegen müssen.
Mittels Tabellenkalkulation ermittelt man dann, dass G = 1, 748 ist.
1,748
. Es ergibt sich durch Umformen, dass k ≈ 0, 2733 ist.
Damit muss gelten 0, 6 = −k·1,748·5
1,748
1+e
h(t) =
1,748
1+20,85e−0,4777t
0,08
−1
ist damit eine Funktion, die das Wachstum der Panze näherungsweise beschreibt.
Tatsächlich ist h(8) = 1, 20017.
√ Aufgabe 2: Gegeben ist ein Doppelkegel mit der Spitze S 0|2|2 3 , der Kegelachse mit der

Richtung ~a0 = 

0


1 
√
− 3
und dem Önungswinkel α = 60°.
a) Fertigen Sie ein Schnittzeichnung in der y-z-Ebene und begründen Sie damit, welchen Kegelschnitt
der Doppelkegel mit der x-y-Ebene liefert!
Bestimmen Sie dann eine Gleichung dieses Kegelschnitts und skizzieren Sie ihn!
Ich verwende, wie auch 
in der 
Zeichnung, die Bezeichnungen x = x1 , y = x2 und z = x3 . Das passt
a1

besser zum Vektor ~a =  a2 
.
a3
−−→
−−→ −→
−−→ −→
−−→
Die Kegelgleichung lautet SX ·~a = SX |~a| cos α oder OX − OS · ~a = OX − OS |~a| cos α.
−−→ −→
−−→
−→
Damit ist OX · ~a = OS · ~a + OX − OS |~a| cos α.
√
−−→
−→
3
1
Mit OX · ~a = xq
a = −2, |~a| = 1, |~a| cos α = 21 und
1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = 2 x2 − 2 x3 , OS · ~
−−→ −→
√
2
2
OX − OS = x21 + (x2 − 2) + x3 − 2 3 gilt für den Kegelschnitt in der x1 − x2 − Ebene mit
q
1 2
x3 = 0: 12 x2 = −2 + 21 x21 + (x2 − 2)2 + 12. Daraus folgt x2 = 12
x1 .
Dies ist die Gleichung einer Parabel.
b) Geben Sie eine Gleichung für eine Ebene an, die mit dem Doppelkegel nur einen Punkt gemeinsam
hat!
−−→
Allgemein gilt, dass durch OX · ~a = b eine Ebene gegeben ist, die orthogonal zu ~a ist. Damit der
−→
Punkt S auf der Ebene liegt, muss b = OS · ~a sein. In unserem speziellen Fall ist also b = −2. Die
gesuchte
 Ebeneist dann gegeben durch
−−→ 
OX · 
0
1
2√
−
3
2
√

 = −2 (Normalenform) oder x2 − 3x3 = −4 (Koordinatenform).
c) Geben Sie eine Gleichung für eine Ebene an, die mit dem Doppelkegel einen Kreis als Kegelschnitt
hat!
Die Ebene muss wieder orthogonal zu ~a sein, nur muss diesmal b 6= −2 sein. Da bekanntlich der
Koordinatenursprung auf dem Kegelmantel liegt, ist z.B. durch
√
x2 − 3x3 = 0 eine Ebene gegeben, deren Schnitt mit dem Kegel ein Kreis ist.
Aufgabe 3: Nach Ergebnissen einer Untersuchung besitzen 60% der 12- bis 19-jährigen Ju-
gendlichen ein eigenes Fernsehgerät.
a) Zu Marktforschungszwecken werden 100 Haushalte ausgelost. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass die Jugendlichen in mehr als 60 Haushalten [in mindestens 55, aber höchstens 70 Haushalten]
ein eigenes Fernsehgerät besitzen!
Dieser Aufgabenteil lässt sich leicht mit Hilfe einer Tabelle der kumulierten Binomialverteilung, aber auch
noch mit Hilfe des Casio fx-991ES bearbeiten.
Es ist n = 100 und p = 0, 6 unter der Annahme, dass ohnehin nur Haushalte, in denen Jugendliche leben,
betrachtet werden. X sei dann die Zufallsvariable, die die Haushalte zählt, in denen die Jugendlichen ein
eigenes Fernsehgerät besitzen. X darf als binomialverteilt betrachtet werden.
P (X > 60) = 1 − P (X ≤ 60) ≈ 0, 462.
P (55 ≤ X ≤ 70) ≈ 0, 854
Es gibt also mit einer Wahrscheinlichkeit ca. 46% [ca. 85%] in mehr als 60 [mindestens 55 aber höchstens
70] der befragten Haushalte mindestens einen Jugendlichen mit eigenem Fernsehgerät.
b) Bestimmen Sie die Anzahl der Haushalte mit Jugendlichen, die man mindestens auswählen muss, damit
in mindestens einem von diesen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% ein Fernsehgerät in
Besitz eines Jugendlichen ist!
P (X ≥ 1) ≥ 0, 9
⇔ 1 − P (X = 0) ≥ 0, 9
⇔
1 − (0, 4)n ≥ 0, 9
⇔
(0, 4)n ≤ 0, 1
⇔
ln ((0, 4)n ) ≤ ln (0, 1)
⇔
n ln (0, 4) ≤ ln (0, 1)
⇔
n≥
ln(0,1)
ln(0,4)
≈ 2, 5
Man muss also mindestens drei Haushalte, in denen ein Jugendlicher lebt, auswählen, damit mindestens
einer von diesen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% ein Fernsehgerät besitzt.
c) Aus weiteren Untersuchungen ist bekannt, dass 18-jährige täglich im Mittel 210 Minuten vor dem
Fernsehgerät verbringen. Man kann weiter annehmen, dass diese durchschnittliche Sehdauer in der
Gesamtheit der 18-jährigen normalverteilt ist mit einer Standardabweichung von 60 Minuten.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Durchschnittswert eines zufällig ausgesuchten 18-jährigen [von vie
zufällig ausgewählten 18-jährigen] unter 120 Minuten liegen?
µ = 210 min, σ = 60 min.
Es ist P (X < 120) = P (X < µ − 1, 5σ) ≈ 0, 067.
Der Durchschnittswert eines zufällig ausgesuchten Jugendlichen liegt also nur mit einer Wahrscheinlichkeit
von 6,7% unter 120 Minuten.
60
µX = 210 min, σX = √
min = 30 min.
4
Es ist P (X < 120) = P X < µX − 3σX ≈ 0, 0013.
Der Durchschnittswert von 4 zufällig ausgewählten Jugendlichen liegt sogar nur mit einer
Wahrscheinlichkeit von ca. 1 unter 120 Minuten.
X1 +...+Xk
Dabei wird vorausgesetzt, dass für k normalverteilte Zufallsgröÿen X1 , . . . , Xq
k gilt, dass X =
k
‡
wieder eine normalverteilte Zufallsgröÿe ist mit µX =
µX1 +...+µXk
k
und σX =
2 +...+σ 2
σX1
Xk
.
k2