Blatt 4 - M10

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Carsten Lange & Martin von Gagern
Geometrie und Coxetergruppen SS 2015
www-m10.ma.tum.de/CoxGrupSS15
Aufgabenblatt 4 (2. Juni 2015)
— Präsenzaufgaben —
Aufgabe 1. Permutaeder
Betrachten Sie die Symmetriegruppe des Tetraeders.
a) Zeichnen Sie den Coxeter-Graph, und beschriften Sie dessen Knoten.
b) Geben Sie zu jedem Erzeuger eine Wurzel an, so dass diese Wurzeln ein einfaches Wurzelsystem bilden.
c) Zählen Sie alle Elemente der Symmetriegruppe auf, sortiert nach ihrer Länge. Geben Sie jedes Element als
möglichst kurzes Produkt von einfachen Spiegelungen an, und geben Sie außerdem das Bild des homogenen
Koordinatenvektors v = (1, 2, 3, 4) unter der jeweiligen Abbildung an.
d) Für die einfachen Wurzeln δi , bestimmen Sie den Abstand kv − σδi (v)k. Wie hängt diese Vektor-Norm mit dem
euklidischen Abstand der Punkte zusammen?
e) Betrachten Sie die von zwei einfachen Wurzeln erzeugten Untergruppen. Was sind die Bilder von v unter einer
solchen Untergruppe?
f) Vergleichen Sie kσδi σδj (v) − σδi (v)k mit kσδi σδj (v) − σδj (v)k. Wie können Sie dieses Ergebnis geometrisch interpretieren?
g) Geben Sie ein einfaches Argument an, warum W v die Ecken eines konvexen Körpers sind.
h) Wie hängt dieser Körper mit dem als Ausgangspunkt genannten Tetraeder zusammen?
i) Was ist der Schnitt dieses Körpers mit dem Fundamentalbereich der Symmetriegruppe?
j) Ist jede Abbildung, die diesen Körper als ganzes fix lässt, auch ein Element der Symmetriegruppe?
Aufgabe 2. Zerlegung
Betrachten Sie weiterhin die Symmetriegruppe des Tetraeders, mit zugehörigem einfachem Wurzelsystem ∆.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, I ⊆ {σδ | δ ∈ ∆} zu wählen? Wie liegen die zugehörigen Spiegelebenen geometrisch?
b) Wie viele parabolische Untergruppen dieser Tetraeder-Symmetriegruppe gibt es?
c) Betrachten Sie Punkte auf der Oberfläche des Permutaeders (also der konvexen Hülle aus der letzten Aufgabe).
Was sind deren Standgruppen? Machen Sie sich die daraus resultierende Partitionierung bewusst.
d) Betrachten Sie für jede mögliche Wahl von I die zugehörigen Mengen WI und W I und beschreiben Sie diese
geometrisch.
e) Zeichnen Sie für jedes mögliche I den zu ∆I gehörigen Coxeter-Graphen.
f) Für jede mögliche Wahl von I, wählen Sie zufällig zwei Elemente der Tetraeder-Symmetriegruppe aus und
zwelegen Sie diese in ein Produkt w = wI · wI mit wI ∈ W I und wI ∈ WI .
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