Prof. S. Krauter MODUL 2 – R – H. Geometrie SoSe 05. Blatt 8

Prof. S. Krauter
MODUL 2 – R – H. Geometrie SoSe 05.
Blatt 8 – Lösungen
Aufgabe1:
a) Die Deckabbildungen sind die Drehung um 90° und deren Verkettungen, also
insgesamt die vier Drehungen um 90°, 180°, 270° und die Identität i. Die
Verknüpfungstafel ergibt die zyklische Vierergruppe Z4. Sie ist isomorph zur
additiven Restklassengruppe mod 4.
b) Die Figur ist eine Raute und hat eine zur Deckabbildungsgruppe des Rechtecks
isomorphe Symmetriegruppe: Zwei Achsenspiegelungen an zwei zueinander
senkrechten Achsen sowie die Punktspiegelung am Schnittpunkt zusammen mit
der Identität. Die Gruppentafel ist die Kleinsche Vierergruppe bzw. die
Diedergruppe D2. In ihr sind alle Elemente selbstinvers und für die vom
Neutralelement verschiedenen Elemente gilt: die Verknüpfung zweier Elemente
gibt jeweils das dritte. Auch diese Gruppe ist kommutativ. Diese Gruppe ist nicht
isomorph zur Z4.
c) Die Figur ist 6-fach drehsymmetrisch, d.h. sie hat als Deckabbildungen die
Vielfachen der Drehung um den Mittelpunkt um 60°. Die Gruppentafel ist die der
zyklischen Sechsergruppe Z6, also isomorph zur additiven Restklassengruppe
mod 6. Diese Gruppe ist – wie alle zyklischen Gruppen – kommutativ.
d) Die Figur hat dieselbe Symmetriegruppe wie ein gleichseitiges Dreieck, nämlich
die Diedergruppe D3. Diese besteht aus 3 Achsenspiegelungen an Achsen die
miteinander Winkel von je 60° bzw. 120° bilden und drei Drehungen, den
Vielfachen der Drehung um 120°. Diese Gruppe ist nicht kommutativ und daher
auch nicht isomorph zur Gruppe Z6.
Aufgabe 2:
a) Man erhält ein symmetrisches Trapez. Sonderfälle: Rechteck und Quadrat.
b) Man erhält einen symmetrischen Drachen. Sonderfälle: Raute und Quadrat.
c) Man erhält ein Parallelogramm. Sonderfälle: Rechteck, Raute, Quadrat.
d) Wir betrachten eine Figur, die eine Achse a als Symmetrieachse hat. Ist noch
eine weitere Achse b der Figur vorhanden, so wird bei Spiegelung an a sowohl
die Figur in sich abgebildet als auch die Achse b in eine neue weitere Achse b’
der Figur. Nur wenn b = b’ ist, hat also die Figur genau zwei Achsen. Dies ist
jedoch dann und nur dann der Fall, wenn b zu a senkrecht ist, also bei der
Spiegelung an a in sich selbst abgebildet wird.
Durch analoge Überlegungen gelangt man zu den weiteren Fällen: Besitzt eine
Figur genau n Symmetrieachsen, so gehen diese durch einen gemeinsamen
Punkt und schneiden sich dort unter Winkeln von 180°/n. Die Symmetriegruppe
der Figur ist dann die Diedergruppe Dn. (Siehe 3.2).
e) Man erhält ein Rechteck. Sonderfall: Quadrat.
f) Man erhält eine Raute. Sonderfall: Quadrat.
g) Man erhält ein Quadrat. Seine Symmetriegruppe ist die Diedergruppe D4 mit vier
Achsenspiegelungen sowie den vier Drehungen um 90°, 180°, 270° und Identität.
h) Man erhält das „Haus der symmetrischen Vierecke“, ein Hassediagramm für die
Mengen bzw. ein hierarchisches Begriffssystem.
Aufgabe 3:
a) Man zeichnet den Thaleskreis über PM. Seine Schnittpunkte mit dem gegebenen
Kreis sind die Berührpunkte der Tangenten. Diese stehen jeweils senkrecht auf
dem zugehörigen Berührradius MB.
b) Sei r2 > r1. Man zeichnet den Kreis k’ um M2 mit Radius r’ = r2 – r1 und konstruiert
von M1 aus die Tangenten an k’. Wie erhält man daraus leicht die gemeinsamen
äußeren Tangenten der beiden Kreise?
Für die inneren Tangenten verfährt man entsprechend, indem man um M2 den
Kreis k’’ mit dem Radius r’’ = r2 + r1 zeichnet und analog verfährt.
Aufgabe 4:
Wir stellen nachfolgend die Netze der fünf platonischen Körper dar, aus denen man
leicht – evtl. unter Anfügen von Klebekanten – die Körper herstellen kann.
Tetraedernetz
Hexaedernetz
Dodekaedernetz
Oktaedernetz
Ikosaedernetz
Weitere Informationen zu platonischen Körpern unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Platonische_K%C3%B6rper