Versuch_2

Versuch 2: Statische und dynamische Messung von Federkonstanten
1. Zielstellung
Im täglichen Leben spielen rücktreibende bzw. federnde Kräfte häufig eine entscheidende
Rolle, ohne dass dieser Zusammenhang für physikalisch Unbedarfte erkennbar ist. So
basieren die meisten schwingfähigen Gebilde auf einem einfachen Feder-Masse-Modell,
welches den periodischen Austausch von potentieller und kinetischer Energie gewährleistet.
Im konkreten Versuch soll die statische und die dynamische Messung von Federkonstantanten
vorgenommen werden. Zur Erklärung der verformenden Wirkung der Federkräfte soll das
Hooksche Gesetz angewandt werden. Die Analogie der Federkonstante einer linearen Feder
zur Winkelrichtgröße einer Drehfeder ist herzustellen. Weiterhin führt die Parallel- und
Reihenschaltung von Schraubenfedern zu Vergleichen mit Erkenntnissen aus der
Elektrotechnik.
2. Literatur
Mende, D.; Kretschmar, W.; Wollmann, H.
Schneider, H.A.; Zimmer, H.
Stoppe, H.
Hering, E.; Martin, R.; Stohrer, M.
"Physikalisches Praktikum",
Fachbuchverlag Leipzig, 1990,
ISBN 3-343-00239-9, Seite 33 - 35
"Physik für Ingenieure" Bd. 1,
Fachbuchverlag Leipzig, 1989,
ISBN 3-343-00172-4, Seite 56
"Physik",
Fachbuchverlag Leipzig, 2005,
ISBN 3-446-40047-8,
Seite 41/42, 290 - 294
"Physik für Ingenieure",
Springer Verlag Berlin, 2004,
ISBN 3-540-21036-9, Seite 351
3. Kolloquiumsschwerpunkte
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Federtypen und ihre Anwendungen
Hooksches Gesetz
Definition und Messmethode von statischen Federkonstanten
Lösungen einfacher Differentialgleichungen
Fehlerrechnung
Auswertungen von Ausgleichgeraden
Trägheitsmoment
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4. Grundlagen
Für die Verformung von fester Materie kann ein Diagramm erstellt werden, dass den
Verformungsgrad mit der Kraft verbindet. Typischerweise wird der Verformungsgrad durch
die relative Verlängerung ε eines Probestücks berücksichtigt.
(4.1)
ε=
Δl
l
Die Kraft, die für diese Dehnung ε aufgebracht werden muss, wird über die mechanische
Spannung σ beschrieben.
(4.2)
σ=
F
A
Die mechanische Spannung beschreibt folglich eine wirkende Kraft F pro Flächeneinheit A
ähnlich der Druckdefinition.
Abb. 4.1: Mechanische Zugbeanspruchung eines Probekörpers
Für kleine Auslenkungen reagieren die meisten Festkörper mit einem linearen
Zusammenhang zwischen der aufgebrachten Kraft und der Dehnung. Außerdem relaxieren die
elastischen Stoffgruppen nach dem Entfernen der Krafteinwirkung. Bei größeren
Auslegungen werden die Materialien unter der Einwirkung der Kraft zum Fließen neigen,
wodurch eine dauerhafte Verlängerung der Probestücke nach der Krafteinwirkung
zurückbleibt. Diese anelastische Nachwirkung wird schließlich bei Erhöhung der Kraft
irgendwann zum Zerreißen der Probe führen. Für die Anwendung der Materialien als
Federmaterial ist nur der anfangs beschriebene elastische Bereich interessant, der als
Hookscher Bereich definiert ist. Bei Stahl liegen die zulässigen Dehnungen ohne dauerhafte
anelastische Verformung typischerweise im folgenden Bereich.
(4.3)
Hookscher Bereich bei Stahl Æ ε max −elastisch ≈ 10 −3
Die Steigung im Hookschen Bereich wird durch den stoffspezifischen Elastizitätsmodul E
charakterisiert.
(4.4)
Hooksche Bereich Æ σ = E * ε
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Abb. 4.2: Schematisierter Verlauf der mechanischen Spannung als Funktion der Dehnung
Bei dem Einsatz kommerzieller Metalle als Federn muss dafür gesorgt werden, dass die
maximale Dehnung im elastischen Bereich nicht überschritten wird. Dies kann durch
konstruktive Maßnahmen erreicht werden, was nur zu kleinen lokalen Dehnungen bei großen
äußeren Verformungen der Federkörper führt. Bei so genannten Schraubenfedern wird ein
langer Draht mehrfach aufgewickelt. Die lokale Dehnung im Material entsteht durch die
geringe Verdrillung des Drahtes aufgrund der Zugbelastung der Feder. Durch die Länge des
Drahtes führt diese Verdrillung schließlich zu einer makroskopischen Längenänderung der
Feder. Die Wirkung der Feder kann im elastischen Bereich (Hookscher Bereich) durch einen
linearen Zusammenhang zwischen der Kraft und der Verlängerung der Feder beschrieben
werden.
(4.5)
F = k * Δl
Ähnlich kann auch die Wirkung einer Rotationsfeder durch ihre Winkelrichtgröße k*
formuliert werden. Dieser Sachverhalt ist nichts anderes als das Federgesetz nach Gleichung
4.5 bezogen auf den Drehwinkel Δα der Feder, wobei die Kraft durch das Drehmoment M
ersetzt werden muss.
(4.6)
M = k * * Δα
Nachstehend sind die beiden Federtypen schematisch dargestellt.
Abb. 4.3: Messungen zur statischen Bestimmung der Federkonstante
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Das vektorielle Drehmoment ergibt sich aus dem Kreuzprodukt des Kraftvektors mit dem
Ortsvektor des Kraftangriffpunkts im Bezug zum Drehpunkt
(4.7)
r r r
M = r×F
Der Betrag des Drehmoments kann somit direkt durch den Winkel β zwischen den beiden
Vektoren angegeben werden.
(4.8)
M = r * F * sin β
Ein Feder-Masse-System bildet ein schwingfähiges System, da es für die Energie zwei
unabhängige Speichermöglichkeiten hat. Die Energie des Schwingsystems kann als
potentielle Federenergie und als kinetische Energie der Masse gespeichert sein. Zur
Berechnung der Eigenresonanz des ungedämpften Systems wird die Differentialgleichung
nach dem Newton’schen Kraftansatz aufgestellt.
(4.9)
m * &y& = −cy Æ &y& +
c
y=0
m
Aus der Gleichung 4.9 ergibt sich unmittelbar die Eigenfrequenz des Schwingsystems.
(4.10) f 0 =
1
c
*
2π
m
Auch für die Drehfeder kann in Verbindung mit einem Trägheitskörper ein Schwingsystem
aufgebaut werden. Die Differentialgleichung ergibt sich aus der Gleichsetzung der
Drehimpulsänderung und dem rücktreibenden Drehmoment durch die Drehfeder.
(4.11) J * α&& = − k * * α Æ α&& +
k*
*α = 0
J
Mit der Differentialgleichung 4.11 kann ebenfalls die Resonanzfrequenz unmittelbar
berechnet werden.
(4.12) f 0 =
1
2π
k*
J
Im Versuch ist das Trägheitsmoment J0 durch den Drehteller gegeben. Eine Veränderung des
Trägheitsmoments kann durch zusätzliche Massen mi auf dem Drehteller erfolgen, die im Ri
von der Drehachse angebracht werden. Das Trägheitsmoment berechnet sich dann nach dem
Steiner’schen Gesetz, indem die Massen mi als Punktmassen angenommen werden.
(4.13) J = J 0 + ∑ mi * Ri2
i
Die Prinzipien der dynamischen Messungen sind nochmals in der nachfolgenden Graphik
gegenübergestellt.
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Abb. 4.4: Dynamische Messung der Federkonstanten
5. Aufgaben
a) Von vier Schraubenfedern ist die Federkonstante k durch die grafische Darstellung der
Kraft F als Funktion der Längenänderung der Feder zu bestimmen. Die Ausgleichsgerade
soll mindestens aus 5 Messpunkten gebildet werden. Außerdem ist eine Fehlerbetrachtung
durch die Berücksichtigung der Fehlerbalken vorzunehmen.
b) Für mindestens eine der Federn ist die Federkonstante aus der Schwingungsdauer zu
ermitteln und mit dem Ergebnis von a) zu vergleichen. Zur Messung der
Schwingungsdauer sind jeweils 10 Schwingungen mit 3 verschiedenen Belastungsmassen
zu beobachten.
c) Für die beiden gleichen Federn ist wie unter dem Aufgabenteil a) die gemeinsame
Federkonstante bei Serien- und bei Parallelschaltung zu bestimmen. Auch hier sind die
Erwartungshaltungen aus dem Aufgabenteil a) zu verifizieren.
d) Die Winkelrichtgröße k* des Kraftmomentmessers ist zu messen. Hierzu sind mittels
geeigneter Federwaagen unter Nutzung dreier verschiedener Angriffsradien entsprechende
Drehmomente anzusetzen. Die Ablesung erfolgt bei einer Auslenkung von Δα=90°.
e) Bestimmen Sie mit zwei dynamischen Messungen die Winkelrichtgröße und vergleichen
Sie diese mit dem Wert aus Aufgabe d). Nutzen Sie hierzu zusätzliche Massen zur
gezielten Veränderung des Trägheitsmoments.
f) Für zwei Federn mit extremen Federkonstanten ist der Torsionsmodul G des Werkstoffes
zu berechnen.
8nkD 3
Formel zur Bestimmung des Torsionsmoduls: G =
d4
Formelzeichen
Bedeutung
n
Anzahl der
Windungen
k
Federkonstante
D
Durchmesser
einer Windung
d
Drahtdurchmesser
Innerhalb der Versuchsausarbeitung sind die Begriffe harte und weiche Feder, harmonischer
Oszillator, die Analogie von linearer und Drehschwingung sowie der Vergleich von
Federschaltung und Schaltung elektrischer Widerstände und Kapazitäten zu bearbeiten. Eine
Fehlerbetrachtung ist bei allen Aufgabenteilen durchzuführen.
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6. Physikalische Konstante und Materialkonstanten
m
s2
Erdbeschleunigung
g = 9,81
Torsionsmodul von Stahl, typisch
G = 40...80 *10 9
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N
m2