Prüfungsprotokoll

Prüfungsprotokoll
Staatsexamen
Geometrie, Variationsrechnung, Funktionentheorie
Prüfer: König, Kosmol, Schütt
Zugrundeliegende Vorlesung: Variationsrechnung, Funktionentheorie,
Mathematische Probleme für den Schulunterricht (Geometrie)
Studiengang: Lehramt Gymnasium
Datum: Januar 2009
Note: 1,0
Fragen: Geometrie
• Wenn die Kantenlänge eines regelmäßigen Fünfecks 1 ist, wie lang ist dann die
Diagonale? Die Länge des goldenen Schnitts (mit Beweis)
• Bei den Polyedern finden wir die regelmäßigen Fünfecke ja wieder, wo denn?
Beim Dodekaeder und auch beim Ikosaeder, da hier fünf gleichseitige Dreiecke
wieder ein Fünfeck mit einer gehobenen Spitze geben (deshalb die Konstruktion der drei goldenen Rechtecke eines Ikosaeders)
• Wo wir schon bei der Konstruktion eines Ikosaeders sind, kennen sie noch
eine andere Konstruktion? Die aus dem Oktaeder (mit Zeichnung und Idee
des Beweises) Zwischendurch: Wieviele gleichseitige, wieviele gleichschenklige
Dreiecke haben wir denn? 8 und 12.
• Wie viele Flächen, Ecken und Kanten gibt es beim Ikosaeder und Dodekaeder?
Reden über Dualitätet und verbinden der Flächenmittelpunkte.
• Kommen wir zur sphärischen Trigonometrie, was ist denn ein Kugeldreieck?
Und wie lautet der Flächeninhalt? (mit Beweisidee)
• Wie kann man denn den Abstand zwischen Kiel und Los Angeles bestimmen?
(mit Zeichnung)
• In der ebenen Geometrie gibt es ja den Kosinus- und den Sinussatz, wie ist es
in der sphärischen? mit Beweisidee Seitenkosinussatz
• Sie reden ja vom Kosinus von Seiten, müsste man nicht Winkel einsetzen?
Erklären, dass es gerade das Bogenmaß in der euklidischen Einheitskugel ist
und damit gleich dem Winkel am Mittelpunkt
• Wir haben ja den Seiten- und den Winkelkosinussatz, wie hängen die denn
zusammen? Erklären eines Pols mit ”Formel”des Normaleneinheitsvektors auf
dem Großkreis und dann erklären der Dualität zwischen Kugel- und Polardreieck
• Wie könnte man denn den Abstand von Los Angeles und Kiel bestimmen?
Zeichnung, Seitenkosinussatz
• Wenn sie nun nach LA fliegen, starten sie gen Nord-Westen oder Süd-Westen?
Da es offensichtlich in meiner Zeichnung Süd-Westen war, habe ich gesagt,
dass es dann wohl Nord-Westen ist, und dass man den Kurswinkel (gegen den
Nordpol) mit den Neperschen Formeln bzw. dem Sinussatz bestimmen kann.
Er meinte dann, dass es wirklich Nord-Westen ist, denn der Winkel sieht nur
so aus als wäre er größer als π2 oder so, aber das könne man nicht wissen,
wenn man noch nie geflogen ist (Diese Unterstellung habe ich dann lieber
nicht wiederlegt...)
• Wir haben ja heute herrlichen Sonnenschein, wie könnte man denn bestimmen, wie lange wir davon gut haben? Herleiten der Taghelligkeitsdauer mit
Zeichnung
• Wenn man nun die Deklination nicht kennt, kann man das auch anders darstellen? Man kann es auch in Abhängigkeit der Tage seit Winteranfang darstellen,
wenn man mit dem Sinussatz ausrechnet, dass sin δ = sin δ0 sin α0 ist.
Fragen: Funktionentheorie
• Wir reden bei der Funktionentheorie immer von holomorphen Funktionen, was
heißt das denn überhaupt?
• Was genau bedeutet denn komplex differenzierbar?
• Kennen sie denn eine Funktion, die in einem Punkt komplex differenzierbar
aber nicht holomorph ist? zz, kann man mit der Definition nachrechnen oder
mit den Cauchy-Riemannschen DGL
• Wie lauten denn die Cauchy-Riemannschen DGL? Mit Beweis
• Welche Funktion kennen sie denn, die holomorph ist? ez
• Können sie das mal nachrechnen? Wie kommt man denn auf ez = ex eiy ?
Ungefähr bei jedem Wort, dass ich erwähnte, hat er nachgefragt (immer nett),
z.B.: Wie sieht ez denn aus? Reihendarstellung. Und wo ist das definiert? Der
Konvergenzradius ist gerade unendlich also auf ganz Z. Wie berechnet man
den Konvergenzradius? Wie lautet denn die Stirling-Formel? Wie lautet der
Reihenproduktsatz von Cauchy?
• So und nun dürfen sie mir zeigen, dass ez holomorph ist. Cauchy- Riemannsche
DGL
• Wie lauten denn die beiden Hauptsätze der Funktionentheorie? Cauchy Integralsatz und Cauchy Integralformel
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• Was sagt denn der Cauchy Integralsatz? Was sagten sie muss das Gebiet
sein? (Könnte sein, dass ich mich zuvor versprochen hatte) einfach zusammenhängend. Was heißt denn einfach zusammenhängend? Anschaulich, dass
das Gebiet keine Löcher besitzt. Und wie ist die Definition? Innere einer jeden Jordankurve ist im Inneren. Dann Beweis über Green und f 0 stetig, dabei
Green einmal aufschreiben. Beweis über Goursat wollte er nicht
• Wie lautet denn die Cauchy Integralformel und wie beweist man sie? (nur
Idee)
• Was sagt denn der Riemannsche Abbildungssatz? (Nur, weil ich ihn bei den
Hauptsätzen erwähnt habe, weil es meine Vertiefung war)
Fragen: Variationsrechnung
• Sie haben ja in der Geometrie so tolle Sachen über solche Formen (er hat
bewußt das Wort Polyeder vermieden) gelernt, was denken sie - und das haben
wir ja gar nicht in der Vorlesung gemacht- aber können sie sich vielleicht
vorstellen, welche Form die optimalste wäre? Kugel
• Kleiner Vortrag über Brachistochrone... Was ist denn da gesucht? Kürzeste
Verbindung, also schnellste Rutsche
• Wie lautet denn die Aufgabe, die Herleitung müssen sie dabei nicht erklären?
Lagrange-Fkt und Restriktionsmenge hinschreiben.
• Wie lautet denn die Restriktionsmenge? Er besteht auf die I und J Intervalle
(König nicht) und die müssen offen sein!
• Kommen wir zurück zu einfacheren Aufgaben. Erläutern sie mal die Ergänzungsmethode.
(Lemma hinschreiben, wollte keinen Beweis)
• Und wie lautet das Prinzip der punktweisen Minimierung? Monotonie des
Integrals, Ergänzungsmethode und Konstanz der Ergänzung, Minimieren der
erweiterten Lagrangefunktion
• Das führt ja auch zu einer Gleichung, welche meine ich denn? Euler-Langrange
Gleichung (mit Beweis) Ich habe noch erwähnt, dass die Gleichung nur notwendig, nicht hinreichend ist, dafür braucht man die Konvexität
• Dann rechnen wir mal eine einfache Aufgabe, nehmen wir
R1
ẋ2 (t)−cx(t) wobei
0
x(0) = 0, x(1) = 1. Lineare Ergänzung und separierte Minimierung, hat mich
aber auch irgendwann unterbrochen
• Eine Frage hab ich sicher noch (Der Schulleiter verneinte, aber er hat gesagt,
dass das ganz schnell geht und alle haben gelacht), sie haben vorhin erwähnt,
dass die Lagrangefunktion der Brachistochrone nicht konvex ist, wie bekommt
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man das Problem denn behoben? Transformation mit s2 (t) = y(t) und man
bekommt dann die Norm, die konvex ist
Bemerkungen: Die Atmosphäre der Prüfung war total nett und die Prüfer haben untereinander gescherzt, dass man mit mir doppelt so viel schafft, weil ich so
schnell rede. Sowieso haben sie zwischendurch mal miteinander geredet und alle waren gut gelaunt. Insbesondere war der Schulleiter total nett, er hatte sogar meine
Arbeiten gelesen! Herr König hält sich an den abgesprochenen Stoff und gibt bei
Vorbesprechungen auch minimal Hinweise (das der Beweis mit dem Fünfeck doch
sehr anschaulich wäre...) und Herr Schütt fragt fast nur Dinge nach, die man erwähnt
hat! Wir hatten abgemacht, dass der Riemannsche Abbildungssatz meine Vertiefung
ist und er hat nur dessen Aussage abgefragt, also: kein Stress! Während Herr König
ein wenig darauf achtet, dass er nicht dasselbe fragt (eine Freundin hatte 2 Wochen
früher Prüfung), fragt Herr Kosmol scheinbar immer die Brachistochrone und hält
zwischendurch kleine Vorträge mit Originalzitaten von Bernoulli, das ist wirklich
gut zum durchatmen.
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