Prüfungsprotokoll Staatsexamen Geometrie, Variationsrechnung, Funktionentheorie Prüfer: König, Kosmol, Schütt Zugrundeliegende Vorlesung: Variationsrechnung, Funktionentheorie, Mathematische Probleme für den Schulunterricht (Geometrie) Studiengang: Lehramt Gymnasium Datum: Januar 2009 Note: 1,0 Fragen: Geometrie • Wenn die Kantenlänge eines regelmäßigen Fünfecks 1 ist, wie lang ist dann die Diagonale? Die Länge des goldenen Schnitts (mit Beweis) • Bei den Polyedern finden wir die regelmäßigen Fünfecke ja wieder, wo denn? Beim Dodekaeder und auch beim Ikosaeder, da hier fünf gleichseitige Dreiecke wieder ein Fünfeck mit einer gehobenen Spitze geben (deshalb die Konstruktion der drei goldenen Rechtecke eines Ikosaeders) • Wo wir schon bei der Konstruktion eines Ikosaeders sind, kennen sie noch eine andere Konstruktion? Die aus dem Oktaeder (mit Zeichnung und Idee des Beweises) Zwischendurch: Wieviele gleichseitige, wieviele gleichschenklige Dreiecke haben wir denn? 8 und 12. • Wie viele Flächen, Ecken und Kanten gibt es beim Ikosaeder und Dodekaeder? Reden über Dualitätet und verbinden der Flächenmittelpunkte. • Kommen wir zur sphärischen Trigonometrie, was ist denn ein Kugeldreieck? Und wie lautet der Flächeninhalt? (mit Beweisidee) • Wie kann man denn den Abstand zwischen Kiel und Los Angeles bestimmen? (mit Zeichnung) • In der ebenen Geometrie gibt es ja den Kosinus- und den Sinussatz, wie ist es in der sphärischen? mit Beweisidee Seitenkosinussatz • Sie reden ja vom Kosinus von Seiten, müsste man nicht Winkel einsetzen? Erklären, dass es gerade das Bogenmaß in der euklidischen Einheitskugel ist und damit gleich dem Winkel am Mittelpunkt • Wir haben ja den Seiten- und den Winkelkosinussatz, wie hängen die denn zusammen? Erklären eines Pols mit ”Formel”des Normaleneinheitsvektors auf dem Großkreis und dann erklären der Dualität zwischen Kugel- und Polardreieck • Wie könnte man denn den Abstand von Los Angeles und Kiel bestimmen? Zeichnung, Seitenkosinussatz • Wenn sie nun nach LA fliegen, starten sie gen Nord-Westen oder Süd-Westen? Da es offensichtlich in meiner Zeichnung Süd-Westen war, habe ich gesagt, dass es dann wohl Nord-Westen ist, und dass man den Kurswinkel (gegen den Nordpol) mit den Neperschen Formeln bzw. dem Sinussatz bestimmen kann. Er meinte dann, dass es wirklich Nord-Westen ist, denn der Winkel sieht nur so aus als wäre er größer als π2 oder so, aber das könne man nicht wissen, wenn man noch nie geflogen ist (Diese Unterstellung habe ich dann lieber nicht wiederlegt...) • Wir haben ja heute herrlichen Sonnenschein, wie könnte man denn bestimmen, wie lange wir davon gut haben? Herleiten der Taghelligkeitsdauer mit Zeichnung • Wenn man nun die Deklination nicht kennt, kann man das auch anders darstellen? Man kann es auch in Abhängigkeit der Tage seit Winteranfang darstellen, wenn man mit dem Sinussatz ausrechnet, dass sin δ = sin δ0 sin α0 ist. Fragen: Funktionentheorie • Wir reden bei der Funktionentheorie immer von holomorphen Funktionen, was heißt das denn überhaupt? • Was genau bedeutet denn komplex differenzierbar? • Kennen sie denn eine Funktion, die in einem Punkt komplex differenzierbar aber nicht holomorph ist? zz, kann man mit der Definition nachrechnen oder mit den Cauchy-Riemannschen DGL • Wie lauten denn die Cauchy-Riemannschen DGL? Mit Beweis • Welche Funktion kennen sie denn, die holomorph ist? ez • Können sie das mal nachrechnen? Wie kommt man denn auf ez = ex eiy ? Ungefähr bei jedem Wort, dass ich erwähnte, hat er nachgefragt (immer nett), z.B.: Wie sieht ez denn aus? Reihendarstellung. Und wo ist das definiert? Der Konvergenzradius ist gerade unendlich also auf ganz Z. Wie berechnet man den Konvergenzradius? Wie lautet denn die Stirling-Formel? Wie lautet der Reihenproduktsatz von Cauchy? • So und nun dürfen sie mir zeigen, dass ez holomorph ist. Cauchy- Riemannsche DGL • Wie lauten denn die beiden Hauptsätze der Funktionentheorie? Cauchy Integralsatz und Cauchy Integralformel 2 • Was sagt denn der Cauchy Integralsatz? Was sagten sie muss das Gebiet sein? (Könnte sein, dass ich mich zuvor versprochen hatte) einfach zusammenhängend. Was heißt denn einfach zusammenhängend? Anschaulich, dass das Gebiet keine Löcher besitzt. Und wie ist die Definition? Innere einer jeden Jordankurve ist im Inneren. Dann Beweis über Green und f 0 stetig, dabei Green einmal aufschreiben. Beweis über Goursat wollte er nicht • Wie lautet denn die Cauchy Integralformel und wie beweist man sie? (nur Idee) • Was sagt denn der Riemannsche Abbildungssatz? (Nur, weil ich ihn bei den Hauptsätzen erwähnt habe, weil es meine Vertiefung war) Fragen: Variationsrechnung • Sie haben ja in der Geometrie so tolle Sachen über solche Formen (er hat bewußt das Wort Polyeder vermieden) gelernt, was denken sie - und das haben wir ja gar nicht in der Vorlesung gemacht- aber können sie sich vielleicht vorstellen, welche Form die optimalste wäre? Kugel • Kleiner Vortrag über Brachistochrone... Was ist denn da gesucht? Kürzeste Verbindung, also schnellste Rutsche • Wie lautet denn die Aufgabe, die Herleitung müssen sie dabei nicht erklären? Lagrange-Fkt und Restriktionsmenge hinschreiben. • Wie lautet denn die Restriktionsmenge? Er besteht auf die I und J Intervalle (König nicht) und die müssen offen sein! • Kommen wir zurück zu einfacheren Aufgaben. Erläutern sie mal die Ergänzungsmethode. (Lemma hinschreiben, wollte keinen Beweis) • Und wie lautet das Prinzip der punktweisen Minimierung? Monotonie des Integrals, Ergänzungsmethode und Konstanz der Ergänzung, Minimieren der erweiterten Lagrangefunktion • Das führt ja auch zu einer Gleichung, welche meine ich denn? Euler-Langrange Gleichung (mit Beweis) Ich habe noch erwähnt, dass die Gleichung nur notwendig, nicht hinreichend ist, dafür braucht man die Konvexität • Dann rechnen wir mal eine einfache Aufgabe, nehmen wir R1 ẋ2 (t)−cx(t) wobei 0 x(0) = 0, x(1) = 1. Lineare Ergänzung und separierte Minimierung, hat mich aber auch irgendwann unterbrochen • Eine Frage hab ich sicher noch (Der Schulleiter verneinte, aber er hat gesagt, dass das ganz schnell geht und alle haben gelacht), sie haben vorhin erwähnt, dass die Lagrangefunktion der Brachistochrone nicht konvex ist, wie bekommt 3 man das Problem denn behoben? Transformation mit s2 (t) = y(t) und man bekommt dann die Norm, die konvex ist Bemerkungen: Die Atmosphäre der Prüfung war total nett und die Prüfer haben untereinander gescherzt, dass man mit mir doppelt so viel schafft, weil ich so schnell rede. Sowieso haben sie zwischendurch mal miteinander geredet und alle waren gut gelaunt. Insbesondere war der Schulleiter total nett, er hatte sogar meine Arbeiten gelesen! Herr König hält sich an den abgesprochenen Stoff und gibt bei Vorbesprechungen auch minimal Hinweise (das der Beweis mit dem Fünfeck doch sehr anschaulich wäre...) und Herr Schütt fragt fast nur Dinge nach, die man erwähnt hat! Wir hatten abgemacht, dass der Riemannsche Abbildungssatz meine Vertiefung ist und er hat nur dessen Aussage abgefragt, also: kein Stress! Während Herr König ein wenig darauf achtet, dass er nicht dasselbe fragt (eine Freundin hatte 2 Wochen früher Prüfung), fragt Herr Kosmol scheinbar immer die Brachistochrone und hält zwischendurch kleine Vorträge mit Originalzitaten von Bernoulli, das ist wirklich gut zum durchatmen. 4