AP1 Q1 PQBC S1 R1 SR - Ruhr

Lösungen 6.2,6.4 - 6.8
Mathematische Methoden
17.11.04
6.2 Zunächst überlegt man sich, dass der Punkt R eines Quadrats P QRS mit P, Q ∈ AB
nur dann auf der Seite BC liegen kann, wenn <
) ABC ≤ 90◦ gilt. Eine analoge Bedin) CAB ≤ 90◦ . Die Frage ist nun, ob diese
gung, dass S auf AC liegen muss, erzwingt <
beiden Bedingungen ausreichen, um ein Quadrat in der vorgeschriebenen Weise dem
Dreieck einbeschreiben zu können? Die Antwort ist ja, wie man folgender Konstruktion
entnimmt:
C
S
R
S1 R1
A
P1 Q1 P
B
Q
Wegen <
) CAB ≤ 90◦ kann man ein Quadrat P1 Q1 R1 S1 finden mit P1 Q1 ∈ AB, S1 ∈
AC. Wir bilden nun P1 Q1 R1 S1 durch eine zentrische Streckung mit Zentrum A so ab,
dass das Bild von R1 auf der Strecke BC zu liegen kommt. Bezeichnet man mit P, Q, R, S
die Bildpunkte von P1 , Q1 , R1 bzw. S1 . Dann ist P QRS ein Quadrat (da die zentrische
Streckung Quadrate auf Quadrate abbildet); R ∈ BC (nach Konstruktion); P, Q ∈ AB
) ABC ≤ 90◦ !) und S ∈ AC (da S1 ∈ AC).
(da P1 , Q1 ∈ AB und <
6.4
Q
D
1
R
S
•
C
2
T
3
5
P
4
A
B
Es bezeichnen a, b die Längen der Rechteckseiten AB und BC. Wir wählen T ∈ P C
mit ST parallel zu QC. Wir berechnen
1
a b
ab
1. Fläche (RQD) = ·
·
=
2
2 2
8
a 3a
b
5ab
1
+
· =
2. Fläche (ST CQ) = ·
2
2
4
4
32
3a b
1
3ab
·
3. Fläche (SP T ) = ·
=
2
4 4
32
b
1
ab
4. Fläche (ABP ) = · a ·
=
2
2
4
1
b a
ab
5. Fläche (ASR) = ·
·
=
2
2 4
16
1
5
3
1
1
5
Fläche (AP S) = ab −
+
+
+ +
ab = ab
8 32 32 4 16
16
5
der Rechtecksfläche durch das Dreieck AP S überdeckt. Dies entspricht
Somit werden 16
31, 25 Prozent.
6.5
D
G
•
C
E
h
•
F
A
B
h bezeichne die Gerade durch E, die AB (und damit auch CD) im rechten Winkel
schneidet. F sei der Schnittpunkt von h mit AB und G sei der Schnittpunkt von h mit
CD. Es gilt
1
CD · GF = Fläche (ACD) =
2
= Fläche (AED) + Fläche (CDE) = 8cm2
Fläche (BCE) = Fläche (BCD) − Fläche (CDE) = 6cm2 .
Fläche (BCD) =
Es fehlt noch die Fläche des Teildreiecks ABE. Da AB||CD geht ABE aus dem
Dreieck CDE durch zentrische Streckung mit Zentrum E und Streckungsfaktor
k = − EF
hervor. Wir bestimmen k durch folgende Überlegung:
EG
Fläche (ACD) = 8cm2 = 12 CD · F G
Fläche (CDE) = 2cm2 = 12 CD · EG
Es folgt
FG
EG
=
8
2
= 4 und k =
− F G−EG
EG
=−
FG
EG
− 1 = −3.
Damit erhalten wir
Fläche (ABE) = k 2 · Fläche (ECD) = (−3)2 · 2cm2 = 18cm2 .
Die Fläche des Trapezes ABCD bestimmt sich somit als Summe der Flächen der vier
Teildreiecke zu
(2 + 6 + 6 + 18)cm2 = 32cm2 .
6.6
K
P=M
m
M
P
•
φ
m• 2φ
k
•Q •
•
B’
B
Q=B
Es bezeichne Q den Punkt auf k, der P gegenüber liegt und es sei B ∈ K der
Berührpunkt der beiden Kreise in der Ausgangslage. Wir rollen nun den kleinen Kreis
k etwas nach rechts und bezeichnen mit B ∈ K den neuen Berührpunkt der beiden
Kreise. Das Abrollen bedeutet nun, dass die Länge des Kreisbogens BB auf K gleich
der Länge des Kreisbogens QB auf k sein muss.
Da der Radius von K doppelt so groß ist wie der Radius von k bedeutet dies, dass der
) QMB ,
Mittelpunktswinkel <
) QmB doppelt so groß ist wie der Mittelpunktswinkel <
den wir mit ϕ bezeichnen wollen. Es ergibt sich also folgende Figur:
M •F •P
φ φφ
•
m
•
B
Das Dreieck MmP ist gleichschenklig, da Mm = mP = Radius von k. Somit ist die
) P mM =<
) QmB = 2ϕ
Höhe mF des Dreiecks gleichzeitig Winkelhalbierende. Wegen <
folgt <
) F mM = ϕ und somit mF ||MB. Dies bedeutet jedoch, dass MP senkrecht
auf MB steht. Damit folgt, dass P auf der horizontal liegenden Strecke XY durch M
liegt. Vergrößert man nun den Winkel ϕ bis zu 90◦ , so sieht man, dass P den Punkt X
erreicht. Wird der Winkel weiter vergrößert, so kann man (mit Hilfe einer neuen Skizze)
zeigen, dass P stets auf der Strecke XY bleibt und bei ϕ = 180◦ zu dem Punkt M
zurückkehrt, bei ϕ = 270◦ den Punkt Y erreicht und schließlich bei ϕ = 360◦ zu dem
Punkt M zurückkehrt.
Y
M
•
X
B
Der Punkt P bewegt sich beim Abrollen auf einer geraden Linie zwischen den Punkten
X und Y hin und her.
6.7 Der Satz ,,Ich habe gestern gelogen und werde morgen lügen” ist nur am Dienstag
wahr, an allen anderen Wochentagen falsch. Da Moritz von Donnerstag bis Sonntag die
Wahrheit spricht, kann er an diesen Tagen den Satz nicht gesagt haben. Von Montag bis
Mittwoch spricht er nur falsche Sätze aus, so dass er den Satz am Montag oder Mittwoch
gesagt haben könnte (nicht am Dienstag, wenn der Satz wahr ist).
6.8 Wir wissen nichts über das Bestehen oder Nicht-Bestehen der Führerscheinprüfung der
vier Kandidaten, da für jede der 16 möglichen Prüfungsergebnisse der vier Kandidaten
gilt, dass genau eine der vier Aussagen wahr ist (z.B. haben Marie und Jan bestanden,
Dörte und Sören nicht bestanden, so sind die Aussagen von Marie, Jan und Dörte falsch,
während Sören die Wahrheit spricht).
Um einzusehen, dass in jedem der 16 möglichen Fälle genau eine der vier Aussagen wahr
ist, kann man alle 16 Möglichkeiten des Bestehens / Nicht-Bestehens der vier Kandidaten
einzeln betrachten und den Wahrheitsgehalt der Aussagen von Marie, Jan, Sören und
Dörte bestimmen. Etwas schneller geht es, wenn man eine Fallunterscheidung vornimmt,
je nachdem ob die Aussagen von Marie, und Jan wahr oder falsch sind. Man beachte,
dass sich die Aussagen von Marie und Jan widersprechen, d.h. dass nicht beide wahr
sein können. Es bleiben also drei Fälle übrig, die wir in einer Tabelle zusammenfassen
wollen.
Marie
w
f
f
Jan Sören
f
f
w
f
f
w
Dörte
f
f
f
Man sieht, dass in allen drei Fällen genau eine Person die Wahrheit spricht.