Mathematisch Argumentieren - math

Argumentieren lernen im
Mathematikunterricht
Prof. Dr. Regina Bruder
FB Mathematik
TU Darmstadt
27.09.2014 Dortmund
www.math-learning.com
Gliederung
1.
Problemsicht: Argumentieren im Alltag und in der
Mathematik – in heterogenen Lerngruppen
2.
Was heisst es „mathematisches Argumentieren“ zu
erlernen?
- Grundtypen für Begründungsaufgaben
- Stufenmodell zur Kompetenzentwicklung
- Kompetenztraining zum Argumentieren
3.
Argumentationsanlässe im MU
Argumentieren im Alltag erfolgt oft anders als
in der Mathematik
Alltag:
„Ich hoffe, er ist pünktlich.“
„Bisher war er immer pünktlich!“
„Dann bin ich beruhigt.“
„Euler hat mit dieser Formel Primzahlen berechnet: n² + n + 17“
„Ich hoffe, die Formel stimmt!“
„Bisher hat es bei allen n, die ich ausprobiert habe, immer geklappt!“
Mathematik: Welche Schlussweisen sind erlaubt?
Alltag:
„Ich konnte meine HA nicht machen weil...“
„Ich brauche mehr Taschengeld, weil...“
Welche Argumente wirken besonders überzeugend?
Mathematik: Welche Argumente sind zugelassen, welche sind geeignet?
Beweisen
Unter einem Beweis einer Aussage A versteht man
eine Kette (endlich) von Umformungen,
die mit Hilfe gültiger Schlussregeln vorgenommen werden
und die von wahren oder als wahr angenommenen Aussagen ausgehen
und zu der Aussage A führen.
Elschenbroich (2002): Ein Beweis auf Schulniveau ist eine nicht durch rationale
Argumentation zu erschütternde Antwort auf die Frage nach dem Warum.
Funktionen des Beweisens in der Mathematik:
- Mittel zur Darstellung, Ordnung und Sicherung mathematischen
Wissens (demonstrative Funktion)
- Mittel zum Erkennen und Erforschen von Zusammenhängen
(explorative Funktion)
Beweisen in der Lebenswelt:
Überzeugen, Sicherheit gewinnen, Rechtsprechung
Phänomene und Probleme:
 Die Erwartungen an Alltagsargumentationen werden auf mathematisches
Beweisen übertragen – und es entsteht oft neue Unsicherheit:
 Bei den Lernenden:
- symbolische Argumentationsketten
bzw. rechnerische Lösungen
sind nicht per se verständnisfördernd
bzw. überzeugend
 Bei den Lehrkräften:
Beispielgebundene
Erklärungen sind kein
math.Beweis, also
weglassen und lieber
gleich „richtig“ machen?
„EIS-Modell“ auch beim Beweisen???
Enaktiv:
Abwiegen der Kathetenquadrate im Vergleich zum
Hypotenusenquadrat (Experiment im Mathematikum Gießen)
Ikonisch:
Scherungsbeweise, Puzzle...
Symbolisch:
Anwendung von Ähnlichkeitssätzen
Beispiel: Innenwinkelsummensatz für ebene
Dreiecke
 Motivation: Herausarbeiten, dass die Summe der Innenwinkel konstant
bleibt – aber wie groß ist sie?
 Vermutung durch Messen – das ist aber kein zulässiges mathematisches
Werkzeug
 Enaktiv: Winkel durch Körperdrehung ablaufen
Ecken abreißen und aneinander legen
Ikonisch: Winkel messen
Skizze mit parallel verschobener Dreiecksgrundseite
durch gegenüberliegenden Eckpunkt
Symbolisch: Beschriftung von Seiten und Winkeln und
Aufstellen von Gleichungen mit Winkelgrößen
Nachhaltig Mathematik lernen bedeutet:
 Beim Wissenserwerb anknüpfen an bisheriges Wissen und Können
 Beim Wissenserwerb verschiedene Erkenntnisebenen durchlaufen (EIS)
 Methoden und Argumentationen liefern, die mathematischer Natur sind
 Erweitern und Vernetzen: Innenwinkelsumme im Viereck?
 Kritisch weiter denken: Stimmt das immer?
Auch auf der Kugel?
Phänomene und Probleme:
 Die Erwartungen an Alltagsargumentationen werden auf mathematisches
Beweisen übertragen – und es entsteht oft neue Unsicherheit:
 Bei den Lernenden:
- symbolische Argumentationsketten
bzw. rechnerische Lösungen
sind nicht per se verständnisfördernd
bzw. überzeugend
 Bei den Lehrkräften:
Beispielgebundene
Erklärungen sind kein
math.Beweis, also
weglassen und lieber
gleich „richtig“ machen?
Lösungsansatz: Beim Argumentieren Kommunikationselemente mit
aufnehmen und damit Aktivitäten auf verschiedenen
Erkenntnisebenen zulassen
(EIS-Modell, figurative Beweise...)
Probleme mit mathematischen Begriffen:
„Ein Prisma? Na, das ist eine
Tobleroneschachtel!“
„Sie reden von Rechtecken und nun zeichnen Sie da ein
Quadrat...“
Scheitern im Informatikstudium:
Mangelnde sprachliche Stringenz!
Dem Computer muss man sehr genau sagen, was er
machen soll...
…Ja, so habe ich das doch gemeint!
Moderate Forderungen an
Beweisdarstellungen in der Schule
Beweisschema als Strukturierungshilfe – oder Beweisbäume/Lösungsgraphen
6 teilt n³+11n für nat. n>0
Feststellung
n³+11n = n³+ (12n – n)
Begründung
sinnvolle Zerlegung, um „Symmetrien“ zu
erzeugen bzw. Bekanntes;
nur noch zu zeigen, dass
n³-n durch 6 teilbar, da 12n durch 6 teilbar ist
n³-n = n (n²-1)
= n (n+1) (n-1)
6 teilt (n+1) n (n-1)
Zerlegung mit 3.binomischer Formel
weil das Produkt dreier
aufeinander folgender natürlicher
Zahlen immer durch 2 und durch 3 teilbar ist
Bericht einer Lehrkraft:
Jaschke, T.(2009): Bewusstes Argumentieren. In: ml 155, Friedrich Verlag, S.50
„Zeichne ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck in dein Heft. Konstruiere dann über jeder Dreiecksseite
ein Quadrat und bestimme deren Flächeninhalte. Was fällt auf?“
Die Ungenauigkeiten erklären die SuS plausibel mit Mess-, Zeichen- und Ablesefehlern.
Ich notiere an der Tafel: „Wir vermuten, im rechtwinkligen Dreieck gilt:… “.
Mithilfe zweier großer Quadrate aus Tonpapier erarbeite ich anschließend gemeinsam mit der Klasse den
klassischen „Anschauungsbeweis“ für die Richtigkeit des Satzes von Pythagoras.
(a+b)²
=
4· (½ · a·b) + c²
a² + 2ab + b²
=
2ab + c²
a² + b²
=
c²
Als wir fertig sind, meldet sich ein Schüler und sagt:
„So viel Aufwand Herr Jaschke, das hätten wir ihnen doch auch so geglaubt...“
Phänomene und Probleme:
 Die Erwartungen an Alltagsargumentationen werden auf mathematisches
Beweisen übertragen – und es entsteht oft neue Unsicherheit:
 Bei den Lernenden:
- symbolische Argumentationsketten
bzw. rechnerische Lösungen
sind nicht per se verständnisfördernd
bzw. überzeugend
- Probleme mit der
Fachsprache
- fehlende Einsicht in die
Beweisnotwendigkeit
 Bei den Lehrkräften:
Beispielgebundene
Erklärungen sind kein
math.Beweis, also
weglassen und lieber
gleich „richtig“ machen?
Lösungsansatz: Mehr die explorierende
Funktion des Beweisens nutzen –
Forschungsaufträge, Mathegeschichten
erfinden mit Argumentationen – aber auch:
Fehler finden…
Gliederung
1.
Problemsicht: Argumentieren im Alltag und in der
Mathematik – in heterogenen Lerngruppen
2.
Was heisst es „mathematisches Argumentieren“ zu
erlernen?
- Grundtypen für Begründungsaufgaben
- Stufenmodell zur Kompetenzentwicklung
- Kompetenztraining zum Argumentieren
3.
Argumentationsanlässe im MU
Worum geht es beim Erlernen mathematischen
Argumentierens?
Ziel des MU als Beitrag zur Allgemeinbildung (Heymann, 1996):
Systematische Auseinandersetzung mit der
Zulässigkeit von Argumenten und Schlussweisen
Argumentieren im MU ist der Oberbegriff für verschiedene Tätigkeiten des
(mathematischen) Begründens und Beweisens.
In den Bildungsstandards:
Die Kompetenz „Mathematisch Argumentieren“ (K1)
beinhaltet das Verbinden mathematischer Aussagen zu
logischen Argumentationsketten, aber auch das Verstehen
und kritische Bewerten verschiedener Formen
mathematischer Argumentationen.
Mathematisch Begründen und Beweisen
lernen bedeutet dann aber auch:
-
Feststellen, wann eine Aussage begründet bzw.
bewiesen werden muss
-
Logische Fähigkeiten und Fragehaltung entwickeln
Ist das (immer) richtig?
Wie kommt das eigentlich?
Gilt auch die Umkehrung?
Gibt es noch andere Argumentationswege?
Argumentieren im MU meint...
...jegliche Aktivitäten des Suchens, Auswählens, Verwendens und des
Beurteilens von Argumenten und deren Verknüpfung in vielfältigen innerund außermathematischen Zusammenhängen. (ml 168, 2011)
Unterscheidung:
Mathematisches Argumentieren setzt stets (gültige) Argumente voraus und ist
an bestimmte Schlussweisen gebunden.
Ziel ist das Erzeugen und Sichern von Wissen – weniger ein adressatengerechter
Informationsaustausch.
Kommunizieren ist eine Ereignisabfolge wechselseitiger Äußerungen und
Interpretationen (Euler, 1994).
Welche Argumente und Schlussweisen sind
zulässig?
Argumente in der Mathematik:
Begriffe (Definitionen): Primzahl, Prisma, Bestimmtes Integral...
Zusammenhänge (geprüft!): Satzgruppe des Pythagoras, Teilbarkeitssätze
Verfahren (unter den erforderlichen Anwendungsbedingungen):
Formel zum Lösen quadratischer Gleichungen oder zur Flächeninhaltsberechnung von Trapezen...
Annahmen beim Mathematisieren (Voraussetzungen annehmen, um math. Verfahren oder
Sätze anwenden zu können)
Welche Argumente und Schlussweisen sind
zulässig?
Logische Schlussregeln:
Abtrennungsregel oder Schluss aus einer Universalaussage:
Beispiele:
gleichseitige Dreiecke haben drei gleiche Winkel
ABC ist gleichseitig
ABC hat drei gleiche Winkel
Jede durch 8 teilbare Zahl ist auch durch 4 teilbar:
24 ist durch 8 teilbar.
24 ist auch durch 4 teilbar.
Grundtypen von Begründungen im MU
1. Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines
Begriffes
2. Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines
Verfahrens
3. Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines
Satzes
(verwenden i.d.R. Schluss aus Universalaussage)
4. Begründen über den Schluss der Kontraposition
5. Widerlegen einer Aussage durch Angabe eines
Gegenbeispiels
1. Begründung durch Identifizieren eines
Objektes oder einer Relation
Aussage:
Begründung:
Der Zug ist eine Regionalbahn!
Er hält an jedem Bahnhof, den er
passiert.
----------------------------------------------------------------------------
Objekt:
Begründung:
Das ist ein Parallelogramm, weil jeweils
zwei gegenüberliegende Seiten parallel
und gleichlang sind.
2. Begründung durch Realisieren eines
Verfahrens
Aussage:
Der Sportler ist gedopt.
Begründung: Die korrekte Anwendung eines geprüften
Nachweisverfahrens für Doping hatte ein pos. Ergebnis.
--------------------------------------------------------Aussage:
Das lineare Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung:
5x+3y = 22
8x-4y = 10
Begründung: Die Anwendung des Additionsverfahrens ist gerechtfertigt
und führt zur Lösung x= … und y= … .
Alternative: Die Interpretation der beiden Gleichungen als
lineare Funktionen zeigt, dass die beiden Geraden weder
identisch noch parallel sind.
3. Begründung durch Identifizieren oder
Realisieren eines Zusammenhangs
Bekannt: α = 30°, β = 70°
Aussage: γ = 80°
Begründung:
Innenwinkelsummensatz für (ebene) Dreiecke
4. Anwenden der Kontraposition eines Satzes
Trifft A ein, folgt B.
A => B
Ist B nicht eingetroffen, so ist folglich auch A nicht eingetroffen.
kein B => kein A
Aussage:
Situation:
Folgerung:
Wenn es regnet (A), ist der Boden nass (B).
Der Boden ist nicht nass.
Da der Boden nicht nass ist, kann es nicht geregnet
haben.
-----------------------------------------------------------------------------------Begriff:
Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem mindestens zwei
Seiten parallel verlaufen.
Satz:
Wenn ein Viereck ein Trapez ist, dann gilt...
Aussage:
Begründung:
Das ist kein Trapez.
Es sind nicht mindestens zwei Seiten parallel.
5. Widerlegung einer Universalaussage durch
ein Gegenbeispiel
Aussage:
Alle Rosen sind rot.
Widerlegung:
Zeigen einer andersfarbigen Rose.
-----------------------------------------------------------------------------Aussage:
Alle Vierecke sind Quadrate.
Widerlegung:
Das ist ein Viereck, aber kein Quadrat.
Stufenmodell zum Kompetenzaufbau
Intuitive Phase
Schrittweises Gewöhnen an sprachlich-logisch und fachinhaltlich korrekte
Argumentationen (Lehrervorbild);
Bewusste Phase
0
Identifizieren von Argumenten (und Schlussweisen)
I
Begründungen nach den fünf Grundtypen ausführen
(Bezug auf eine Definition, Bezug auf einen Satz, Anwenden eines
Verfahrens, Widerspruchsbeweis, Angeben eines Gegenbeispiels)
II
Mathematische Argumentationsketten verstehen, nachvollziehen
und wiedergeben
III
Mehrschrittige Argumentationen prüfen und vervollständigen
IV
Eigenständig mehrschrittige Argumentationen aufbauen
Gliederung
1.
Problemsicht: Argumentieren im Alltag und in der
Mathematik – in heterogenen Lerngruppen
2.
Was heisst es „mathematisches Argumentieren“ zu
erlernen?
- Grundtypen für Begründungsaufgaben
- Stufenmodell zur Kompetenzentwicklung
- Kompetenztraining zum Argumentieren
3.
Argumentationsanlässe im MU
Kompetenztraining: Etwas über das
mathematische Argumentieren lernen:
Argumente vereinbaren
a) Nenne ein typisches Argument deiner Eltern, warum du dein Zimmer
aufräumen sollst.
b) Nenne eine Situation, in der in letzter Zeit Argumente im
Mathematikunterricht eine Rolle gespielt haben.
c) Erläutere kurz, worin Unterschiede und Gemeinsamkeiten bei
Argumentationen im Alltag und innerhalb der Mathematik bestehen.
Kompetenztraining: Etwas über das
mathematische Argumentieren lernen:
Kompetenztraining: Etwas über das
mathematische Argumentieren lernen:
Argumente vereinbaren
Beweisschritt
Begründung auf Grundlage von Definitionen
und Sätzen
Argumente im Einsatz
ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck; Satz des
Argumentationstraining
Pythagoras
………………………………………..
1.
BHC ist ein rechtwinkliges Dreieck; Pythagoras
…………………………………………
Addiere die Zeilen 3 und 4
Da die Zeilen 1 und 5 richtig sind; gleiche
Summanden zusammenfassen
1.
(
+
)2 =
Da die Zeile 2 gilt.
………………………….
Binomische Formel;
1.
………………………………
……………………………………………
………….
……………………………………………
In der Argumentationstabelle soll ein Beweis für diesen Satz formuliert werden. Einige Lücken sind noch offen, ergänze diese.
Reflexionen zum mathematischen
Argumentieren (analog gültig für Modellieren
und Problemlösen)
Was hat uns geholfen die Aufgabe zu lösen?
(den/einen Beweis zu finden)
 Welche mathematischen Zusammenhänge (Argumente) haben wir nutzen
können?
Form der zweispaltigen Beweisdarstellung als Unterstützung
 Welche Strategien waren hilfreich, um eine lückenlose Argumentation
aufzubauen?
z.B. Kombiniertes Vorwärts- Rückwärtsarbeiten mit
umstrukturierten Wissensspeichern
++
+
-
--
Frage
Ich kann auf einer mir bekannten Definition eines Begriffes ein
Argument aufbauen.
Ich kann auf einem mir bekannten mathematischen Satz ein
Argument aufbauen.
Ich kann ein bereits akzeptiertes Verfahren anwenden, um meine
Argumentieren
Argumente zu stützen.
Ich kann eine fehlerhafte Argumentation durch ein Gegenbeispiel
widerlegen.
Ich kann eine Aussage mithilfe eines Widerspruchsbeweises belegen.
Ich kann angefangene Argumentationsketten vervollständigen.
Ich traue mir zu, dass ich auch komplexe Zusammenhänge
mathematisch korrekt nachweisen kann.
Über Argumentationen nachdenken
Ich überlege mir nach einer gelungenen Argumentation, was mir
geholfen hat, diese zu formulieren.
Ich überlege mir, ob meine Argumentation auch kritischen Nachfragen
standhält.
Ich notiere mir neue und zulässige Argumentationsgrundlagen in
meinen Wissensspeicher.
Ich kann mit meinen mathematischen Argumenten meine Mitschüler
überzeugen.
Kompetenzcheck
Ich kann eine fehlerhafte
Argumentation durch ein
Gegenbeispiel widerlegen.
Gliederung
1.
Problemsicht: Argumentieren im Alltag und in der
Mathematik – in heterogenen Lerngruppen
2.
Was heisst es „mathematisches Argumentieren“ zu
erlernen?
- Grundtypen für Begründungsaufgaben
- Stufenmodell zur Kompetenzentwicklung
- Kompetenztraining zum Argumentieren
3.
Argumentationsanlässe im MU
3. Argumentationsanlässe im MU in allen
Unterrichtssituationen
-
Mathematische Zusammenhänge entdecken, Gewinnen einer Vermutung
Sonderfälle finden
Annahmen machen beim Modellieren
Den Mehrwert mathematischer Untersuchungen begründen
Vorgehensweisen vergleichen
(Explorative Funktion des Argumentierens)
- Eine gewonnene Vermutung bestätigen (beweisen)
- Eine Argumentationskette nachvollziehen (Zweispaltenbeweis) für eine
Kommunikation
- Fehler finden, Widersprüche aufdecken
(Demonstrative Funktion des Argumentierens)
2. Ein Geldverleiher möchte einen durchschnittlichen
Zinssatz von 8% pro Jahr erreichen. Er bietet einem
Kunden an, im ersten Jahr nur 2% Zinsen zu zahlen,
dafür im 2.Jahr dann 14%. Die Zinsen sollen
zusammen mit der Rückzahlung des Kapitals am
Ende des 2.Jahres fällig werden.
Problem:
und √1,1664=1,08
Mathematische Beschreibung: Geometrisches Mittel
ab
Beobachtung:
Das arithmetische Mittel ist etwas größer als das geometrische Mittel.
Fragen:
Ist das immer so? Warum denn?
Beschreibungsebene der Mathematik:
Vermutung:
ab
2
> ab
a,b pos. reell
Begründung durch eine geometrische Interpretation:
ab
ab
2
Mathematik treiben: Forschungsaufträge
 „Neue“ Teilbarkeitsregeln erfinden (für die 12, 15, 20, 50...)
 Wie viele Diagonalen hat ein n-Eck?
 Warum gibt es nur 5 Platonische Körper?
 Ist das eine Mogelpackung?
 Welche Größe hat der Schuh?
Umsetzung in heterogenen Lerngruppen:
Schrittweises Hinführen an Verallgemeinerungen
durch „Blütenaufgaben“ (Lernstile beachten!)
„Blütenaufgabe“: Rechenzauber (ab Kl.5)
- als Lern- und Testaufgabe geeignet
Torsten hat sich einen Zaubertrick ausgedacht. Er sagt: „Denke dir eine Zahl.
Verdopple deine Zahl und addiere 9. Multipliziere das Ganze nun mit 4 und ziehe
36 ab.“
Torsten behauptet, dass er anhand des Ergebnisses sofort die gedachte Zahl
benennen kann.
a)
Jan denkt sich die Zahl 5. Welches Ergebnis nennt er Torsten?
b)
Beim nächsten Versuch hat Jan das Ergebnis 64.
Welche Zahl hatte er sich gedacht?
c)
Wie kann Torsten schnell und einfach die gedachte
Zahl berechnen?
Erkläre, warum dieser Trick immer funktioniert.
Zahlenfolgen geometrisch gesehen
Zahlenspiralen: Im Quadratgitter die Kästchenfolge bilden: 1,2,3,4,5 mit
jeweils 90°- links –Drehung
Alternativ: Folge 1,4,1,5,6
Satz:
Jede Figur zu einer Zahlenfolge der Länge 5 schließt sich nach
höchstens 4 Durchläufen.
Die Folgenglieder werden als Geh-Anweisung betrachtet.
7
Beweisen bzw. im Sinne der
Bildungsstandards Argumentieren lernen mit
geeigneten Aufgabenformaten:
Ist das richtig? Gilt das immer?
(p-q-Formel, Gauß-Algorithmus, Höhensatz...)
Gilt auch die Umkehrung?
(Wenn ein Viereck ein Drachenviereck ist, dann stehen die
Diagonalen aufeinander senkrecht.)
Wie kommt das eigentlich? Warum ist das so?
(Der konvergierende Faltwinkel)
... und unter Einbeziehung der Satzfindung:
Kann man das herausfinden?
(Diagonalenzahl im konvexen n-Eck, Mittelwertsatz...)
Argumentationsanlass: Wie ist das entstanden?
Aufklären – warum ist das so? Kann das sein?
 Die Einparkformel nachvollziehen
(Abstand 0 zum Nachbarauto - realistisch?)
 Rekonstruktion der Formen der Kirchenfenster?
 Zahlentricks aufklären: „Multipliziere die Zahl
Deiner vollen Lebensjahre mit 2. Addiere 5 !
Multipliziere die Summe mit 5! Nenne mir das Ergebnis!“
Wenn man von diesem Ergebnis die letzte Ziffer weg streicht und von der so erhaltenen Zahl 2
subtrahiert, erhält man das Alter der Person.
 Fehler aufklären:
a
=
b
a2
=
ab
a2 + a2 - 2ab = ab + a2 - 2ab
2(a2 - ab) = a2 – ab
2= 1
 Einen Leserbrief schreiben
Mach den Otto zur Null!
(Pinkernell, Projekt CALiMERO)
Der CAS-Rechner
versteht ein Wort anders
als du.
Zum Beispiel verändert
er es, wenn man
zwischen die
Buchstaben
Rechenzeichen einsetzt.
Aktueller Literaturhintergrund:
Wege zum Beweisen. mathematik lehren, Heft155, Friedrich Verlag 2009
Beweisen lernen. MatheWelt in ml 155
Argumentieren. mathematik lehren, Heft 168, Friedrich Verlag 2011
Wie wirst du ein Pythagoreer? MatheWelt in ml 168
Vielen Dank für das Interesse!
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