Mathematisches Argumentieren - math

Langfristiger Kompetenzaufbau im
mathematischen Argumentieren in den
Sekundarstufen – ganz konkret
Prof. Dr. Regina Bruder
FB Mathematik, TU Darmstadt
14. 11. 2011 Fulda
Gliederung
1.
Problemsicht: Beweisen im Alltag und in der
Mathematik – und in heterogenen Lerngruppen im MU
2.
Was heisst es „mathematisch Argumentieren“ zu
erlernen?
- Grundtypen für Begründungsaufgaben
- Stufenmodell zur Kompetenzentwicklung
3.
Argumentationsanlässe im MU
Argumentieren im Alltag erfolgt oft anders als
in der Mathematik
„Ich hoffe, er ist pünktlich.“
„Bisher war er immer pünktlich!“
„Dann bin ich beruhigt.“
„Euler hat mit dieser Formel Primzahlen berechnet: n² + n + 17“
„Ich hoffe, die Formel stimmt!“
„Bisher hat es bei allen n, die ich ausprobiert habe, immer geklappt!“
„...?“
Funktionen des Beweisens in der Mathematik:
Beweise sind Mittel zur Darstellung, Ordnung und Sicherung
mathematischen Wissens (demonstrative Funktion)
Beweise sind Mittel zum Erkennen und Erforschen von Zusammenhängen
(explorative Funktion)
Ergebnisse einer PISA-Vorstudie:
x
x+3
4x
„EIS-Modell“ auch beim Beweisen???
Enaktiv:
Abwiegen der Kathetenquadrate im Vergleich zum
Hypotenusenquadrat (Experiment im Mathemuseum
Gießen)
Ikonisch:
Scherungsbeweise, Puzzle...
Symbolisch:
Anwendung von Ähnlichkeitssätzen
Für das rechtwinklige Dreieck ABC gilt:
Dreieck AHC ist ähnlich zu Dreieck CHB und
weiter:
Aufsummieren liefert:
a² + b² = cp + cq = c (p+q) = cc = c²
=> a² + b² = c²
Problemsichten und Entwicklungspotenzial
Beweisen in der Lebenswelt:
Überzeugen, Sicherheit gewinnen, Rechtsprechung
-im Vergleich zur Rolle von Beweisen in der Mathematik
Elschenbroich (2002): Ein Beweis auf Schulniveau ist eine nicht durch rationale
Argumentation zu erschütternde Antwort auf die Frage nach dem Warum.
Sprachliche Schwierigkeiten - dann auch fachsprachliche und sprachlogische
Defizite
Kaum Wissen über Argumentationsbasen und zulässige Schlussweisen
Beim Argumentieren Kommunikationselemente mit aufnehmen und damit Aktivitäten auf
verschiedenen Erkenntnisebenen zulassen (EIS-Modell, figurative Beweise...)
Wenig Einsicht der SuS in Beweisnotwendigkeiten...
Bericht einer Lehrkraft:
Jaschke, T.(2009): Bewusstes Argumentieren. In: ml 155, Friedrich Verlag, S.50
„Zeichne ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck in dein Heft. Konstruiere dann über jeder Dreiecksseite
ein Quadrat und bestimme deren Flächeninhalte. Was fällt auf?“
Die Ungenauigkeiten erklären die SuS plausibel mit Mess-, Zeichen- und Ablesefehlern.
Ich notiere an der Tafel: „Wir vermuten, im rechtwinkligen Dreieck gilt:… “.
Mithilfe zweier großer Quadrate aus Tonpapier erarbeite ich anschließend gemeinsam mit der Klasse den
klassischen „Anschauungsbeweis“ für die Richtigkeit des Satzes von Pythagoras.
(a+b)²
=
4· (½ · a·b) + c²
a² + 2ab + b²
=
2ab + c²
a² + b²
=
c²
Als wir fertig sind, meldet sich ein Schüler und sagt:
„So viel Aufwand Herr Jaschke, das hätten wir ihnen doch auch so geglaubt...“
Kognitive Stile
Es ist eine offensichtliche Tatsache, dass
… Schüler individuelle Präferenzen beim Lernen aufweisen
… jede Unterrichtssituation auf jeden Schüler – jeweils anders –von
motivierend bis hemmend wirkt
…auch Lehrer individuelle Präferenzen aufweisen – und sich daher fast
automatisch gewisse Einseitigkeiten des Lehrens und Lernens einstellen
Korrelationen bestehen zwischen dem Stil der Lehrer und ihren Schülern (Sternberg
1994)
Diejenigen Schüler weisen bessere Noten auf, deren Stil demjenigen der Lehrer
entspricht (Sternberg 1994)
Neu: Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen als Ergebnis einer
Metaanalyse
(Gregory, Gayle H.: Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for
Maximum Achievement. Thousand Oaks 2005)
Lernstil der Beach Balls
Self-Expressive Learners (Intuitive/Feeling)
Gestalte eine Veranschaulichung für einen
Schlüsselbegriff der Unterrichtseinheit
Experimentier- &
Entdeckungsfreude
Spontanität & Kreativität
Gleichschrittanweisungen zu
folgen,
immer die gleichen
Schreibarbeiten zu machen
Lernstil der Puppies
Interpersonal Learners (Sensing/Feeling)
•Intuitiv, affektiv
•Benötigen Begründung für das Lernen
•Haben Bedürfnis nach Zusammenarbeit
Detailorientiert und gründlich zu sein
Korrigiert zu werden oder ein negatives
Feedback zu erhalten
Lernstil der Microscopes
Understanding (Intuitive/Thinking)
Beurteile folgende Aussagen, ob sie jeweils
stets, manchmal oder niemals wahr sind.
Begründe deine Beurteilung schriftlich.
1.
Denken analytisch, kritisch
Lernen gründlich
Arbeiten alleine
Neue Dinge ausprobieren
offene Probleme lösen
Perfektionisten
Ein Trapez ist ein Rechteck.
Begründung___________________________
2. Ein Viereck ist ein reguläres Polygon.
3. Ein Parallelogramm ist ein Viereck.
4. Ein Trapez hat parallele Schenkel.
5. Diagonale eines Parallelogramms halbieren einander.
6. Ein Rechteck ist ein Quadrat.
7. Ein Quadrat ist ein Rechteck.
8. Eine Raute ist ein Rechteck.
9. Ein Parallelogramm hat exakt drei rechte Winkel.
10. Vier Seiten einer Raute und eines Parallelogramms
sind gleich lang und vier Ecken einer Raute und
eines Parallelogramms sind gleich groß.
Lernstil der Clipboards
Mastery (Sensing/Thinking)
Routinen, vorhersagbare
Situationen
Sinn für Details & Genauigkeit
Ohne Anweisungen arbeiten,
das „große Bild“sehen
Beispiele unterrichtlicher Umsetzung - nach Lernstilen
differenzierender Unterrichtsansatz nach Silver et al.
Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen (Gregory, Gayle H.:
Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for Maximum
Achievement. Thousand Oaks 2005)
Keine Diagnostik und Zuordnung der Lernenden nach Lernstilen
Dennoch: Zuordnung Lernstil =>Unterrichtsmethode (math tools)
Idee: Durch Variation in den Aufgaben und Darstellungen finden alle
Lernstile stärkere Berücksichtigung im Unterricht
Annahme: Die Unterschiedlichkeit des Zuganges zum
Unterrichtsgegenstand nutzt allen Lernenden mehr, als wenn sie nur
ihrem eigenen Lernstil entsprechend unterrichtet würden.
Mögliche Schlussfolgerungen
Hausaufgaben
Innermathematische vs.anwendungsbezogene Aufgaben
Gelöste Beispiele einbauen (für Clipbords)
Abstrakte Aufgaben einbauen (für Microskopes)
Selbstregulationselemente verstärken (für Beach Balls)
Partnerbearbeitung einer LHA zulassen (für Puppies)
Wahlaufgaben
Komplexe geschlossene vs. offene Aufgaben (für Clipboards)
Innermathematische vs. anwendungsbezogene Aufgaben
Hilfen z.B. in Form von Tippkärtchen abrufbar (v.a.Puppies, Clipboards)
Arbeitsform frei wählbar (einzeln, in Gruppen)
Einstiege
Offene vs. geschlossene Aufgaben (für Clipboards)
Innermathematische vs. anwendungsbezogene Situationen
Theoretische Darstellung zum Thema alternativ anbieten (für Microscopes)
Arbeitsform frei wählbar (einzeln, in Gruppen)
Gliederung
1.
Problemsicht: Beweisen im Alltag und in der
Mathematik – und in heterogenen Lerngruppen im MU
2.
Was heisst es „mathematisch Argumentieren“ zu
erlernen?
- Grundtypen für Begründungsaufgaben
- Stufenmodell zur Kompetenzentwicklung
3.
Argumentationsanlässe im MU
Worum geht es beim Erlernen mathematischen
Argumentierens?
Alltag:
„Ich konnte meine HA nicht machen weil...“
„Ich brauche mehr Taschengeld, weil...“
Welche Argumente wirken besonders
überzeugend?
Ziel des MU als Beitrag zur Allgemeinbildung (Heymann, 1996):
Systematische Auseinandersetzung mit der
Zulässigkeit von Argumenten und Schlussweisen
Argumentieren im MU ist der Oberbegriff für verschiedene Tätigkeiten des
(mathematischen) Begründens und Beweisens.
Beispiel: Innenwinkelsummensatz für ebene
Dreiecke
Motivation: Herausarbeiten, dass die Summe der Innenwinkel konstant
bleibt – aber wie groß ist sie?
Vermutung durch Messen – das ist aber kein zulässiges mathematisches
Werkzeug
Enaktiv: Winkel durch Körperdrehung ablaufen
Ecken abreißen und aneinander legen
Ikonisch: Winkel messen
Skizze mit parallel verschobener Dreiecksgrundseite
durch gegenüberliegenden Eckpunkt
Symbolisch: Beschriftung von Seiten und Winkeln und
Aufstellen von Gleichungen mit Winkelgrößen
Nachhaltig Mathematik lernen bedeutet:
Beim Wissenserwerb anknüpfen an bisheriges Wissen und Können
Beim Wissenserwerb verschiedene Erkenntnisebenen durchlaufen (EIS)
Methoden und Argumentationen liefern, die mathematischer Natur sind
Erweitern und Vernetzen: Innenwinkelsumme im Viereck?
Kritisch weiter denken: Stimmt das immer?
Auch auf der Kugel?
Argumentieren im MU meint...
...jegliche Aktivitäten des Suchens, Auswählens, Verwendens und des
Beurteilens von Argumenten und deren Verknüpfung in vielfältigen innerund außermathematischen Zusammenhängen. (ml 168, 2011)
Unterscheidung:
Mathematisches Argumentieren setzt stets eine definierte Argumentationsbasis
voraus und ist an bestimmte Schlussweisen gebunden.
Ziel ist das Erzeugen und Sichern von Wissen – weniger ein adressatengerechter
Informationsaustausch.
Kommunizieren ist eine Ereignisabfolge wechselseitiger Äußerungen und
Interpretationen (Euler, 1994).
Welche Argumente und Schlussweisen sind
zulässig?
Argumentationsbasen in der Mathematik:
Begriffe (Definitionen): Primzahl, Prisma, Bestimmtes Integral...
Zusammenhänge (geprüft!): Satzgruppe des Pythagoras, Teilbarkeitssätze
Verfahren (unter den erforderlichen Anwendungsbedingungen):
Formel zum Lösen quadratischer Gleichungen oder zur Flächeninhaltsberechnung von Trapezen...
Annahmen beim Mathematisieren (Voraussetzungen annehmen, um math. Verfahren oder
Sätze anwenden zu können)
Welche Argumente und Schlussweisen sind
zulässig?
Logische Schlussregeln:
Abtrennungsregel oder Schluss aus einer Universalaussage:
Beispiele:
gleichseitige Dreiecke haben drei gleiche Winkel
ABC ist gleichseitig
ABC hat drei gleiche Winkel
Jede durch 8 teilbare Zahl ist auch durch 4 teilbar:
24 ist durch 8 teilbar.
24 ist auch durch 4 teilbar.
Kettenregel (Drittengleichheit)
es gilt:
wenn A, dann B
und
folgt:
wenn B, dann C
wenn A,
dann C
Beispiel: Wenn ich Logik studiere, (A)
→ so lerne ich präziser denken (B)
∧ und wenn ich präziser denken lerne (B),
→ so kann ich besser Probleme lösen (C)
folgt: A → C
Wenn ich Logik studiere, so kann ich besser Probleme lösen.
Grundtypen von Begründungen im MU
1. Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines
Begriffes
2. Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines
Verfahrens
3. Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines
Satzes
(verwenden i.d.R. Schluss aus Universalaussage oder ggf. auch Drittengleichheit)
4. Begründen über den Schluss der Kontraposition
5. Widerlegen einer Aussage durch Angabe eines
Gegenbeispiels
1. Begründung durch Identifizieren eines
Objektes oder einer Relation
Aussage:
Begründung:
Der Zug ist eine Regionalbahn!
Er hält an jedem Bahnhof, den er
passiert.
---------------------------------------------------------------------------Objekt:
Begründung:
Das ist ein Parallelogramm, weil jeweils
zwei gegenüberliegende Seiten parallel
und gleichlang sind.
2. Begründung durch Realisieren eines
Verfahrens
Aussage:
Der Sportler ist gedopt.
Begründung: Die korrekte Anwendung eines geprüften
Nachweisverfahrens für Doping hatte ein pos. Ergebnis.
--------------------------------------------------------Aussage:
Das lineare Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung:
5x+3y = 22
8x-4y = 10
Begründung: Die Anwendung des Additionsverfahrens ist gerechtfertigt
und führt zu einer Lösung.
Alternative: Die Interpretation der beiden Gleichungen als
lineare Funktionen zeigt, dass die beiden Geraden weder
identisch noch parallel sind.
3. Begründung durch Identifizieren oder
Realisieren eines Zusammenhangs
Bekannt: α = 30°, β = 70°
Aussage: γ = 80°
Begründung:
Innenwinkelsummensatz für (ebene) Dreiecke
4. Anwenden der Kontraposition eines Satzes
Trifft A ein, folgt B sei wahr.
A => B
Ist B nicht eingetroffen, so ist folglich auch A nicht eingetroffen.
kein B => kein A
Voraussetzung:
Aussage:
Begründung:
Wenn es regnet (A), ist der Boden nass (B).
Es hat nicht geregnet.
Der Boden ist nicht nass, deshalb kann es nicht geregnet
haben.
-----------------------------------------------------------------------------------Begriff:
Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem mindestens zwei
Seiten parallel verlaufen.
Satz:
Wenn ein Viereck ein Trapez ist, dann gilt...
Aussage:
Begründung:
Das ist kein Trapez.
Es sind nicht mindestens zwei Seiten parallel.
5. Widerlegung einer Universalaussage durch
ein Gegenbeispiel
Aussage:
Alle Rosen sind rot.
Widerlegung:
Zeigen einer andersfarbigen Rose.
-----------------------------------------------------------------------------Aussage:
Alle Vierecke sind Quadrate.
Widerlegung:
Das ist ein Viereck, aber kein Quadrat.
Satz: Es gibt nur interessante natürliche Zahlen.
Beweis:
Gäbe es auch eine uninteressante natürliche Zahl, gäbe es auch eine
kleinste.
Als solche ist sie natürlich höchst interessant.
Das ist ein Widerspruch.
Die Argumentationsbasis beim Begründen und Beweisen besteht aus
einer Menge von Aussagen, die als richtig angesehen werden
zusammen mit den Schlussweisen, die als zulässig anerkannt werden.
Begründen gilt als Vorform oder Elementarform
des Beweisens.
Mathematisch Begründen und Beweisen
lernen bedeutet dann aber auch:
-
Feststellen, wann eine Aussage begründet bzw.
bewiesen werden muss
-
Logische Fähigkeiten und Fragehaltung entwickeln
Ist das richtig?
Gibt es noch andere Lösungen?
Gilt auch die Umkehrung?
Wie kommt das eigentlich?
(Herleiten versus Beweisen)
Stufenmodell zum Kompetenzaufbau
Intuitive Phase
Schrittweises Gewöhnen an sprachlich-logisch und fach-inhaltlich korrekte
Argumentationen (Lehrervorbild)
Bewusste Phase
I
Begründungen nach den fünf Grundtypen ausführen
(Bezug auf eine Definition, Bezug auf einen Satz, Anwenden eines
Verfahrens, Widerspruchsbeweis, Angeben eines Gegenbeispiels)
II
Mathematische Argumentationsketten verstehen, nachvollziehen
und wiedergeben
III
Mehrschrittige Argumentationen prüfen und vervollständigen
IV
Eigenständig mehrschrittige Argumentationen aufbauen
Aktueller Literaturhintergrund:
Wege zum Beweisen. mathematik lehren, Heft155, Friedrich Verlag 2009
Beweisen lernen. MatheWelt in ml 155
Neu:
Argumentieren. mathematik lehren, Heft 168, Friedrich Verlag 2011
Wie wirst du ein Pythagoreer? MatheWelt in ml 168
Gliederung
1.
Problemsicht: Beweisen im Alltag und in der
Mathematik – und in heterogenen Lerngruppen im MU
2.
Was heisst es „mathematisch Argumentieren“ zu
erlernen?
- Grundtypen für Begründungsaufgaben
- Stufenmodell zur Kompetenzentwicklung
3.
Argumentationsanlässe im MU
3. Argumentationsanlässe im MU in allen
Unterrichtssituationen
-
Mathematische Zusammenhänge entdecken, Gewinnen einer Vermutung
Sonderfälle finden
Annahmen machen beim Modellieren
Den Mehrwert mathematischer Untersuchungen begründen
Vorgehensweisen vergleichen
(Explorative Funktion des Argumentierens)
- Eine gewonnene Vermutung bestätigen (beweisen)
- Eine Argumentationskette nachvollziehen (Zweispaltenbeweis) für eine
Kommunikation
- Fehler finden, Widersprüche aufdecken
(Demonstrative Funktion des Argumentierens)
Beispiele für enaktive Erkundungen:
Falten eines Papierstreifens:
Man nimmt einen Papierstreifen („Kassenrolle“), der am
Ende in einem beliebigen Winkel abgeschnitten ist und
faltet zunächst die „schräge“ Kante nach oben, dann die
neu entstandene schräge Kante nach unten usw.
Wie entwickeln sich die Faltkantenwinkel?
Behauptung:
Die Dreiecke, die beim definierten Falten entstehen, nähern sich
immer mehr einem gleichseitigen Dreieck.
Oder: Die Folge der gefalteten Winkel konvergiert gegen 60°.
Beispiel:
Beispiel für eine explorative Funktion:
Genetischer Zugang zu Mittelwerten
1. Für einen 800m-Lauf wird eine bestimmte Zeit
anvisiert. Daraus wird die durchschnittliche
Rundenzeit t ermittelt. Um sich vom Feld
abzusetzen, soll die erste Runde jedoch 10sec
schneller sein als bei gleichmäßigem Tempo
notwendig wäre.
Wie viel Zeit steht dann für die 2.Runde zur
Verfügung?
800m-Zeit insgesamt:
2t
1.Runde: t – 10 sec
2.Runde: t + 10 sec
Mathematische Beschreibung: Arithmetisches Mittel
a+b
2
2. Ein Geldverleiher möchte einen durchschnittlichen
Zinssatz von 8% pro Jahr erreichen. Er bietet einem
Kunden an, im ersten Jahr nur 2% Zinsen zu zahlen,
dafür im 2.Jahr dann 14%. Die Zinsen sollen
zusammen mit der Rückzahlung des Kapitals am
Ende des 2.Jahres fällig werden.
Problem:
und √1,1664=1,08
Mathematische Beschreibung: Geometrisches Mittel
a⋅b
Beobachtung:
Das arithmetische Mittel ist etwas größer als das
geometrische Mittel.
Fragen:
Ist das immer so? Warum denn?
Beschreibungsebene der Mathematik:
Vermutung:
a+b
2
> a⋅b
a
,b pos. reell
Begründung durch eine geometrische Interpretation:
a⋅b
a+b
2
Beweis symbolisch:
Mathematik treiben: Forschungsaufträge
„Neue“ Teilbarkeitsregeln erfinden (für die 12, 15, 20, 50...)
Wie viele Diagonalen hat ein n-Eck?
Warum gibt es nur 5 Platonische Körper?
Ist das eine Mogelpackung?
Welche Größe hat der Schuh?
Umsetzung in heterogenen Lerngruppen:
Schrittweises Hinführen an Verallgemeinerungen
durch „Blütenaufgaben“ (Lernstile beachten!)
„Blütenaufgabe“: Rechenzauber (ab Kl.5)
- als Lern- und Testaufgabe geeignet
Torsten hat sich einen Zaubertrick ausgedacht. Er sagt: „Denke dir eine Zahl.
Verdopple deine Zahl und addiere 9. Multipliziere das Ganze nun mit 4 und ziehe
36 ab.“
Torsten behauptet, dass er anhand des Ergebnisses sofort die gedachte Zahl
benennen kann.
a)
Jan denkt sich die Zahl 5. Welches Ergebnis nennt er Torsten?
b)
Beim nächsten Versuch hat Jan das Ergebnis 64.
Welche Zahl hatte er sich gedacht?
c)
Wie kann Torsten schnell und einfach die gedachte
Zahl berechnen?
Erkläre, warum dieser Trick immer funktioniert.
DGS als Hilfsmittel zum Gewinnen von
Vermutungen
Fernsehshow früher (Ungarn 1979):
P
A
0
B
The semicircular disc glides
along two legs of a right angle.
Which line describes point P on
the perimeter of the half circle?
1) Übersetzt die Aufgabe aus der englischen Sprache in die deutsche Sprache.
2) Baut eine Vorrichtung aus Bierdeckeln, Stecknadeln oder ähnlichen Materialien, um die
Aufgabenstellung anschaulich demonstrieren zu können.
...
6) Zeichnet dann selbst mehrere Lagen des Halbkreises beim Heruntergleiten.
7) Beschreibt die Kurve, auf der der Punkt P sich dabei bewegt, so präzise wie möglich.
8) Findet eine Begründung für die Kurvenform.
Quelle:Distler Bensheim
Aufgabe zum Erarbeiten des Mittelwertsatzes
Situation:
Zorro muss einen 700m langen Zug erreichen. In dem Moment, als der Zug den
Bahnhof verlässt, ist Zorro jedoch noch 1,5km vom letzten Waggon des Zuges
entfernt. Er reitet auf seinem Pferd mit einer Geschwindigkeit von konstanten
60km/h dem Zug hinterher. Dieser beschleunigt allerdings konstant mit
0,25 km/min².
a) Stelle den Verlauf der Situation in einem s-t-Diagramm mit geeigneter Skalierung dar.
b) Welche Situation liegt in den Punkten vor, wenn sich die beiden Graphen schneiden?
c) Damit Zorro auf den Zug überspringen kann, muss der Zug genauso schnell sein wie sein
Pferd. An welchem Punkt ist das der Fall?
d) Zeige: Schneidet eine Gerade g eine stetige Funktion f zweimal, so gibt es immer eine
Stelle xs zwischen den beiden Schnittpunkten, an der f dieselbe Steigung wie die Gerade g
hat.
Blütenaufgaben: Geeignet als Aufgaben zum
Lernen und zum Leisten!
- drei bis fünf
Teilaufgaben
- steigender
Schwierigkeitsgrad
-gemeinsamer Kontext
- evtl. zunehmende
Öffnung
Zielniveaus einer Blütenaufgabe
Regelstandard
(x--) schwierige
Bestimmungsaufgabe oder
Begründung (x-x)
(xx-)
Grundaufgabe
Geht über den
aktuellen Stoff
hinaus und greift
((-)-(-)) offene
Problemstellung nicht dem
oder selbst eine nächsten Thema
vor
Aufgabe
erfinden (-x-)
(-xx)
Umkehraufgabe
Mindeststandard
Ergebnisauswertung zu einer Blütenaufgabe
Besprechung im
PlenumLernzuwachs für
viele Schüler
ermöglichen
(xx-)
Grundaufgabe
(x--) schwierige
Bestimmungsaufgabe oder
Begründung (x-x)
((-)-(-)) offene
Problemstellung
oder selbst eine
Aufgabe
erfinden (-x-)
(-xx)
Umkehraufgabe
Selbstkontrolle
Beweisen bzw. im Sinne der
Bildungsstandards Argumentieren lernen mit
geeigneten Aufgabenformaten:
Ist das richtig? Gilt das immer?
(p-q-Formel, Gauß-Algorithmus, Höhensatz...)
Gilt auch die Umkehrung?
(Wenn ein Viereck ein Drachenviereck ist, dann stehen die
Diagonalen aufeinander senkrecht.)
Wie kommt das eigentlich? Warum ist das so?
(Der konvergierende Faltwinkel)
... und unter Einbeziehung der Satzfindung:
Kann man das herausfinden?
(Diagonalenzahl im konvexen n-Eck, Mittelwertsatz...)
Etwas über das mathematische Beweisen
lernen:
Bewusstmachen von Argumentationsbasen
Arbeiten mit vorgegebenen Argumentationsbasen
Bewusster Übergang von einer Argumentationsbasis zu einer
anderen
aa’=bb’
Beispiele: Problemlösen in Verbindung mit
mathematischem Argumentieren
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Höhen auf den
beiden gleichen Schenkeln immer gleich lang.
Welche Beweismittel (Argumentationsbasis) kommen in Frage?
Moderate Forderungen bzgl. Beweisdarstellungen
Beweisschema als Strukturierungshilfe – oder Beweisbäume/Lösungsgraphen
Feststellung
Begründung
Einsicht in die Beweisnotwendigkeit fördern durch Diskussion zugelassener
Beweismittel (analog im Alltag!)
Beispiel: 6 ist stets ein Teiler von n³+11n für natürliche n.
Einstieg: Vergewisserung an Beispielen:
Die Aussage gilt für n=1.
Beweisvarianten: vollst. Induktion oder Teilbarkeitseigenschaften
Beispiel: Zu zeigen ist, dass 6 ein Teiler ist
von n³+11n für natürliche Zahlen n.
Feststellung
n³+11n = n³+ (12n – n)
Begründung
sinnvolle Zerlegung, um „Symmetrien“ zu
erzeugen;
nur noch zu zeigen, dass
n³-n durch 6 teilbar, da 12n durch 6 teilbar ist
n³-n = n (n²-1)
= n (n+1) (n-1)
6 teilt n(n+1)(n-1)
Zerlegung mit 3.binomischer Formel
weil das Produkt dreier
aufeinander folgender natürlicher
Zahlen immer durch 2 und durch
3 teilbar ist
qed
Argumentationsanlass: Wie ist das entstanden?
Aufklären – warum ist das so? Kann das sein?
Die Einparkformel nachvollziehen
(Abstand 0 zum Nachbarauto realistisch?)
Rekonstruktion der Formen der Kirchenfenster?
Zahlentricks aufklären: „Multipliziere die Zahl
Deiner vollen Lebensjahre mit 2. Addiere 5 !
Multipliziere die Summe mit 5! Nenne mir das Ergebnis!“
Wenn man von diesem Ergebnis die letzte Ziffer weg streicht und von der so erhaltenen Zahl 2
subtrahiert, erhält man das Alter der Person.
Fehler aufklären:
a
=
b
=
ab
a2
a2 + a2 - 2ab =
ab + a2 - 2ab
2(a2 - ab) = a2 – ab
2= 1
Einen Leserbrief schreiben
Reflexionen zum mathematischen
Argumentieren (analog gültig für Modellieren
und Problemlösen)
Was hat uns geholfen die Aufgabe zu lösen?
(den/einen Beweis zu finden)
Welche mathematischen Zusammenhänge haben wir nutzen können?
(Form der zweispaltigen Beweisdarstellung als Unterstützung)
Welche Strategien waren hilfreich, um eine lückenlose Argumentation
aufzubauen?
Kombiniertes Vorwärts- Rückwärtsarbeiten mit umstrukturierten
Wissensspeichern
Vorstellungen zur Nullstelle
Auf einem Holzplatz lagern 114m³ Birkenholz und 135m³
Fichtenholz.
Täglich werden 6,5m³ Birkenholz und 7,5m³ Fichtenholz
abgefahren.
Der Platzwart fragt sich, wann von beiden Sorten einmal gleich
viel auf dem Platz liegt!
„Treffpunkt“ ist nach 21 Tagen,
jedoch ist nach 18 Tagen vom
Fichtenholz schon nichts mehr
da!
Mach den Otto zur Null!
(Pinkernell, Projekt CALiMERO)
Der CAS-Rechner
versteht ein Wort anders
als du.
Zum Beispiel verändert
er es, wenn man
zwischen die
Buchstaben
Rechenzeichen einsetzt.
Mach den Otto zur Null!
(Pinkernell, Projekt CALiMERO)
a) Variiere die Eingabe des Namens
Otto mit verschiedenen
Rechenzeichen. Finde einen
Eingabeterm, bei dem sich
besonders viel verändert.
b) Erkläre für zwei deiner Variationen,
welche Rechengesetze
angewendet wurden.
a) Paul hat beim Variieren den
rechts abgebildeten Ausgabeterm
erhalten. Er fragt sich, warum
das „tt“ nicht noch weiter
vereinfacht wird. Erkläre!
"Kopfübungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument„
1
2
3
4
5
6
7
8
Berechne: 29 × 7
Ordne der Größe nach: 1/7, 1/3, 1/2
Notiere 4,3 cm in der nächst größeren und der nächst kleineren Einheit
5,4 – 10,6
Wie viele Flächen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groß?
Berechne: - 3 × (- 11) × 3
Es ist genau 8.00 Uhr. Welchen Winkel schließen Minuten- und Stundenzeiger ein?
In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schüler; 2/3 kommen mit dem Bus zur Schule. Wie
viele sind das?
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft. Für wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche?
10 Berechne. 20% von 45 €.
1 Woche später:
1 59 × 9
2 Ordne der Größe nach: 3/7, 3/4, 3/10
3 Gib als dm an: 1,82 m
4 - 5,4 + 10, 6
5 Aus welchen Flächen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen?
6 Schreibe drei Multiplikationen auf, deren Ergebnis –6 ist.
7 Richtig oder falsch: In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groß.
8 Gib 2/5 als Dezimalzahl an.
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an, die auf der y-Achse
liegen.
10 Von 32 Schülern kommen 24 mit dem Bus. Wie viel Prozent sind das?
Unterrichtskonzept von MABIKOM
Unterrichtseinstieg
KÜ
Lernprotokoll
Wahlaufgaben, Aufgabenset
KÜ
LHA
Blütenaufgaben
KÜ
Checkliste
Test
Binnendifferenzierung durch Wahlaufgaben
mit unterschiedlichen Anforderungen
Große Unterschiede im Arbeitstempo, Festigungsbedarf und im kognitiven
Leistungsvermögen => Wahlmöglichkeiten
Organisatorisch:
I. eine bestimmte Anzahl von Aufgaben ansteigender Schwierigkeit soll
in einer verabredeten Zeit bearbeitet werden (z.B. mindestens 5 von 10
Aufgaben)
II. Wahlmöglichkeit bei ausgewiesener Schwierigkeit *, **, *** – gefordert
sind z.B. 10 Sternchen – stelle selbst zusammen…
Alle üben alles? - Abkehr !
Zur Anlage eines Tests
Punktevergabe an Tätigkeiten orientieren Erwartungshorizont
Anteile der Anforderungsbereiche I, II, III etwa 1 : 2 : 1
Einstieg und Ausstieg mit leichteren Aufgaben
entsprechend der Konzentrationskurve
Wiederholungselemente einbeziehen – ankündigen!
Testtypen: Vergleichsarbeiten als Themenarbeit oder
jahresübergreifende Arbeit
Abschlussprüfungen beziehen länger zurückliegende
Lerninhalte mit ein
Punktabzug für Formfehler (global)
Kontakt: [email protected]
www.math-learning.com
(Vorträge zum download)
www.proLehre.de
Online - Fortbildungskurse
www.madaba.de