+ b

Skriptum
Heinrich Löseke
Lassen Sie uns mit einem kleinen praktischen Beispiel beginnen !
In einer Fabrik für Kleinautomaten zum Verkauf von Süßigkeiten werden zwei Systeme I und
II hergestellt. Die Fabrik erhält den Auftrag zur Lieferung von maximal je 100 Stück,
insgesamt maximal 200 Stück. Der Werkmeister will den beiden Mitarbeitern Hans und
Heinrich den Auftrag zu Fertigung geben. Er überlegt sich, wie die Herstellung möglichst
gewinnbringend erfolgen kann. Ihm ist bekannt, daß im allgemeinen Hans in einer Stunde
vom System I 10 Stück zusammen mit 4 Stück vom System II herstellen kann. Heinrich
dagegen kann je Stunde von I 5 Stück zusammen mit 7 Stück von II herstellen. Nach der
Kalkulation beträgt bei dieser Fertigung der Rohgewinn an einer Arbeitsstunde von Hans 15
DM, von Heinrich 20 DM.
Lösung: Der Werkmeister setzt in seiner Planung für Hans x Std., für Heinrich y Std. ein.
Dann lauten die Bedingungen :
System I :
10x + 5y 100
System II:
4x + 7y 100
worin 0 ≤ x und 0 ≤ y sind.
(*)
Dabei ist der Gewinn G = 15x + 20y ( in DM ) so hoch wie möglich zu machen.
y
20
C
10
B
A
10
20
30
x
Der Graph liefert das Planungsviereck OABC, in welchem alle möglichen Lösungen des
Ungleichungssystems (*) liegen. Das Maximum des Gewinns ist auf dem Rand des Vierecks
zu suchen. Man zeichne nun die Parallelenschar 15x + 20y = G mit dem Richtungsfaktor
m = - 15/20 = - 3/4 in die Graphik ein.Die äußerste Parallele, die zum größten Wert von G
gehört ( und damit noch mindestens eine Lösung der Lösungsmenge enthält), verläuft durch
den Eckpunkt B (4|12) des Vierecks OABC. Also ergibt sich für das Maximum des Gewinns
G = 15 4 + 20 12 = 60 + 240 = 300.
Ergebnis : Der Werkmeister läßt also Hans 4 Stunden und Heinrich 12 Stunden an dem
Auftrag arbeiten. Der Gewinn beträgt dann 300 DM.
Dieses ist ein kleines Beispiel aus dem Bereich der Linearen Optimierung, einem Bereich, mit
dem sich auch die Wirtschaftsmathematik beschäftigt. Dieses Beispiel soll nicht der
Abschreckung dienen, sondern als Anknüpfungspunkt für den Wiederholungskurs
Mathematik. Einigen von Ihnen werden sicherlich einige Begriffe aus der Schulzeit
wiedererkannt haben. Z.B. Lösungen, Lösungsmenge, Richtungsfaktor, parallele Geraden,
Ungleichungen, Kürzen etc. Wir werden versuchen, in den nächsten 9 Tagen Ihre
Mathematikkenntnisse wieder aufzufrischen und gegebenenfalls zu erweitern.
-2-
Folgende Themenbereiche werden Inhalt dieses Kurses sein:
- Grundlagen der Logik
- Grundlagen der Mengenlehre
- Zahlbereiche
- Das Rechnen mit reellen Zahlen
- Das Rechnen mit Brüchen
- Die binomischen Formeln
- Potenzrechnung
- Logarithmenrechnung
- Geraden und Geradengleichungen
- Parabeln und quadratische Gleichungen
- Ungleichungen und Beträge
- Polynomdivision
- Trigonometrische Funktionen ( sin-, cos-, tan-Funktion)
Es gibt also viel zu tun : Packen wir es an !
1.a) Grundlagen der Logik :
Die klassische Logik befasst sich mit Aussagen und deren Verknüpfungen. Dabei versteht
man unter Aussage eine Zeichenkette, von der man prinzipiell sagen kann, ob sie wahr oder
falsch ist. Eine Aussage ist also ( im klassischen Sinne ) entweder wahr oder falsch, ein
Drittes gibt es nicht. Nun kann man zwei Aussagen A und B miteinander verknüpfen und man
erhält wieder eine Aussage. Die wichtigsten Aussageverknüpfungen sind "und" (^), "
oder"(v), "wenn ..., dann" (==>)[ Implikation], "genau dann.., wenn" (<==>)[ Äquivalenz].
Die Verknüpfungen sind durch folgende Verknüpfungstafeln festgelegt:
A
B
A^B
AvB
A==>B
A<==>B
W
W
F
F
W
F
W
F
W
F
F
F
W
W
W
F
W
F
W
W
W
F
F
W
Ferner kennt man noch die Negation A (gesprochen non A ). A ist genau dann wahr, wenn A
falsch ist.
b) Grundlagen der Mengenlehre:
Unter einer Menge versteht man eine Zusammenfassung von bestimmten unter- scheidbaren
Objekten. Von jedem dieser Objekte muss eindeutig feststehen, ob es zur entsprechenden
Menge gehört oder nicht. Die einzelnen Objekte, aus denen eine Menge zusammengesetzt ist,
heißen Elemente dieser Menge.
Mengen bezeichnet man mit großen lateinischen Buchstaben ( A, B, M..). Die Elemente
bezeichnet man mit kleinen lateinischen Buchstaben.
st nicht Element von A; x ist nicht in A enthalten):
Mengen kann man in beschreibender Form darstellen :
-3B = Menge aller Bocholter
oder in aufzählender Form :
G = { 2,4,6,8,...}.
Außerdem kennt man noch die Venn - Diagramme.
3A7
9
B
Zwei Mengen A und B sind gleich ( A=B ), wenn sie genau die gleichen Elemente besitzen.
A heißt Teilmenge von B ( A ist in B enthalten ), falls jedes Element von A auch Element
von B ist; hierfür schreibt man auch B A.
B
AA
Der Durchschnitt zweier Mengen A und B ist definiert durch :
A B = { x | (x A) ^ (x B) }. Ist A B = O ( leere Menge ), so sagt man die Mengen A
und B sind disjunkt oder elementfremd.
Die Vereinigung zweier Mengen ist definiert durch :
Die Differenzmenge B\ A ( gesprochen B ohne A ) :
B\A = { x | (x B) ^ ( x A )}. Falls A Teilmenge von B ist, so nennt man die Differenzmenge B\A auch das Komplement ( Restmenge) von A bezüglich B.
Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn man die Elemente der Menge A
umkehrbar eindeutig den Elementen der Menge B zuordnen kann. Bei endlichen Mengen
bedeutet das, dass die beiden Mengen gleich viele Elemente haben. Als Beispiel für zwei
gleichmächtige unendliche Mengen mögen die Menge der Natürlichen Zahlen IN und die
Menge der Geraden natürlichen Zahlen dienen. Folgende umkehrbar eindeutige Zuordnung
läßt die Gleichmächtigkeit der beiden Mengen erkennen :
1 -> 2 ; 2 -> 4; 3 -> 6; 4 -> 8, .... n -> 2n.....
Wie man sieht, ist diese Zuordnung umkehrbar eindeutig. Die beiden Mengen sind also nach
obiger Definition gleichmächtig. Trotzdem hat man das Gefühl, daß die natürlichen Zahlen
mehr Elemente haben als die geraden nat. Zahlen. Die Schwierigkeit der Einsicht ist
begründet in der Unendlichkeit beider Mengen. Bei endlichen Mengen ist die
Gleichmächtigkeit - wie gesagt - gleichbedeutend mit "gleichviele Elemente habend ".
-42.Zahlbereiche :
a) Natürliche Zahlen
Die Eigenschaft, die alle gleichmächtigen nichtleeren Mengen gemeinsam haben, nennt man
eine natürlichen Zahl. Die Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet man mit
IN = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,........}.
Die natürlichen Zahlen haben zwei wesentliche Eigenschaften.
1. Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger.
2. Jede natürliche Zahl - mit Ausnahme der 1 - hat genau einen Vorgänger.
Die natürlichen Zahlen können auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden.
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
n1
|
n2
n
Für zwei beliebige Zahlen n1,n2 e IN gilt genau eine der drei Beziehungen
1) n1 = n2 ( n1 ist gleich n2 ), falls beide Zahlen auf dem Zahlenstrahl zusammenfallen,
2) n1 < n2 ( n1 ist kleiner als n2 ),falls n1 links von n2 liegt,
3) n1 > n2 ( n1 ist größer als n2 ), falls n1 rechts von n2 liegt.
Zwei natürliche Zahlen kann man auf zwei Arten verknüpfen, sodaß man wieder eine
natürliche Zahl als Ergebnis erhält. Diese zwei Verknüpfungen heißen Addition ( mit dem
Zeichen + ) und Multiplikation ( mit dem Zeichen•).
Die Addition zweier natürlicher Zahlen kann man wie folgt erklären: Man kann die
natürlichen Zahlen auch als Pfeile auf dem Zahlenstrahl deuten. Die Länge des Pfeils sagt
dann etwas über die Größe der Zahl aus. Legt man nun die Pfeile der zu addierenden Zahlen a
e IN und b e IN hintereinander und verbindet den Anfang des ersten Pfeils mit dem Ende des
zweiten Pfeils, so erhält man einen neuen Pfeil, dessen Länge den Wert der Summe a+b
wiedergibt.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
5
2
3
5
Dabei erkennt man, dass es egal ist, ob man zuerst den Pfeil der Länge 2 zeichnet und daran
den Pfeil der Länge 3 anträgt, oder umgekehrt, erst den Pfeil der Länge 3 und dann den Pfeil
der Länge 2. Das Ergebnis ist in beiden Fällen (in diesem Beispiel ) gleich 5.
Allgemein kann man sagen a + b = b + a . Man nennt diese Eigenschaft der Addition zweier
natürlicher Zahlen das Vertauschungsgesetz der Addition oder auch das Kommutativgesetz
der Addition. Anders ausgedrückt : In einer Summe a + b darf man die Summanden a und b
vertauschen. Der Wert der Summe ändert sich dabei nicht.
Es gilt noch ein zweites Gesetz der Addition : das Verbindungsgesetz oder auch
Assoziativgesetz :
. Darin bedeuten die Klammern,
daß der Ausdruck [ die Summe ] in den Klammern zuerst berechnet wird und dann zu diesem
Ergebnis der dritte Wert addiert wird.
Die Multiplikation zweier natürlicher Zahlen a und b kann man auf die Addition
zurückführen. Dabei bedeuten a•b = b+b+b+b+...+b eine Summe mit a gleichen Summanden
-5b. [ z. B. 3þ4 = 4+4+4 ]. Bei dem Produkt aþb nennt man die Zahl a den Multiplikator oder
auch 1.Faktor, die Zahl b den Multiplikand oder auch 2.Faktor.
Auch bei der Mutiplikation zweier natürlicher Zahlen gilt ein Kommutativgesetz der
Multiplikation a•b = b•a und ein Assoziativgesetz der Multiplikation
a•(b•c) = (a•b)•c.
************************** Kleiner Exkurs in die Geometrie *******************
Man kann ein Produkt a•b auch als Maßzahl des Flächeninhalts eines Rechtecks mit den
Seitenlängen a und b deuten. Betrachten wir dazu folgende Zeichnung :
Dieses Rechteck besitzt b Zeilen mit jeweils a
Einheitsquadraten. Insgesamt also b•a FE
b
b
(FE = Flächeneinheiten).Hier genau 3•5 = 15 FE.
Oder : Das Rechteck besitzt a Spalten mit jeweils
a
Einheitsquadraten, also a•bFE.In diesemBeispiel 5 Spalten
mit jeweils 3 Einheitsquadraten. Mithin 5•3 = 15 FE. In Beiden Fällen ist der Flächeninhalt
des Rechtecks aber gleich. Die Reihenfolge der Faktoren ist also beliebig. Es gilt also
a•b = b•a !
***************************************************************************
Damit ist die Gültigkeit des Kommutativgesetzes der Multiplikation zweier natürlicher Zahlen
plausibel gemacht. Ähnlich kann man sich die Gültigkeit des Assoziativge- setzes mit Hilfe
der Berechnung des Volumens eines Quaders klarmachen.
Assoziativgesetz und Kommutativgesetz gelten jeweils für die Addition und die
Multiplikation natürlicher Zahlen. Es gibt außerdem noch ein Gesetz, das die beiden
Verknüpfungsarten Addition und Multiplikation miteinander kombiniert: Das
Verteilungsgesetz oder auch Distributivgesetz.
a(b+c)=ab+a
[ Der Multiplikationspunkt •wird in Zukunft weggelassen, wenn keine Verwechselungen zu
befürchten sind. Diese Übereinkunft ist allgemein üblich. ]
Auch das Distributivgesetz kann man sich an der Flächeninhaltsbestimmung
veranschaulichen.
|
b+c
|
ab
ac
b
c
a
(b + c) a = b a + c a
a(b+c) = a b + a c
oder, da das Kommutativgesetz
gil.t
-6Die natürlichen Zahlen haben folgende Eigenschaften :
Es gilt das Kommutativgesetz ( Vertauschungsgesetz ) der Addition a + b = b + a
Es gilt das Assoziativgesetz ( Verbindungsgesetz) der Addition a+(b+c) = (a+b)+c
Es gilt das Kommutativgesetz ( Vertauschungsgesetz ) der Multiplikation a b = b a
Es gilt das Assoziativgesetz ( Verbindungsgesetz) der Multiplikation a(bc) = (ab)c
Es gilt das Distributivgesetz ( Verteilungsgesetz ) a( b + c ) = a b + a c
Die Menge der natürlichen Zahlen ist abgeschossen gegenüber den Operationen
(Verknüpfungen) Addition und Multiplikation. Es gilt also :
n1, n2
1 + n2
1n2
Mit IN0 bezeichnet man die Menge : IN0 = { 0 }
IN = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ....... } .
b) Die ganzen Zahlen :
Die natürlichen Zahlen sind, wie gesagt, abgeschlossen gegenüber der Addition und der
Multiplikation. Aber schon die Subtraktion führt aus der Menge der natürlichen Zahlen
heraus. So liefert z.B. die Subtraktion der 7 von 5, also 5 - 7, die Zahl, die wir mit -2
bezeichnen. -2 ist eine sogenannte Gegenzahl von 2. Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es eine
Gegenzahl, nämlich -n. Aber auch die Zahlen -n, n e IN, bezitzt eine Gegenzahl, nämlich -(-n
ängert man den Zahlenstrahl nach links und trägt die Gegenzahlen nach links ab, so erhält
man die Zahlengerade.
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
Die Zahlen rechts vom Nullpunkt nennt man die positiven ganzen Zahlen . Sie sind identisch
mit den natürlichen Zahlen. Die Zahlen links vom Nullpunkt nennt man die negativen
ganzen Zahlen.In den ganzen Zahlen gelten dieselben Gesetze wie in IN:
Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und das Distributivgesetz. Ferner gibt es in den ganzen
Zahlen noch das neutrale Element der Addition die Null. Neutral deswegen, weil die
Addition der Null nichts verändert. a + 0 = a. Man nennt die Gegenzahlen auch inverse
Elemente, weil die Addition zweier zueinander inverser Elemente die Null ergibt. a + (-a) = 0
bzw. (-a) + (-(-a)) = 0. Entsprechend ist die Eins das neutrale Element der Multiplikation.
a •1 = a. Allerdings gibt es in den ganzen Zahlen kein inverses Element bezüglich der
Multiplikation. Um auch inverse Elemente bezüglich der Multiplikation zu erhalten, müßten
wir den Zahlbereich Z noch einmal erweitern, was an späterer Stelle erfolgen soll. In den
ganzen Zahlen gelten folgende Vorzeichenregeln :
+(+a) = a
+(-a) = -a
- (+a) = -a
- (-a) = a
(+a)•(+b) = a• b
(-a) •(-b) = a• b
(-a) •(+b) = - a •b
(+a)•(-b) = - a•b
für alle a,b
Die Subtraktion ganzer Zahlen läßt sich damit auf die Addition zurückführen :
z1 - z2 = z1 + ( - z2 ) ; z.B. 5 - 3 = 5 + (-3) = 2 und 5 - (-3) = 5 + (-(-3)) = 5 + 3 = 8
-7Die Subtraktion läßt sich ebenso mit Pfeilen deuten. Dabei werden die positiven Zahlen durch
Pfeile dargestellt, deren Richtung nach rechts weist, und negative Zahlen durch Pfeile deren
Richtung nach links weist. Eine Addition wird dann, wie weiter oben schon erklärt, dadurch
bewerkstelligt, daß man an das Ende des Pfeils des 1. Summanden den Anfang des Pfeils
des 2. Summanden legt, und dann den Anfang des 1. Pfeils mit dem Ende des zweiten Pfeils
verbindet. Die Richtung des Er- gebnispfeils gibt dann das Vorzeichen des Ergebnisses an.
Die Länge der Pfeile sagt etwas über den Wert der Zahlen aus. Die Längen der Pfeile von a
und (-a) sind gleich, lediglich die Vorzeichen bzw Richtungen sind verschieden. Man nennt
daher die Länge der Zahlenpfeile auch den absoluten Betrag oder auch Betrag der Zahlen (
als Symbol | a | = | - a |; später dazu mehr ).
|
-6
|
-5
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
5-3=2
oder
-5 +3 = -2
oder
-2 - 3 = -5
oder
-2 +5 = +3
Die erste Vorzeichenregel zur Multiplikation der ganzen Zahlen (+a)(+b) = ab gilt wie in den
natürlichen Zahlen. Das 3. Vorzeichengesetz (-a)(+b) = - ab läßt sich wie folgt erklären : Es
sei a > 0 , dann ist -a negativ ( anders ausgedrückt : -a < 0 ). Ferner gilt aufgrund der
Kommutativität (-a)(+b) = b(-a). b(-a) aber ist die b-fache Aneinanderreihung des Pfeils mit
der Länge a ( entspricht | - a | ) nach links, da negatives Vorzeichen von -a. Der Ergebnispfeil
weist also nach links, daher ist das Ergebnis von (-a)(+b) negativ.
Zur Verdeutlichung :
|
-6
|
-5
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
|
|
1
2
3
also 3 (-2) = -6
|
4
|
5
Die vierte Regel (+a)(-b) = -ab läßt sich entsprechen verdeutlichen ! Etwas komplizierter ist
der Nachweis der 2. Regel (-a)(-b) = +ab. Dazu gehen wir wie folgt vor.
Nehmen wir zunächst ein Beispiel :
-5 läßt sich deuten als 1•(-5). [ 1 ist neutrales Element der Multiplikation und wird als Faktor
in einem Produkt meist nicht hingeschrieben .] Aufgrund des Kommutativgesetzes gilt :
1(-5) = (-5)1 = -5. Die Multiplikation der Zahl 1 mit -5 bewirkt also eine Verfünffachung des
Betrages von 1 und eine Umkehrung der Richtung, wie das Ergebnis (-5) zeigt. Allgemein
bewirkt die Multiplikation mit einer negativen Zahl eine Vervielfachung des Betrages und die
Umkehrung der Richtung. Multipliziert man eine negative Zahl (-b) mit einer negativen Zahl
(-a) [ a,b > 0], dann wird der Betrag von (-b) ver-a-facht und die Richtung [ aufgrund des
negativen Vorzeichen des Multipli- kators (-a) ] umgekehrt.
-8Das Ergebnis ist also positiv . (-a)(-b) = ab !
Die Multiplikationsregeln kann man sich auch so merken :
Haben beide Faktoren das gleiche Vorzeichen, so ist das Ergebnis positiv, haben sie
verschiedene Vorzeichen, ist das Ergebnis negativ.
1. Tag
c) Die Rationalen Zahlen
Die ganzen Zahlen sind nicht abgeschlossen gegenüber der Division. Die Subtraktion stellt
gewissermaßen die Umkehrung der Addition dar, d.h. addiert man zunächst eine Zahl a zu b
und subtrahiert dann wieder a, so erhält man die ursprüngliche Zahl b ( b + a - a = b ) . Die
Division stellt entsprechend die Umkehrung der Multiplikation dar. Sind a und (- a ) inverse
Elemente der Addition, so sind a ç 0 und 1/a inverse Elemente der Multiplikation, denn
a + (-a) = 0 bzw a •1/a = 1. Nun stellt der Bruch 1/a aber keine ganze Zahl dar. Wir können
aber die Menge der ganzen Zahlen um die Menge der Bruchzahlen erweitern und erhalten
dann die Menge der rationalen Zahlen Q . Q = Z
Bruchzahlen } . Die Eigenschaften der
Menge der ganzen Zahlen werden dabei übernommen, das heißt, auch in der Menge der
rationalen Zahlen gelten die Kommutativgesetze, die Assoziativgesetze und das Distributivgesetz. Ferner gibt es das neutrale Element der Addition, das neutrale Element der
Multiplikation, zu jedem Element ein Inverses bezüglich der Addition und es gelten die
Vorzeichenregeln. Speziell gilt jetzt noch zusätzlich :
(-a) : (+b) = (a) : (-b) = - (a : b) und (-a) : (-b) = a : b .
Jedes Element der rationalen Zahlen a bezitzt ein Inverses bezüglich der Multiplikation,
nämlich 1/a; a ç 0 ! Daß in diesem Fall a nicht gleich Null sein darf, kann man
folgendermaßen einsehen: Zunächst kann man folgern, daß a•0 = 0 ist.In den rationalen
Zahlen gilt ja das Distributivgesetz. Andererseits ist 0 das neutrale Element der Addition. Man
kann daher 0 = 0 + 0 setzen. Dann gilt
a•0=a(0+0)=a•0+a•0
Wenn aber a0 = a0 + a0, a0 also bei der Addition nichts verändert, dann muß a•0 das neutrale
Element der Addition sein, nämlich 0.
Wir merken uns also : a•0 = 0 ;für alle a
Und nun zur Forderung, dass beim Bruch 1/a a ungleich Null sein muß ! Nehmen wir einmal
an 1/ 0 sei definiert. Dann besäße 1/ 0 einen gewissen Wert, nennen wir ihn c. 1/0 = c . Dann
würde die Multiplikation mit 0 folgende Gleichung liefern 1 = c•0. Das kann aber nicht sein,
denn nach dem vorher Gesagten ist c•0 = 0 und nicht 1. Man muss also fordern, dass bei
einem Bruch der Nenner nicht Null sein darf !!
Übrigens nennt man bei einem Bruch a/b die Zahl a den Zähler und die Zahl b den Nenner
des Bruches. Das Ergebnis der Division nennt man den Wert des Bruches.
Auch die Brüche kann man auf dem Zahlenstrahl darstellen. Nehmen wir als Beispiel die Zahl
1/3. Sie liegt auf dem Zahlenstrahl zwischen 0 und 1. Die Konstruktion führen wir mit Hilfe
des Strahlensatzes ( vergl. Angang - Geometrie ) durch. Wir tragen vom Ursprung 0 in
beliebiger Richtung eine bekannte Strecke dreimal ab. Dann verbinden wir das Ende der
entstandenen Hilfsstrecke mit der Zahl 1 auf dem Zahlenstrahl und erhalten die Strecke d.
Durch den ersten Teilpunkt (von Null aus gesehen) zeichnen wir eine Parallele zur Strecke d.
Diese Parallele schneidet den Zahlenstrahl bei 1/3. Die Zahl ( - 1/3 ) erhält man durch
-9Spiegelung von 1/3 am Ursprung. Es leuchtet ein, dass man bei der Darstellung der anderen
Brüche entsprechend verfahren kann.
|
-1
|
-
|
0
1
Bei dieser Konstruktion sieht man auch leicht, daß man, wenn man die doppelte Strecke,
nämlich 2, in 6 gleiche Teile teilt, auf die gleiche Stelle 1/3 kommt. Anders ausgedrückt : 1/3
= 2/6 = 3 / 9 = ...... = (1n) / (3n) [ *]. Mit dieser Gleichheitskette ist aus gedrückt, daß man
den Zähler und den Nenner eines Bruches mit einer beliebigen (aber gleichen ) Zahl nç0
gleichzeitig multiplizieren darf, ohne den Wert des Bruches zu verändern. Ließt man die
Gleichheitskette [ *] von links nach rechts, so nennt man den jeweiligen Vorgang erweitern
des Bruches, liest man sie von rechts nach links, so nennt man den Vorgang kürzen des
Bruches.
Brüche kann man als Zahlsymbole darstellen. Für das Beispiel 1/4 gibt es folgende
Darstellungsmöglichkeiten :
1/4 ,
( diese Darstellung ist die korrektere; aus schreibtechnischen Gründen verwende ich aber weiter 1/4 .)
1:4, 1 : 4 ( auf Taschenrechnern oft gebräuchlich ) und 0,25 .
Diese letzte Darstellung ist eine Darstellung in Dezimalschreibweise . Häufig findet man hier
auch die Formulierung Dezimalzahl. Eine Formulierung, die etwas irreführend ist, denn es
handelt sich ja nicht um eine andere Zahl, vielmehr ist die Darstellung ein und derselben Zahl
1/4 eine andere! Brüche haben entweder eine endliche Dezimaldarstellung z.B. 7/8 = 0,875
oder eine unendliche, dann aber periodische Dezimaldarstellung z. B. 4/3 = 1,33333....... =
1,3 .
Es gibt noch Zahlen, die eine unendliche nichtperiodische Darstellung aufweisen. Sie gehören
aber nicht zu den rationalen Zahlen, sondern zu den irrationalen Zahlen. Wenn wir die Menge
der rationalen Zahlen noch einmal um die Menge der irrationalen Zahlen erweitern, kommen
wir zur Menge der reellen Zahlen IR. Das ist dann die umfassendste Zahlenmenge, mit der
wir uns in diesem Brückenkurs befassen. Sie hat im wesentlichen die gleichen Eigenschaften
wie die der Menge der rationalen Zahlen. Aber dazu später mehr.
Die Darstellung der Bruchzahlen sollte uns nun keine Schwierigkeiten mehr bereiten.
Schwieriger ist die rechnerische Behandlung der Brüche. Aber auch diese Schwierigkeit läßt
sich überwinden, wenn man sich einige Rechenregeln merkt.
Das Erweitern und Kürzen haben wir ja schon kennengelernt. Nehmen wir folgendes Beispiel.
Zunächst soll man, wenn möglich, gemeinsame Faktoren im Zähler und Nenner ausklammern
( das Distributivgesetz [ a(b+c) = ab + ac ] von rechts nach links lesen ) und dann kürzen.
ab + ac = a(b+c) = b+c
Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl a dividieren oder
ad + ae
a(d+e)
d+e
den Bruch durch a kürzen.
Zwei Brüche heißen gleich, wenn sie den gleichen Wert besitzen. Die Brüche a/b und d/e sind
auch gleich, wenn gilt ae = bd .
- 10 -
Addition (Subtraktion) von Brüchen :
Zwei Brüche heißen gleichnamig, wenn sie den gleichen Nenner besitzen.
a
c
+
b
a+c
=
b
b
Zwei gleichnamige Brüche werden addiert( subtrahiert ), indem man die Zähler addiert (
subtrahiert ) und den Nenner beibehält.
Sind zwei Brüche, die man addieren ( subtrahieren ) will, ungleichnamig, dann muß man sie
zunächst gleichnamig machen, um sie nach der obigen Regel zu addieren (subtrahieren).
Gleichnamig macht man zwei Brüche, indem man ein gemeinsames Vielfaches der beiden
Nenner sucht und dann entsprechend erweitert, oder einfach das Produkt der beiden Nenner
wählt und entsprechend erweitert.
a
c
+
b
ad
=
d
cb
+
bd
ad + cb
=
bd
bd
Multiplikation von Brüchen :
Zunächst multiplizieren wir einen Bruch mit einer ganzen Zahl, etwa 4· 3/4:
4·3/4 = 3/4+3/4+3/4+3/4= (3+3+3+3+)/4 = (4·3)/4 = 3
Es zeigt 4(3/4) = (4·3) / 4 = 3. Dieses Verfahren läßt sich verallgemeinern :
Man multipliziert einen Bruch mit einer ganzen Zahl, indem man den Zähler des
Bruches mit der Zahl multipliziert und den Nenner beibehält.
a·(b/c) = (a·b)/c
Deutet man a als Bruch a/1, so kann man die obere Gleichung auch schreiben als
(a/1)·(b/c) = (a·b)/(1·c)
Das bedeutet:
Man multipliziert zwei Brüche, indem man das Produkt der Zähler durch das Produkt
der Nenner dividiert.
(a/b)·(c/d) = (a·c)/(b·d) ; b,d
0
- 11 Division von Brüchen :
Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert .
Das läßt sich so zeigen :
x = a/b ó bx = a
=>
y = c/d ódy = c
(b•x)/(d•y) = a/c => x/(d•y) = a/(b•c) => x/y = (a•d)/(b•c)
Mithin ergibt sich, wenn man x und y wieder ersetzt :
(a/b) : (c/d) = (a•d)/(b•c) = (a/b)•(d/c)
2. Tag
3. Gleichungen 1:
Gleichungen bestehen aus zwei Termen, die durch das Gleichheitszeichen ( = ) verbunden
sind. Terme sind wiederum Ausdrücke, die Zahlzeichen, Variablenzeichen und
Rechenzeichen beinhalten, sodaß beim Einsetzen von Zahlen in die Variablen Zahlenwerte
entstehen. Beispiele für Terme sind : T1 = 3x +7 , durch Einsetzen etwa von 2 in die Variable
x erhält der Term T1 den Wert 12.
T2 = (2x - 3)/ (1-x). Dieser Term ist für x=1 nicht definiert, da man in diesem Fall durch
0 [1-1] dividieren würde, was nicht erlaubt ist. Für alle anderen x e Q ist dieser Term
definiert und liefert eine rationale Zahl. Eine Gleichung hat also die Form
Ta = Tb. Der Vergleich der obigen Terme T1 und T2 , also T1 = T2 , liefert
3x + 7 = (2x - 3) / ( 1 - x ). Eine Gleichung kann man auch als Aussagenform auffassen. Sie
hat die Form einer Aussage. Durch Einsetzen einer Zahl für die Variable x wird die
Aussagenform zu einer Aussage, die wahr ist oder falsch, je nach dem, welche Zahl man
wählt. [ Wir erinnern uns : Eine Aussage ist eine Zeichenkette, von der man sagen kann, ob
sie wahr oder falsch ist. ] Setzen wir in die obige Gleichung für x den Wert 0 ein, so erhalten
wir 3þ0 + 7 = (2þ0 - 3)/ ( 1- 0), also 7 = - 3, was sicherlich eine falsche Aussage ist. Läßt sich
eine Zahl finden, die die Aussagenform zu einer wahren Aussage macht, so nennen wir diese
Zahl Lösung der Gleichung.
In diesem Kapitel werden wir uns mit einigen Verfahren beschäftigen, die es gestatten die
Lösungen von Gleichungen, wenn es sie gibt, zu finden. Die einfachste Form einer Gleichung
ist gegeben etwa durch x = 5. Hier kann man die Lösung sofort ablesen. Sie lautet 5, denn 5 =
5 ist sicherlich eine wahre Aussage ! Man schreibt auch IL = {5}. Etwas komplizierter ist
schon das Auffinden der Lösung der Gleichung 5x -2 = 3x + 4. Hier subtrahiert man zunächst
auf beiden Seiten der Gleichung 3x und erhält : 5x -3x - 2 = 3x -3x +4 . Die beiden Seiten
kann man vereinfachen 2x -2 = 4. Nun addiert man auf beiden Seiten 2 und erhält 2x -2 +2 =
4 + 2. Wiederum kann man vereinfachen und erhält 2x = 6. Beide Seiten werden durch 2
dividiert 2x : 2 = 6 : 2. Daraus folgt : x = 3. Also IL = {3}.
- 12 Den ganzen Vorgang kann man formalisierter schreiben :
5x - 2 = 3x + 4 | -3x
ó
2x - 2 = 4
| +2
ó
2x
=6
|:2
ó
x
=3
Das Zeichen ¤ bedeutet " äquivalent " . Zwei Gleichungen nennt man äquivalent, wenn sie
die gleiche Lösungsmenge besitzen. Das Verfahren zur Bestimmung der Lösungsmenge
besteht also darin, die Gleichungen wiederholt so äquivalent umzuformen, daß eine einfache
Gleichung entsteht, der man die Lösung sofort ansieht. Wichtig ist es nun zu wissen, welche
Umformungen Äquivalenzumformungen sind.
Äquivalenzumformumgen bei Gleichungen sind
1. Addition und Subtraktion der gleichen Zahl oder des gleichen Terms auf
beiden Seiten der Gleichung.
2. Multiplikation beider Seiten mit einer Zahl c oder einem Term T ; c,T
3. Division beider Seiten durch eine Zahl c oder einen Term T; c,T
Selbstverständlich dürfen die einzelnen Terme nach den Gesetzen der rationalen Zahlen (
Kommutativgesetze, Assoziativgesetze, Distributivgesetz ) umgeformt werden.
Es gibt Gleichungen, die haben unendlich viele Lösungen, z .B.
ó
ó
3(x + 2) = 5(x + 1) - (2x - 1) | Klammern auflösen [ Distributivgesetz ]
3x +6
= 5x + 5 -2x +1
| Zusammenfassen gleichartiger Ausdrücke
3x + 6 = 3x + 6 ( an dieser Stelle kann man schon sehen, daß die Gleichung für alle x eQ erfüllt
ist, 3x + 6 ist eben 3x + 6 ! Aber rechnen wir weiter und subtrahieren auf
beiden Seiten 6. )
ó 3x
= 3x | : 3
ó
x
= x
Die Lösungsmenge ist also IL = Q . Man sagt auch : Die Gleichung ist allgemeingültig in Q
.
Andere Gleichungen besitzen keine Lösung. Z . B.
3(x + 2) = 5(x + 1) - 2(x-1) | wie oben
ó
3x + 6 = 5x + 5 - 2x + 2
ó
3x + 6 = 3x + 7 | -3x
ó
6 =7
Das kann aber nicht sein ! Die Lösungsmenge ist leer. IL = ø.
Kommen wir zu einer anderen Art von Gleichung. x•x = 2 . Für x•x schreibt man auch x2
(sprich x Quadrat ). Die Gleichung x2 = 2 hat keine rationale Lösung. ( Der Nachweis wird im
Anhang geführt. )
Die reellen Zahlen:
Trotzdem gibt es Zahlen, die diese Gleichung erfüllen; Zahlen also, die mit sich selbst
multipliziert 2 ergeben. Diese Zahlen nennt man x1 = 2 und x2 = .
Sie gehören zur oben schon erwähnten Menge der irrationalen Zahlen. Wenn man den
Taschenrechner bemüht, erhält man für 2 ( sprich Wurzel aus Zwei ) etwa den Wert
1,4142136 . Es heißt bewusst "etwa", denn die irrationalen Zahlen haben eine unendliche
nichtperiodische Dezimalzahldarstellung . Der Taschenrechner mit seinen endlichen
Stellenzahlen kennt genaugenommen die irrationalen Zahlen nicht. Die Vereinigung von
- 13 irrationalen Zahlen und rationalen Zahlen ergibt die Menge der reellen Zahlen IR, wie oben
schon erwähnt. In der Menge der reellen Zahlen gelten dieselben Rechengesetze wie in der
Menge der Rationalen Zahlen. Alle bisherigen Überlegungen zu Gleichungsumformungen
kann man direkt übertragen.
4. Algebraische Summen und Binomische Formeln :
Zwei Summen werden miteinander multipliziert, indem man jedes Glied der einen
Summe mit jedem Glied der anderen Summe multipliziert und die erhaltenen
Teilprodukte addiert.
Bei zweigliedrigen Summen sind folgende Fälle denkbar :
1.
( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
2.
( a + b ) ( c - d ) = ac - ad + bc - bd
3.
( a - b ) ( c + d ) = ac + ad - bc - bd
4.
( a - b ) ( c - d ) = ac - ad - bc +bd
a,b,c,d IR .
Den Nachweis wollen wir für die 1. Gleichung führen. Setzen wir zunächst für c + d die
Variable z, also c + d = z. Dann geht die linke Seite der 1. Gleichung über in
( a + b ) z = a z + b z ( Anwendung des Distributivgesetzes ).
Nun setze wir wieder für z die Summe c + d ein und wenden noch zweimal das
Distributivgesetz an.
(a + b ) ( c + d ) = a ( c + d ) + b ( c + d ) = ac + ad + bc + bd,
was zu beweisen war.
Spezialfälle der obigen Gleichungen sind die sogenannten
Binomischen Formeln, die im praktischen Rechnen eine große Bedeutung haben.
1.
2.
3.
(a+b)2
= a2 + 2ab + b2
2
2
(a- b)
= a - 2ab + b2
(a- b)(a+b)
= a2 - b2
Die Richtigkeit dieser Formeln kann man direkt durch Nachrechnen zeigen, was wir im Fall 2
hier durchführen. ( a - b )2 = ( a - b )( a - b ) = aa - ab -ab + bb = a2 -2ab + b2
Ein Hinweis noch, der von Bedeutung ist: Die Formeln kann man von links nach rechts lesen,
aber auch von rechts nach links. Man kann also die rechten Summen zu Produkten
zusammenfassen.
Die binomischen Formeln kann man auch für Hochzahlen n > 2, n e IN, angeben. So läßt sich
( a ± b)3 berechnen aus ( a ± b )2(a ± b) = ( a2 ± 2ab + b2 ) ( a ± b) =
a3 ± 2a2b + ab2 ± a2b + 2ab2 ± b3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3. Es gilt also
( a ± b )3 = 1 a3 ± 3 a2b + 3 ab2 ± 1b3.
Dabei nennt man die unterstrichenen Zahlen die Koeffizienten . Das Zeichen ± besagt, daß im
Falle ( a + b)3 die Koeffizienten 1,3,3,1 alle positiv sind, und im Falle
( a - b )3 das Vorzeichen der Koeffizienten alterniert ( abwechselt ), beginnend mit +, also
+1,-3,+3,-1. Die Koeffizienten haben wir durch Rechnung gefunden.
- 14 Sie lassen sich aber auch aus dem sogenannten Pascalschen - Dreieck ablesen.
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
V V V V V
+ + + + +
1 6 15 20 15 6 1
n= 6
Wie man sieht, entstehen die Positionen jeweils aus der Summe der beiden links und recht
oberhalb stehenden Koeffizienten. Damit ergibt sich z.B. ( a + b )6 als
( a + b ) 6 = 1 a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6a1b5 + 1 a0b6 und
( a - b ) 6 = 1 a6 -6a5b + 15a4b2 - 20a3b3 + 15a2b4 - 6a1b5 + 1 a0b6
(Die Ausdrücke a0, a1 werden im nächsten Abschnitt erläutert.Es bedeuten a0 = 1 und a1= a)
Eine andere Darstellung der Koeffizienten, der sogenannten Binomialkoeffizienten, werden
wir später noch kennenlernen.
3. Tag
5. Potenzen und Potenzgesetze :
Einige Potenzen haben wir schon kennengelernt, etwa a 2 = a • a oder a 3 = a • a • a.
Allgemein git :
Die n-te Potenz der Zahl a ist das n-fache Produkt der Zahl a mit sich selbst, d.h.
a n = a • a • a • ......... •a
n – mal
a heißt die Basis ( Grundzahl ) und n e IN der Exponent ( Hochzahl ).
Für Potenzen gelten nun folgende Gestze :
1) a n • a m = a n + m , d.h. Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem
man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.
Beweis: a n • a m = a a a.................. a •aaa.....................a = a n + m
n - mal
2) ( a n ) m = a n • m , d.h.
m - mal
(n+m) - mal
Potenzen mit gleicher Basis werden potenziert, indem man
die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.
- 15 -
Den Beiweis führt man analog zu oben.
3) a n = a n - m
, d.h. Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man
am
die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
Beweisführung wie oben.
Bisher galt n,m e IN. Sonst gab die Definition der Potenzen keinen Sinn. Es muß also bei der
Division der Potenzen darauf geachtet werden, dass n mindesten um 2 größer ist als m, damit
für die Differenz gilt : 2 £ (n - m). Will man allerdings, dass die Potenzgesetze auch für
ganzzahlige Exponenten gelten sollen ( und was spricht dagegen ), dann muss man neue
Definitionen vornehmen. Dies geschieht so, dass die neuen Definitionen mit der alten
verträglich bleibt.
Nehmen wir zunächst den Fall m = n - 1, d.h. n ist um 1 größer als m. Dann gilt einerseits
(m+1) - mal
a n = aaa......................a
am
=a
aaa......................a
m - mal
Man kann also m-mal den Faktor a kürzen und es bleibt im Zähler einmal der Faktor a übrig.
Andererseits gilt aber nach dem Potenzgesetz ( a n ) / ( a m ) = a n - m = a 1, da n um Eins größer
ist als m. Daher ist es sinnvoll jetzt neu auch a 1 als Potenz aufzufassen und festzulegen : a 1 =
a.
Ebenso kann man a 0 jetzt definieren. a 0 = 1 ! Nach dem 3. Potenzgesetz würde man bei n =
m einerseits a 0 als Resultat erhalten, andererseits steht im Zähler und Nenner des Bruchs mbzw n -mal der gleiche Faktor. Man kann also den Faktor a gleichviel - mal kürzen und erhält
als Wert des Buches die Zahl 1.
Ist n < m, dann liefert das Potenzgesetz über die Division von Potenzen mit gleicher Basis
eine Potenz mit negativer Hochzahl, z. B. a 3 / a 5 = a 3 - 5 = a -2. Auch hier müssen wir klären,
was a -2 sein soll. Wenn man den Bruch a 3 / a 5 nach den Gesetzen der Bruchrechnung kürzt,
erhält man
a3 =
aaa =
1 = 1
a5
aaaaa
aa
a2
-2
-n
Es ist also sinnvoll, für 1
a zu setzen. Allgemein setzt man a =
1 .
a2
an
Damit sind auch die Potenzen mit negativen ganzen Exponenten erklärt. Die Potenzgesetze,
die wir bisher kennengelernt haben, gelten für alle Exponenten aus Z . Bisher haben wir
Potenzen mit gleichen Basen, aber verschiedenen Hochzahlen betrachtet. Sehen wir uns nun
noch die Fälle an, in denen die Basen verschieden sind und die Hochzahlen gleich. Es gilt :
4.
a nb n
5.
an
bn
=
( ab)n
= (a/b) n
- 16 a n bn = a a a ................... a • b b b.....................b
Beweis zu 4.:
( Anwendung des
Kommutativges.)
n - mal
n - mal
n
= a b a b ................ab = (a b ) .
n - mal
Beweis zu 5. : a n
a a a ........... .....a
=
b
n
a a ................. a
= (a/b)n
=
b b b................. b
b b ..............
n - mal
b
n - mal
Damit haben wir die 5 Potenzgesetze kennen gelernt. Sie gelten für alle ganzen Exponenten.
Es bleibt noch der Schritt, die Potenzen für rationale Exponenten zu definieren.
Erinnern wir uns an die Lösungen der Gleichung x 2 = 2, x1 =
2 und x 2 = - 2. Das
sind die Zahlen, die mit sich selbst multipliziert 2 ergeben. Es gilt also
( 2 ) 2 = 2. Wenn wir nach den oben genannten Potenzgesetzen die Potenz 2 1/2 mit 2
potenzieren, erhalten wir ebenfalls den Wert 2; ( 2 1/2 ) 2 = 2 1/2 •2 = 2 1 = 2. Also ist es sinnvoll,
2 1/2 mit ÷ 2 gleichzusetzen. Ebenso gilt 3 ÷ 8 = 2 ( sprich 3. Wurzel aus 8 ), ( 3 ÷ 8 ) 3 = 8
und ( 8 1/3 ) 3 = 8 und 2 3 = 2•2•2 = 8.
Allgemein gilt n ÷ a = a 1/n . Ein Beispiel möge verständlich machen, warum man gut daran
tut, a > 0 zu fordern. 3 ÷ - 8 kann ja -2 sein, denn (-2)(-2)(-2) = 4 (-2) = - 8. Das ergibt keinen
Widerspruch. Aber, wenn man die Hochzahl 1/3 mit 2 erweitert, ändert man den Wert der
Hochzahl nicht und bekommt 2/6. Nun kommt man zu einem Widerspruch, denn 3 - 8 = (
-8 ) 1/3 = (-8 ) 2/6 = (-8) 1/2 t 2/3 = ((-8) 1/2) 2/3. Aber
(- 8 ) 1/2 =
- 8 ist nicht definiert, denn es gibt keine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 8 ergibt. ( Zur Erinnerung . " (+)(+) = + und (-)(-) = + " ; ! Sehr salopp formuliert !! ) Damit
wäre auch 3 - 8 nicht definiert, im Widerspruch zur Tatsache, dass (-2)3 = -8 ist. Um solche
Widersprüche zu vermeiden, setzt man a > 0 voraus !
Quadratwurzeln :
In der Mathematik wird sehr häufig mit Quadratwurzeln [ 2 a = a 1/2 =
,a>0]
gerechnet. Aus diesem Grunde stellen wir spezielle Gesetze für Quadratwurzeln zusammen.
Sie lassen sich aus den Gesetzen für reelle Zahlen und aus den Potenzgesetzen direkt ableiten.
Für a,b,c,d e IR, 0 £ a gilt
b
a
+c
a -d
a =(b+c-d)
a ( Distributivgesetz von rechts nach
links gelesen; Ausklammern )
ab =
a
b
( Potenzen mit gleicher Hochzahl, hier 1/2, werden multipliziert,
indem man die Basen multipliziert und die Hochzahl beibehält.)
Falls b > 0, dann ist
( a / b) =
a /
b ( Potenzen mit gleicher Hochzahl werden dividiert,indem man
die Basen dividiert und die Hochzahl beibehält . )
- 17 Wichtig : Die Wurzel ( Kurzform für Quadratwurzel ) aus einer Zahl a > 0 ist die
p o s i t i v e Zahl, deren Quadrat a ergibt.
4 = 2 nicht -2 ; -2 = -
4
;
a
a heißt Radikand
4. Tag
6. Logarithmen :
Die Gleichung x 3 = a können wir nun lösen. Es ist x = a 1/3 = 3 ÷ a . Die Gleichung
3 x = a können wir bisher noch nicht lösen. Zunächst einige Beispiele :
10 x = 100
2 x = 32
5 x= 1
7 x = 1/7
ax=b
x = 2 , denn 10 2 = 100
x = 5, denn 2 5 = 32
x = 0, denn 5 0 = 1
x = -1, denn 7 -1 = 1/7
x ist diejenige Hochzahl, mit der man die Basis a potenzieren muß,
um b zu bekommen.
Diese zuletzt in Worte gefasste Umschreibung fasst man mathematisch in folgenden
Symbolen zusammen :
ax=b
ó x = loga b
( sprich : x ist der Logarithmus b zur Basis a ) Der Logarithmus einer Zahl b ist also diejenige
Hochzahl, mit der man die Basis a potenzieren muss, um b zu bekommen.
a log b = b
Wie wir an den Beispielen oben gesehen haben, kann x sehr unterschiedliche Werte
annehmen. So könnte x = 2 oder auch x = -1/2 sein. Wenn x als Exponent den Wert 2
annimmt, dann kann b nicht negativ werden, denn a 2 liefert für jeden Wert von a ein positives
Ergebnis oder 0, wenn a = 0 ist. Wenn x = -1/2 ist, also
a x = a -1/2 = 1/ ÷ a , dann muß man fordern, dass a > 0 ist, denn Wurzeln aus negativen
Zahlen gibt es nicht ( s.o.) und falls a = 0 ist, würde 1/ ÷ 0 den Quotienten 1 / 0 liefern, der
bekanntlich auch nicht definiert ist ( s.o.). Daher wird man an den Logarithmus die
Forderungen stellen, dass a, b > 0 sind. Auch a = 1 gibt keine nützliche Darstellung, denn 1 x
= 1 für alle x e IR. Also nochmals
ax=b
ó
x = loga b mit a, b > 0 ; a
1
Da für jedes a > 0, a 1 gilt a 0 = 1 und a 1 = a sind log a 1 = 0 und log a a = 1. Einen
besonderen Platz nehmen die Logarithmen zur Basis 10 ein. Man hat für sie ein besonderes
Zeichen gewählt, lg.
- 18 -
10 x = b
ó x = log 10 b ó x = lg b.
Die Zehnerlogarithmen sind auf den meisten Taschenrechnern verfügbar.
Für den Umgang mit Logarithmen sind die Logarithmengesetze sehr nützlich.
1.) log a ( u v ) = log a u + log a v
Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der
Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren.
2.) log a ( u / v ) = log a u - log a v
Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der
Differenz der Logarithmen des Zählers und Nenners.
3.) log a ( u r ) = r log a u
Der Logarithmus einer Potenz u r ist gleich dem
Produkt des Exponenten mit dem Logarithmus
der Basis.
Beweis :
zu 1 Es gilt : u = a log u und v = a log v mithin ist
u v = ( a log u ) ( a log v ) = a log u + log v ( Potenzen werden potenziert, indem
man die Hochzahlen addiert (Kurzform ))
Es ist also die Zahl, mit der man a potenzieren muss , um (u v) zu erhal ten
(log a u + log a v ).
Anders ausgedrückt log a ( u v ) = log a u + log a v , w.z.b.w (was zu beweisen war)
zu 2
Mit der gleichen Bezeichnung gilt
(u / v ) = ( a log u ) / ( a log v ) = a log u - log v
log a ( u / v ) = log a u - log a v
zu 3
log a ( u r ) = log a ( u + u + ........... + u)
(und nach dem 1.Logarithmengesetz )
r - mal
= log a u + log a u + ...... log a u
r - mal
= r log a u
Da die Logarithmen Hochzahlen sind, kann man mit ihrer Hilfe die Multiplikation auf die
Addition zurückführen. Früher war das logarithmische Rechnen von imenser Bedeutung, da
es eine erhebliche Vereinfachung beim praktischen Rechnen ergab. Heute im " Zeitalter des
Taschenrechners " wiegt dieser Aspekt nicht mehr so viel. Bei Exponentgleichungen hilft aber
der Taschenrechner kaum, aber das Anwenden des 3. Logarithmengesetzes, wie folgendes
Beispiel belegen mag.
8 x - 1 = 7•5 x
(*)
Wir logarithmieren beide Seiten. Die Art des Logarithmus ist nicht wesentlich . Wir nehmen
den 10-er Logarithmus, weil diese Logarithmen der Taschenrechner zu Verfügung stellt.
lg ( 8 x - 1 ) = lg ( 7 • 5 x )
(**)
Die Logarithmen sind eindeutig, d.h. zu einer bestimmten Zahl gibt es auch nur einen
- 19 einzigen Logarithmus ( bzgl derselben Basis ).Da aber nach Gleichung (*) die beiden Seiten
gleich sind, also auch die zugehörigen Zahlen, sind auch die zugehörigen Logarithmen gleich.
Daher folgt aus der Gleichung (*) die Gleichung (**).
Nach Anwendung der Logarithmengesetze folgt dann
lg ( 8 x - 1 ) = lg 7 + lg 5 x
und weiter
(x-1) lg 8 = lg 7 + x lg 5
( Nach Anwendung des Distributivges.)
x lg 8 - lg 8 = lg 7 + x lg 5 | - x lg 5 und + lg 8
x lg 8 - x lg 5 = lg 8 + lg 7
( Ausklammern )
( lg 8 - lg 5 ) x = lg 56
lg (8/5) x = lg 56
lg ( 1,6) x = lg 56
| : lg (1,6)
x = lg 56 / lg 1,6
x = 1,748188 / 0,20412
x = 8,5645119
IL = { 8,56 }
Ohne Logarithmengesetze wäre die Gleichung wohl kaum zu lösen, es sei denn durch
wochenlanges Probieren !
5. Tag
7. Gleichungen 2 :
Lineare Gleichungen
Im Abschnitt Gleichungen 1 sind wir schon auf das Lösen von Gleichungen eingegangen.
Dabei hatten wir die Äquivalenzumformungen kennen gelernt. Ferner hatten wir Gleichungen
kennengelernt, die allgemeingültig sind, und solche, die unlösbar sind, deren Lösungsmenge
leer war.Diese Gleichungen waren sogenannte lineare Gleichungen. Das sind Gleichungen
vom Typ ax + b = 0. Die Gleichungsvariable x kommt nur in 1. Potenz [ x 1 ] vor. Es gibt
auch Bruchgleichungen, die durch Umformung auf lineare Gleichungen führen. Dazu einige
Beispiele :
1.
2x - 3
5- x
Diese Gleichung ist für alle x ç 5 definiert.Der Definitionsbereich ist daher ID = IR \ { 5 } ( IR ohne 5 ).
Die Mutiplikation mit dem Nenner ( 5 - x ) ergibt
2x - 3 = 3 ( 5 - x )
2x - 3 = 15 - 3x
2x + 3x = 15 + 3
5x
= 18
x = 18 / 5
IL = { 18/5 }
2.
2x
x - 1
2x2 + 4
1
Hier multipliziert man mit dem Hauptnenner.
=
x +1
x2 - 1
H = (x - 1) ( x + 1 ) = x2 - 1 ( 3.Bin.Formel)
2x( x + 1 ) - 1( x - 1) = 2x2 +4
2x2 + 2x - x +1 = 2x2 + 4
| - 2x2
- 20 -
2x - x + 1 = 4
x
=3
Da ID = IR \ { 1, -1 }, liegt x = 3 im Definitionsbereich. Daher gilt IL = { 3 }
3.
6
1+
3x
ID = IR \ { 2 }
= 2+
x-2
x-2
1 ( x - 2) + 6 = 2 ( x - 2 ) + 3x
x - 2 + 6 = 2x - 4 + 3x
x - 2x - 3x = 2 - 6 - 4
- 4x = -8
x=2
| sortieren
| : (-4)
Dieser Wert gehört aber nicht zum Definitionsbereich der Gleichung ( sonst müsste durch 0 dividiert werden - nicht erlaubt ! ). Daher ist die Lösungsmenge leer,
IL = {}. Wie das letzte Beispiel zeigt, müssen bei Bruchgleichungen immer die
Definitionsbereiche bestimmt werden, oder man muß eine Probe machen, d. h. den
gefundenen Wert in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.
Im 2. Beispiel kam x auch in zweiter Potenz vor [ x 2 ]. Allerdings standen die Quadratischen
Werte auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens und fielen bei den Umformungen weg. Es
gibt aber auch Fälle, in denen die quadratischen Ausdrücke nicht herausfallen. Diese Fälle
führen dann zu quadratischen Gleichungen, mit denen wir uns nun beschäftigen werden .
Quadratische Gleichungen
Eine einfache quadratische Gleichung haben wir schon kennen gelernt: x 2 = 2 .
Die einfachsten quadratischen Gleichungen haben in der Tat die Form x 2 = a, 0 £ a. Die
Lösungen sind x1 =
a und x2 = - a .Die Gleichung der Form bx 2 - c = 0 kann man
durch Umformen in die obige Gestalt bringen : x 2 = c / b. Es ist klar, dass b 0 gelten muss
und 0 c/ b. Quadratische Gleichungen, deren Koeffizient bei x 2 1 ist, nennt man
normiert.
Gleichungen der Art x 2 + bx = 0 löst man, indem man den gemeinsamen Faktor x
ausklammert. x( x + b ) = 0 . Man erhält so ein Produkt der Form A B = 0. Dieses Produkt ist
sicherlich dann Null, wenn A = 0 oder B = 0 oder beide Faktoren gleich sind. 0•B = 0,
A•0 = 0 , 0•0 = 0. Diese Überlegungen wenden wir nun auf x(x + b) =0 an.
x( x + b ) = 0
=>
x=0
oder ( v ) x + b = 0
x =0
v
x = -b
Die Lösungsmenge ist
IL = { 0 ; -b }
Wir sehen, diese Gleichung hat zwei Lösungen, im Gegensatz zu den linearen Gleichungen,
die höchstens 1 Lösung haben, wenn sie nicht allgemeingültig sind. Auch ax 2 + bx = 0 löst
man auf diese Art. Dazu normiert man zunächst die Gleichung, indem man durch a dividiert
(a
ist klar, sonst hätte man keine quadratische Gleichung, sondern bx = 0 ). Man erhält
x 2 + b/a x = 0/a = 0
x(x + b/a ) = 0
IL = { 0 ; - b/a }
- 21 Als nächste Art der quadratischen Gleichungen gilt x 2 + px + q = 0. Es hat sich allgemein
eingebürgert, die Koeffizienten p und q zu wählen. Wir werden jetzt eine Lösungsformel
ableiten, wie sie in jeder Formelsammlung zu finden ist. Daher wählen wir hier auch p und q.
Zunächst ein Beispiel.
x 2 + 6x = 7 . Im Vergleich zur letzten Art von quadr.
Gleichung erscheinen hier das quadratische Glied x 2 , das lineare Glied 6x und das absolute
Glied 7. Die linke Seite der Gleichung werden wir nun so umformen, daß die linke Seite nur
einen quadratischen Ausdruck erhält, sodaß die Lösungen ablesbar werden. Wir addieren in
diesem Beispiel auf der linken Seite 9 und subtrahieren gleichzeitig 9, sodaß wir in
Wirklichkeit 0 addiert haben, was den Wert der linken Seite nicht verändert.
x 2 + 6x + 9 - 9 = 7 ó x 2 + 2þ 3x + 9 - 9 = 7. In diesem linken Term kann man mit Hilfe
der binomischen Formel ( x + 3) 2 = x 2 + 2 • 3x + 3 2
[ zur Erinnerung ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ] umformen - von rechts nach links gelesen.
Dieses Verfahren nennt man „ quadratische Ergänzung bilden“.
x 2 + 2•3x + 9 - 9 = 7
(x+3)2-9=7
(x+3)2
= 7 + 9 = 16
(x+3)2
= 16 ( Gesucht ist also ein Wert für x + 3 , sodaß das
Quadrat 16 ergibt. Das ict der Fall, wenn
x + 3 = ÷ 16 V
x+3=4
V
x
=4-3=1
x1 =1
Machen wir die Probe : x 1 = 1 => 12
x + 3 = - ÷ 16
x+3=-4
V x = -4 -3 = -7
x 2 = -7
+ 6•1 = 7
7 = 7 ( stimmt )
x 2 = -7 => (-7) 2 + 6 (-7) = 7
49 - 42
=7
7 = 7 ( stimmt )
D. h.
IL = { 1 ; -7}
Auf die gleiche Weise formulieren wir jetzt die allgemeine Herleitung.
x 2 + px + q = 0
x 2 + px + (p/2) 2 - (p/2) 2 + q = 0
( x + p/2 ) 2 - ( p/2) 2 + q = 0
( x + p/2 ) 2 = ( p/2) 2 - q
| + ( p/2) 2 - q
x + p/2 = ( p/2) 2 - q v x + p/2 = ( p/2) 2 - q
2
x 1 = - p/2 + ( p/2) - q
x 2 = - p/2 ( p/2) 2 - q
Man fasst die letzten Gleichungen auch zusammen und formuliert als Lösungen der
allgemeinen quadratischen Gleichung in normierter Form
x 2 + px + q = 0
x 1/2 = - p/2 ±
( p/2) 2 - q
Diese Formel hat offiziell keinen N amen. Nennen wir sie :
p-q-Formel
- 22 Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen, der Radikand also, wird auch als Diskriminante D
bezeichnet. Diskriminante deshalb, weil man an ihr entscheiden kann, wie viele Lösungen die
quadratische Gleichung hat.
D = (p/2) 2 - q oder D = p2/4 - q oder D = p 2 - 4q
4
Ist D > 0 , d.h. p 2 - 4q > 0 [ das Vorzeichen des Bruches ( p 2 - 4q )/ 4 hängt nur vom Zähler
p 2 - 4q ab, denn der Nenner ist 4, also positiv ] dann hat die Gleichung 2 Lösungen. Ist D =0,
so hat die Gleichung 1 Lösung, nämlich x = - p/2.
Ist D < 0, dann hat die Gleichung keine Lösung. Genauer gesagt, keine Lösung in IR, da der
Radikand dann negativ ist.
D>0
D=0
D<0
=> 2 Lösungen
=> 1 Lösung
=> keine Lösung
in IR .
Eine quadratische Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0 kann man durch Normieren
[ Division durch a 0 ] in die Form x 2 + px + q = 0 bringen und sie dann nach obigem
Verfahren oder mit Hilfe der Lösungsformel lösen.
Wenn man die beiden Lösungen
x 1 = - p/2 + ( p/2) 2 - q
addiert, dann erhält man
und x 2 = - p/2 -
( p/2) 2 - q
x 1 + x2 = ( - p/2 +
( p/2) 2 - q ) + ( - p/2 - ( p/2) 2 - q )
= - p/2 - p/2 + ÷ ( p/2) 2 - q - ÷ ( p/2) 2 - q = - p
x1+x2=-p
Werden die beiden Lösungen multipliziert, so erhält man unter Anwendung der
3. binomischen Formel
x 1 • x 2 = ( - p/2 + ( p/2) 2 - q ) ( - p/2 = ( -p/2 ) 2 - ( ÷ ( p/2) 2 - q ) 2
= (p/2) 2 - ( ( p/2) 2 - q )
= ( p/2 ) 2 - ( p/2) 2 + q = q.
( p/2) 2 - q )
x 1• x 2 = q
Beide Ergebnisse bilden den
Satz des Vieta
Ist eine quadratische Gleichung in Normalform ( normiert ) gegeben
x 2 + px + q = 0 ,
dann gilt :
x 1 + x 2 = - p und x 1 • x 2 = q .
- 23 -
Der Satz des Vieta ist unter anderem sehr nützlich, um Summen in Produkte zu vewandeln.
Setzt man nämlich in die Gleichung x2 + px + q = 0 für p den Ausdruck -(x 1 + x 2 ) und für q
den Ausdruck x 1 • x 2 ein, dann erhält man
x 2 - (x 1 + x 2 ) x + x 1 x2 = 0
x 2 - x 1x - x 2x + x1 x2 = 0
x(x - x1) - x 2(x - x1) = 0
(x-x1)(x-x2) =0
| ausmultiplizieren und sortieren
| ausklammern von x und x 2
| ausklammern von (x - x 1)
Man kann also den quadratischen Term
x 2 + px + q durch das Produkt
( x - x 1 ) ( x - x 2 ) ersetzen, wobei x1 und x2 die Lösungen der normierten quadratischen
Gleichung
x 2 + px + q = 0 sind. Die Terme ( x - x 1 ) und ( x - x 2 ) nennt man
Linearfaktoren. Die Nützlichkeit dieser Umformung werden wir später noch erkennen.
Ungleichungen :
Ungleichungen werden im Wesentlichen genau so behandelt wie Gleichungen. Wenn man
jedoch eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, oder durch eine negative Zahl
dividiert, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Wir wollen diesen Sachverhalt an einigen
Beispielen erläutern.
Beispiel 1: 2x –5 > 5x + 7 | -5x ; +5
2x - 5x > 7 + 5
-3x > 12
| : (-3) !!
x < -4
IL = { x | x < -4 }
Beispiel 2 : x + 1
1
>
X–2
x
2
|•(x–2) ; •3
3
Hier muss man Fallunterscheidungen machen, denn x – 2 kann größer als Null sein
oder kleiner Null.
1. Fall : x – 2 > 0, d.h. x > 2 (*)
3(x+1) > x – 2
3x + 3 > x – 2
3x – x > - 2 – 3
2x
> -5
x
> - 5/2
In diesem Fall sind alle x – Werte Lösungen, die gleichzeitig die Bedingungen x > 2
und x > -5/2 erfüllen ( x>2 und x > - 5/2 ). Das gilt also für alle x > 2 !
Man erhält als 1. Lösungsmenge
IL1 = { x | x > 2 }
- 24 2.Fall : x-2 < 0, d.h. x < 2
3(x+1) < x – 2
3x + 3 < x – 2
2x < -5
x < - 5/2
x< 2 und x < - 5/2 sind erfüllt für x < -5/2
IL2 = { x | x < -5/2 }
Als Lösungsmenge IL der Ungleichung erhält man :
IL = IL1
Beispiel 3:
IL2 = { x | x > 2 V x < -5/2 }
5 + 2x
< -2
x
-2/3
2 +3x
1. Fall 2 + 3x > 0, d.h. x > - 2/3 = - 0,666666....
5 + 2x < - 4 –6x
8x < - 9
x < - 9/8
Da nicht gleichzeitig x < -9/8 und x > - 2/3 sein kann, ist IL1 = {} ( leere Menge ).
2. Fall : 2 + 3x < 0, d.h. x< -2/3
5 + 2x > - 4 – 6x
8x > - 9
x > - 9/8 = - 1,125
Lösungen sind in diesem Falle alle x mit x > - 1,125 und x< - 0,6666...
IL = IL1
Beispiel 4 :
IL2 = IL2 = { x | - 9/8 < x < - 2/3 }
x2 + 2x - 3 < 0.
Hier ist der linke Term ein quadratischer Ausdruck. Diesen Term zerlegt man am besten in
ein Produkt ( man faktorisiert ihn ). Dazu bestimmt man zunächst die Lösungen der
Gleichung x2 + 2x – 3 = 0. Diese sind x01 = 1 und x02 = -3. Dann gilt :
x2 + 2x – 3 = ( x – 1 )( x – (-3)) = (x – 1)( x + 3) ( Satz von Vieta )
( x – 1 )( x + 3 ) < 0
Dieses Produkt ist kleiner Null, falls die Vorzeichen der beiden Klammerwerte verschieden
sind. Das führt zu zwei Fallunterscheidungen :
- 25 –
1. Fall : [(x – 1 )<0 ] und [(x + 3) > 0 ] oder 2. Fall : [( x – 1 ) > 0 ] und [ ( x + 3 ) < 0 ]
zum 1. Fall
x-1 < 0 und x + 3 >0
x<1
und x > - 3
IL1 = { x | -3 < x < 1 }
Zum 2. Fall
x-1 > 0 und x + 3 < 0
x> 1 und x < -3
IL2 = {}, denn x kann nicht gleichzeitig größer als 1 und kleiner als –3
sein.
IL = IL1 IL2 = IL1 = { x | -3 < x < 1 }
Beispiel 5
- x2 + 8x – 16 > 0 | • (-1) ! ist negativ
X2 –8x + 16 < 0
( x – 4 )2 < 0
Diese Ungleichung kann nicht erfüllt werden,
da ein Quadrat nicht negativ sein kann.
( x – 4 )( x – 4 ) < 0
Auch an dieser Darstellung erkennt man, dass diese Ungleichung keine
Lösungen haben kann. Das Produkt ist nämlich nur dann negativ, wenn
Beide Faktoren verschiedene Vorzeichen haben. Da es sich aber um
zwei gleiche Faktoren handelt, kann die letztgenannte Bedingung nicht
erfüllt werden. Die Lösungsmenge ist also leer.
IL = {}
6. Tag
Wurzelgleichungen:
Wurzelgleichungen sind, wie wir noch sehen werden, teuflisch. Man muss auf jeden Fall die
Probe machen !!
Zur Erläuterung mögen folgende Beispiele dienen.
x = 12
ID = IR +
2
x = 12 - 7 = 5 | ( ) [ quadrieren ]
x = 25
Probe : 7 + 25 = 12
7+ 5
= 12
12 = 12
1)
2)
7 +
x +4 +7 =4
x +4 =4-7=-3 |()2 (*)
x+4 =9
= IR+0
- 26 -
x =9-4=5
Probe :
5 +4 +7 =4
9 +7 =4
3 +7 =4
( 9 ist diejenige positive Zahl, deren Quadrat 9
ergibt, also 3 und nicht -3 !! )
10
4
Das ist nicht möglich. Die Lösungemenge ist leer. IL = { } = ø . An der Gleichung ( * ) hätte
man das auch schon sehen können, denn
+ 4 muss größer oder gleich Null sein. Der
Ausdruck kann mithin nicht gleich -3 sein. Durch das Quadrieren an dieser Stelle kommt
allerdings ein neuer Wert in die Rechnung, der als Ergebnis 5 liefert, denn ( - 3 )2 und ( + 3 )2
liefern beide den Wert +9. Die Probe ist also unerläßlich !
3)
4-
-5 =x
-5 =x-4
|()2
2
2x - 5 = ( x - 4 ) = x 2 - 8x + 16
2
x - 8x - 2x + 16 + 5 = 0
x 2 - 10x + 21 = 0
x 1 = 5 + 25 - 21 = 5 + 4 = 5 + 2 = 7
x2=5-
- 21 = 5 -
Probe : x = 7 : 4 2•7 - 5 = 7
4-÷9
=7
4 -3
=7
1
7
IL = { 3 }
4)
+5 -
=5-2=3
x=3:44-
-5 = 3
1 =3
3=3
-4 +1=0
+ 5 = 4x - 4 - 1
| ( )2
2x + 5 = ( 4x - 4 ) -4 +1
2x -4x +5 +4 -1 = -4
|()2
( 8 - 2x ) 2
= 4 ( 4x - 4)
64 - 32x + 4x 2 = 16x - 16
4x 2 - 48x + 80 = 0
| : 4 ( normieren )
x 2 - 12x + 20 = 0
x1=6+
36 -20 = 6 + 4 = 10
x2=6 -
36 -20 = 6 - 4 = 2
Probe : x = 10 :
IL = { 10}.
20 + 5 - 40 - 4 + 1 = 0
5 -6
+1=0
0 =0
x=2:
4+5 -4 +1=0
3 - 2
+ 1=0
2 0
!
- 27 -
Gleichungen höheren Grades:
Unter einer Gleichung höheren Grades versteht man eine Gleichung, bei der der Exponent der
höchsten vorkommenden Potenz der Gleichungsvariablen größer ist als 2. Gelegendlich kann
man durch geeignete Substitution ( Ersetzung ) Lösungen dieser Gleichungen finden . Wie
das geschieht, werden wir an einigen Beispielen erläutern.
1)
x 4 - 82x 2 + 81 = 0
| Substitution z = x 2
z 2 - 82z + 81 = 0
z 1 = 41 + 1681 - 81 = 41 + 1600 = 41+ 40 = 81
z 2 = 41 -
1681 - 81 = 41 -
= 41 - 40 = 1
Die Rückeinsetzung z = x 2 ergibt
z = x 2 = 81 => x1 = 9 und x2 = -9
z = x 2 = 1 => x 3 = 1 und x4 = -1
Die Probe ergibt, dass alle Werte x1.... x4 Lösungen der obigen Gleichung sind.
IL = { 1; -1; 9; -9 }. Das Verfahren funktioniert natürlich nur, wenn in der Gleichung nicht die
Potenzen x und x3 vorkommen. Eine Gleichung in der obigen Form nennt man auch
biquadratische Gleichung.
2)
[( x + 1)/ (x - 2)]
2
- 3[( x + 1 )/(x – 2 )] – 4 = 0
Substitution z = ( x + 1 ) / (x - 2) ;
ID = IR \ { 2 }
z 2 - 3z - 4 = 0
z 1 = 3/2 + 9/4 + 16/4 = 3/2 + 5/2 = 8/2 = 4
z 2 = 3/2 Rückeinsetzung :
9/4 + 16/4 = 3/2 - 5/2 = -2/2 = - 1
z=(x+1)/(x-2)=4
| • ( x - 2)
x + 1 = 4 ( x - 2 ) = 4x - 8 | sortieren
x - 4x = -8 - 1
-3x = -9 | :(-3)
x=3
z=-1
x + 1 = -1(x - 2) = -x +2
2x = 1
x = 1/2 = 0,5
IL = { 3; 0,5 }
Polynomdivision:
Gehen wir von der obigen Gleichung x2 + 6x - 7 = 0 aus. Sie hat die Lösungen x 1 = 1 und
x 2 = -7. Nach dem Satz des Vieta kann man den Term der linken Gleichungsseite durch das
Produkt der Linearfaktoren ( x - x1 ) und ( x - x2 ) ersetzen . Es gilt
- 28 x2 + 6x - 7 = ( x - 1 ) ( x -(-7)) = ( x - 1) ( x + 7) ( In der Tat liefert das Ausmultiplizieren: (x-1)(x+7) = x2 - x+7x -7
= x2 + 6x - 7 )
Wenn man also x2 + 6x -7 durch ( x - 1 ) dividiert, müßte als Ergebnis ( x + 7 )
herauskommen. Dazu folgendes Verfahren. Es ähnelt dem Verfahren des schriftlichen
Dividierens.
(x2 + 6x - 7 ) : ( x - 1) = x
(x2 + 6x - 7 ) : ( x - 1) = x
x2 - x
[ Wir dividieren den 1.Summand des 1. Terms durch
den 1. Summand des 2. Terms, also x2 : x , und
erhalten x. Wenn das das endgültige Ergebnis wäre,
müßte die Gegenprobe x( x - 1) den Term x2 +6x -7
ergeben. Machen wir die Gegenprobe. ]
[ Die Gegenprobe liefert nicht das gewünschte
Ergebnis. Es bleibt ein Rest. Mit diesem Rest
wiederholen wir das Verfahren, bis der anfallende
Rest 0 ergibt. ]
(x2 + 6x - 7 ) : ( x - 1) = x + 7
[ Restbestimmung durch Subtraktion ]
- | x2 - x
0 + 7x - 7 : x = 7
[ Gegenprobe und Restbestimmung ]
- | 7x - 7
0
In der Tat liefert diese Division den zweiten Linearfaktor ( x + 7).
Gegeben sei nun die Gleichung 3.Grades x 3 - 4x 2 + x + 6 = 0. Versuchen wir zunächst, eine
Lösung durch Probieren zu finden. x = 1 liefert den Wert 4 0. x = 1 ist also keine Lösung.
x =0 kann auch keine Lösung sein, weil dann der Term den Wert 6 annimmt und nicht 0.
x = -1 ist eine Lösung ! Zerlegen wir jetzt den Term x 3 - 4x 2 + x + 6 in ein Produkt, indem
wir durch den Linearfaktor ( x - (-1)) = ( x + 1) nach dem obigen Muster dividieren :
(x 3 - 4x 2 + x + 6) : ( x + 1) = x 2 - 5x +6 | x 3 : x = x 2
- x3 + x 2
0 - 5x 2 +x
| -5x 2 : x = -5x
- | -5x 2 -5x
0 6x + 6
6x : x = 6
- | 6x + 6
0
Es ist also (x 3 - 4x 2 + x + 6) = (x 2 - 5x +6) ( x + 1) .
Der Produktterm (x 2 - 5x +6) ( x + 1) ist sicherlich gleich Null, wenn der Ausdruck der
1. Klammer gleich Null ist. [ Die zweite Klammer hat den Wert 0, da ja x = -1 eine Lösung
der obigen Gleichung ist. ] Die anderen Lösungen der Gleichung finden wir also, indem wir
x 2 - 5x +6 = 0 setzen und die Lösungen dieser quadratischen Gleichung suchen. Dies können
wir aber durch die Anwendung der p-q-Formel bestimmen.
x1 = 5/2 +
(5/2) 2 - 6 = 5/2 +
x2 = 5/2 -
(5/2) 2 - 6 = 5/2 -
25/4 - 24/4 = 5/2 +
- 24/4 = 5/2 -
1/4 = 5/2 + 1/2 = 6/2 = 3
1/4 = 5/2 - 1/2 = 4/2 = 2
- 29 Damit haben wir alle Lösungen der Gleichung x 3 - 4x 2 + x + 6 = 0 gefunden.
IL = { -1 ; 2; 3 }.
Ein etwas günstigerer Fall liegt vor, wenn alle Summanden des Gleichungsterms den Faktor x
beinhalten, z. B. x 3 - 4x 2 + x . Die Gleichung mit einem solchen Term kann man relativ
einfach lösen. Man kann nämlich x ausklammern und bekommt dann ein Produkt, das sicher
Null wird, wenn einer der Faktoren Null ist.
x 3 - 4x 2 + x = 0 ó x( x 2 - 4x + 1) = 0
Die 1. Lösung ist x1 = 0. Die anderen findet man, indem man x 2 - 4x + 1 = 0 setzt.
Anwendung der p-q-Formel :
x2 = 2 + 4 - 1 = 2 + 3
x3 = 2 - 4 - 1 = 2 - 3 =
3,732
[
0,2679...
oder 3,732... bedeutet ungefähr gleich. ]
Die Lösungsmenge lautet also IL = { 0 ; 0,2679... ; 3,732.. }
Bevor wir nun das Kapitel über das Lösen von Gleichungen abschließen, noch einige
Bemerkungen. Für lineare Gleichungen lassen sich die Lösungen, so es welche gibt, immer
durch Äquivalenzumformungen bestimmen. Die Lösungen quadratischer Gleichungen lassen
sich ausnahmslos mit der p-q-Formel berechnen. Die Diskriminante ist ein hervorragendes
Mittel, festzustellen, ob es eine, zwei oder keine Lösung gibt. Wurzelgleichungen kann man
durch Quadieren auf lineare oder quadratische Gleichungen zurückführen und so die
Lösungen bestimmen. Aber bitte Vorsicht : Das Quadrieren ist keine
Äquivalenzumformung ! Es kommen durch das Quadrieren möglicherweise Werte in die
Rechnung, die keine Lösungen der ursprünglichen Wurzelgleichung sind.
Man muss hier immer eine Probe machen !!
Für Gleichungen höheren Grades ( Grad > 2 ) gibt es keine allgemeingültigen
Lösungsverfahren. In einigen Fällen helfen die Verfahren, die wir oben kennengelernt haben.
In den meisten Fällen versagen diese Verfahren.
Man ist dann auf numerische Methoden angewiesen, die wir hier aber aus Zeitgründen nicht
beschreiben können.
Zuletzt noch ein Verfahren ( es gehört im weitesten Sinne zur Behandlung von Gleichungen ),
das es erlaubt, Zahlen in periodischer Dezimalschreibweise in Bruchschreibweise
umzuwandeln.
Bei der Behandlung der Zahlbereiche haben wir erkannt, daß sich die rationalen Zahlen in
Bruchschreibweise oder in unendlicher, aber periodischer Dezimalschreibweise darstellen
lassen. Wir zeigen nun, dass z.B.1/ 3 und 0,333333.. = 0,3 zwei unterschiedliche Zeichen für
ein und dieselbe Zahl sind, nämlich für Eindrittel.
Es sei x = 0,3333333...... Dann sind 10x = 3,3333333.... . Nun subtrahieren wir beide
Gleichungen und erhalten:
10x = 3,3333333....
- | x = 0,3333333....
9x = 3
|:9
x = 3/ 9 = 1 / 3.
Umgekehrt, von 1/3 auf 0,333333... zu kommen, ist nicht schwierig. Man braucht nur 1 durch
- 30 3 schriftlich zu dividieren.
Ein zweites Beispiel : x = 0,454545... = 0,45 ( sprich: Periode 4-5 ) ist in einen Bruch
umzuwandeln.
100x = 45,454545...
- | x = 0,454545...
99x = 45
x = 45 / 99 = 15 / 33
| : 99
| durch 3 gekürzt
Ich denke, dass das Verfahren einleuchtend ist.
7. Tag
8. Funktionen:
Wird jeder reellen Zahl x aus einem Definitionsbereich ID durch eine eindeutige
Zuordnungsvorschrift f eine reelle Zahl y = f(x) zugeordnet, dann heißt f eine reelle
Funktion. x heißt die unabhängige Variable und y die abhängige Variable. Die Menge der
Funktionswerte y stellt den Wertebereich W dar.
Beispiele für Funktionen sind :
1) y = f(x) = 2x
ID = IR ; W = IR
2) y = f(x) = x 2
ID = IR; W = IR+0
Wichtig !
3) y = f(x) = x
1/2
=÷x
+
ID = IR 0; W = IR
+
0
Jedem x - Wert aus dem Definitionsbereich ID wird genau ein y - Wert aus dem
Wertebereich W zugeordnet.
Funktionen kann man darstellen durch eine Funktionsgleichung ( s. 1),2) oder 3) ),
durch eine Wertetabelle oder durch Graphen. Eine Wertetabelle sieht etwa so aus:
x
| -3 | -2 | -1,5 | - 1 | -0,2 | 0 | 1 | 2 | 3 | 3,7 | .....
y = 3x | -9 | -6 | - 4,5 | -3 | - 0,6 | 0 | 3 | 6 | 9 | 11,1| .....
Es ist verständlich, dass man durch eine solche Tabelle nicht alle Wertepaare (x |y ) der
Funktion erfassen kann. Eine anschaulichere Übersicht liefern da Graphen, auch Diagramme
genannt. Über die Darstellungen der Funktionen durch Graphen erfahren wir bei der
Behandlung der einzelnen Funktionstypen mehr, da die Form der Graphen typisch sind für die
einzelnen Funktionsarten.
- 31 -
Lineare Funktionen :
Die einfachste Art von Funktionen stellen die linearen Funktionen dar. Das sind Funktionen
mit der Gleichung der Form f(x) = mx + b oder auch y = mx + b. Beginnen wir mit der
Funktion y = x [ m = 1 und b = 0 ]. Jedem x wird dabei eindeutig der eigene Wert zugeordne:
y = x. Als Tabelle x | -5 | -4 |-3 |-2 |-1|0|1|2|3|4|5|
y | -5 | -4 |-3 |-2 |-1|0|1|2|3|4|5|
Der zugehörige Graph ( im kartesischen x-y-System. Das ist ein System von zwei Achsen, die
senkrecht aufeinander stehen ) sieht folgendermaßen aus:
y
y =x
II
I
1
1
III
x
IV
Zu diesem Diagramm ist zu sagen, dass die x-Achse und die y-Achse die Ebene in 4
Quadranten, die gegen den Uhrzeigersinn mit I, II, III und IV bezeichnet werden, einteilt. Die
Pfeile an den Achsen weisen in die positive Richtung und werden auch nur an diesen Stellen
angetragen. Die Einheiten auf den Achsen kann man frei wählen. Die Einheiten auf den
Achsen können gleich oder auch unterschiedlich groß gewählt werden ( je nach
Zweckmäßigkeit ). Die Gerade y = x verläuft im Winkel von 45 0 zur x-Achse. Sie halbiert
also den Winkel, den die beiden Achsen im 1. Quadranten miteinander bilden [ 90 0 ].
Deshalb nennt man diese Gerade auch Winkelhalbierende
( des 1. und 3. Quadranten ).
Der Graph der Funktion y = 2x verläuft etwas steiler, wie aus der nächsten Graphik zu
ersehen ist.
y= 2x
y=x
Der Grund für den stärkeren Anstieg liegt darin, dass zu jedem x - Wert der doppelte Wert als
y-Wert auftritt. Also für x = 1 nicht y = 1, sondern y = 2. Für x = 2 y = 4, und nicht y = 2, wie
vorher. Man kann das auch anders deuten : wenn man vom Schnitt- punkt der Achsen ( dem
sogenannten Ursprung des Koordinatensystems ) auf der x-Achse um 1 Einheit nach rechts
geht, dann muß man (bei y = 2x) um 2 Einheiten nach oben gehen, um zu einem Punkt der
Geraden zu gelangen. Diesen Sachverhalt kann man auch an dem sogenannten
Steigungsdreieck der Geraden erkennen.
- 32 -
2
1
2
1
Wie man sieht, sind die Steigungsdreiecke längs ein und derselben Geraden kongruent
( deckungsgleich ). Man kann also an irgendeiner Stelle der Geraden ansetzen, um eine
Einheit in Richtung der x-Achse ( gleichbedeutend mit ' parallel zur x-Achse ' ) zu gehen und
dann um 2 Einheiten in Richtung der y-Achse , um zu einem neuen Punkt der Geraden zu
gelangen. Den Schnittwinkel, den die Gerade mit der x-Achse ( in positiver Richtung ) bildet,
haben wir in der Zeichnung mit a bezeichnet. Dieser Winkel tritt auch in den anderen
Steigungsdreiecken an vergleichbarer Stelle auf ( Stufenwinkel ). Die Steigungsdreiecke sind
rechtwinklige Dreiecke. [ Die Seite des rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel
gegenüberliegt, nennt man Hypotenuse, die beiden anderen Seiten nennt man Katheten.
überliegt, nennt man Gegenkathete ( bezüglich dieses
Winkels ), die andere Ankathete.] Das Verhältnis von Gegenkathete G (in unserm Beispiel 2)
zur Ankathete A ( hier 1) eines Steigungsdreiecks nennt man die " Steigung der Geraden ".
Die Steigung der Geraden ist im allgemeinen mit der Formvariablen m belegt. In unserem
Beispiel ist m = 2. Die Steigung m ist eine charakteristische Göße einer Geraden. Je größer m
ist, umso steiler verläuft die Gerade. Ist m < 0, so ist der
0
ößer als 90 0
0
kann im Zusammenhang mit Funktionen nicht auftreten. Denn dann
verläuft die Gerade parallel zur y-Achse. Zu dem betreffenden x-Wert gibt es dann nicht
mehr genau einen y-Wert, sondern unendlich viele. Eine solche Gerade hat die Gleichung x=a
( (a|0) Schnittpunkt dieser Geraden mit der x-Achse.). Sie stellt aber keine
Funktionsgleichung dar, da keine eindeutige Zuordnung mehr vorliegt !
Kein Funktionsgraph
0
m>0:
y = mx
0
y = -mx
x=a
- 33 -
Kehren wir wieder zu unserem Beispiel y = 2x zurück. Der Graph dieser Funktion stellt eine
Gerade dar, die durch den Ursprung verläuft und die Steigung 2 hat. Das ist auch die einzige
Gerade mit diesen Eigenschaften, d.h. alle Wertepaare ( x|y), die dieser Funktionsgleichung
genügen, entsprechen Punkten in der Ebene, die - bei Vorgabe des Koordinatensystems - auf
der Geraden ( dem Graphen ) zu y = 2x liegen. Wenn man nun zu jedem y - Wert 3 addiert, so
bekommt man die Gleichung
y = 2x + 3. Auch dieses ist eine eindeutige Zuordnungsvorschrift. Die Gleichung
y = 2x + 3 stellt mithin eine neue Funktionsgleichung dar. Der zugehörige Graph hat dieselbe
Steigung wie der Graph zu y = 2x, nämlich 2. Er ist nur um 3 Einheiten nach oben
verschoben, denn zu jedem y - Wert der " alten " Funktion werden jeweils 3 addiert.
y=2x + 3
Die beiden Graphen laufen parallel zueinander;
beide besitzen ja die gleiche Steigung m = 2.
y=2x
Den Abschnitt 3 auf der y - Achse nennt man
3
y - Achsenabschnitt.
Man nennt die Gleichung y = mx + b die allgemeine Geradengleichung. m heißt die Steigung
( oder auch der Steigungsfaktor ) und b der y - Achsenabschnitt. In der Tat ist für x = 0 der yWert y = m0 + b = b ( alle Punkte auf der y-Achse haben den x-Wert 0; alle Punkte auf der xAchse haben den y-Wert 0 ).
Da der Graph der Funktion f(x) = y = mx + b eine Gerade ( gerade Linie ) ist, nennt man diese
Funktionen auch Lineare Funktionen.
Wie kann man nun feststellen, ob beispielsweise der Punkt P(3|9 ) auf der Geraden mit der
Gleichung y = 2x + 3 liegt oder nicht ? [ Punkte der Ebene werden mit großen Buchstaben
bezeichnet gefolgt vom x-Wert und x-Wert - in dieser Reihenfolge - durch " | " getrennt und
in Klammern gesetzt.]
Zur Überprüfung geht man folgendermaßen vor. P(3|9) - man weiß also, daß für den x - Wert
3 der y-Wert 9 ist. Wenn der Punkt auf der Geraden liegen soll, dann müssen seine
Koordinaten der Gleichung y = 2x + 3 genügen, d.h. für x = 3 müßte y =9 sein. Setzen wir für
x den Wert 3 in die Gleichung ein, dann erhalten wir y = 2•3 +3 = 6 + 3 = 9. y ist also in der
Tat 9. Daher liegt der Punkt P(3|9) auf der Geraden y=2x+3. Überprüfen wir den Punkt
Q( -1|4) : y = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 4. Dieser Punkt liegt also nicht auf der Geraden.
Punkt und Steigung
Stellen wir uns vor, wir hätten die Steigung m = -3 einer Geraden gegeben und den Punkt A
(2|-10). Wir suchen die Gleichung der Geraden mit der Steigung m = -3, die durch den Punkt
A verläuft.
Wir machen den Ansatz:
y = -3x + b.
Der Punkt A soll auf der Geraden liegen, also müssen seine Koordinaten die Gleichung
erfüllen. x = 2 liefert y = -10. Einsetzen ergibt : -10 = (-3)2 + b ¤ -10 = -6 + b ó b = -4.
Damit lautet die Funktionsgleichung y = -3x - 4.Die Probe ergibt
f(2) = (-3)2 -4 = -6 -4 =-10.
- 34 -
Zwei Punkte
Im folgenden ist die Gleichung der Geraden gesucht, die durch die Punkte P1(1|1) und P2 (3|9)
verläuft. Aus den Koordinaten der Punkte entnehmen wir, daß y=1 ist, falls x = 1, und y= 9,
falls x=3. Also gelten die beiden Gleichungen :
I:
1 = 1m + b
und
II :
9 = 3m + b
Diese beiden Gleichungen kann man voneinander subtrahieren,d.h. die linke Seite der
Gleichung II von der linken Seite der Gleichung I und die rechte Seite der Gleichung II von
der rechten Seite der Gleichung I. Inhaltlich bedeutet das, daß man von beiden Seiten der
Gleichung I den Wert 9 subtrahiert ( 3m + b ist ja gleichwertig mit 9, das besagt eben
Gleichung II: 3m +b = 9 ). Die Subtraktion einer Zahl auf beiden Seiten ist eine
Äquivalenzumformung und verändert die Lösungsmenge nicht. Wir subtrahieren also
Gleichung II von Gleichung I nach folgendem Schema :
I:
II :
1=m+b
9 =3m +b | -8=-2m +0 => m = 4
Diesen Wert m = 4 setzt man in die Gleichung I oder Gleichung II ein. In beiden Fällen erhält
man b = -3 .[ 1 = 4 + b => b = -3 und 9 = 12 + b => b = -3 ]. Die gesuchte Gerade hat also die
Gleichung y = 4x - 3.
Die beiden Gleichungen I und II faßt man zu einem System zusammen und spricht dann von
einem Gleichungssystem von zwei Gleichungen mit zwei Variablen, hier m und b. Das oben
demonstrierte Verfahren nennt man Additionsverfahren ( Sub- traktionsverfahren ).
Es gibt noch andere Möglichkeiten, die Gleichungen von Geraden zu bestimmen. Orientieren
wir uns an folgender Skizze :
Y1
P1(x1|y1)
y1 – y
P(x|y)
Y
x1 - x
x
x1
Es gilt ( wir erinnern uns ) : die Steigung m einer Geraden ist das Verhältnis von
Gegenkathete zu Ankathete G / A . In diesem Steiungsdreieck ist die Gegenkathete
(y1 - y ) und die Ankathete (x1 - x), wobei P1(x1|y1) ein fester Punkt und P(x|y) ein variabler
Punkt auf der Geraden ist. Es gilt also :
y1 - y
- ( y - y1)
y - y1
m=
=
=
x1 - x
- ( x - x1)
x - x1
- 35 -
Man nennt diese Gleichung die Punkt - Steigungs - Form der Geradengleichung .
Punkt - Steigungs - Form
y - y1
m=
x - x1
Im nächsten Fall sind zwei Punkte P1(x1|y1) und P2 (x2|y2) gegeben.
P2( x2 | y2 )
P(x|y)
y2 – y1
P1(x1|y1)
x2 - x1
Nach den obigen Überlegungen gilt nun :
y - y1
y2 - y1
=m
und ebenso
x - x1
=m
x2- x1
Da nun in beiden Fällen m gleich ist, gilt die sogenannte Zwei - Punkte - Form der
Geradengleichung :
Zwei - Punkte - Form
y - y1
x - x1
y2 - y1
=
x2- x1
- 36 -
Testen wir unsere beiden Formeln an den obigen Beispielen.
1) m = -3 ; P1 ( 2 | - 10)
y - (-10)
=-3
x-2
y + 10 = -3(x - 2) = -3x + 6
y = -3x + 6 - 10 = -3x - 4 , wie oben !
ó
ó
2) P1(1|1) ; P2( 3|9)
y-1
9-1
=
x-1
ó
ó
8
=
3-1
2
y - 1 = 4(x - 1) = 4x - 4
y = 4x - 3 , wie oben !
Quadratische Funktionen :
Quadratische Funktionen sind solche Funktionen, deren Funktionsterme nicht nur die
Funktionsvariable in 1. Potenz beinhalten, sondern auch in 2.Potenz. Die einfachste Funktion
dieser Art ist gegeben durch die Funktionsgleichung y = f(x) = x 2.
Man kann diese Funktionen ebenfalls durch Wertetabellen darstellen . Die graphische
Darstellung liefert die Parabeln. Anders ausgedrückt : die Graphen quadratischer Funktionen
nennt man Parabeln ( 2. Ordnung oder 2. Grades ). Der Definitionsbereich der Funktion
f(x) = x 2 ist ID = IR, der Wertebereich W = IR+0 . Dementsprechend verläuft der Graph von y
= x 2 nur oberhalb der x - Achse.
120
100
80
60
40
20
0
-15
-10
-5
0
y=x2
5
10
15
- 37 -
Wie wir sehen, ist der Graph der Funktion gekrümmt. Er verläuft, wie gesagt, nur oberhalb
der x-Achse, mit Ausnahme des Punktes S(0|0). Er liegt auf der x-Achse. Dieser Punkt S ist
der Punkt der Parabel mit dem kleinsten y-Wert. Dieser Punkt hat den Namen Scheitel oder
Scheitelpunkt der Parabel mit der Gleichung y = x 2. Die Parabel ist ferner nach oben
geöffnet. Im linken Ast ( das ist der Teil der Parabel, der links von der y-Achse, als
Symmetrieachse, verläuft ) fällt die Parabel, im rechten Ast steigt sie. Die Begriffe "fallen"
und "steigen" kann man präziser fassen.Der Graph einer Funktion steigt, die Funktion ist
monoton steigend, wenn für wachsende x-Werte die Funktionswerte y ebenfalls zunehmen.
Formelmäßig :
x1 < x 2 => f(x1) < f(x 2) ; [ x1 < x 2 => y1 < y 2 ]
Entsprechend kann man formulieren : Eine Funktion ist monoton fallend, wenn gilt :
x1 < x 2 => f (x1 ) > f(x 2) ; [ x1 < x 2 => y 1 > y 2 ]
Diese Formulierungen gelten für alle Funktionen. So sind die linearen Funktionen monoton
steigend in ganz IR, wenn nur m > 0 ist. Ist m < 0, so sind diese linearen Funktionen monoton
fallend in ganz IR. Die quadratischen Funktionen sind nur in Teilbereichen von IR monoton
steigend bzw. monoton fallend. Man sagt auch, die Funktion mit y = x 2 ist im Intervall 0 < x
<
[ Symbol für Unendlich ] monoton steigend . Ein Intervall ist also ein Teilbereich eines
Zahlbereichs ( oder auch Teilmenge eine Zahlbereichs ).
y = x 2 fällt monoton im Intervall - < x < 0.
Versehen wir alle Funktionswerte von y = x 2 mit einem negativen Vorzeichen, dann erhalten
wir y = -x 2 . Der Graph dieser Funktion verläuft ganz unterhalb der x-Achse, denn sämtliche
Funktionswerte sind negativ - mit Ausnahme von S, denn y s = 0. S ist wiederum der Scheitel
der neuen Parabel. Im Unterschied zum Scheitel der Parabel mit y = x 2 ist der neue Scheitel S
der höchste Punkt der zugehörigen Parabel, der Punkt mit dem größten y-Wert. Der neue
Graph ist sozusagen durch Spiegelung an der x- Achse aus dem alten Graphen
hervorgegangen. Hier nun die Zeichnung.
0
-15
-10
-5
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
y = - x2
5
10
15
- 38 Es folgen die Schaubilder der Funktionen y = 1/2 x 2 und y = 2 x 2 :
60
50
40
30
20
10
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
5
10
15
y = 1/2x2
250
200
150
100
50
0
-15
-10
-5
0
y = 2x2
Wir sehen, der Faktor 1/2 bei x2 bewirkt eine Öffnung der Parabel, der Faktor 2 bewirkt eine
Verengung nach oben. Man beachte die unterschiedlichen Einteilungen der y-Achsen !!
Fassen wir zusammen: Ein negativer Koeffizient bei x 2 bewirkt eine Spiegelung an der xAchse, ein Koeffizient 0< a < 1 bewirkt eine Stauchung ( weitere Öffnung ), ein Koeffizient
a > 1 bewirkt eine Streckung der Normalparabel zu y = x2.
- 39 Die Parabel mit der Gleichung y = x 2 + c geht durch Verschiebung der Normalparabel
parallel zur y-Achse aus der Normalparabel hervor. Hier gelten die gleichen Überlegungen
wie zu Geradenverschiebung.
120
100
80
60
40
20
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
y = x 2+ b
250
200
150
100
50
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
y = (x - x s ) 2
Die Verschiebung um x s Einheiten in Richtung der x-Achse liefert die Gleichung
y = ( x - x s) 2.
Das kann man so einsehen : Das Quadrat des Klammerausdrucks ( x - x s ) liefert immer
positive Werte. Nur, wenn man für x den Wert x s einsetzt,wird die Differenz in der Klammer
x s - x s = 0 und damit das Quadrat auch Null. An der Stelle x s hat also die Parabel den
- 40 -
kleinsten y-Wert. Der Scheitel der neuen Parabel geht also aus dem alten Scheitel durch
Verschiebung in Richtung der x-Achse um den Wert x s hervor; damit auch die gesamte
Parabel.
Multiplizieren wir in der Gleichung y = ( x - x s ) 2 den rechten Term aus, dann erhalten wir :
y = x 2 - 2x s x + x s2 . Wir können durch Anwendung der binomischen Formeln den ( neuen )
rechten Term sofort wieder in ( x - x s ) 2 umwandeln. Das geht nicht immer so bequem.
Nehmen wir die Funktion mit der Gleichung y = x 2 - 4x + 6. Mit Hilfe der quadratischen
Ergänzung ( s.o.) gelingt uns folgendes.
y = x 2 - 4x + 6 = x 2 - 4x + 4 - 4 + 6 = (x 2 - 4x + 4) - 4 + 6 = ( x - 2 )2 + 2
y = ( x - 2 )2 + 2 ist die Gleichung einer Parabel, die um 2 nach rechts und 2 nach oben
verschoben ist. Auch dieses kann man wieder so einsehen. Zum Wert 2 liefert das Quadrat der
Klammer immer einen positiven Summanden. Eine Ausnahme ist gegeben für x = 2. Dann
wird nämlich zu 2 der Wert 0 addiert. Der kleinste y-Wert dieser Parabel ist 2 und zwar an der
Stelle x = 2. Der Scheitel dieser Parabel ist also S(2|2).
Die allgemeine Gleichung der Parabel lautet somit : y = ax 2 + bx + c. Durch geeignete
Umformung kann man diese Gleichung in die Form y = a(x - x s) 2 + y s bringen, wobei x s
und y s die Koordinaten des Scheitelpunktes S sind. Diese Koordinaten kann man an dieser
Form ablesen. Ebenso gibt der Faktor a an, ob die Parabel nach unten ( negatives Vorzeichen
) oder nach oben ( pos. Vorzeichen ) geöffnet ist. Ist der (absolute) Betrag von a > 1, dann ist
der Graph gestreckter als die Normalparabel, gilt 0 < | a | < 1, dann ist die Parabel gestaucht. (
| a | Symbol für absoluter Betrag [ absolut bedeutet losgelöst vom Vorzeichen : | -3 | = | 3 | = 3
{ später dazu mehr }]).
Wir werden nun ein etwas umfangreicheres Beispiel durchrechnen.
y = - 1/4 x 2 - x + 3
y = ( -1/4x 2 - x ) + 3
| Assoziativgesetz
y = -1/4( x 2 +4x) + 3
| -1/4 ausgeklammert
2
y = -1/4([ x + 4x + 4 - 4] ) + 3
| quadr, Ergänzung in [ ..]
y = -1/4([ x + 2 ] 2 - 4 ) + 3
| bin. Formel in [ ..]
2
y = -1/4[ x + 2 ] - 4 ( -1/4) + 3
| Ausmultiplizieren ( ... )
y = -1/4 [ x + 2 ] 2 + 1 + 3
y = -1/4 ( x + 2 ) 2 + 4
| [ ..] durch ( ..) ersetzt, weil ( .. )
üblicher
An der letzten Gleichung können wir nun einiges ablesen :
1. die Parabel ist nach unten geöffnet, da negatives Vorzeichen
2. die Parabel ist gestaucht | -1/4 | = 1/4 , d.h. 0 < 1/4 < 1
3. Sie ist um 2 Einheiten nach links verschoben, x s = - 2,(x - (-2)) = (x + 2)
4. Sie ist um 4 Einheiten nach oben verschoben.
S ( -2 | 4 )
- 41 -
Es folgt eine Skizze des Graphen :
10
0
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
-10
-20
-30
-40
-50
-60
Übrigens, wenn man feststellen will, an welchen Stellen ( für welche x-Werte ) die Parabeln
y = ax 2 + bx + c die x - Achse schneiden, braucht man nur y = 0 zu setzen, denn alle Punkte
auf der x-Achse haben den y-Wert Null, auch die Punkte der Parabel, die auf der x-Achse
liegen. 0 = ax 2 + bx + c ist aber eine quadratische Gleichung, deren Bearbeitung wir weiter
oben durchgeführt haben.
8. Tag
Betragsfunktion :
Der absolute Betrag einer Zahl ist schon erwähnt worden. Hier nun die genaue Definition :
|a|=
a falls a > 0
0 falls a = 0
- a falls a < 0
Praktisch bedeutet diese Definition, falls die Zahl a positiv oder Null ist, sind der Betrag von
a und a identisch. Ist aber a negativ, dann soll der Betrag das Negative der negativen Zahl
sein. Dieser Wert aber ist positiv. z. B. | (- 3)| = - (-3) = 3. Die letzte Zeile in der obigen
Definition wird oft fehlgedeutet, weil angenommen wird, daß a grundsätzlich positiv ist und (a) negativ. Das ist aber nicht der Fall. a kann durchaus negativ sein, dann ist (- a) positiv, und
genau das ist der Inhalt der letzten Zeile der Definition .
Setzen wir für a die Variable x ein, dann gelangen wir zur Betragsfunktion
f(x) = y = | x |
Diese Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert, ID = IR. Der Wertebereich ist naturgemäß
W = IR+0 . Der Graph ist folgender :
- 42 -
y
y=|x|
x
Wie man sieht, geht der Graph der Betragsfunktion aus dem Graphen der Funktion y=x
hervor, indem der Teil des Graphen, der unterhalb der x - Achse verläuft, nach "oben"
geklappt wird.
Man kann auch die Betragsfunktion auf den Funktionsterm etwa der Funktion
y = x 2 - 4 anwenden. Man erhält dann eine sogenannte geschachtelte Funktion :
y = | x 2 - 4 |.
Diese Funktion läßt sich auch ohne Betragstriche definieren. Man spricht dann von einer
stückweise definierten Funktion. Zur Formulierung der stückweisen Definition geht man
folgendermaßen vor.
Man fragt, in welchen Intervallen die Funktionswerte negativ sind und in welchen positiv.
Dazu sucht man die Nullstellen, die in diesem Beispiel x01 = -2 und x02 = 2 sind. Da der
Scheitelpunkt der Parabel y = x 2 - 4 die Koordinaten S(0 | -4 ) hat, sind folgende
Vorzeichenbereiche gegeben :
x 2 - 4 ist positiv ( Vorzeichen + ) für x < - 2 oder ( v ) x > 2.
(*)
2
x - 4 ist Null für x = - 2 v x = 2
x 2 - 4 ist negativ ( Vorzeichen - ) für -2 < x < 2.
Diesen letzten Fall kann man mit der Ungleichungskette -2 < x < 2 beschreiben, weil x > -2
und gleichzeitig < 2 sein soll ( ^ ). Im 1.Fall (*) läßt sich keine Ungleichunskette
formulieren.
Damit lautet nun die neue Formulierung der Funktion y = | x 2 - 4 |
y=
x 2- 4
für x < -2 V x > 2
0
für x = 0
-( x 2 - 4) = - x 2 +4 für -2 < x < 2
Den zugehörigen Graphen erhält man, indem man vom Graphen der Funktion
y = x 2 - 4 ausgeht und den Teil dieses Graphen, der unterhalb der x - Achse verläuft, nach
"oben" klappt. Die andere Möglichkeit ist die, daß man gemäß (**) stückweise zeichnet,
nämlich y = x 2 - 4 in den Bereichen x < -2 und x > 2 bzw. y = - x 2 + 4 im Intervall
-2 < x < 2.
- 43 -
25
20
15
10
5
0
-6
-4
-2
-5
0
2
4
6
( Die Skizze weist einen Nachteil von Excel nach : normalerweise müsste der Graph an den
Stellen x = -2 und x = 2 Spitzen aufweisen. Excel versucht, diese Spitzen zu glätten. )
Eine exaktere Darstellung können Sie hier erhalten !
Umkehrfunktionen :
Die lineare Funktion mit der Gleichung f(x) = 2x + 3 hat als Schaubild eine Gerade. Mit
Hilfe der Funktionsgleichung kann man für jeden x - Wert den zugehörigen y-Wert
berechnen. So ist z.B. f(1) = 5. Geometrisch bedeutet das, daß der Punkt P mit den
Koordinaten x = 1 und y = 5 auf dem Graphen der Funktion, der oben erwähnten Geraden,
liegt. Wenn nun umgekehrt der y - Wert gegeben ist, in diesem Beispiel 5, kann man dann den
zugehörigen x - Wert berechnen ? Antwort : ja ! Man muß nur die obige Gleichung y = 2x +
3 nach x auflösen und dann den Wert y = 5 einsetzen.
y = 2x + 3
y - 3 = 2x
x = 1/2 y - 3/2
Setzt man in diese Gleichung für y den Wert 5 ein, dann erhält man den zugehörigen x - Wert
:
x = (1/2) 5 - 3/2 = 5/2 - 3/2 = 2/2 = 1.
Man nennt die Funktion f(y) = x = 1/2y - 3/2 die Umkehrfunktion zu f(x) = 2x + 3 .
In dieser Schreibweise haben Funktion und zugehörige Umkehrfunktion denselben Graphen.
Nun hat man es sich in der Mathematik angewöhnt, die unabhängige Veränderliche mit x zu
bezeichnen und die abhängige Veränderliche mit y. Vertauschen wir also in der Gleichung für
die Umkehrfunktion die Variablen, dann erhalten wir die Gleichung f -1 (x) = y = 1/2 x - 3/2.
Nennt man eine Funktion f , so bezeichnet f -1 die Umkehrfunktion.
Durch das Vertauschen der Variablen ändert sich aber der Graph der Umkehrfunk- tion. Das
Vertauschen der Variablen bewirkt eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden y = x, wie
man sich schnell überzeugen kann. Nehmen wir den Punkt P(3|4). Vertauschen wir die
Koordinaten, dann erhalten wir Q (4|3). Geometrisch nimmt man die Spiegelung von P so
vor: Man fällt das Lot von P auf die Winkelhalbierende und erhält den Punkt S. Dann
verlängert man die Strecke PS über S hinaus um die Länge von PS und erhält den Punkt Q,
der tatsächlich die Koordina- ten Q(4|3) hat.
P(1|5)
f(x) =2x+3
y=x
f - 1 (x) = 1/2 x - 3/2
Q(5|1)
Das Vertauschen von x und y bewirkt also eine Spiegelung an der Winkelhalbieren- den des
1. Quadranten. Um den Graphen der Umkehrfunktion zu zeichnen, spiegelt man den Graphen
der Ursprungsfunktion an der Winkelhalbierenden. Der Punkt F geht bei der Spiegelung in
sich über. Man nennt solche Punkte auch Fixpunkte.
Bei linearen Funktionen kann man die Graphen der Umkehrfunktionen auch in gewohnter
Weise mit Hilfe des Achsenabschnitts und des Steigungsdreiecks zeichnen, denn die
Umkehrfunktion einer linearen Funktion ist wieder eine lineare Funktion.
Anders ist das allerdings bei den quadratischen Funktionen. Dann bewährt sich
die oben angeführte Methode !
Gegeben sei die Funktion y = x 2 . Wir wissen, daß hier z. B. f(3) = 9 ist. Andererseits ist aber
auch f(- 3) = 9. Geht man nun von dem Funktionswert 9 aus, so kann man nicht genau den
zugehörigen x - Wert bestimmen. Man weiß nicht, ist x = 3 oder
x = - 3. Die Quadratfunktion ist nicht umkehrbar eindeutig !
Bei den linearen Funktionen ist das anders. Sie sind immer umkehrbar eindeutig, d.h. zu
jedem x - Wert gibt es genau einen y - Wert und umgekehrt, zu jedem y-Wert gibt es auch
genau einen x - Wert. Man erkennt die umkehrbare Eindeutigkeit daran, daß die linearen
Funktionen in ganz IR monoton wachsend ( oder monoton fallend ) sind. Bei
Quadratfunktionen gilt, daß sie nur in bestimmten Intervallen monoton wachsend bzw.
monoton fallend sind. Die Funktion y = x 2 ist nur für 0 £ x monoton wachsend und für x < 0
monoton fallend. Betrachtet man nur den rechten Ast der zugehörigen Parabel, also alle
Punkte des Graphen mit 0 £ x , dann ist die Zuordnung y = x 2 , 0 £ x , umkehrbar eindeutig,
und zu y = 9 gehört der x - Wert 3 !
Man kann für diesen Teil die Umkehrfunktion nach dem obigen Verfahren bilden.
1. Auflösung der Gleichung nach x
=>
x =
y
2. Vertauschen der Variablen
=>
y =
x
3. Definitions- und Wertebereich bestimmen
Der Graph beider
Funkionen ist derselbe
=> eventuelles Anpassen der Vorzeichen
4. Spiegeln des Graphen an der Winkelhalbierenden,
um den Graphen der Umkehrfunktion zu bekommen.
- 45 –
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
-1
Die Punkte 1. , 2. und 4. sind uns schon bekannt. Der Punkt 3. wird jetzt erläutert.
Vergleichen wir die Definitionsbereiche und die Wertebereiche der beiden Funktionen
y = x 2 , x 0 ,[ linker Ast der Parabel ] und y = x . Da es sich um den linken Ast der
Parabel handelt, gehört jetzt zum Wert 9 der x-Wert (- 3). y = x liefert aber nur
nichtnegative Werte, also sicher nicht (- 3). Daher muß die Umkehrfunktion für den linken
Ast der Parabel, x 0 , lauten y = x .
y = x 2:
y=-
ID = { x | x £ 0}
W = { y | 0 £ y}
ID = { x | 0 £ x }
W={y| y£0}
x :
Wir sehen, dass der Definitionsbereich der Ursprungsfunktion zum Wertebereich der
Umkehrfunktion wird, und der Wertebereich der Ursprungsfunktion wird zum
Definitionsbereich der Umkehrfunktion. ( Die Variablen sind natürlich jeweils vertauscht ! )
- 46 Nehmen wir das Beispiel y = x 2 + 5 . ID = IR+0 . W = { y | 5
y-5=x2
1. Auflösen nach x
x=
2. Vertauschen der Variablen
3. Def.-, Wertebereich
y}
y=
y-5
x-5
ID = { x | 5
W = IR+0
x } entspricht altem Werteber.
entspricht altem Def.-Ber.
4. Spiegeln der Graphen
Und ein letztes Beispiel :
1.
y = - 1/4(x + 2) 2 + 4 , linker Ast
S(-2|4)
ID = { x | x -2 }
W={y|y 4}
-4y + 16 = ( x + 2 ) 2
- 4y = x + 2
- y) - 2 = x
x =2 4-y -2
2.
3. ID = { x | x 4 }
W = { y | -2 y }
y = -2 +
-x
entspricht altem Wertebereich
entspricht nicht dem alten Definitionsbereich !
Also muss die Gleichung für die Umkehrfunktion lauten : y = -2 4-x.
Jetzt ist W = { y | y -2 }. Das aber entspricht dem alten Definitionsbereich !
- 47 -
4.
Als letztes Beispiel wollen wir das Paar Exponentfunktion - Logarithmusfunktion im Fall
des 10-er Logarithmus untersuchen. Also y = 10 x und y = lg x.
y = 10 x , ID = IR ; W = IR+ .
1.
2.
y = 10 x
lg y = lg 10 x
lg y = x lg 10
lg y = x
y = lg x
| 3. Logarithmengesetz
| da lg 10 = 1 [ 10 lg 10 = 1 ]
3. alter Wertebereich IR+ wird zum neuen Definitionsbereich. Die Logarithmusfunktion (
gleich welcher Basis ungleich 1 ) ist nur für positive reelle Zahlen definiert. ID log = IR+ .
Der alte
Definitionsbereich geht in den neuen Wertebereich über.
Wlog = IR.
Ferner gilt, da f (0) = 10 0 = 1 ist, lg 0 = 1. [ Dieser Zusammenhang gilt für alle Basen
ungleich 1. ]
- 48 Winkelfunktionen :
Zur Erinnerung : In einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man die Seite, die dem rechten
Winkel ( 90 0 ) gegenüberliegt, mit Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten sind die Katheten.
Die dem Winkel a gegenüberliegende Kathete heißt Gegenkathete, die anliegende Ankathete.
Hypotenuse
Gegenkathete
Ankathete
H3
H2
H1
G1
G2 G3
A1
A2
A3
Es entsteht so eine eine beliebige Anzahl von rechtwinkligen Dreiecken, die alle den Winkel
a haben. Nach dem Strahlensatz ( s. Anhang Geometrie ) gilt nun :
G1
G2
=
H1
G3
=
H2
......
H3
Gn
=
Hn
Für alle diese rechtwin
ältnis von
Gegenkathete ( bzgl.
ältnis ist charakteristisch für den
Winkel
ältnis hat daher einen besonderen Namen : sin
Gegenkathete
Hypotenuse
Entsprechend gilt auch
A1
H1
A n . Auch dieses Verhältnis hat einen Namen:
= .... =
Hn
- 49 -
Ankathete
Hypotenuse
Ferner sind auch die Verhältnisse Gn / An und A n / G n für alle diese Dreiecke gleich. Diese
Verhältnisse sind ebenfalls charakteristisch für den Winkel
Gegenkathete
Ankathete
und
Ankathete
cot
Gegenkathete
co
Wir haben jetzt folgende Möglichkeiten , Winkel zu beschreiben :
- das Gradmaß 0 . Dabei wird der Vollwinkel in 360 gleiche Teile geteilt. Ein Teil entspricht dann 1 0 .
- die Maße sin
ße sind dimensionslose reelle Zahlen, da sie ja Streckenverhältnisse darstellen. Die Winkel sind in diesen Angaben
noch beschränkt auf 0 a < 90 0.
Es gibt noch eine bedeutende Art, Winkel eindeutig anzugeben : das Bogenmaß.
Gegeben sie ein Kreis mit dem Radius r . Dann gilt für seinen Umfang U und seinen
Flächeninhalt A :
2
.
ält sie, indem
man den Umfang eines Kreises durch dessen Durchmesser teilt.
b
+
r=1
- 50 Betrachten wir den Kreis mit dem Radius r = 1, den Einheitskreis . Der Winkel a schneidet
aus dem Umfang des Kreises einen Bogen b aus. Die Länge dieses Bogens ist abhängig von
der Größe des Winkels a . Es verhält sich nun der Winkel a zu 360 0 ( Vollwinkel ) wie der
Bogen b zum Gesamtumfang des Einheitskreises
U= 2p 1 .( Der Radius ist 1 !) Etwas abstrakter in einer Gleichung formuliert lautet dieser
Zusammenhang :
=
360
=>
0
b=
=
0
0
1800
im Bogenmaß
180 0
90 0
60 0
30 0
45 0
40 0
0,6981317...
Das Bogenmaß findet man auf dem Taschenrechner in der Einstellung < RAD >, das
Gradmaß in der Einstellung < DEG >.
Ordnet man jedem Winkel a seinen Wert sin a zu, so spricht man von der Sin-Funktion
ß oder Bogenmaß angegeben ist. Der Oberbegriff für die Sin- , Cos- , Tan- , und CotFunktion ist Winkelfunktionen .
Der Definitionsbereich der Winkelfunktionen ist, wie oben gesagt, beschränkt auf Winkel <
90 0, denn im rechtwinkligen Dreieck gibt es keinen Winkel a , der 90 0 oder größer ist. Die
Winkelsumme im Dreieck ist 180 0. Da aber im rechtwinkligen Dreieck ein Winkel schon 90 0
beträgt, bleibt für die anderen beiden zusammen nur noch 90 0 über.
Wir wollen nun die Definition der Winkelfunktionen erweitern, sodass die neue Definition
mit der alten verträglich ist.
Gegeben sei ein beliebiger Punkt P auf dem Peripherieteil des Einheitskreises im
1. Quadranten. Seine Koordinaten bilden mit dem Radius, der nach P weist,
einrechtwinkliges Dreieck.
P(x|y)
In diesem rechtwinkligen Dreieck gilt
Gegenkathete
y
=
Hypotenuse
1
x = cos
- 51 Man kann also de
0
gebunden. Für
önnen jetzt beliebige Winkel gewählt werden. Der Winkel
= 720 z.B. bedeutet ein zweimaliges Umlaufen gegen den Uhrzeigersinn. Ein Umlauf mit
dem Uhrzeigersinn liefert negative Winkel, etwa
0
. Wir haben somit eine neue Definition für sin
äglich ist:
0
y = sin
x = cos ,
wobei x,y die Koordinaten
des Punktes P auf dem Einheitskreis sind, der zum Winkel a gehört.
Nach dem Satz des Pythagoras leitet man sofort die wichtige Beziehung
sin 2 + cos 2 = 1.
0
Schr
- Maß gemeint, schreibt man sin x , so wird der
Winkel im Bogenmaß angegeben.
Aus der Zeichnung ließt man ab
0
sin
cos = - cos ( 180 0 - )
ür eine Kreisumdrehung "wieder
= sin ( + 180 0 ) und
cos = cos ( + 180 0 ). Oder im
Bogenmaß formuliert
sin x = sin ( x + 2 )
Auch bei k-maliger Umdrehung kehren die gleichen Funktionswerte wieder.
.
0
0
0
cos (x +
/ 2 ) = sin x
und
Aus den letzten beiden Beziehungen geht hervor, dass sich jeder der beiden Funk-
- 52 -
tionsgraphen aus dem anderen durch Parallelverschiebung um p / 2 bzw. - p / 2 Einheiten in
Richtung der x - Achse darstellen läßt.
Die Sin-Funktion und die Cos-Funktion haben beide den Definitionsbereich IR. Der
Wertebereich beider Funktionen ist nach oben und unten beschränkt. Die Funktionswerte sind
kleiner oder gleich 1 , aber größer oder gleich - 1.
P´
P
tan x
1
x
sin x
0
1
Tangens ist im rechtwinkligen Dreieck definiert worden als Verhältnis von Gegenkathete zu
Ankathete. Wählen wir nun die Länge der Ankathete gleich 1, dann gibt die Länge der
Gegenkathete den Tangens des Winkels an. In der obigen Zeichnung hat die Ankathete des
Dreiecks 01P' die Länge 1. Die Gegenkathete liegt dann auf der Tangente an den Kreis durch
0
1. ( Daher der Name Tangens !) Das gilt für
und
0
- 53 -
Aus der Zeichnung sieht man auch, dass nach dem Strahlensatz gilt :
sin x : tan x = cos x : 1
sin x
tan x =
cos x
,
für cos x
0
Schnittpunkte :
Häufig kommt es vor, daß sich die Graphen zweier Funktionen schneiden . Man möchte dann
die Koordinaten der Schnittpunkte berechnen. Nehmen wir zunächst das Beispiel zweier
Geraden. Die Geraden seien gegeben durch
g 1 : y = 2x - 4 und g 2 : y = 1/2 x + 1/2.
Zunächst ist klar, daß der Schnittpunkt S ( x s | y s ) auf beiden Geraden liegt. Also erfüllen
seine Koordinaten beide Gleichungen. y s = 2 x s - 4 ^ y s = 1/2 x s + 1/2.
Da die y s - Werte in diesen beiden letzten Gleichungen gleich sind, es sind ja in beiden Fällen
der y - Wert des Schnittpunktes, sind auch die rechten Terme gleich.
2 x s - 4 = 1/2 x s + 1/2
( man spricht von der Gleichsetzungsmethode )
2 x s - 1/2 x s = 1/2 + 4
3/2 x s = 9 / 2
| ( 2/3) [ Multiplik.m.d. Kehrzahl ]
x s= 3
Der x - Wert des Schnittpunktes ist also x s = 3 . Den zugehörigen y - Wert erhält man, indem
man diesen x - Wert in eine der beiden obigen Gleichungen einsetzt.
ys=2(3)-4=2
Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten S ( 3 | 2 ).
Die beiden Geraden h 1 : y = 2x - 4 und h 2 : y = 2x + 3 können keinen Schnittpunkt haben,
da sie parallel verlaufen und nicht identisch sind. Das zeigt auch die Rechnung. Anwendung
der Gleichsetzungsmethode ( Indizes sind weggelassen ):
2x - 4 = 2x + 3
2x - 2x = 4 + 3
0=7!
Das ist ein Widerspruch ! Es gibt also keinen
gemeinsamen Punkt.
Beispiel Gerade - Parabel. g : y = 1/2 x - 1/2 und p : y = - 1/2 x 2 + 5x - 19/ 2
Auch hier geht man davon aus, daß der Schnittpunkt auf beiden Graphen liegt.
Anwendung der Gleichsetzungsmethode :
1/2 x - 1/2 = - 1/2 x 2 + 5x - 19/ 2
- 1/2 x + 5x - 19/ 2 - 1/2x + 1/2 = 0
| ( - 2)
2
x - 10x + 19 + x - 1 = 0
x 2 - 9x + 18 = 0
Wir sehen, das bei dieser Problemlösung die Rechnung auf eine quadratische Gleichung führt,
2
- 54 die wir mit bewährter Methode ( p-q-Formel ) lösen können .
x 1/2 = 9/2 ± 81 / 4 - 72/ 4 =9/2 ± 3/2
x 1= 6
;
x 2= 3
Es gibt also zwei Schnittpunkte P1 ( 6 | ?) und P 2 ( 3 | ? ). Die zugehörigen y - Werte bestimmt
man wieder durch Einsetzen der x - Werte in die Geraden - oder Parabelgleichung. Bequemer
ist das Einzetzen in die Geradengleichung .
y = 1/2 ( 6 ) - 1 /2 = 3 - 1/2 = 2,5
P1 ( 6 | 2,5 )
Und
y = 1/2 ( 3) - 1/2 = 2/2 = 1
P 2( 3 | 1 )
Die Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmt man entsprechend, indem man die Parabelterme
gleichsetzt und die Lösungen der so entstandenen Bestimmungsgleichung berechnet. Hat eine
solche Gleichung keine Lösung, dann besitzen die Parabeln auch keine gemeinsamen Punkte.
Und was Sie sonst noch wissen sollten !
Das Produktzeichen
Das Produkt 3• 4• 5 z.B. wird abkürzend mit dem Produktzeichen folgendermaßen
geschrieben :
4
( i + 1) = (2 + 1 )( 3 + 1) ( 4 + 1) ,
i=1
wobei, wie man sieht, für i nacheinander die Zahlen 2 bis 4 eingesetzt werden.
P ist dabei der griechische Groß-Buchstabe für p ( gesprochen pi bzw großpi )
Ein besonderes Produkt stellt das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen dar.
Es wird mit n ! ( gesprochen n-Fakultät ) bezeichnet:
n
n ! = 1• 2• 3• .....• n =
i
i=1
Z. B. gilt : 3 ! = 1•2 • 3 = 6
4 ! = 1• 2 • 3 • 4 = 3 ! 4 = 24
5 ! = 1•2 • 3 • 4 • 5 = 4 ! 5 = 120
6 ! = 5 ! 6 = 720
7 ! = 6 ! 7 =5040
Allgemein gilt :
(n+1)!=n!(n+1)
Diese Formel nennt man auch Rekursionsformel, weil sich ( n +1 ) ! auf n ! zurückbezieht.
n ! ordnet jeder natürlichen Zahl eindeutig eine natürliche Zahl zu . Man spricht daher auch
von der Fakultätsfunktion. Aus Zweckmäßigkeitsgründen definiert man noch : 0 ! = 1 Damit
ist der Definitionsbereich IN { 0 } = IN 0. Der Wertebereich ist IN. Die Fakultätsfunktion
ist streng monoton steigend. Sie steigt, wie wir schon an den wenigen Beispielen sehen,
- 55 -
ungeheuer schnell an. [ Normale Taschenrechner sind bei 70 ! schon überfordert !! ]
Das Summenzeichen
Mit dem Summenzeichen
zusammen :
( gr. Zeichen für S ; gesprochen : Sigma ) fasst man Summen
n
Z. B. 1 + 2 + 3 +4 + .... + n =
i ;
i=1
n
Sind alle Summanden gleich, dann gilt :
a = a + a + ... + a = n a
i=1
Aus den Rechenregeln der Addition ( Subtraktion ) folgt :
n
i=1
( a i + b i ) = a 1 + b 1 + a 2 + b 2 + .... + a n + b n
= a 1 + a 2 +... + an + b 1 + b 2 +.... b n
n
| ( Kommutativgesetzt )
n
=
a i+
i=1
bi
i=1
Entsprechend schließt man für die Subtraktion.
Durch Ausklammern des gemeinsamen Faktors erhält man :
n
n
c a i = c a 1 + c a 2 + ..... c a n = c ( a 1 + ..... + a n ) = c
i=1
i=1
ai
Mit diesen neuen Symbolen können wir uns nun den Binomialkoeffizienten zuwenden. Wir
erinnern uns, dass damit die Zahlen des Pascalschen Dreiecks gemeint sind. Man kann diese
Koeffizienten auch mit Hilfe der Fakultäts - Funktion berechnen. Dazu führen wir folgende
Definition ein :
Für k
n heißt
n
n
k
( sprich n über k ) ein Binomialkoeffizient mit:
n ( n - 1 )( n - 2 ) ....... ( n - k + 1 )
=
k
n (n - 1).... ( n - k + 1)
=
1· 2· 3 ..... ·( k - 1 ) k
n!
=
k!
k!(n-k)!
Folgende Gesetzmäßigkeiten kann man sofort durch Einsetzen in die obige Gleichung
bestätigen :
- 56 -
1.
n
2.
n
n
=1
3.
n
n
=
0
=
k
n-k
=n
n-1
1
Der Binomische Lehrsatz kann nun so formuliert werden :
n
(a+b)n=
n
k
a
n-k
bk =
k=0
a nb 0 +
n
0
n
1
a n-1b 1 + n
2
a
n-2
b 2 + ..+
n
k
a
n-k
b k + .. + n
bn
n
Einige Beispiele zur Verdeutlichung :
( a + b ) 2 = 2 a 2b 0 +
0
2
1
ab+
2
2
a 0b 2
;
2
0
=1
2 =2
1
2
2
=1
= a 2 + 2 ab + b 2
(a+b)4=
4
0
a 4b 0 + 4
1
a 3b 1 + 4 a 2b 2 + 4 a b 3 + 4 a 0b 4
2
3
4
a 4 + 4 a 3b + 6 a 2b2 + 4 a b 3 + b 4
=
Der Vorteil dieser Darstellung gegenüber der Herleitung mit dem Pascalschen -Dreieck ist
der, dass man in dieser Darstellung direkt nach irgendeinem n entwickeln kann, während man
zur Entwicklung von (a + b ) n die Koeffizienten bzgl. ( n - 1 ) kennen muß. Lautet der
Binom (a - b ) [ ( a - b ) n ], dann wechselt ( alterniert ) das Vorzeichen, beginnend mit + .
Kurz : " + " , " - " , " + " , " - " ,.....
Beträge und Abstände
Den Betrag einer reellen Zahl | a | hatten wir weiter oben folgendermaßen definiert :
|a|=
a
für a > 0
0
für a = 0
- a für a < 0
Den Betrag kann man auch als Abstand der Zahl a vom Nullpunkt auf dem Zahlenstrahl
deuten.
|b|
|
-b
|a|
|
0
|
a
- 57 -
| a - b | stellt den Abstand zwischen a und b dar. Die Ungleichung | x - 3 | 2 gilt für alle
Zahlen x , die von 3 um weniger als 2 Einheiten entfernt liegen, oder gerade 2 Einheiten
entfernt. Die Ungleichung läßt sich demnach auch folgendermaßen formulieren :
1 x
.
Wenn das Zeichen " = " an den Grenzen mit angegeben wird, spricht man auch von einem
abgeschlossenen Intervall, fehlt das Gleichheitszeichen, also 1 < x < 5 , so ist das Intervall
nach beiden Seiten offen. Die Grenzen 1 und 5 gehören dann nicht zum Intervall ( in diesem
Beispiel ). Entsprechnd nennt man das Intervall 1 < x 5 links offen - rechts abgeschlossen .
Das Intervall | x - x 0 | d stellt man auf dem Zahlenstrahl so dar :
|
x 0- d
|
x0
|
x 0+ d
Beträge haben folgende Eigenschaften :
|-a|=|a|
|ab|=|a||b|
-|a| a |a|
|a+b| |a|+|b|
( Dreiecksungleichung )
Geometrischer Anhang
C
Dreieck
b
A
a
c
B
Die Ecken werden mit großen Buchstaben bezeichnet ( gegen den Uhrzeigersinn, Analoguhr
), die den Eckpunkten gegenüberliegenden Seiten mit kleinen Buchstaben . Die Bezeichnung
der Seiten entsprechen den Bezeichnungen der gegenüberliegenden Punkte. Die Winkel
erhalten die entsprechnenden kleinen griechischen Buchstaben, wie aus der Zeichnung er
0
sichtlich. Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180 0
.
0
, dann nennt man das Dreieck rechtwinklig.
überliegende Seite nennt man Hyptenuse - hier c.
- 58 Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras :
a 2 + b 2 = c 2 ( Kurzform ! )
Zwei Dreiecke nennt man ähnlich , wenn sie in ihren Winkeln übereinstimmen.
C
C`
b
a
b`
A
c
a`
B
A`
c`
B`
0
Da die Winkelsumme im Dreieck 180 beträgt, ist die Ähnlichkeit zweier Dreiecke schon
gegeben, wenn diese in zwei Winkeln übereinstimmen. In ähnlichen Drei- ecken gelten
folgende Beziehungen :
a`:a=b`:b=c`:c
oder anders ausgedrückt
a`
b`
=
a
oder
a
a`
a
b`
c
=
b
a`
b
c`
c
=
c`
=
b
c
b`
=
c`
Die Verhältnisse entsprechender Seiten sind gleich !
Aus diesen Erkenntnissen folgen unmittelbar die bedeutenden Strahlensätze .
C`
C
B
B`
Werden zwei von einem Punkt S ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, so
gelten folgende Verhältnisse :
SB : SC = SB ` : SC `
( 1. Strahlensatz )
oder
SB : SB ` = SC : SC `
Und
SB : SB ` = BC : B `C `
( 2. Strahlensatz )
- 59 -
Die beiden Dreiecke S B C und S B ` C ` sind ähnlich, da sie in ihren Winkeln
übereinstimmen. Diese Beziehungen gelten auch für die nachfolgende Zeichnung .
B`
C
C`
B
Flächeninhalt und Umfang
Rechteck :
a
b
Umfang :
U = 2a + 2b = 2 ( a + b )
Flächeninhalt : A = a b
Parallelogramm :
Ein Viereck, bei dem die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel sind, nennt man
Parallelogramm.
a
h = Höhe
b
Grundlinie
Wenn man in diesem Parallelogramm das rechte Stark umrandete Dreieck abschneidet und
links wieder anträgt, so ändert man den Flächeninhalt nicht. Die neu entstandene Figur ist ein
Rechteck, dessen Flächeninhalt Grundlinie þ Höhe ist. Also gilt für das Parallelogramm :
Umfang :
U = 2a + 2b = 2 ( a + b )
Flächeninhalt : A = a ha ( Seitenlänge mal Länge der
zugehörigen Höhe )
- 60 -
Dreieck :
h
Jedes Parallelogramm läßt sich durch eine Diagonale in zwei kongruente
( deckungsgleiche ) Dreiecke zerlegen. Deckungsgleiche Dreiecke sind aber auch
flächengleich . Daher gilt für das Dreieck :
Umfang :
U=a+b+c
Flächeninhalt : A = g h
2
Trapez :
D
c
C=B´
a
A´
m
h
A
a
B
c
D´
Ein Viereck mit zwei parallelen Seiten nennt man Trapez. Dreht man das Trapez ABCD um
180 0 um den Punkt S, so erhält man das Parallelogramm AD`A`D. Dieses Parallelogramm
setzt sich also aus zwei kongruenten ( und somit flächengleichen Trapezen ) zusammen . Der
Flächeninhalt dieses Parallelogramms ist aber
A = Grundlinie þ Höhe = ( a + c ) h. Daher gilt :
Umfang :
U=a+b+c+d
Flächeninhalt : A = ( a + c ) h = m h,
2
- 61 -
wobei ( a + c ) / 2 = m ist. ( vergl. Zeichnung ) m = Mittellinie - Verbindungslinie der
Mittelpunkte der beiden Schenkel des Trapezes.
Kreis :
Umfang
:
Flächeninhalt :
U=2 r=d
A= r2
- 62 -
Lexikon
absolut
Addition
äquivalent
alternieren
assotiativ
Basis
Binom
lat. absolvere ( part. absolutum)
lat. addere ( ad - zu; dare - geben )
lat. aequus - gleich ; valere - gelten
lat. alternare
lat. associare
gr. basiV ( basis )
lat./gr ( bis - zweimal, nomoV(nomos)
Differenz
Diskriminante
distributiv
Dividend
Division
Divisor
Exponent
Faktor
kommutativ
Logarithmus
lat.
lat.
lat.
lat.
lat.
lat.
lat.
lat.
lat.
lat.
lat.
lat.
lat.
lat.
differentia
discriminare
distribuere
dividendus ( numerus )
dividere
"
exponere
facere
commutare
logos
arithmos
( numerus ) minuendus
multiplicandus ( numerus )
multiplicare
"
negare
per annum
ponere ( part. positum )
potentia
productum
proportio
quadratus
quotiens
radix ; radicandus (numerus)
rational
lat.
ratio
reziprok
Subtrahend
Subtraktion
Term
lat.
lat.
lat.
lat.
reciprocare
( numerus ) subtrahendus
subtrahere
terminus
Minuend
Multiplikand
Multiplikation
Multiplikator
negativ
p.a.
positiv
Potenz
Produkt
Proportion
quadratisch
Quotient
Radikand
lat.
lat.
lat.
gr.
gr.
lat.
lat.
lat.
loslösen, unabhängig
hinzufügen
gleichwertig
abwechseln
verbinden
Grundlage, Grundzahl
Gesetz) zweigliedriger
Ausdruck
Unterschied
trennen
verteilen
die zu teilende Zahl
teilen
Teiler
heraussetzen
der, der etwas macht
vertauschen
Verhältnis
Zahl
die zu vermindernde Z .
die zu vervielfältig . Z .
vervielfältigen
Vervielfältiger
verneinen
pro Jahr
setzen ; festgesetzt
Macht
Hervorgebrachtes
Ebenmaß
viereckig
wie oft
Wurzel ; die Zahl, aus der
die Wuzel gezogen wird
Maßstab,Verhältnis,
Bruch
zurückwenden
die abzuziehende Z.
abziehen
Ausdruck