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B
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Ähnlichkeit
12. Höhensatz und Kathetensatz
Zeichne in ein rechtwinkliges Dreieck die Höhe ein.
Durch den Fußpunkt D der Höhe wird die Hypotenuse in die beiden Hypotenusenabschnitte q und p
geteilt (q liegt bei b, p bei a).
a) Begründe: Die beiden Winkel ¼ CAD = α und ¼ BCD = α1 sind gleich groß. Daher sind die beiden
rechtwinkligen Teildreiecke ¶ADC und ¶CDB ähnlich.
b) Das Verhältnis der beiden Katheten ist daher in beiden Dreiecken gleich groß:
h : q = _____ : _____ ¥ h2 = _____ .
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Die Zeichnung deutet den Höhensatz geometrisch.
Formuliere einen Merksatz.
Beginne zB so:
„In allen rechtwinkligen Dreiecken ist das Quadrat über der Höhe …“
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Berechne die fehlenden Größen des rechtwinkligen Dreiecks.
a)
b)
c)
p
48 cm
28,8 cm
___________ 24 m
q
27 cm
___________ 72,0 cm
h
___________ ___________ ___________ 18 m
c
___________ 33,8 cm
A
___________ ___________ ___________ ___________ ___________
84,5 cm
d)
e)
___________
___________ 128 mm
064 mm
___________ ___________
© Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2013 | www.oebv.at | Mach mit Mathematik PTS | ISBN 978-3-209-07389-1
Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet.
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12. Höhensatz und Kathetensatz
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Die rechtwinkligen Dreiecke CAD, BCD und ABC haben gleich große Innenwinkel.
Sie sind daher ähnlich.
a) Bilde in den Dreiecken CAD und ABC jeweils das Verhältnis kürzere Kathete zu Hypotenuse.
Welche Produktgleichung folgt daraus?
b) Bilde in den Dreiecken BCD und ABC jeweils das Verhältnis längere Kathete zu Hypotenuse.
Welche Formel ergibt sich daraus?
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Die Zeichnungen deuten den Kathetensatz geometrisch.
a) Formuliere einen Merksatz. Beginne zB so:
„In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich …“
b) Denk dir die beiden Zeichnungen „zusammengeschoben“. Das entspricht einer Addition
der beiden Formeln.
Welche dir bereits bekannte Formel ergibt sich?
© Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2013 | www.oebv.at | Mach mit Mathematik PTS | ISBN 978-3-209-07389-1
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