Blatt Nr 05.05 Mathematik Online - ¨Ubungen Blatt 5 Klasse 8

Blatt Nr 05.05
Mathematik Online - Übungen Blatt 5
Klasse 8
Textaufgabe
Grad: 10 Zeit: 20
Blatt 05
lineare Gleichungssysteme
Quelle: SP 8
Kapitel 4
Nummer: 36 0 2009010017
W
LGS
Kl: 8X
Aufgabe 5.1.1: Ein Rechteck hat einen Umfang von 38 cm. Eine Seite ist um 3 cm länger als die
andere Seite. Wie lang ist die Längere der beiden Seiten?
Parameter:
x1 = Länge der kurzen Seite
x2 = Länge der langen Seite
In dieser Aufgabe sind x1 = 8 und x2 = 11.
Erklärung:
Den Umfang eines Rechteckes mit den Seitenlängen a und b berechnet man mit U = 2a + 2b.
Rechnung:
Es gilt 2a + 2b = 38 und b − a = 3. Wir lösen das LGS:
2a +2b = 38 − · 1 →
2a +2b = 38
−a +b = 3 − · 2 → −2a +2b = 6
− − − − − − −−
4b = 44
⇒ b = 11 und a = 8
Angebotene Lösungen:
1
5
9
7
38
6
2
41
2
× 11
10
13
3
7
11
15
8
19
2
4
8
12
9
14
10
Fehlerinterpretation:
1
7
2
41
2
15
4
9
5
38
× 11
7
8
8
14
9
6
10
13
3
11
19
2
12
10
DF: Lösung geraten (FNr 8)
DF: Arithmetisches Mittel angegeben (FNr 6)
DF: Lösung geraten (FNr 16)
DF: Lösung geraten (FNr 10)
DF: Umfang angegeben (FNr 3)
richtig
DF: Lösung geraten (FNr 9)
DF: Lösung geraten (FNr 15)
DF: Lösung geraten (FNr 7)
DF: Lösung geraten (FNr 14)
DF: Arithmetisches Mittel angegeben (FNr 5)
DF: Lösung geraten (FNr 11)
Klasse 8
Textaufgabe
Grad: 10 Zeit: 20
Blatt 05
lineare Gleichungssysteme
Quelle: SP 8
Kapitel 4
Nummer: 101 0 2009010018
W
LGS
Kl: 8X
Aufgabe 5.1.2: Verkürzt man eine Seite eines Rechtecks um 4 cm und verkürzt man die andere um
7 cm, so verringert sich der Flächeninhalt um 67 cm2 . Verlängert man die erste Seite um 7 cm und
verlängert man die andere Seite um 4 cm, so wächst der Flächeninhalt um 153 cm2 . Wie groß war der
Flächeninhalt des ursprünglichen Rechteckes?
Parameter:
x1 = Länge der ersten Seite
x2 = Länge der zweiten Seite mit x2 > x4
x3 = Änderung der ersten Seite mit x1 > x3
x4 = Änderung der zweiten Seite mit x4 > x3
In dieser Aufgabe sind x1 = 5, x2 = 15, x3 = 4 und x4 = 7.
Erklärung:
Seien a und b die Seiten eines Rechtecks, die um je 5 cm verkürzt werden, dann berechnet sich dessen
Fläche als
(a − 5) · (b − 5) = ab − 5a − 5b + 25
Rechnung:
Es gilt (a − 4) · (b − 7) = ab − 7a − 4b + 28. Der Flächeninhalt a · b verringert sich um 67 cm2 , damit ist
−7a − 4b + 28 = −67
⇔
7a + 4b = 95
Weiterhin gilt (a + 7) · (b + 4) = ab + 4a + 7b + 28. Der Flächeninhalt a · b erhöht sich um 153 cm2 ,
damit ist
4a + 7b + 28 = 153
⇔
4a + 7b = 125
Wir lösen das LGS:
7a +4b = 95 − · (−4) → −28a −16b = −380
4a +7b = 125
−·7→
28a +49b =
875
−−−−−−−−−−−
33b =
495
⇒ b = 15 und a = 5
Die gesuchte Fläche ist also a · b = 75
Angebotene Lösungen:
1
5
9
108
150
10
2
6
10
64
40
54
Fehlerinterpretation:
108
64
3
15
4
72
5
150
6
40
× 75
8
96
9
10
10
54
11
120
12
5
1
2
DF: Lösung geraten (FNr 17)
DF: Lösung geraten (FNr 14)
DF: eine Seite angegeben (FNr 3)
DF: Lösung geraten (FNr 15)
DF: Lösung geraten (FNr 8)
DF: Lösung geraten (FNr 10)
richtig
DF: Lösung geraten (FNr 16)
DF: Differenz angegeben (FNr 5)
DF: Lösung geraten (FNr 12)
DF: Lösung geraten (FNr 18)
DF: eine Seite angegeben (FNr 2)
15
× 75
11
120
3
4
8
12
72
96
5
Klasse 8
Textaufgabe
Grad: 10 Zeit: 20
Blatt 05
lineare Gleichungssysteme
Quelle: NW 4
Kapitel 4
Nummer: 115 0 2009010019
W
LGS
Kl: 8X
Aufgabe 5.1.3: Hans findet zwei Rechnungen von einem Autoverleiher.
Rechnung 1: 2 Tage und 40 Kilometer kosten 32 Euro
Rechnung 2: 4 Tage und 60 Kilometer kosten 62 Euro
Berechen Sie die (laufenden) Kosten pro km.
Parameter:
x1 = Preis pro Tag
x2 = Preis pro Kilometer
x3 = Anzahl der Tage der ersten Rechnung
x4 = Anzahl der km der ersten Rechnung
x5 = Anzahl der Tage der zweiten Rechnung x5 > x3
x6 = Anzahl der km der zweiten Rechnung x6 > x4
In dieser Aufgabe sind x1 = 14, x2 = 0.1, x3 = 2, x4 = 40, x5 = 4 und x6 = 60.
Erklärung:
Um diese Aufgabe zu Lösen, empfiehlt es sich ein LGS aufzustellen. Sei x der Grundpreis pro Tag und
y der Preis pro km, dann folgt aus Rechnung 1: 2x + 40y = 32.
Rechnung:
Wir stellen folgendes LGS auf:
Rechnung 1 : 2x + 40y = 32
und Rechnung 2 : 4x + 60y = 62.
Wir lösen das LGS:
2x +40y = 32 − · (−4) → −8x −160y = −128
4x +60y = 62
−·2→
8x +120y =
124
−−−−−−−−−−−
−40y =
−4
⇒ y = 0.1 und x = 14
Gesucht ist der Preis pro km, also y = 0.1.
Angebotene Lösungen:
× 0.1
5
62
9
0.2
Fehlerinterpretation:
2
6
10
0.6
0.3
32
3
7
11
1.1
0.7
14
4
8
12
0.4
0.8
0.5
× 0.1
2
0.6
3
1.1
4
0.4
5
62
6
0.3
7
0.7
8
0.8
9
0.2
10
32
11
14
12
0.5
richtig
DF: Lösung geraten (FNr 10)
DF: Lösung geraten (FNr 14)
DF: Lösung geraten (FNr 8)
DF: Preis der zweiten Rechnung angegeben (FNr 4)
DF: Lösung geraten (FNr 7)
DF: Lösung geraten (FNr 11)
DF: Lösung geraten (FNr 12)
DF: Lösung geraten (FNr 6)
DF: Preis der ersten Rechnung angegeben (FNr 3)
DF: Grundpreis angegeben (FNr 2)
DF: Lösung geraten (FNr 9)
Klasse 8
Textaufgabe
Grad: 10 Zeit: 20
Blatt 05
lineare Gleichungssysteme
Quelle: NW 4
Kapitel 4
Nummer: 117 0 2009010020
W
LGS
Kl: 8X
Aufgabe 5.1.4: (*) Ein Flugzeug fliegt die 600 km von München nach Hamburg mit Rückenwind in
30
15
11 Stunden und mit Gegenwind in 4 Stunden. Bestimmen Sie die Windgeschwindigkeit.
Parameter:
x1 = Geschwindigkeit des Flugzeugs
x2 = Geschwindigkeit des Windes
In dieser Aufgabe sind x1 = 190 und x2 = 30.
Erklärung:
Wir rechnen mit v = st oder s = t · v, wobei sich v als Differenz bzw. Summe aus Flugzeuggeschwindigkeit und Windgeschwindigkeit zusammensetzt.
Rechnung:
Sei f die Geschwindigkeit des Flugzeugs und w die Windgeschwindigkeit. Bei Rückenwind hat das
Flugzeug also tatsächlich eine Geschwindigkeit von f + w, bei Gegenwind von f − w.
Flug mit Rückenwind: 600 =
Wir lösen das LGS:
30
· (f + w)
11
und Flug mit Gegenwind: 600 =
30
11 f
+ 30
11 w = 600 − :
30
11
→
15
4 f
− 15
4 w = 600 − :
15
4
→
⇒ f = 190 und
f
+w = 220
f −w = 160
− − − − − − −−
2f
= 380
w = 30
Gesucht ist die Windgeschwindigkeit w = 30.
Angebotene Lösungen:
1
5
9
15
25
20
Fehlerinterpretation:
2
6
10
40
190
50
× 30
7
45
11
10
4
8
12
30
11
55
35
15
· (f − w).
4
15
40
× 30
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
30
11
25
190
45
55
20
50
10
35
DF: Lösung geraten (FNr 6)
DF: Lösung geraten (FNr 11)
richtig
DF: Flugzeit angegeben (FNr 4)
DF: Lösung geraten (FNr 8)
DF: Flugzeuggeschwinkdigkeit angegeben (FNr 2)
DF: Lösung geraten (FNr 12)
DF: Lösung geraten (FNr 14)
DF: Lösung geraten (FNr 7)
DF: Lösung geraten (FNr 13)
DF: Lösung geraten (FNr 5)
DF: Lösung geraten (FNr 10)
Allgemeine Hinweise:
Bei weiteren Fragen, wenden Sie sich bitte an W. Schmid ([email protected]) .
Weitere Hinweise finden Sie auf unserer Veranstaltungswebseite unter: http://www.mathe3.de.vu