Blatt Nr 05.07 Mathematik Online - ¨Ubungen Blatt 5 Klasse 8

Blatt Nr 05.07
Mathematik Online - Übungen Blatt 5
Klasse 8
Textaufgabe
Grad: 10 Zeit: 20
Blatt 05
lineare Gleichungssysteme
Quelle: SP 8
Kapitel 4
Nummer: 77 0 2009010017
W
LGS
Kl: 8X
Aufgabe 5.1.1: Ein Rechteck hat einen Umfang von 28 cm. Eine Seite ist um 2 cm länger als die
andere Seite. Wie lang ist die Längere der beiden Seiten?
Parameter:
x1 = Länge der kurzen Seite
x2 = Länge der langen Seite
In dieser Aufgabe sind x1 = 6 und x2 = 8.
Erklärung:
Den Umfang eines Rechteckes mit den Seitenlängen a und b berechnet man mit U = 2a + 2b.
Rechnung:
Es gilt 2a + 2b = 28 und b − a = 2. Wir lösen das LGS:
2a +2b = 28 − · 1 →
2a +2b = 28
−a +b = 2 − · 2 → −2a +2b = 4
− − − − − − −−
4b = 32
⇒ b = 8 und a = 6
Angebotene Lösungen:
1
5
9
× 8
6
7
10
10
9
13
2
3
7
11
15
14
28
4
8
12
12
6
162
Fehlerinterpretation:
9
× 8
3
15
4
12
5
13
6
7
7
14
8
6
9
2
10
10
11
28
12
162
1
DF: Lösung geraten (FNr 10)
richtig
DF: Lösung geraten (FNr 16)
DF: Lösung geraten (FNr 13)
DF: Lösung geraten (FNr 14)
DF: Arithmetisches Mittel angegeben (FNr 5)
DF: Lösung geraten (FNr 15)
DF: kurze Seite angegeben (FNr 2)
DF: Differenz angegeben (FNr 4)
DF: Lösung geraten (FNr 11)
DF: Umfang angegeben (FNr 3)
GL:
Klasse 8
Textaufgabe
Grad: 10 Zeit: 20
Blatt 05
lineare Gleichungssysteme
Quelle: SP 8
geratene Lösung
Kapitel 4
Nummer: 97 0 2009010018
W
LGS
Kl: 8X
Aufgabe 5.1.2: Verkürzt man eine Seite eines Rechtecks um 4 cm und verkürzt man die andere um
5 cm, so verringert sich der Flächeninhalt um 72 cm2 . Verlängert man die erste Seite um 5 cm und
verlängert man die andere Seite um 4 cm, so wächst der Flächeninhalt um 117 cm2 . Wie groß war der
Flächeninhalt des ursprünglichen Rechteckes?
Parameter:
x1 = Länge der ersten Seite
x2 = Länge der zweiten Seite mit x2 > x4
x3 = Änderung der ersten Seite mit x1 > x3
x4 = Änderung der zweiten Seite mit x4 > x3
In dieser Aufgabe sind x1 = 8, x2 = 13, x3 = 4 und x4 = 5.
Erklärung:
Seien a und b die Seiten eines Rechtecks, die um je 5 cm verkürzt werden, dann berechnet sich dessen
Fläche als
(a − 5) · (b − 5) = ab − 5a − 5b + 25
Rechnung:
Es gilt (a − 4) · (b − 5) = ab − 5a − 4b + 20. Der Flächeninhalt a · b verringert sich um 72 cm2 , damit ist
−5a − 4b + 20 = −72
⇔
5a + 4b = 92
Weiterhin gilt (a + 5) · (b + 4) = ab + 4a + 5b + 20. Der Flächeninhalt a · b erhöht sich um 117 cm2 ,
damit ist
4a + 5b + 20 = 117
⇔
4a + 5b = 97
Wir lösen das LGS:
5a +4b = 92 − · (−4) → −20a −16b = −368
4a +5b = 97
−·5→
20a +25b =
485
−−−−−−−−−−−
9b =
117
⇒ b = 13 und a = 8
Die gesuchte Fläche ist also a · b = 104
Angebotene Lösungen:
1
5
9
× 104
6
48
10
5
96
60
47
2
3
7
11
120
36
72
Fehlerinterpretation:
1
96
× 104
3
120
4
5
6
7
8
9
10
11
12
21
2
60
48
36
13
47
2
5
72
8
DF: Lösung geraten (FNr 16)
richtig
DF: Lösung geraten (FNr 18)
DF: Arithmetisches Mittel angegeben (FNr 6)
DF: Lösung geraten (FNr 13)
DF: Lösung geraten (FNr 11)
DF: Lösung geraten (FNr 9)
DF: eine Seite angegeben (FNr 3)
DF: Arithmetisches Mittel angegeben (FNr 7)
DF: Differenz angegeben (FNr 5)
DF: Lösung geraten (FNr 15)
DF: eine Seite angegeben (FNr 2)
4
8
12
21
2
13
8
Klasse 8
Textaufgabe
Grad: 10 Zeit: 20
Blatt 05
lineare Gleichungssysteme
Quelle: NW 4
Kapitel 4
Nummer: 104 0 2009010019
W
LGS
Kl: 8X
Aufgabe 5.1.3: Hans findet zwei Rechnungen von einem Autoverleiher.
Rechnung 1: 4 Tage und 60 Kilometer kosten 102 Euro
Rechnung 2: 9 Tage und 120 Kilometer kosten 219 Euro
Berechen Sie die (laufenden) Kosten pro km.
Parameter:
x1 = Preis pro Tag
x2 = Preis pro Kilometer
x3 = Anzahl der Tage der ersten Rechnung
x4 = Anzahl der km der ersten Rechnung
x5 = Anzahl der Tage der zweiten Rechnung x5 > x3
x6 = Anzahl der km der zweiten Rechnung x6 > x4
In dieser Aufgabe sind x1 = 15, x2 = 0.7, x3 = 4, x4 = 60, x5 = 9 und x6 = 120.
Erklärung:
Um diese Aufgabe zu Lösen, empfiehlt es sich ein LGS aufzustellen. Sei x der Grundpreis pro Tag und
y der Preis pro km, dann folgt aus Rechnung 1: 4x + 60y = 102.
Rechnung:
Wir stellen folgendes LGS auf:
Rechnung 1 : 4x + 60y = 102
und Rechnung 2 : 9x + 120y = 219.
Wir lösen das LGS:
4x +60y = 102 − · (−9) → −36x −540y = −918
9x +120y = 219
−·4→
36x +480y =
876
−−−−−−−−−−−
−60y = −42
⇒ y = 0.7 und x = 15
Gesucht ist der Preis pro km, also y = 0.7.
Angebotene Lösungen:
1
5
9
0.6
219
0.4
Fehlerinterpretation:
2
6
10
1.1
102
0.5
0.3
× 0.7
11
0.2
3
4
8
12
0.9
0.8
15
0.6
1.1
3
0.3
4
0.9
5
219
6
102
× 0.7
8
0.8
9
0.4
10
0.5
11
0.2
12
15
1
2
DF: Lösung geraten (FNr 10)
DF: Lösung geraten (FNr 14)
DF: Lösung geraten (FNr 7)
DF: Lösung geraten (FNr 13)
DF: Preis der zweiten Rechnung angegeben (FNr 4)
DF: Preis der ersten Rechnung angegeben (FNr 3)
richtig
DF: Lösung geraten (FNr 12)
DF: Lösung geraten (FNr 8)
DF: Lösung geraten (FNr 9)
DF: Lösung geraten (FNr 6)
DF: Grundpreis angegeben (FNr 2)
Klasse 8
Textaufgabe
Grad: 10 Zeit: 20
Blatt 05
lineare Gleichungssysteme
Quelle: NW 4
Kapitel 4
Nummer: 117 0 2009010020
W
LGS
Kl: 8X
Aufgabe 5.1.4: (*) Ein Flugzeug fliegt die 600 km von München nach Hamburg mit Rückenwind in
30
11 Stunden und mit Gegenwind in 3 Stunden. Bestimmen Sie die Windgeschwindigkeit.
Parameter:
x1 = Geschwindigkeit des Flugzeugs
x2 = Geschwindigkeit des Windes
In dieser Aufgabe sind x1 = 210 und x2 = 10.
Erklärung:
Wir rechnen mit v = st oder s = t · v, wobei sich v als Differenz bzw. Summe aus Flugzeuggeschwindigkeit und Windgeschwindigkeit zusammensetzt.
Rechnung:
Sei f die Geschwindigkeit des Flugzeugs und w die Windgeschwindigkeit. Bei Rückenwind hat das
Flugzeug also tatsächlich eine Geschwindigkeit von f + w, bei Gegenwind von f − w.
Flug mit Rückenwind: 600 =
Wir lösen das LGS:
30
· (f + w)
11
und Flug mit Gegenwind: 600 = 3 · (f − w).
30
11 f
+ 30
11 w = 600 − :
3f
−3w
= 600
⇒ f = 210 und
30
11
→
−:3→
f
+w = 220
f −w = 200
− − − − − − −−
2f
= 420
w = 10
Gesucht ist die Windgeschwindigkeit w = 10.
Angebotene Lösungen:
1
5
9
30
210
35
Fehlerinterpretation:
2
6
10
30
11
55
25
45
× 10
11
15
3
4
8
12
20
50
40
1
30
2
30
11
45
20
5
210
6
55
× 10
8
50
9
35
10
25
11
15
12
40
3
4
DF: Lösung geraten (FNr 9)
DF: Flugzeit angegeben (FNr 3)
DF: Lösung geraten (FNr 12)
DF: Lösung geraten (FNr 7)
DF: Flugzeuggeschwinkdigkeit angegeben (FNr 2)
DF: Lösung geraten (FNr 14)
richtig
DF: Lösung geraten (FNr 13)
DF: Lösung geraten (FNr 10)
DF: Lösung geraten (FNr 8)
DF: Lösung geraten (FNr 6)
DF: Lösung geraten (FNr 11)
Allgemeine Hinweise:
Bei weiteren Fragen, wenden Sie sich bitte an W. Schmid ([email protected]) .
Weitere Hinweise finden Sie auf unserer Veranstaltungswebseite unter: http://www.mathe3.de.vu