Laborpraktikum 7 – Schwingkreise

18. Januar 2017
Elektrizitätslehre II
Martin Loeser
Laborpraktikum 7 – Schwingkreise
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Lernziele
Bei diesem Versuch werden Sie einfache elektrische Schwingkreise untersuchen.
• Sie verstehen das Konzept des Schwingkreises.
• Sie können im Labor einfache RLC-Schwingkreise aufbauen.
• Sie können die Resonanzfreuenz von Schwingkreisen (approximativ) berechnen.
• Sie können sowohl den Amplitudengang als auch den Phasengang von Schwingkreisen messtechnisch ermitteln und in einem Bode-Diagramm darstellen.
• Sie sind in der Lage, das Einschwingverhalten eines Schwingkreises auf dem
KO sichtbar zu machen.
• Sie können das Verhalten eines Schwingkreises mathematisch Modellieren und
mit Matlab numerisch simulieren.
• Sie verstehen die Begriffe transiente Phase und Steady State.
• Sie können ihre Simulationsergebnisse mit geeigneten Messungen validieren.
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Theorie
2.1 Einleitung (partiell nach Wikipedia)
Frequenzselektive Schaltungen sind in der Elektrotechnik weit verbreitet. Sie kommen z. B. in Oszillatorschaltungen zur Erzeugung von elektromagnetischen Schwingungen zum Einsatz oder werden verwendet, um aus einem Frequenzspektrum einzelne Frequenzen oder Frequenzbereiche auszublenden. Elektrische Schwingkreise
bilden oftmals das Fundament solcher Schaltungen. Ein elektrischer Schwingkreis
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ist eine resonanzfähige elektrische Schaltung aus einer Spule (Bauteil L) und einem
Kondensator (Bauteil C), die elektrische Schwingungen ausführen kann. Bei diesem
LC-Schwingkreis wird Energie zwischen dem magnetischen Feld der Spule und dem
elektrischen Feld des Kondensators periodisch ausgetauscht, wodurch abwechselnd
hohe Stromstärke oder hohe Spannung vorliegen. Die Frequenz, mit der sich dieses
im ungestörten Fall periodisch wiederholt, ist
f0 =
1
√
,
2π LC
wobei L für die Induktivität der Spule und C für die Kapazität des Kondensators
stehen. Eine mögliche Schaltung, die so ein Verhalten aufweist, ist in Abbildung 1
dargestellt.
R
L
C
Abbildung 1: Einfacher elektrischer Schwingkreis.
Das Verhalten des Schwingkreises ist unter http://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis
dargestellt.
2.2 Mathematische Beschreibung
Das Verhalten des Schwingkreises lässt sich mit Hilfe des Maschensatzes und der
Bauelement-Gleichungen wie folgt über eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung
darstellen:
d2 uc
duc
LC
+ RC
+ uc = uq .
dt2
dt
Dabei bezeichnet uc die Spannung über dem Kondensator und uq die Quellenspannung.
2.3 Technische Bedeutung
RLC-Schwingkreisen kommt eine hohe technische Bedeutung zu, da sie in einem
breiten Spektrum von Einsatzgebieten heute unverzichtbar sind. Typische Beispiele
sind
• Analoge Filterschaltungen
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• Kompensationsschaltungen in der Energietechnik
• ...
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Versuchsdurchführung
3.1 Messaufgaben (mit Matlab-Teil)
Man betrachte den in Abbildung 1 dargestellten RLC-Schwinkgreis, bei dem die
Spannung u(t) das Eingangssignal, und die Kondensatorspannung uc (t) das Ausgangssignal y(t) darstellt. Für die numerischen Werte der Bauelemente gelte dabei
R = 10 Ω, L = 1.8 mH, und C = 2.2 µF.
(a) Bauen Sie im Labor einen entsprechenden RLC-Schwingkreis auf. Beachten Sie
dabei, dass die Spule bereits einen Ohm’schen Widerstand von Rs = 1.2 Ω besitzt.
(b) Man bestimme rechnerisch die Eigenfrequenz des ungedämpften Schwingkreises.
(c) Regen Sie den Schwingkreis mit verschiedenen harmonischen Signalen im Frequenzbereich von 100 Hz bis 10 kHz an. Bestimmen Sie auf diese Weise experimentell den Frequenzgang (Amplitude und Phase) des Systems.
(d) Stellen Sie Ihre Ergebnisse mit Matlab in geeigneter Weise graphisch dar.
(e) Man bestimme die Resonanzfrequenz des Schwingkreises. Wie gut passt sie zum
theoretisch berechneten Wert des ungedämpften Schwingkreises?
(f) Man bestimme die Güte Q des Schwingkreises und vergleiche sie mit dem theoretisch erwarteten Wert .
(g) Optional: Wie verändert sich die Resonanzfrequenz in Abhängigkeit des Widerstands R? Versuchen Sie, diesen Zusammenhang graphisch darzustellen.
(h) Betrachten Sie nun andere Signalformen (Dreieck, Rechteck, . . . ) und analysieren Sie die dazugehörigen Ausgangssignale. Bleibt die Signalform erhalten?
(i) Versuchen Sie, das Einschalt- bzw. Ausschaltverhalten des Schwingkreises mit
dem KO zu visualisieren.
3.2 Matlab-Teil
(a) Man beschreibe den Schwingkreis aus Abbildung 1 durch eine DGL 2. Ordnung
(d2 uc/dt2 ).
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(b) Versuchen Sie, diese DGL mit Hilfe Finiter Differenzen numerisch mit Matlab
zu lösen. Falls Sie dabei Schwierigkeiten haben, können Sie alternativ das zur
Verfügung stehende Matlab-Skript verwenden.
(c) Simulieren Sie mit Hilfe des Matlab-Skriptes nun das Verhalten des Schwingkreises. Untersuchen Sie dabei insbesondere
• das Frequenzverhalten um die Resonanzfrequenz
• die transiente Phase und den Steady State-Betrieb
• den Einfluss verschiedener Signalformen
(d) Vergleichen Sie Ihre Simulationsergebnisse mit Ihren Messergebnissen.
3.3 Inventar
• Funktionsgenerator TG 5011A
• Multimeter Keysight 34450A
• Digitaloszilloskop Tektronix TDS 2012C
• Widerstandsdekaden
3.4 Messobjekte
• Diverse Polyester-Folienkondensatoren
• Luftspulen