Parallelschwingkreis - ate.uni

Grundlagen der Elektrotechnik
Praktikumsteil 2
Versuch B2/3
"Parallelschwingkreis"
Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik (ATE)
Elektrotrechnik und Informationstechnik
Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Universität Duisburg-Essen
Duisburg, Januar 2011
Versuch B2/3 - Parallelschwingkreis
Inhaltsverzeichnis
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kenngrößen des Schwingkreises . . . . . . . . . . . . . .
Strom und Spannung am Parallelschwingkreis . . . . . .
Gütemessung am Parallelschwingkreis (Pauli–Verfahren)
Verstimmungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bestimmung des Phasenverlaufs der Spannung . . . . .
Versuchsablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
5
5
6
7
9
Versuch B2/3 - Parallelschwingkreis
3.1 Einleitung
Als realer Parallelschwingkreis wird die Parallelschaltung einer realen Kapazität (physikalisch als kapazitive Admittanz darstellbar) und einer realen Induktivität (physikalisch als induktive Impedanz
darstellbar) gemäss Abbildung 1 bezeichnet. Dabei sind Cp und Lr als ideale, d.h. verlustfreie Bauelemente anzusehen; die Verluste der realen Bauelemente werden jeweils durch RCp bzw. RLr repräsentiert. Diese Darstellung der physikalischen Gegebenheiten lässt sich auch durch ein Ersatzschaltbild
gemäss Abbildung 2 ausdrücken, wobei L und C wieder jeweils als ideale Bauelemente zu verstehen
sind. G = 1/R stellt den gesamten Verlustleitwert der Parallel–Ersatzschaltbilder der realen Bauelemente Kapazität und Induktivität dar (vgl. auch Versuch B1/2: R–L und R–C Kombination). Die
Schaltung beschreibt somit eine frequenzabhängige Admittanz. Der Kehrwert der Admittanz (also die
b (f ), wenn die
Impedanz der Schaltung) ist als Funktion der Frequenz f identisch mit der Spannung u
Admittanz mit einem konstanten Strom gespeist wird
3.2 Kenngrößen des Schwingkreises
Für die Impedanz der Schaltung nach Abbildung 2 gilt, falls G = 1/R als frequenzunabhängig angesehen wird,
1
1
.
Z=
(1)
1 =
G + jωC + jωL
G + j ωC − 1
ωL
Wird der Imaginärteil von Y = 1/Z Null, so sind Y und Z reell und Y nimmt betragsmäßig seinen
kleinsten Wert an, während Z maximal wird. Dieser Zustand wird als Resonanz des Schwingkreises
bezeichnet und die zugehörige Resonanzkreisfrequenz ergibt sich z.B. aus der Bedingung Im{Y } = 0
zu
1
.
(2)
ω0 = √
LC
bı 0
bı 0
bı (C)
RLr
Cp
RCp
Lr
b
u
C
bı (R)
R=
bı (L)
1
G
L
b
u
Abbildung 2. Ersatzschaltbild Parallelschwingkreis.
Abbildung 1. Realer Parallelschwingkreis.
1
Versuch B2/3 - Parallelschwingkreis
Im Resonanzfall ist der kapazitive Blindleitwert jωC und der induktive Blindleitwert − j/(ωL). Die Beträge dieser Blindleitwerte sind gleich groß und der Wert wird als Kennleitwert YK des Schwingkreises
bezeichnet. Es gilt
s
C
1
=
.
(3)
YK = ω0 C =
ω0 L
L
b am Schwingkreis angegeben:
Unter Verwendung der Gln. (1) und (2) lässt sich für die Spannung u
b =
u
bı 0
G + j ωC −
1
ωL
=
bı 0
G + jω0 C
ω
ω0
−
ω0
ω
C
L
,
=
bı 0
h
0C
j ωG
G 1+
ω
ω0
−
ω0
ω
i .
(4)
Der Ausdruck ω0 C/G stellt eine feste, frequenzunabhängige Größe für einen bestimmten Schwingkreis
dar, er wird als Güte Q, sein Kehrwert als Verlustfaktor tan δ bezeichnet:
1
1
ω0 C
=
=
Q=
G
ω0 LG
G
s
tan δ =
1
.
Q
(5)
Der frequenzbestimmende Teil der Gl. (4),
v=
ω
ω0
− ,
ω0
ω
(6)
wird als Verstimmung v des Schwingkreises bezeichnet (siehe Abbildung 3). Damit kann nun folgende
b angegeben werden:
einfache Beziehung für die Spannung u
b =
u
bzw.
bı 0
G [1 + jQv]
=
b0
u
,
1 + jQv
(7)
b
u
1
=
b0
u
1 + jQv
(8)
3
2
ω/ω0
Verstimmung
1
v
0
ω0 /ω
−1
−2
−3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
ω/ω0
Abbildung 3. Verstimmung v als Funktion der Kreisfrequenz ω.
2
Versuch B2/3 - Parallelschwingkreis
mit
u
b
u
b
0
= p
1
1 + Q2 v 2
,
ϕ = arctan(−Qv).
(9)
b 0 | als Funktion der Verstimmung bzw. Frequenz wird als Resonanzkurve
b /u
Der Verlauf des Betrages |u
des Parallelschwingkreises bezeichnet. Die Resonanzkurve und der zugehörige Phasenverlauf sind in
Abbildung 4 als Funktionen der normierten Frequenz ω/ω0 dargestellt.
Eine weitere wichtige Kenngröße des Schwingkreises ist seine Bandbreite. Sie gibt an, in welchem
Frequenzbereich die Spannung am
√ Schwingkreis über einem (noch festzulegenden) Mindestwert liegt.
Als sinnvoller Wert wurde das 1/ 2–fache des Maximalwertes (das ist die Spannung im Resonanzfall)
festgelegt. Damit folgt aus Gl. (9)
u
b
u
b
0
= √1 = p
2
1
1 + Q2 v 2
=⇒
v1,2 = ±
1
= ± tan δ
Q
=⇒
ω1,2
ω0
1
−
=± ,
ω0
ω1,2
Q
Abbildung 4. Verlauf des Betrags der Spannung und des Phasenwinkels für verschiedene Güten Q
als Funktion der Kreisfrequenz ω.
3
Versuch B2/3 - Parallelschwingkreis
woraus sich als sinnvolle Lösungen ergeben:
1
ω1
=−
+
ω0
2Q
ω2
1
=+
+
ω0
2Q
s
s
1
+ 1,
4Q2
1
+ 1.
4Q2
Damit ergibt sich die absolute Bandbreite (vgl. Abbildung 4)
∆ω = ω2 − ω1 =
G
ω0
= ω0 tan δ = ω0
Q
YK
(10)
bzw. die bezogene oder relative Bandbreite
∆ω
1
=
= tan δ.
ω0
Q
(11)
Die Phase der Impedanz bei den Kreisfrequenzen ω1 und ω2 beträgt
ϕ1,2 = arctan(−Qv1,2 ) = ±45◦ .
(12)
Aus diesem Grund werden die Kreisfrequenzen ω1 und ω2 auch als 45◦ –Frequenzen bezeichnet (siehe
auch Abbildung 5 und Abbildung 6).
Aus der Definition der 45◦ –Frequenzen ergibt sich außerdem mit
v2 =
=⇒
ω0 =
√
ω 1 ω2
ω 2 ω0
1
ω0 ω1
−
=
= −v1 =
−
ω 0 ω2
Q
ω1 ω0
bzw. mit
ω = 2πf
=⇒
f0 =
p
f1 f2 ,
das heißt, die Resonanzfrequenz des Schwingkreises ist der geometrische Mittelwert der beiden 45◦ –
Frequenzen.
Im Y
ω=∞
Im Z
ω = ω2 ;
1
= tan δ
v2 = Q
ω = ω0 ;
v=0
45◦
45◦
Re Y
G
ω
ω = ω1 ; v1 = − Q1 = − tan δ
ω
45◦
ω=0
ω=∞
45◦
ω = ω0
1
G
ω = ω2 ; v2 =
ω = ω1 ;
1
v1 = − Q
= − tan δ
ω=0
Abbildung 5. Ortskurve der Admittanz
des Parallelschwingkreises.
1
Q
Re Z
= tan δ
Abbildung 6. Ortskurve der Impedanz
des Parallelschwingkreises.
4
Versuch B2/3 - Parallelschwingkreis
3.3 Strom und Spannung am Parallelschwingkreis
Für den in Abbildung 2 dargestellten Schwingkreis berechnen sich die Teilströme bı (R) , bı (L) und bı (C)
zu
b
bı 0
u
=
,
R
1 + jQv
b
bı 0
u
=
=
,
jωL
jωLG(1 + jQv)
bı (R) =
bı (L)
und
bı (C) = jωC u
b =
Im Resonanzfall, d.h. für ω = ω0 bzw. v = 0 folgt
jωCbı 0
.
G(1 + jQv)
bı (R) = bı 0 ,
bı (L) =
und
(13)
b
bı 0
u
=
= − jQ bı 0
jω0 L
jω0 LG
b =
bı (C) = jω0 C u
(14)
jω0 Cbı 0
= jQ bı 0
G
(15)
Das bedeutet, im Resonanzfall tritt in der Kapazität und der Induktivität eine Stromüberhöhung um
den Faktor Q auf.
3.4 Gütemessung am Parallelschwingkreis (Pauli–Verfahren)
Mit der Schaltung nach Abbildung 7 lässt sich der unbekannte Verlustleitwert und bei Kenntnis
des Kennleitwertes mit Gl. (5) die Güte eines Schwingkreises allein durch Spannungsmessungen und
mit Hilfe bekannter Widerstände bestimmen. Da bei der Resonanzfrequenz stets die Beziehung bı 0 =
b G bzw. bı 0 /u
b 0 = G gilt, ergibt sich bei Zuschaltung verschiedener äußerer ohmscher Leitwerte GZ
u
der in Abildung 8 skizzierte Verlauf des Kehrwertes der Spannung als Funktion von G, falls eine
Konstantstromquelle verwendet wird, die Messung bei der Resonanzfrequenz durchgeführt wird und
der Innenwiderstand des Messgerätes bekannt oder so groß ist, dass er bei der Messung vernachlässigt
werden kann.
b
u
b|
|u
Gx
C
L
Abbildung 7. Mess-Schaltung für das Pauli–Verfahren.
5
GZ
Versuch B2/3 - Parallelschwingkreis
1
|b
u|
0
Gx
GZ,1 GZ,2 GZ,3
GZ,4
GZ
Abbildung 8. Zur Bestimmung der Güte eines Parallelschwingkreises.
3.5 Verstimmungsverfahren
Unter Verwendung einer Konstantstromquelle und eines (z.B. durch einen Drehkondensator) in der
Resonanzfrequenz abstimmbaren Parallelschwingkreises lässt sich jede Impedanz bzw. Admittanz aus
zwei Spannungsmessungen und zwei Resonanzfrequenzmessungen ermitteln.
Beispiel:
Es sei Y 1 = G1 + jωC1 eine unbekannte Admittanz. Für den unbelasteten Schwingkreis nach Abbildung
9 gilt bei Resonanz:
1
b 0 GL und ω0 2 =
bı 0 = u
,
LC0
bı 0
b|
|u
C0
∆C
GL
L
w1
w2
ü = w1 /w2
Abbildung 9. Mess-Schaltung zur Bestimmung unbekannter komplexer
Leitwerte.
6
Y1
Versuch B2/3 - Parallelschwingkreis
mit C0 als dem Wert der Kapazität, der den Resonanzzustand herstellt.
Wird die Admittanz Y 1 (über einen idealen Übertrager) parallel zum Schwingkreis geschaltet, so gilt
bei der dann (durch Variation von C auf C0 − ∆C) neu einzustellenden Resonanzfrequenz
G1
bı 0 = G + 2 u
b1
ü
und ω0 2 = 1
C0 +
C1
ü2
− ∆C L
mit ∆C = C0 − C ′ .
b 0 |, |u
b 1 | und ∆C gemessen werden
Aus diesen Beziehungen ergibt sich für C1 und G1 , falls die Größen |u
und C0 sowie das Übersetzungsverhältnis ü des Übertragers bekannt sind:
U0
−1 ,
G1 = ü G
U1
C1 = ü2 ∆C = ü2 C0 − C ′ .
2
(16)
(17)
Somit ist die unbekannte Admittanz bestimmt.
Eine andere Möglichkeit zur Bestimmung von C1 besteht darin, die Verschiebung der Resonanzfrequenz
beim Zuschalten von Y 1 zu messen. Aus den Gleichungen für die Resonanzfrequenzen vor (f01 ) und
nach (f02 ) Zuschalten von Y 1 ergibt sich:
2
C1 = ü C0
"
f01
f02
2
#
−1 .
(18)
3.6 Bestimmung des Phasenverlaufs der Spannung
Der in Gl. (9) angegebene frequenzabhängige Verlauf des Betrags der Spannung lässt sich messtechnisch relativ einfach ermitteln. Die Bestimmung des Phasenverlaufs ist jedoch mit einfachen Messgeräten bzw. Versuchsaufbauten nicht möglich.
Da der Verlauf des Betrags der Spannung jedoch proportional dem Verlauf des Betrags der Impedanz
des Schwingkreises ist, lässt sich unter Verwendung der Ortskurven nach Abbildung 5 und Abbildung
6 ein Bestimmungsverfahren für den Phasenverlauf ableiten; der Phasenverlauf wird graphisch aus
dem gemessenen Verlauf des Spannungsbetrags ermittelt.
Voraussetzung für eine einfache und richtige Auswertung ist eine normierte Darstellung für den Betrag
b | wird auf die Maximalspannung |u
b 0 | bei
der Spannung und für die Impedanz, d.h. die Spannung |u
Resonanz, die Impedanz auf den Leitwert R = 1/G (Impedanz im Resonanzfall) bezogen. Wird für
b 0 | und |Z|G derselbe Maßstab gewählt, so lassen sich die normierten
b /u
die Maximalwerte von |u
Spannungsbeträge mit einem Zirkel unmittelbar in die Ortskurve der normierten Impedanz übertragen
(siehe Abbildung 10). Aus der Ortskurve lassen sich dann die zugehörigen Phasenwinkel bestimmen,
so dass der angegebene Phasenverlauf erhalten wird.
7
Versuch B2/3 - Parallelschwingkreis
b /u
b 0 | ; |Z|G
|u
Abbildung 10. Zur Ermittlung des Phasenverlaufs der Spannung als
Funktion der Frequenz aus dem Verlauf des Betrages der Spannung.
8
Versuch B2/3 - Parallelschwingkreis
3.7 Versuchsablauf
1. Bauen Sie einen Schwingkreis nach Abbildung 9 auf. Die Schwingkreiskapazität soll 1, 8 nF betragen, als Induktivität soll der in der Versuchsschaltung eingebaute Übertrager verwendet werden. Der Schwingkreis wird durch eine in der Versuchsschaltung eingebaute spannungsgesteuerte
Konstantstromquelle gespeist, deren Eingang an den Ausgang eines Wobbelgenerators geschaltet werden soll. Die Wechselspannung am Schwingkreis soll auf dem ELVIS-Oszilloskop Kanal
1, Source ACH 0 und die gleichgerichtete Wechselspannung (sie entspricht dem Scheitelwert der
Spannung am Schwingkreis) soll auf dem ELVIS-Oszilloskop Kanal 2, Source ACH 1 dargestellt
werden.
Hinweis:
Die externen Geräteverbindungen sind mittels BNC-Kabel zu realisieren. Die ELVIS-Protoboard
Anschlüsse BNC1 und BNC2 sind mit den Kanälen ACH0 und ACH1 zu verschaltet:
BNC1+ mit ACH0+
BNC1- mit ACH0BNC2+ mit ACH1+
BNC2- mit ACH 1Es sind folgende BNC-Verbindungen zu erstellen:
Kästchen Parallelschwingkreis X
a) ATE-Eingang , T-BNC-Stück mit BNC1-ELVIS und Frequenzgenerator Output
b) BNC (Ausgangsspannung am Schwingkreis, gleichgerichtet) mit BNC2-ELVIS
2. Start des ELVIS-Oszilloskops, Einstellen von Channel A und B, Source, Scale, Timebase , Trigger Source usw. Durch Handabstimmung des Wobbelgenerators ist die Resonanzfrequenz des
aufgebauten Schwingkreises zu bestimmen. Spannung und Resonanzfrequenz werden vom EVISOszilloskops abgelesen. Die Amplitude der Generatorspannung bei Resonanzfrequenz ist so einzustellen, dass ein sinnvoll auswertbarer Maßstab für eine normierte Darstellung des Betragsverlaufs der Spannung gemäß Abbildung 4 bzw. Abbildung 10 möglich ist.
Hinweis:
Frequenzgenerator: Amplitude auf 6Vpp einstellen,
Alternativ können die Resonanzfrequenz und die dazugehörige Gleichspannung mit dem LABVIEWProgramm ”Alternative Ermittlung Resonanz-Frequenz und Kurve DAQmx“ ermittelt werden.
3. Zeichnen Sie mit Hilfe des Programms die Resonanzkurve des Schwingkreises auf und ermitteln
Sie aus ihr die Bandbreite ∆f sowie die Güte Q unter Verwendung der Gleichung (10) für zwei
Fälle:
a) Übertrager sekundärseitig unbelastet,
b) Übertrager sekundärseitig bei ü = 3 mit R = 1, 2 kΩ beschaltet.
Hinweis:
Als Arbeitsmittel stehen die LABVIEW-Programme:
a) ”Alternative Ermittlung Resonanz-Frequenz und Kurve DAQmx“ (große Darstellung der
Resonanzkurve). Einstellung: DAQmx-Taskname: 2SpannungT; Reset on, off beachten! Eingabe von Resonanzfrequenz und Resonanzspannung.
b) ”Print Arbeitsblatt Resonanz+Orts+Phasen-Kurve“ Schalter on/off beachten; Optimieren
der normierten Darstellung durch Veränderung der angepassten Eingabe von Resonanzfrequenz und Resonanzspannung.
4. Mit dem unter 3.6 erläuterten Verfahren ist der Phasenverlauf der Schwingkreisspannung bei
ü = 3 mit 1, 2 kΩ belasteten Schwingkreis zu ermitteln.
Hinweis:
Hierzu wird das LABVIEW-Programm ”Arbeitsblatt Resonanz + Orts + Phasen + SignalKurv“ geöffnet, wobei zunächst noch einmal die Resonanzfrequenz mit Hilfe des entsprechenden
9
Versuch B2/3 - Parallelschwingkreis
Diagramms bestimmt werden soll. Aus der Resonanzkurve wird der Phasenverlauf auf dem ausgedruckten Arbeitsblatt erstellt.
5. Bestimmen Sie den Parallelersatzleitwert des Schwingkreises nach Abbildung 2 mit Hilfe des
Pauli–Verfahrens. Der Übertrager soll bei ü = 1 betrieben werden.
Hinweis:
Mittels ELVIS Digital Multimeter und Mini Resistanz Box Wertepaare bestimmen. Verschalten:
ELVIS DMM Voltage HI und LO mit Ausgangsspannung am Schwingkreis direkt.
6. Bestimmen Sie mit Hilfe des Verstimmungsverfahrens nach 3.5 drei komplexe Leitwerte unter
Verwendung eines Parallel–Ersatzschaltbildes.
Unbedingt mitzubringendes Arbeitsmaterial:
• Millimeterpapier DIN A 4
• Winkelmesser
• Lineal
• Zirkel.
10